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2022—2023 学年高考适应性测试
数学
本试卷共4页，150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
第一部分（选择题 共40分）
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要
求的一项.
1. 已知集合 ， ，则 （ ）.
A. B. C. D.
2. 已知 ， ， ，则 ， ， 的大小关系为（ ）
A. B.
C. D.
3. 实轴长和虚轴长相等的双曲线称为等轴双曲线，则等轴双曲线的离心率为（ ）
A. B. 2 C. D. 3
4. 如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中，后人称为“三角垛”.“三角垛”的最
上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，第四层有10个球，…，设各层球数构成一个数列
， ， ， ，…，则 （ ）
A. B. C. D.5. 设 ， 是非零向量，“ ”是“ ” （ ）
的
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
6. 已知函数 ， ，将函数 的图象经过下列变换可以与
的图象重合的是（ ）
A. 向左平移 个单位 B. 向左平移 个单位
C. 向右平移 个单位 D. 向右平移 个单位
7. 已知函数 对任意 都有 ，且 ，当 时，
.则下列结论正确的是（ ）
A. 函数 的图象关于点 对称
B. 函数 的图象关于直线 对称
C. 当 时，
D. 函数 的最小正周期为2
8. 在某区高三年级举行的一次质量检测中，某学科共有 3000人参加考试．为了解本次考试学生的成绩情
况，从中抽取了部分学生的成绩（成绩均为正整数，满分为 100分）作为样本进行统计，样本容量为 n．
按照 ， ， ， ， 的分组作出频率分布直方图（如图所示）．已
知成绩落在 内的人数为16，则下列结论正确的是（ ）A. 样本容量
B. 图中
C. 估计全体学生该学科成绩的平均分为70.6分
D. 若将该学科成绩由高到低排序，前15%的学生该学科成绩为A等，则成绩为78分的学生该学科成绩肯
定不是A等
9. 若点 是圆 上的动点，直线 与 轴、 轴分别相交于 ， 两点，
则 的最小值为（ ）
A. B. C. D.
10. 是由实数构成的无穷等比数列， ，关于数列 ，给出下列命题：①数列
中任意一项均不为0；②数列 中必有一项为0；③数列 中一定不可能出现 ；④数列
中一定不可能出现 .其中正确的命题个数是（ ）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
第二部分（非选择题 共110分）
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.
11. 设复数 满足 （ 为虚数单位），则 ________.12. 已知抛物线顶点在原点，焦点为 ，过 作直线 交抛物线于 、 两点，若线段 的中点横
坐标为2，则线段 的长为________
13. 若 ，则 ________.
14. 已知函数 ，则 的最小值是________，若关于 的方程
有且仅有四个不同的实数解，则整数 的一个取值为________.
15. 如图，在正方体 ，中， ， 分别为线段 ， 上的动点.给出下列四个结论:
①存在点 ，存在点 ，满足 ∥平面 ；
②任意点 ，存在点 ，满足 ∥平面 ；
③任意点 ，存在点 ，满足 ；
在
④任意点 ，存 点 ，满足 .
其中所有正确结论的序号是__________.
三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.
16. 如图，在三棱锥 中， 和 都是等边三角形，点 为线段 的中点.
（1）证明: ；（2）再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求二面角 的余弦值.
① ；② .
17. 如图，平面四边形 中，对角线 与 相交于点 ， ， ，
， .
的
（1）求 面积；
（2）求 的值及 的长度.
的
18. 某人下午5:00下班，他记录了自己连续20天乘坐地铁和连续20天乘坐公交到家 时间，如下表
所示：
到家时间 5:35~5:39 5:40~5:44 5:45~5:49 5:50~5:54 迟于5:54
乘地铁（天） 2 5 9 3 1
乘公交（天） 1 2 4 6 7
以频率估计概率，每天乘坐地铁还是公交相互独立，到家时间也相互独立.
（1）某天下班，他乘坐公交回家，试估计他不迟于5:49到家的概率；
（2）他连续三天乘坐地铁回家，记这三天中他早于5:50回家的天数为 ，求 的分布列及数学期望；
（3）某天他抛一枚硬币决定乘地铁还是乘公交，结果他是5:48到家的，试求他是乘地铁回家的概率.（直
接写出答案）
19. 已知椭圆 过点 ，且离心率为 .
（1）求椭圆 的方程；（2）直线 分别交椭圆 于 、 两点，若线段 的中点 在直线 上，求 面积的最大值.
20. 设 ，函数 .
（1）当 时，求曲线 在点 处的切线方程；
（2）求 的单调区间；
（3）若函数 有两个相异零点 ， ，求证： .
21. 若有穷数列 ： ， ，…， ，满足 ，则
称数列 为 数列．
（1）判断下列数列是否为 数列，并说明理由；
①1，2，4，3
②4，2，8，1
（2）已知 数列 ： ， ，…， ，其中 ， ，求 的最小值．
（3）已知 数列 是1，2，…， 的一个排列．若 ，求 的所有取值．
