文档文本内容
2022—2023 学年高考适应性测试
数学
本试卷共4页，150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
第一部分（选择题 共40分）
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要
求的一项.
1. 已知集合 ， ，则 （ ）.
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据交集的运算求解即可.
【详解】由题知， .
故选：C
2. 已知 ， ， ，则 ， ， 的大小关系为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据指数函数、对数函数及余弦函数的性质判断即可.
【详解】因为 在 上单调递减，所以 ，
，又 ，即 ，
所以 .
故选：D
3. 实轴长和虚轴长相等的双曲线称为等轴双曲线，则等轴双曲线的离心率为（ ）A. B. 2 C. D. 3
【答案】A
【解析】
【分析】依题意可得 ，即可得到 ，从而求出离心率.
【详解】依题意可得等轴双曲线中 ，则 ，
所以离心率 .
故选：A
4. 如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中，后人称为“三角垛”.“三角垛”的最
上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，第四层有10个球，…，设各层球数构成一个数列
， ， ， ，…，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由累加法可得 ，求出 ， 可得答案.
【详解】由题意可得 ，
时， ， ， ，…， ，
以上各式相加可得
，所以 ，且 ，所以 ，
所以 ， ，
则 .
故选：B.
5. 设 ， 是非零向量，“ ”是“ ”的（ ）
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】根据向量相等、单位向量判断条件间的推出关系，结合充分、必要性定义即知答案.
【详解】由 表示单位向量相等，则 同向，但不能确定它们模是否相等，即不能推出 ，
由 表示 同向且模相等，则 ，
所以“ ”是“ ”的必要而不充分条件.
故选：B
6. 已知函数 ， ，将函数 的图象经过下列变换可以与 的图
象重合的是（ ）
A. 向左平移 个单位 B. 向左平移 个单位
C. 向右平移 个单位 D. 向右平移 个单位
【答案】D【解析】
【分析】利用诱导公式及三角函数的变换规则计算可得.
【详解】因为 ，
所以将 向右平移 个单位得到 .
故选：D
7. 已知函数 对任意 都有 ，且 ，当 时，
.则下列结论正确的是（ ）
A. 函数 的图象关于点 对称
B. 函数 的图象关于直线 对称
C. 当 时，
D. 函数 的最小正周期为2
【答案】D
【解析】
【分析】根据 得到 ，所以 的周期为4，根据
得到 关于 对称，画出 的图象，从而数形结合得到AB错误；再根据
求出 时函数解析式；D选项，根据 的最小正周期，得到
的最小正周期.
【详解】因为 ，所以 ，故 ，
所以 的周期为4，
又 ，所以 ，故 关于 对称，又 时， ，故画出 的图象如下：
A选项，函数 的图象关于点 不中心对称，故A错误；
B选项，函数 的图象不关于直线 对称，B错误；
C选项，当 时， ，则 ，C错误；
D选项，由图象可知 的最小正周期为4，
又 ，故 的最小正周期为2，D正确.
故选：D
8. 在某区高三年级举行的一次质量检测中，某学科共有 3000人参加考试．为了解本次考试学生的成绩情
况，从中抽取了部分学生的成绩（成绩均为正整数，满分为 100分）作为样本进行统计，样本容量为 n．
按照 ， ， ， ， 的分组作出频率分布直方图（如图所示）．已
知成绩落在 内的人数为16，则下列结论正确的是（ ）A. 样本容量
B. 图中
C. 估计全体学生该学科成绩的平均分为70.6分
D. 若将该学科成绩由高到低排序，前15%的学生该学科成绩为A等，则成绩为78分的学生该学科成绩肯
定不是A等
【答案】C
【解析】
【分析】由频率分布直方图区间 的概率确定样本总容量，由频率和为1求x，根据频率分布直方图
估计均值，确定78分前所占比例从而判断各选项．
【详解】由频率分布直方图可得： ， ， ， ， 的频率依次为
.
对于A：∵成绩落在 内的人数为16，则 ，
解得 ，故A错误；
对B：由频率可得 ，解得 ，故B错误；
对C：由选项B可得：成绩落在 的频率为 ，
的
估计全体学生该学科成绩 平均分 分，故C
正确；
对D：设该学科成绩为A等的最低分数为 ，
∵ ， ， 的频率依次为 ，即
，
可知 ，则 ，解得 ，
虽然 ，但 是估计值，有可能出现没有学生考到 分的情况（学生成绩均为正整数），
这种情况下成绩为78分的学生该学科成绩可以是A等，D错误；
故选：C.9. 若点 是圆 上的动点，直线 与 轴、 轴分别相交于 ， 两点，
则 的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】作出图形，分析可知当直线 与圆 相切，且切点位于 轴下方时， 取最小值，求出
、 的大小，可求得 的最小值．
【详解】如下图所示：
直线 的斜率为 ，倾斜角为 ，故 ，
圆 的标准方程为 ，圆心为 ，半径为 ，
易知直线 交 轴于点 ，所以 ，
由图可知，当直线 与圆 相切，且切点位于 轴下方时， 取最小值，
由圆的几何性质可知 ，且 ，则 ，
故 ．
故选：A10. 是由实数构成的无穷等比数列， ，关于数列 ，给出下列命题：①数列
中任意一项均不为0；②数列 中必有一项为0；③数列 中一定不可能出现 ；④数列
中一定不可能出现 .其中正确的命题个数是（ ）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
【答案】B
【解析】
【分析】对于①③举反例 即可，对于②举反例 即可，④利用反证法即可.
【详解】对于①，例如 ，
当 时， ，故①不正确；
对于②，例如 ，则 恒成立，故②不正确；
对于③，由① ，
，故③不正确；
对于④，若 ，
则 ，
即 ，
因为 ，所以 ，
由 ，
所以数列 中一定不可能出现 ，故④正确；
故选：B.
第二部分（非选择题 共110分）
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.11. 设复数 满足 （ 为虚数单位），则 ________.
【答案】
【解析】
【分析】求出 ，进而利用复数的模长性质求出答案.
【详解】 ，故 .
故答案为：
12. 已知抛物线顶点在原点，焦点为 ，过 作直线 交抛物线于 、 两点，若线段 的中点横
坐标为2，则线段 的长为________
【答案】6
【解析】
【分析】设 ，利用中点公式即得 ，再根据焦点弦公式得到线段 的长.
【详解】 是抛物线 的焦点，
准线方程 ，
设 ，线段 的中点横坐标为2, .
， 线段 的长为6.
故答案为：6.
13. 若 ，则 ________.
【答案】
【解析】
【分析】求得二项式 展开式的通项公式，得到 ，令
，即可求解.【详解】二项式 展开式的通项公式为 ，
所以 ，
令 ，可得 .
故答案为： .
14. 已知函数 ，则 的最小值是________，若关于 的方程
有且仅有四个不同的实数解，则整数 的一个取值为________.
【答案】 ①. ②. 1（答案不唯一， 即可）
【解析】
【分析】分段函数分别计算两段的最小值，得到函数的最小值；方程 有且仅有四个不同的实
数解,即函数 的图像与函数 的图像有四个不同的交点，作出函数图像，数形结合解决.
【详解】当 时， ，
易知当 时， 有最小值 ；
当 时， ，
由 ，得 ，则 ，此时 最小值为 ；
综上：函数 的最小值为 .
因为方程 有且仅有四个不同的实数解,即函数 的图像与函数 的图像有四个不
同的交点，
作出函数 的图像，由于a为整数，如图所示，只有函数 和 的图像与函数 的图像
有四个不同的交点，所以整数a的取值可以为 中的一个.
故答案为： ；1（答案不唯一， 即可）
15. 如图，在正方体 ，中， ， 分别为线段 ， 上的动点.给出下列四个结论:
①存在点 ，存在点 ，满足 ∥平面 ；
②任意点 ，存在点 ，满足 ∥平面 ；
③任意点 ，存在点 ，满足 ；
④任意点 ，存在点 ，满足 .
其中所有正确结论的序号是__________.
【答案】①③
【解析】
【分析】对①②，举例判断说明即可；对③④，以 为坐标原点建立空间直角坐标系，设 ，则
，其中 ，根据 满足 分析即可.
【详解】对①，当 ， 分别为 ， 的中点时，取 中点 ，连接 ，则根据中位线的性质可得 ，
又 平面 ， 平面 ，故 平面 ，同理 平面 ，又
， 平面 ，故平面 平面 .
又 平面 ，故 平面 .故①正确.
对②，当 在 时， ∥平面 不成立，故②错误；
对③④，以 为坐标原点建立如图空间直角坐标系，设正方体 棱长为1，
则 ， .
设 ， ，则 ，其中 ，故 ，
则当 时 ，即 .
故对任意的 ，存在 满足条件，即任意点 ，存在点 ，满足 .故③
正确；
当 ，即 在 点时，若 ，则 ，不满足 ，即 不在 上，故④错误.
故答案为：①③三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.
16. 如图，在三棱锥 中， 和 都是等边三角形，点 为线段 的中点.
（1）证明: ；
（2）再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求二面角 的余弦值.
① ；② .
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）连接 ， ，根据线面垂直的判定定理可证明 平面 ，即可根据下年垂直的
性质定理证明结论；
（2）选①，可证明 ， ， 两两垂直，从而建立空间直角坐标系，求得相关点坐标，求出平面
的法向量，根据空间角的向量求法即可求得答案；
选②，可证明 ，进而证明 ， ， 两两垂直，从而建立空间直角坐标系，求得相
关点坐标，求出平面 的法向量，根据空间角的向量求法即可求得答案.
【小问1详解】
证明：连接 ， ，因为 和 都是等边三角形，故 ，所以 ，同理得： ，
又因为 ， 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ，因为 平面 ，
所以 .
【小问2详解】
选择①， ，
由题意可得 ，所以 ，同理得 ，
则 ,故 ，所以 ，
由（1）可得 ，所以 ， ， 两两垂直，
故以O为坐标原点，以 为 轴建立如图所示坐标系，
设 ，则 ， ， ，， ，
设平面 的一个法向量为 ，
则 ，即 ，令 ，则可取 ，
平面 的一个法向量可取 ，可得 ，
又因为由图可知二面角 为锐角，
所以二面角 的余弦值为 .
选择②：
由（1）得， ， ， 平面 ， 平面 ，
，所以 ，
由题 ，则 ，
可得 为直角三角形， ，设 ，
所以 ， ， 两两垂直，
以O为坐标原点，以 为 轴建立如图所示坐标系，
则 ， ， ， ， ，设平面 的一个法向量为 ，
则 ，即 ，则可取 ，
平面 的一个法向量 ，可得 ，
又因为由图可知二面角 为锐角，
所以二面角 的余弦值为 .
17. 如图，平面四边形 中，对角线 与 相交于点 ， ， ，
， .
（1）求 的面积；
（2）求 的值及 的长度.
【答案】（1）
（2） ，
【解析】
【分析】（1）根据勾股定理可得 ，结合 再根据面积公式求解即可；
（2）根据等腰三角形性质可得 ，再用同角三角函数的关系与二倍角公式可得，然后根据 ，利用两角和的正弦公式求解，由正弦定
理求解 即可.
【小问1详解】
∵ ， ，
， ， ;
【
小问2详解】
， ， ，则 .
， ，
， ，
又 ，在 中，
，
由正弦定理可知， ，
.
18. 某人下午5:00下班，他记录了自己连续20天乘坐地铁和连续20天乘坐公交到家的时间，如下表所示：到家时间 5:35~5:39 5:40~5:44 5:45~5:49 5:50~5:54 迟于5:54
乘地铁（天） 2 5 9 3 1
乘公交（天） 1 2 4 6 7
以频率估计概率，每天乘坐地铁还是公交相互独立，到家时间也相互独立.
（1）某天下班，他乘坐公交回家，试估计他不迟于5:49到家的概率；
（2）他连续三天乘坐地铁回家，记这三天中他早于5:50回家的天数为 ，求 的分布列及数学期望；
（3）某天他抛一枚硬币决定乘地铁还是乘公交，结果他是5:48到家的，试求他是乘地铁回家的概率.（直
接写出答案）
【答案】（1）
（2）分布列见解析，期望
（3）
【解析】
【分析】（1）由表中数据，求得不迟于5:49到家的天数，结合古典摡型的概率计算公式，即可求解；
（2）根据题意，求得早于5：50回家的概率为 ，得到 可取值，求得相应的概率，列出分布列，利用
期望的公式，即可求解；
（3）设事件 ：乘地铁回家，则 ：乘汽车回家， ：到家时间在5：45·5：49之间，求得
，结合条件概率的计算公式，即可求解.
又由他是抛硬币决定乘地铁还是乘汽车，所以 ，
【小问1详解】
由表中数据可知，他乘坐公共汽车回家的20天内，不迟于5:49到家的天数有 ，
所以估计他乘坐公共汽车回家，不迟于5:49到家的概率为
【小问2详解】根据题意，他乘坐地铁回家，每天早于5：50回家的概率为
则随机变量 可取值为0，1，2，3，
可得 ； ；
； ，
则随机变量 的分布列如下：
X 0 1 2 3
P
所以 .
【小问3详解】
设事件 ：乘地铁回家，则 ：乘汽车回家， ：到家时间在5：45·5：49之间，
则 ,
又由他是抛硬币决定乘地铁还是乘汽车，所以 ，
所以 ，
即他是乘地铁回家的概率为 .
19. 已知椭圆 过点 ，且离心率为 .
（1）求椭圆 的方程；
（2）直线 分别交椭圆 于 、 两点，若线段 的中点 在直线 上，求 面积的最大值.【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由离心率以及椭圆经过的点即可求解 的值，
（2）联立直线与椭圆的方程，得到韦达定理，结合中点坐标公式，得到 ，由点到直线的距离
公式以及弦长公式，得三角形的面积表达式，结合二次函数的性质即可求解.
【小问1详解】
.
又 在椭圆上 .
所以，椭圆方程为 .
【小问2详解】
由已知直线 的斜率存在.
设直线 方程为 ， ， ，
由 ， 得 ．
由 ，得 ．①
， ．又中点在直线 上， 即 ，
将之代入①得 ，所以 ．
，
点 到直线 的距离 ，
．
设 ， ．
．
时， 的最大值为 ．
20. 设 ，函数 .（1）当 时，求曲线 在点 处的切线方程；
（2）求 的单调区间；
（3）若函数 有两个相异零点 ， ，求证： .
【答案】（1） （2）见解析
（3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）代入 的值，计算 ， ，求出切线方程即可.
（2）通过讨论 的范围，求出函数的单调区间即可.
（3）问题转化为 ，令 ，则 ，得到 ，令
，根据函数的单调性证明即可.
【小问1详解】
当 时， ，
， ，又 ，
所以曲线 在点 处的切线方程为 ，即 .
【小问2详解】
由函数 定义域是 ，
，当 时， ， 单调递增，
所以函数 单调递增区间为 ，无单调递减区间；
当 时，可得 ，
令 ，可得 ，
由 ，可得 ，由 ，可得 ，
所以，函数 单调递增区间为 ，单调递减区间为 .
综上， 时， 单调递增区间为 ，单调递减区间为 ，
时， 单调递增区间为 ，无单调递减区间.
【小问3详解】
的
因为 有两个相异 零点，
由（2）可得，当 时，由 连续单调递增，至多一个零点；
当 时，函数 单调递增区间为 ，单调递减区间为 ，
所以 ，
当 时，即 时，方程 无解，此时a的范围是 ，
当 的范围是 时，结合函数图象可知，方程 有两个不等解，
由于 ，不妨令 ，则有 ， ，所以 ， ，所以 ，
要证 ，只需 ，即 ， ，
即证 ，即 ，
即 ，只需 ，
令 ，则 ，所以只要证明 在 上成立，
令 ，可得 ，
由 ，所以 恒成立，所以 在 递增，
又由 ，所以 时， 恒成立，即 恒成立，
即 恒成立，从而可得 .
21. 若有穷数列 ： ， ，…， ，满足 ，则
称数列 为 数列．
（1）判断下列数列是否为 数列，并说明理由；
①1，2，4，3
②4，2，8，1
（2）已知 数列 ： ， ，…， ，其中 ， ，求 的最小值．
（3）已知 数列 是1，2，…， 的一个排列．若 ，求 的所有取值．
【答案】（1）①不是 数列；②是 数列．（2）13
（3）4或5．
【解析】
【分析】（1）直接利用定义进行判断即可；（2）利用绝对值三角不等式累加后求得结果；（3）对 取
不同的值进行判断，再对 分情况讨论即可．
【小问1详解】
①因为 ，所以该数列不是 数列；
②因为 ，所以该数列是 数列．
【小问2详解】
由 ，则 ，得 或 ，
恒成立，得 或 ，同理得 故
.
【小问3详解】
当 时，因为 ，所以 ，不符合题意；
当 时，数列为3，2，4，1．此时 ，符合题意；
当 时，数列为 2，3，4，5，1．此时 ，符合题意；
下证当 时，不存在 满足题意．
令 ，2， ， ，
则 ，且 ，
所以 有以下三种可能：① ； ② ；③ ．
当 时，因为 ，
即 ，2， ， ．
所以 或 ．
因为数列 的各项互不相同，
所以 ．
所以数列 是等差数列．
∴ ， ， ， 是公差为1（或 的等差数列．
当公差为1时，由 得 或 ，所以 或
，与已知矛盾．
当公差为 时，同理得出与已知矛盾．
所以当 时，不存在 满足题意．
其它情况同理．
综上可知， 的所有取值为4或5．
