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房山区 2022 年高考第二次模拟测试试卷
数学
一､选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求
的一项.
1. 已知集合 ，集合 ，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】求解 ，再求 的交集和补集判断即可
【详解】由题， ，故 ，
故选：B
2. 双曲线 的焦点坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据双曲线焦点坐标公式求解即可
【详解】双曲线 的焦点在 轴上，坐标为 ，即
故选：C
3. 已知 ，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A【解析】
【分析】 分别和特殊值0，1比较大小，即可判断.
【详解】 ， ， ，
所以 .
故选：A
4. 已知 是第一象限角，且角 的终边关于y轴对称，则 ( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据cosα求出tanα，根据角 的终边关于y轴对称可知 ．
【详解】∵ 是第一象限角，∴ ， ，
∵角 的终边关于y轴对称，∴ ．
故选：D．
5. 已知数列 满足 为其前n项和.若 ，则 （ ）
A. 20 B. 30 C. 31 D. 62
【答案】C
【解析】
【分析】先利用等比数列的定义、通项公式得到公比和首项，再利用等比数列的求和公式进行求解.
【详解】因为 ，所以 为等比数列，且 ，
又 ，所以 ，则 .故选：C.
6. 已知函数 ，则不等式 的解集为( )
.
A B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据绝对值的定义和对数函数的单调性即可求解．
【详解】 ．
故选：C﹒
的
7. 已知 是两个不同 平面，直线 ，且 ，那么“ ”是“ ”的（ ）
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】根据空间线面位置关系，结合必要不充分条件的概念判断即可.
【详解】解：当直线 ，且 ， ，则 ，或 ， 与 相交，故充分性不成立，
当直线 ，且 ， 时， ，故必要性成立，
所以，“ ”是“ ”的必要而不充分条件.
故选：B
8. 如图，在同一平面内沿平行四边形ABCD两边AB、AD向外分别作正方形ABEF、ADMN，其中 ，
， ，则 ( )A. B. C. 0 D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据向量加法法则， ，再利用数量积的运算法则计算即可.
【详解】
.
故选：C.
9. 已知数列 是公差为d的等差数列，且各项均为正整数，如果 ，那么 的最小值
为（ ）
A. 13 B. 14 C. 17 D. 18
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意可得 ，再结合 为整数可求得 ，即可得解.
【详解】解：在等差数列 中，因为 ，
则 ，即 ，
故 或 或 或 或
或 或 或 ，所以 的最小值为14.
故选：B.
10. 下表是某生活超市2021年第四季度各区域营业收入占比和净利润占比统计表：
生鲜区 熟食区 乳制品区 日用品区 其它区
营业收入占比
净利润占比
该生活超市本季度的总营业利润率为 （营业利润率是净利润占营业收入的百分比），给出下列四个
结论：
的
①本季度此生活超市营业收入最低 是熟食区；
②本季度此生活超市的营业净利润超过一半来自生鲜区；
③本季度此生活超市营业利润率最高的是日用品区；
④本季度此生活超市生鲜区的营业利润率超过 .
其中正确结论的序号是（ ）
A. ①③ B. ②④ C. ②③ D. ②③④
【答案】D
【解析】
【分析】根据表中数据以及营业利润率的概念逐项进行分析并判断.
【详解】由题中数据知，其它类营业收入占比 ，为最低的，故①错；
生鲜区的净利润占比 ，故②正确；
生鲜区的营业利润率为 ，故④正确；
熟食区的营业利润率为 ；
乳制品区的营业利润率为 ；其他区的营业利润率为 ；
日用品区为 ，最高，故③正确．
故选：D.
二､填空题共5小题，每小题5分，共25分.
11. 抛物线 的准线方程为__________．
【答案】
【解析】
【分析】抛物线 的准线方程为 ，由此得到题目所求准线方程.
【详解】抛物线 的准线方程是 .
【点睛】本小题主要考查抛物线的准线方程，抛物线 的准线方程为 ，直接利用公式可得
到结果.属于基础题.
12. 复数 满足 ，则 __________．
【答案】
【解析】
【详解】由题意得 ，
∴ ．
13. 已知圆 和直线 ，则圆心坐标为___________；若点 在圆
上运动， 到直线 的距离记为 ，则 的最大值为___________.
【答案】 ①. ②. ##【解析】
【分析】由圆的标准方程可得圆心坐标；根据直线 过定点 ，可知当 时，圆心 到 距离
最大，则 .
【详解】由圆的方程知：圆心 坐标为 ；
由直线方程知： 恒过点 ，则 ，
当 时，圆心 到 距离最大，
又圆 的半径 ， .
14. 已知函数 若函数 在 上不是增函数，则a的一个取值为___________.
【答案】-2(答案不唯一，满足 或 即可)
【解析】
【分析】作出y=x和y= 的图象，数形结合即可得a的范围，从而得到a的可能取值．
【详解】y=x和y= 的图象如图所示：
∴当 或 时，y= 有部分函数值比y=x的函数值小，
故当 或 时，函数 在 上不是增函数．
故答案为：-2．
15. 声音是由于物体的振动产生的能引起听觉的波，其中包含着正弦函数.纯音的数学模型是函数.我们听到的声音是由纯音合成的，称为复合音.已知一个复合音的数学模型是函数
.给出下列四个结论：
① 的最小正周期是 ；
② 在 上有3个零点；
③ 在 上是增函数；
④ 的最大值为 .
其中所有正确结论的序号是___________.
【答案】②④
【解析】
【分析】对①，分别计算 和 的最小正周期，再由其最小公倍数即可得到
的最小正周期；
对②，直接求零点即可；
对③④，对 求导，利用导数研究函数的单调性、极值和最值，即可判断
【详解】对①，因为： ，
的最小正周期是 ， 的最小正周期是 ，
所以 的最小正周期是 ，故①不正确；
对②， 即 ，即 ，故 或 ，又，故 ， 或 ，即 在 上有3个零点，故②正确；
对③由题 ， ，
由 ，
令 得， ， ，
当 ， ， 为增函数，
当 ， ， 为减函数，
当 ， ， 为增函数，
所以 在 ， 上单调递增，在 上为单调递减，故③不正确；
由于 ， ，所以 的最大值为 ，所以④正确
综上，②④正确
故答案为：②④
三､解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.
16. 在 中， .
（1）求 ；
（2）再从下列三个条件中选择一个作为已知，使 存在且唯一确定，求 边上的高.
条件①： ；条件②： ；条件③： 的面积为 .
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解
答计分.【答案】（1）
（2）答案见解析
【解析】
【分析】（1）方法一：根据正弦定理，结合内角和与两角和的正弦公式化简即可；方法二：利用余弦定
理化简即可
（2）选①则 不合题意；
选②：根据 则可得 ，再根据两角和的正弦公式可得 ，再根据高 计算即
可；
选③：根据面积公式 可得 ，进而用余弦定理求得 ，再结合面积公式
求解高即可
【小问1详解】
方法一：在 中，因为 ，
所以由正弦定理可得 .
因为 ，所以 .
所以 .
在 中， ，
所以 ，所以 .
方法二：在 中，因为 ，由余弦定理
得 ，
整理得
所以 ，所以 .
【小问2详解】
选条件②：由（1）知
因为在 中， ，所以
又 ，所以
所以
设 边上高线的长为h，则
.
选条件③：
因为
所以 ，
由余弦定理得所以 .
设 边上高线的长为h，则
17. 如图，在四棱锥 中， 底面 .在底面 中， ， ，
， .
（1）求证： 平面 ；
（2）若平面 与平面 的夹角等于 ，求点B到平面 的距离.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）根据几何关系证明 ，根据 底面 得 ，进而证明结论；
（2）根据题意， 两两互相垂直，进而建立空间直角坐标系，设 ，再根据坐标
法求解即可.
【小问1详解】
证明：设 中点为E，连接 ，
易知 为正方形，且
所以 ，所以
因为 底面 底面 ，
所以
又 面 ，
所以 平面
【小问2详解】
解：因为 底面 ，在正方形 中
所以 两两互相垂直.
如图建立空间直角坐标系
设
则
所以 ，
设平面 的法向量为 ，则
即
所以
由（1）知，平面 的法向量为
因为平面 与平面 的夹角为 ，
所以 ，解得
设点B到平面 的距离为d.则
18. 北京2022年冬奥会，向全世界传递了挑战自我､积极向上的体育精神，引导了健康､文明､快乐的生活
方式.为了激发学生的体育运动兴趣，助力全面健康成长，某中学组织全体学生开展以“筑梦奥运，一起向
未来”为主题的体育实践活动.为了解该校学生参与活动的情况，随机抽取100名学生作为样本，统计他们
参加体育实践活动时间（单位：分钟），得到下表：
（1）从该校随机抽取1名学生，若已知抽到的是女生，估计该学生参加体育实践活动时间在 的概率；
（2）从参加体育实践活动时间在 和 的学生中各随机抽取1人，其中初中学生的人数记为
X，求随机变量X的分布列和数学期望；
（3）假设同组中每个数据用该组区间中点值代替，样本中的100名学生参加体育实践活动时间的平均数记
为 ，初中､高中学生参加体育实践活动时间的平均数分别记为 ，当m满足什么条件时，
.（结论不要求证明）
【答案】（1）
（2）分布列答案见解析，数学期望：
（3）
【解析】
【分析】（1）方法一：根据条件概率公式求解即可；方法二：根据古典概型的方法分析即可；
（2）方法一：根据相互独立事件同时发生的概率公式求解即可；方法二：根据二项分布的公式求解；
（3）补全初中段的人数表格，再分别计算 关于 的解析式，代入 求解 的范围即
可
【小问1详解】
方法一：女生共有 人，记事件A为“从所有调查学生中随机抽取1人，女生被抽
到”，事件B为“从所有调查学生中随机抽取1人，参加体育活动时间在 ”
由题意可知，因此
所以从该校随机抽取1名学生，若已知抽到的是女生，估计该学生参加体育活动时间在 的概率为
方法二：女生共有 人，记事件M为“从所有调查学生中随机抽取1名学生，若
已知抽到的是女生，该学生参加体育活动时间在 ”
由题意知，从所有调查学生中随机抽取1人，抽到女生所包含的基本事件共45个，抽到女生且参加体育活
动时间在 所包含的基本事件共9个
所以
所以从该校随机抽取1名学生，若已知抽到的是女生，估计该学生参加体育活动时间在 的概率为
【小问2详解】
方法一：X的所有可能值为0，1，2，时间在 的学生有 人，活动时间在 的初中
学生有 人.
记事件C为“从参加体育活动时间在 的学生中随机抽取1人，抽到的是初中学生”，事件D为“从参
加体育活动时间在 的学生中随机抽取1人，抽到的是初中学生”.由题意知，事件C､D相互独立，
且所以
所以X的分布列为：
X 0 1 2
P
故X的数学期望
方法二：X的所有可能值为0，1，2，
因为从参加体育活动时间在 和 的学生中各随机抽取1人是相互独立，且抽到初中学生的概
率均为 ，故
所以
所以X的分布列为：
X 0 1 2
P
故X的数学期望【小问3详解】
根据男女生人数先补全初中学生各区间人数：
内初中生的总运动时间 ， 内高中
生的总运动时间 ，
则由题， ，又 ，
， ，由
可得
，当 时成立，故 的取值范围
19. 已知函数 .
（1）当 时，求曲线 在 处的切线方程；
（2）求函数 在 上的最小值.
【答案】（1）
（2）答案见解析【解析】
【分析】（1）利用导数的几何意义，求切线方程；
（2）首先求函数的导数，化简为 ，再讨论 和 两种情况讨论函数的单调性，
再求函数的最值.
【小问1详解】
当 时，
所以 .
所以曲线 在 处的切线方程为： .
【小问2详解】
.
①当 时， .
所以 时， .
所以 在 上是增函数.所以 .
②当 时，令 ，解得 （舍）
1°当 ，即 时， 时， .
所以 在 上是增函数.所以 .
2°当 ，即 时，
x
- 0 +
减函数 极小值 增函数所以 .
3°当 ，即 时， 时， .
所以 在 上是减函数.所以 .
综上，当 时， ；
当 时， .
当 时， .
20. 已知椭圆 的一个顶点为 ，一个焦点为 .
（1）求椭圆C的方程和离心率；
（2）已知点 ，过原点O的直线交椭圆C于M，N两点，直线 与椭圆C的另一个交点为Q.若
的面积等于 ，求直线 的斜率.
【答案】（1）椭圆 ，离心率 ；
（2） 或 .
【解析】
【分析】（1）根据题意得到 ，进而求出a，最后得到椭圆方程和离心率；
（2）设出直线PM的方程并代入椭圆方程然后化简，再设出点M,Q的坐标，进而表达出面积，然后结合
根与系数的关系求出答案.
【小问1详解】由题设，得 ，则 ，所以椭圆C的方程为 ，离心率
.
【小问2详解】
设直线 的方程为 ，由 得 ，
解得 .
设 ，则 ， ，即 同号.
根据椭圆的对称性知 ， ，所以
，整理得
，
解得 ，（满足 ）
所以 ，或 .
【点睛】本题运算量较大，对于用“根与系数的关系”解决问题是个老套路，但本题对于面积的处理有一
定的技巧，平常注意对此类题型的训练.
21. 已知数集 具有性质P：对任意的，使得 成立.
（1）分别判断数集 与 是否具有性质P，并说明理由；
（2）已知 ，求证： ；
（3）若 ，求数集A中所有元素的和的最小值.
【答案】（1） 不具有性质P， 具有性质P，理由见解析；
（2）证明见解析； （3）75．
【解析】
【分析】(1)对于 ， ，故可判断它不具有性质P；对于 可逐项验证2、3、6均满足
对任意的 ，使得 成立，故可判断它具有性质P；
(2)根据题意可知 ，从而 ，故而可得
，将这些式子累加即可得
，从而可变形为要证的结论；
(3)根据题中已知条件可得该数集 ， ，从而可得该数集元素均为整数，再根据 可
构造一个满足性质P的数集 或 ，这两个数集元素之和为
75，证明75是最小值即可．
【小问1详解】
∵ ，∴ 不具有性质P；
∵ ，∴ 具有性质P；
【小问2详解】
∵集合 具有性质P：即对任意的 ，使得 成立，
又∵ ，
∴ ，∴ ，
即 ，
将上述不等式相加得 ，
∴ ，由于 ，
∴ ，∴ ；
【小问3详解】
最小值为75．
首先注意到 ，根据性质P，得到 ，
的
∴易知数集A 元素都是整数．
构造 或者 ，
这两个集合具有性质P，此时元素和为75．
下面，证明75是最小的和：
假设数集 ，满足 (存在性显然，∵满足
的数集A只有有限个)．
第一步：首先说明集合 中至少有7个元素：
由(2)可知 ，…
又 ，∴ ；∴ ；
第二步：证明 ；
若 ，设 ，∵ ，为了使得 最小，在集合A中一定不含有元素 ，
使得 ，从而 ；
假设 ，根据性质P，对 ，有 ，使得 ，
显然 ，∴ ，
而此时集合A中至少还有4个不同于 的元素，
从而 ，矛盾，
∴ ，进而 ，且 ；
同理可证： ；
(同理可以证明：若 ，则 )．
假设 ．
∵ ，根据性质P，有 ，使得 ，
显然 ，∴ ，
而此时集合A中至少还有3个不同于 的元素，
从而 ，矛盾，
∴ ，且 ；
至此，我们得到了 ，
根据性质P，有 ，使得 ，我们需要考虑如下几种情形：
① ，此时集合中至少还需要一个大于等于4的元素 ，才能得到元素8，
则 ；
② ，此时集合中至少还需要一个大于4的元素 ，才能得到元素7，则 ；
③ ，此时集合 的和最小，为75；
④ ，此时集合 的和最小，为75．
【点睛】本题第二问考察对题设条件的理解，根据数集要满足性质P，得到其元素之间应该满足的大小关
系，利用数列的累加法思想即可得数集的“前n项和”的范围；本题第三问采用枚举法即可证明，根据题
设信息不断地确定数集A中的具体元素，将抽象问题具体化，从而证明出结论，过程中需用反证法证明猜
想．
