1
导数中的恒成立问题
一、利用函数的性质解决恒成立问题
例1 已知函数
3
2
( )
(1
)
(
2)
f x
x
a x
a a
x
b
( ,
)
a bR ．
(1)若函数
( )
f x 的图象过原点，且在原点处的切线斜率是3
，求,a b 的值；
(2)若函数
( )
f x 在区间( 1,1)
上不单调
．．．，求a 的取值范围．
解：(1)由题意得
)
2
(
)
1(
2
3
)
(
2
a
a
x
a
x
x
f
又
3
)
2
(
)
0
(
0
)
0
(
a
a
f
b
f
，解得
0
b
，
3
a
或
1
a
(2)函数
)
(x
f
在区间
)1,1
(
不单调，等价于
导函数
)
(x
f
在
)1,1
(
既能取到大于0 的实数，又能取到小于0 的实数
即函数
)
(x
f
在
)1,1
(
上存在零点，根据零点存在定理，有
0
)1(
)1
(
f
f
， 即：
0
)]
2
(
)
1(
2
3
)][
2
(
)
1(
2
3
[
a
a
a
a
a
a
整理得：
0
)1
)(
1
)(
5
(
2
a
a
a
，解得
1
5
a
所以a 的取值范围是
1
5
a
a
.
【方法点评】利用函数的性质解决恒成立问题，主要是函数单调性的应用，函数
在给定的区间上不单调意味着导函数在给定的区间上有零点，利用函数零点的存
在性定理即可解决问题.
二、利用数形结合思想解决恒成立问题
例2 已知
3
x 是函数
2
ln 1
10
f x
a
x
x
x
的一个极值点．
（1）求a ；
（2）求函数
f x 的单调区间；
（3）若直线y
b
与函数
y
f x
的图象有3个交点，求b 的取值范围．
【方法指导】（1）在极值点处导数为零，可以求a 的值；（2）求函数的单调区
间借助
( )
0
f
x
可以求出单调递增区间，( )
0
f
x
可以求出单调递减区间；（3）
根据函数
( )
f x 的单调性可以求出其极大值和极小值，画出图象，数形结合可以求
出b 的取值范围.
解：（1）因为
'
2
10
1
a
f
x
x
x
，所以
' 3
6 10
0
4
a
f
，因此
16
a
．
2
（2）由（1）知，
2
16ln 1
10 ,
1,
f x
x
x
x x
，
2
'
2
4
3
1
x
x
f
x
x
当
1,1
3,
x
时，
'
0
f
x
；当
1,3
x
时，
'
0
f
x
．
所以
f x 的单调增区间是
1,1 , 3,
，
f x 的单调减区间是
1,3 ．
（3）由（2）知，
f x 在
1,1
内单调增加，在
1,3 内单调减少，在
3,上
单调增加，且当
1
x 或
3
x 时，
'
0
f
x
所以
f x 的极大值为
1
16ln2
9
f
，极小值为
3
32ln2
21
f
因此𝑓(16) = 16𝑙𝑛17 + 162 −160 > 16ln2 −9 = 𝑓(1)
又因为当x 趋于-1 时，lnx 趋向负无穷，x²-10x 趋于9
必定和为负数。所以在
f x 的三个单调区间
1,1 , 1,3 , 3,
直线y
b
有
y
f
x
的图象各有一
个交点，当且仅当
3
1
f
b
f
因此，b 的取值范围为
32ln2
21,16ln2
9
．
【方法点评】数形结合是高中数学中常考的思想方法之一，在有关取值范围问题、
单调性问题、最值问题中体现较明显，同时方程的根及函数零点也可转化为交点
问题解决.
三、分离参数解决恒成立问题
例3 已知函数
( )
ln
a
f x
x
x
，
(1)当
0
a
时，判断
( )
f x 在定义域上的单调性；
(2)若
2
( )
f x
x
在(1,
)
上恒成立，求a 的取值范围．
【方法指导】（1）通过判断导数的符号解决；（2）由于参数a 是“孤立”的，
可以分离参数后转化为一个函数的单调性或最值等解决．
解：(1)由题意：
( )
f x 的定义域为(0,
)
，且
2
2
1
( )
a
x
a
f
x
x
x
x
．
0,
( )
0
a
f
x
，故
( )
f x 在(0,
)
上是单调递增函数．
(2)
3
2
2
ln
,0
.
ln
,
)
(
x
x
x
a
x
x
x
a
x
x
x
f
又
令
2
3
2
1
1 6
( )
ln
, ( )
( )
1 ln
3
,
( )
6
x
g x
x
x
x h x
g x
x
x h x
x
x
x
，
3
( )
h x 在[1,
)
上是减函数，
( )
(1)
2
h x
h
，即
( )
0
g x
，
( )
g x
在[1,
)
上也是减函数，
( )
(1)
1
g x
g
．
令
1
a 得
( )
a
g x
，
∴当
2
( )
f x
x
在(1,
)
恒成立时，a 的取值范围是
1
a
a
．
【方法点评】分离参数是恒成立问题中的一种重要解题方法，分离参数后，构造
新函数，求新函数的最值即可解决恒成立问题中的参数取值范围.
四、利用两个函数的最值解决恒成立问题
例4 [2014·新课标全国卷Ⅰ] 设函数f(x)＝aexln x＋bex－1
x
，曲线y＝f(x)在点(1，
f(1))处的切线方程为y＝e(x－1)＋2.
(1)求a，b；
(2)证明：f(x)>1.
解：(1)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝aexln x＋a
xex－b
x2ex－1＋b
xex－1.
由题意可得f(1)＝2，f′(1)＝e，故a＝1，b＝2.
(2)证明：由(1)知，f(x)＝exln x＋2
xex－1，从而f(x)>1 等价于xln x>xe
－x－2
e.
设函数g(x)＝xln x，则g′(x)＝1＋ln x，
所以当x∈
)
1
,0
(
e 时，g′(x)<0；当x∈
)
,
1
(
e
时，g′(x)>0.
故g(x)在
)
1
,0
(
e 上单调递减，在
)
,
1
(
e
上单调递增，从而g(x)在(0，＋∞)上
的最小值为
)
1
(e
g
＝－1
e.
设函数h(x)＝xe-x－2
e，则h′(x)＝e-x(1－x)．所以当x∈(0，1)时，h′(x)>0；
当x∈(1，＋∞)时，h′(x)<0.
故h(x)在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，从而h(x)在(0，＋∞)
上的最大值为h(1)＝－1
e.
因为gmin(x)＝
)
1
(e
g
＝h(1)＝hmax(x)，
所以当x>0 时，g(x)>h(x)，即f(x)>1.
