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2025 年临考押题卷（新高考 II 卷）
数学
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有
一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.
1．在复平面内， 对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【分析】利用复数的乘积运算结合复数对应点的特征求解即可.
【详解】因为 ，
所以 对应的点 的位于在第四象限，故D正确.
故选：D
2．若非零向量 满足 ，且向量 与向量 的夹角 ，则 的值为
（ ）
A． B．0 C． D．6
【答案】B
【分析】由 求出 ，进而得 的值.
【详解】由 有 ，所以
，所以 ，
故选：B.
3．2024年6月，国家卫健委等16部门联合发布《“体重管理年”活动实施方案》，旨在通过三年行动提
升全民体重管理意识，推广健康生活方式.体重指数（体重公斤数除以身高米数平方）是常用的衡量人体胖
瘦程度的一个标准，中国成人参考标准如下表.某中学在高三年级学生中随机抽取10人并计算出他们的体
重指数分别为：16，18，18，19，19.7，20.3，21，22，26，30，则下列结论不正确的是（ ）
偏瘦 <18.5
正常 18.5~23.9
偏胖 24~27.9
肥胖 ≥28
A．这组数据的中位数为20
B．该组数据的极差为14
C．这十个人的平均体重正常
D．从该校学生中随机抽取一人，体重偏胖概率为20%
【答案】D
【分析】根据给定的数据组，依次求出中位数、极差、平均数、概率判断ABCD.
【详解】对于A，这组数据的中位数为 ，A正确；
对于B，这组数据的极差为 ，B正确；
对于C，10人体重指数的平均数为 ，C正确；
对于D，10人中体重指数在 的1人，从该校学生中随机抽取一人，体重偏胖概率为10%，D错误.
故选：D
4．函数 为偶函数的充要条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由 为偶函数，得到 对任意的 恒成立，求得 ，利用函数的奇偶性的定
义进行验证，即可求解.【详解】若 为偶函数，则 对任意的 恒成立，
即 ，
所以 对任意的 恒成立，故 ；
若 ，则 ，
所以 ，故 为偶函数，
所以 为偶函数的充要条件为 .
故选：B．
5．已知函数 有两个零点，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】将问题转化为直线 与函数 的图象有两个交点问题，再利用数形结合
求解.
【详解】由函数 有两个零点，
得直线 与函数 的图象有两个交点，
在同一坐标系内作出直线 与函数 的图象，如图，观察图象，当 ，即 时，直线 与函数 的图象有两个交点，
所以m的取值范围是 .
故选：A
6．在正四棱台 中， ，侧棱和底面所成角为 ，则该正四棱台的侧面
积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】过 作 于 ，则可求 ，过 作 于 ，连接 ，则可求斜高，故可
求侧面积.
【详解】如图，连接 ，则 ，过 作 于 ，
则 ，由正四棱台的性质可得 平面 ，
故 即侧棱和底面所成角，
所以 ，在 中，可得 ，
过 作 于 ，连接 ，因为 平面 ，
所以 ，而 平面 ，
故 平面 ，而 平面 ，故 ，
而 ，则 ，
所以该正四棱台的侧面积为 ，
故选：B．7．古希腊数学家在研究圆锥曲线时发现了椭圆的光学性质：从椭圆的一个焦点 发出的光线经过椭圆上
的 点反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点 ，且在 点处的切线垂直于法线（即 的角平分
线）.已知椭圆 上点 处的法线 交 轴于点 ，且 ，入射角 ，
则 的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由角平分线性质得到 ，再结合余弦定理及椭圆定义即可求解.
【详解】
由 可得： ，
由角平分线的性质可得： ，
所以 ，设 ，
由题意，因为 ，所以 ，由余弦定理可得： ，
解得： ，
又 ，
所以 ，
得： ，
故选：D
8．设函数 ，若 ，则 的最小值为（ ）
A． B． C．3 D．
【答案】D
【分析】由已知和函数的性质，若 ，则 和 都是增函数，它们
的解相同，可得 ，即 ，代入 构造函数 ，利用导数即可求得
的最小值，即为答案.
【详解】函数 的定义域为 ，函数 是增函数，且 ，
当 时， ，不合题意，故 ，函数 是增函数，
令 ，得 ，由题意 ，并结合 ， 的图象，
则 ，即 ，
则 ，设 ， ，
当 时， ， 单调递减，当 时， ， 单调递增，则 ，即
的最小值为 ．
故选：D.
二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的选项中，有多项符
合题目要求. 全部选对得 6 分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得
0分.
9．下列关于函数 的说法正确的是（ ）
A．要得到函数 的图象，只需将函数 的图象向右平移 个单位
B．函数 的图象关于 对称
C．函数 在区间 上单调递减
D．若 ，且 ，则
【答案】BD
【分析】根据三角函数的图象变换、对称轴、单调性以及周期的相关知识，对每个选项逐一进行分析判断.
【详解】对于A选项，函数图象平移遵循“左加右减”原则. 右移 个单位， 变为 ，得到，与选项描述不符，所以A错误.
对于B选项，若函数图象关于 对称，则 取最值. ，
， 是函数最大值，所以函数图象关于 对称，B正确.
对于C选项，已知 ，则 .正弦函数在包含 的区间不单调，此区间含
，所以函数在该区间不单调，C错误.
对于D选项，正弦函数 周期 ， 中 ， .
，即取最小值，相邻最小值间距离是一个周期，所以 ，D正确.
故选：BD.
10．已知抛物线 的焦点为 ，点 在此抛物线上，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．若直线 与抛物线有另一个交点为 ，则
C．已知点 ，点 为抛物线上的点，当 取最大值时，
D．已知点 ，点 为抛物线上的点，当直线 与抛物线相切时， 的内切圆的面积为
【答案】ABD
【分析】点 代入抛物线方程计算可判断A；求出直线 的方程，与抛物线联立等式计算可求解
可判断B；根据抛物线的性质可知 ，从而当 最小， 的值最大，即 与抛物线相切，求出抛物线过 点的切线方程得出 点坐标，计算可判断C；根据C选项，计算出 面
积和周长即可求出内切圆的半径，进而可求出内切圆面积，可判断D.
【详解】对于A，因为点 在抛物线 上，所以 ，所以 ，故A正确；
对于B，点 ，直线 的斜率为 ，
所以直线 的方程为 ，
联立 ，可得 ，计算可得 ， ，
所以可得 ，所以 ，故B正确；
对于C，分析可得，抛物线的准线为 ，
当点 在原点时， 不是最大值，
当点 不在原点时，过点 作 ，垂足为 ，
在 中， ，所以 ，
所以当 取最小值时， 取最大值，此时直线 与抛物线相切，
设过 点的直线 与抛物线相切，
代入抛物线方程得 ，
得 ，解得 ，
即 ，解得 ，
把 代入 得 ，
所以 或 ，所以 ，故C不正确；对于D，根据C选项，可得 ，当 时，
的面积 ， 的周长 ，
所以 的内切圆的半径为 ，所
以 的内切圆的面积为 ，故D正确.
故选：ABD.
11．已知函数 ，则下列结论正确的是（）
A．当 时，若 有三个零点，则 的取值范围是（0，1）
B．当 且 时，
C． ，
D．若 存在极值点 ，且 ，其中 ，则
【答案】ABD
【分析】对于A，B，求导确定函数单调性，求得极值，构造不等式即可判断；对于C，代入解析式化简
即可；对于D，由 推理得到 ，又由函数极值点定义，由
得到 代入化简即得．
【详解】对于A，当 时， ，由 ，可得 或 ，由 ，可得 ，
故函数 在 和 上单调递增；在 上单调递减．
则函数 在 处取得极大值，在 处取得极小值，
若 有三个零点，则 ，解得 ，故A正确；
对于B，当 且 时， ，
因为 ，所以 ，
由A函数 在 上单调递减，故 ，故B正确；
对于C，因为
，故C错误；
对于D，由 求导得， ，
依题意， ，可得 ①
由 ，可得 ，
由于 ，化简得 ②
将①代入②式，可化简得： ，
即 ，因 ，故得 ，即D正确．
故选：ABD．
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12．已知数列 的前 项和为 ，且满足 ，则【答案】
【分析】根据等差数列的定义有 ，即 ，利用 关系求通项公式.
【详解】由题设，数列 是首项、公差均为1的等差数列，
则 ，所以 ，
当 ，则 ，显然 满足上式，
所以 .
故答案为：
13．已知 ，若 ， ，则 ．
【答案】
【分析】先根据同角三角函数关系,再利用两角差的余弦公式即可得解.
【详解】由 ， ，
则 ，
故 ，
由 ，所以
故答案为：
14．九宫格的起源可以追溯到远古神话中的洛书，洛书上的图案正好对应着从1到9九个数字，并且纵向、
横向、斜向三条线上的三个数字的和（这个和叫做幻和）都等于15，即现代数学中的三阶幻方，已知幻和
等于15的九宫格共有8种.根据洛书记载：“以五居中，五方皆为阳数，四隅为阴数”，其意思为：九宫格中5位于居中位置，四个顶角为偶数，其余位置为奇数.如图所示，若随机填写一组幻和等于15的九宫
格数据，记事件 ”，则 的值为 .
【答案】 /0.75
【分析】根据题意先求出满足题意的总情况有 种，再求出满足 有多少种，然后利用古典概率知
识即可求解.
【详解】由题意九宫格的中间位置填 ， 位置填偶数 ， 位置填奇数 ，
因为每一横行，每一竖列以及两条对角线上三个数字之和都等于 ，
所以 、 位置填 或 ，
先从 中任意选出一个数填入 位置，则有 个结果，
①若 填 ，
则 填 ， 填 ， 填 ， 填 ， 填 ， 填 ， 填 ；
或 填 ， 填 ， 填 ， 填 ， 填 ， 填 ， 填 ；
②若 填 ，
则 填 ， 填 ， 填 ， 填 ， 填 ， 填 ， 填 ；
或 填 ， 填 ， 填 ， 填 ， 填 ， 填 ， 填 ；
③若 填 ，
则 填 ， 填 ， 填 ， 填 ， 填 ， 填 ， 填 ；或 填 ， 填 ， 填 ， 填 ， 填 ， 填 ， 填 ；
④若 填 ，
则 填 ， 填 ， 填 ， 填 ， 填 ， 填 ， 填 ；
或 填 ， 填 ， 填 ， 填 ， 填 ， 填 ， 填 ；
所以总的结果个数为 个，
其中 符合 的情况有 ， ， ， ， ， 共 个，
所以 .
故答案为： .
【点睛】关键点点睛：本题的关键是对 进行合理的分类讨论，从而得到所有的情况，最后根据古典概型
即可得到答案.
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．如图，在 中， ，点 是 边上的两点，点 在 之间， ．
(1)求 的值；
(2)若 ， ，求 的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据题意，利用三角形的面积公式，得到 ，求得 ，进而求得的值；
（2）由余弦定理，求得 ，得到 ，再由 ，求得 ，利用余弦
定理求得 ，得到 ，结合 ，即可求解．
【详解】（1）解：因为 ，且 ，
所以 ，可得 ，
即 ，所以 ．
（2）解：因为 ， ， ，
所以 ，
又因为 ，所以 ，
因为 ，所以 ，所以 ，
又因为 ，所以 ，
所以 ．
16．已知函数 .
(1)讨论 的单调性；
(2)若 ，求 的取值范围.
【答案】(1)答案见解析
(2)
【分析】（1）分 和 两种情况分类讨论得出函数单调性；
（2）先化简，再构造 根据函数单调性得出最值即可求参.【详解】（1） ，
当 时， 恒成立， 在 上单调递增，
当 时，令 ，得 ，
所以在 上 单调递增，
在 上 单调递减，
综上所述，当 时， 在 上单调递增，
当 时， 在 上单调递增，在 上单调递减.
（2）因为 ，所以 ，
所以 ，所以 ，所以 ，
令 ，
，
所以 在 上单调递增，即 ，
令 ， ，
令 ，得 ，所以在 上， 单调递减，
在 上， 单调递增，所以 ，
所以 .
17．如图，在四棱雉 中， 平面 为棱的中点， 为棱 上的动点．
(1)证明： ．
(2)若二面角 的余弦值为 ，求 的值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）取 的中点 ，连接 ，证明 ，则 ，再利用线面垂直的性质证明
，进而可得 平面 ，再根据线面垂直的性质即可得证；
（2）以点 为坐标原点建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可.
【详解】（1）取 的中点 ，连接 ，
因为 ，所以 ，
所以四边形 为平行四边形，
所以 ，
所以 为等边三角形，则 ，
所以 ，所以 ，所以 ，
因为 平面 ， 平面 ，
所以 ，
又 平面 ， ，
所以 平面 ，
又 平面 ，所以 ；
（2）如图，以点 为坐标原点建立空间直角坐标系，由（1）知 ， ，
则 ，
故 ，
设平面 的法向量为 ，
则有 ，可取 ，
设 ，
则 ，
设平面 的法向量为 ，
则有 ，
所以 ，令 ，则 ，
所以 ，
则 ，
化简得 ，解得 或 ，
经检验，当 时，二面角 为钝二面角，
所以 ，所以 .
18．某运动员为了解自己的运动技能水平，记录了自己1000次训练情况并将成绩（满分100分）统计如下
表所示.
成绩区间
频数 100 200 300 240 160
(1)求上表中成绩的平均值及上四分位数（同一区间中的数据用该区间的中点值为代表）；
(2)该运动员用分层抽样的方式从 的训练成绩中随机抽取了6次成绩，再从这6次成绩中随机选2次，
设成绩落在区间 的次数为X，求X的分布列及数学期望；
(3)对这1000次训练记录分析后，发现某项动作可以优化.优化成功后，原低于80分的成绩可以提高10分，
原高于80分的无影响，优化失败则原成绩会降低10分，已知该运动员优化动作成功的概率为 ．
在一次资格赛中，入围的成绩标准是80分.用样本估计总体的方法，求使得入围的可能性变大时p的取值
范围.
【答案】(1)平均值为 ，上四分位数为 ；
(2)分布列见解析，数学期望为 ；
(3) .
【分析】（1）根据平均值计算公式和上四分位数计算方法即可得到答案；
（2）写出 的可能取值，再分别计算出其分布列，最后再利用数学期望公式即可；
（3）法一：利用互斥事件加法公式和全概率计算公式得到关于 的表达式，从而得到不等式，解出即可；
法二：根据比例法得到相关概率表达式，解出不等式即可.
【详解】（1）依题意，平均值，
，
上四分位数落在区间 ，且等于 .
（2）由样本数据可知，训练成绩在 之内的频数之比为2:1，
由分层抽样的方法得，从训练成绩在 中随机抽取了6次成绩，
在 之内的4次，在 之内的抽取了2次，
所以 可取的值有：0，1，2，
， ， ，
分布列为：
0 1 2
.
（3）法一：设事件 分别表示动作优化前成绩落在区间 ， ， ，
则 相互互斥，所以动作优化前，
在一次资格赛中，入围的概率 ，
设事件B为＂动作优化成功＂，则 ，
动作优化后，在一次资格赛中，入围事件为： ，且事件 相互互斥，
所以在一次资格赛中入围的概率
，故 ，
由 解得 ，又 的取值范围是 .
法二：因为入围的成绩标准是80分，所以进行某项动作优化前，该运动员在资格赛中入围的概率为：
，
进行某项动作优化后，影响该运动员入围可能性变化的是落在区间 或 的成绩，
当且仅当动作优化成功，落在这两个区间的成绩才能符合入围标准，
所以进行优化后，该运动员在资格赛中入围的概率 ，
由 ，得 ，又 的取值范围是 .
19．已知双曲线 的右焦点为 ，且点 到双曲线 的渐近线的距离为 ．
过点 作两条互相垂直的直线 和 ， 交双曲线 于 、 两点， 交双曲线 于 、 两点， 、
分别是 、 的中点，直线 过定点 ；再过点 作两条互相垂直的直线 和 ，
交双曲线 于 、 两点， 交双曲线 于 、 两点， 、 分别是 、 的中点，直线
过定点 ，以这样的方式构造下去，可以得到一列定点 、 、 、 、
．
(1)求双曲线 的方程；
(2)求点 的坐标；
(3)若 、 ，记 的面积为 ，证明： ．【答案】(1)
(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）利用点到直线的距离公式求出 的值，结合 的值可得出 的值，由此可得出双曲线的方程；
（2）分析额可直线 经过的定点 也在 轴上，设点设点 ，设直线 的方程为 ，
设点 、 ，将直线 的方程与双曲线得出联立，列出韦达定理，求出点 、 的坐标，
由此可得出点 的坐标；
（3）分析可知，点 均在 轴上，考虑一般情况，假设点 ，设点 ，设直线 的方
程为 ，将该直线方程与双曲线方程联立，结合韦达定理求出点 的坐标，同理得出点 的坐标，
利用 、 、 三点共线，结合斜率公式可得出 ，由此可归纳得出 的坐标，由此可得出 的表
达式，利用放缩法结合等比数列的求和公式可证得所证不等式成立.
【详解】（1）双曲线的渐近线方程为 ，即 ，
则点 到渐近线的距离为 ，
又因为 ，所以 ，
因此，双曲线 的方程为 .
（2）当 轴， 必然与 轴重合，由曲线的对称性知 的中点 在 轴上，
的中点 也在 轴，故 经过的定点 也在 轴上，
设点 ，设直线 的方程为 ，设点 、 ，联立 得 ，
所以， ， ，
由韦达定理可得 ， ，
故线段 的中点 ，
同理可知，直线 的方程为 ， 的中点为 ，即点
，
当 时，
由 、 、 三点共线可得 ，得 ，
解得 ，因此， .
当 时， ，此时 过 ，
故 .
（3）由（2）可知，当 时，定点 ，同理可知， 也一定在 轴上，
考虑一般情况，假设点 ，设点 ，设直线 的方程为 ，设点 、 ，
联立 得 ，
所以， ， ，
由韦达定理可得 ， ，
故线段 的中点为 ，
同理，直线 的方程为 ，
线段 的中点为 ，即点 ，
当 时，
由 、 、 三点共线可知， ，即 ，
整理可得 ，即当点 时， ，
当 时， ，此时 过 ，
综上， .故当点 时， 、 、 、 ，
由题意可知， 的面积为 ，
所以 ，
所以 .
