儋州市第二中学2023 年秋季高三第十次周测数学试题
时间:120 分钟
满分: 150
日期: 2023 年12 月10 日
一、单项选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共40 分．在每小题给出的四个选项中，只
有一项符合题目要求．
1．已知集合
2,0,1,3,5 ,
2,3,5 ,
0,2,4
U
A
B
，则
B
A
CU
)
(
=(
)
A．
2,0,2,4
B．
2,0,1, 2, 4
C．
0,1,2,4
D．
0,2,4
2．已知i 为虚数单位，则复数
2
i
1
i
的虚部为（
）
A．i
B．i
C．1
D．1
3．已知向量
2, 1 ,
3,3 ,
3,
a
b
c
m
，且
a
c
b
，则m （
）
A．4
B．6
C．4
D．6
4．已知
0, 2
，且5cos2
cos
3
0
，则tan（
）
A．
21
B．2
5
C．
21
5
D．
21
2
5．已知等比数列
n
a
的前n 项和为
n
S ，公比为2，且
2
3
4
,
3,
a a
a
成等差，则
5
S （
）
A．62
B．93
C．96
D．64
6．已知定义在R 上的偶函数
f x 满足
2
4,
0,
2024
1
f x f x
f x
f
．则
2023
1
i
f i
（
）
A．4545
B．4552
C．4553
D．4554
7．已知向量
,
a b
满足
2,
1, (
) (
2
)
1
a
b
a
b
a
b
，则a
在b
上的投影向量为（
）
A．b
B．b
C．3b
D．3b
8．数学家杨辉在其专著《详解九章算术法》和《算法通变本末》中，提出了一些新的高阶
等差数列.其中二阶等差数列是一个常见的高阶等差数列，如数列2,4,7,11,16从第二项起，
每一项与前一项的差组成的新数列2,3,4,5是等差数列，则称数列2,4,7,11,16为二阶等差数
列.现有二阶等差数列
n
a
，其前六项分别为1,3,6,10,15,21，则
1
1
n
a
n
的最小值为（
）
A．1
2
B．3
4
C．1
D．3
2
{#{QQABDYak4gIw0FbACC4KBwHaCguQsIKjJQoMhRCQKAQCiQFIFIA=}#}
二、多项选择题：本题共4 小题，每小题5 分，共20 分．在每小题给出的四个选项中，有
多项符合题目要求．全部选对得5 分，部分选对得2 分，有选错得0 分．
9．在ABC
中，下列结论正确的是（
）
A．AB
AC
CB
B．
0
AB
BC
CA
C．若
0
AC
AB
，则ABC
是锐角三角形
D．若(
) (
)
0
AB
AC
AB
AC
，则ABC
是等腰三角形
10．已知
,
A B 是函数
tan 3
6
f
x
x
的图象与直线
3
y
的两个交点，则下列结论正确
的是（
）
A．
min
|
|
3
AB
B．
f
x 的定义域为
3
3
,
2
x
x
k
k
R
Z
C．
f
x 在区间0, 6
单调递增
D．
f
x 的图象的对称中心为点
,0 ,
6
18
k
k
Z
11．已知数列
n
a
满足
1
1
1
2
2
2
2
n
n
n
a
a
a
n
，则（
）
A．
2
2
n
a
n
B．
n
a
的前n 项和为(
3)
n n
C．
(
1) n
n
a
的前100 项和为100
D．
10
n
a
的前20 项和为284
12. 已知函数
e ,
0
2
1 ,(
0)
x
x
x
f
x
x
x
，若函数
g x
f
x
m
有两个零点
1
2
,
x x ，则
1
2
x
x
的值可能是（
）
A. 2
B.
1
2
e
C. 3
D. 0
三、填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共20 分．
13．已知向量
1,
1
a
，
1,2
4
b
m
m
，若a
b
∥，则m
.
14．已知等差数列
,
n
n
a
b
的前n 项和分别为
,
n
n
S T ，且
2
5
4
3
n
n
S
n
T
n
，则
6
6
a
b ______．
15．已知
1
2
sin
sin
, cos
cos
3
3
，则
cos
.
{#{QQABDYak4gIw0FbACC4KBwHaCguQsIKjJQoMhRCQKAQCiQFIFIA=}#}
16．在
ABC
中，CA
a
，CA
b
，D 是A C 的中点，
2
CB
BE
；试用a
，b
表示DE
为
，若AB
DE
，则
ACB
的最大值为_______.
四、解答题：本题共6 小题，共70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．已知数列
n
a
满足
1
1
4, 2
3n
n
n
a
a
a
（
*,
n
N
为常数）．
（1）若
1
，求证：数列
3 n
n
a
为等比数列；
（2）若
0
且
n
a
为等比数列，求数列
3
1
log
n
n
a
的前2n 项和
2 n
T
．
18. 杭州亚运会正在进行，乒乓球被称为中国的“国球”，赛事备受关注.乒乓球比赛每局采
用11 分制，每赢一球得1 分，一局比赛开始后，先由一方发2 球，再由另一方发2 球，依
次每2 球交换发球权，若其中一方先得11 分且至少领先2 分即为胜方，该局比赛结束；若
双方比分打成10∶10 平后，发球权的次序仍然不变，但实行每球交换发球权，先连续多得
2 分的一方为胜方，该局比赛结束.现有甲、乙两人进行乒乓球单打比赛，假设甲发球时甲
得分的概率为2
3
，乙发球时甲得分的概率为1
2
，各球的结果相互独立，已知某局比赛
甲先发球.
(1)求该局比赛中，打完前4 个球时甲得3 分的概率；
(2)若在该局双方比分打成10∶10 平后，两人又打了X 个球该局比赛结束，求事件“
4
X ”
的概率.
19．在锐角
ABC
△
中，已知角
, ,
A B C 的对边分别为, ,
a b c ，且
2
2
2
2
sin
sin
0
c
a
A
c
b
B
．
（1）求角C 的值；
（2）若
3
c
，求2a
b
的取值范围．
{#{QQABDYak4gIw0FbACC4KBwHaCguQsIKjJQoMhRCQKAQCiQFIFIA=}#}
20.如图，直三棱柱롨ᇼെ롨ᇼ的体积为4，ᇞ롨ᇼ的面积为．
(1)求A 到平面롨ᇼ的距离；
(2)设D 为ᇼ的中点，ൌ롨，平面롨ᇼ٣平面롨롨，求二面角െ롨ࡰെᇼ的正
弦值．
21．已知椭圆
2
2
2
2
:
1
0
x
y
C
a
b
a
b
，其离心率
3
2
e
，点
1
2
,
F F 分别是椭圆C 的左右
焦点，点A 是椭圆上任意一点，且
1
2
AF
AF
的最大值为4．
（1）求椭圆C 的方程；
（2）过点
1F 作直线l 与C 交于
,
P Q 两点，点M 是线段PQ 的中点，过点M 作直线l 的垂线
交x 轴于点N ，若
6
5
MN
，求直线l 的方程．
22．已知函数f(x)＝aex－1－lnx＋lna．
(1)当a＝e 时，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；
(2)若
1
)
(
x
f
，求a 的取值范围．
{#{QQABDYak4gIw0FbACC4KBwHaCguQsIKjJQoMhRCQKAQCiQFIFIA=}#}
