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2024 年高考数学真题(上海卷)
一、填空题
1.设全集U={1，2，3，4，5}，集合A={2，4}，则A= .
2.已知函数f(x)={√x , x>0,
1, x ≤0, 则f(3)= .
3.不等式x2-2x-3<0 的解集为 .
4.已知f(x)=x3+a，且f(x)是奇函数，则a= .
5.已知a=(2，5)，b=(6，k)，a∥b，则k 的值为 .
6.在(x+1)n的展开式中，若各项系数和为32，则展开式中x2的系数为 .
7.已知抛物线y2=4x 上有一点P 到准线的距离为9，那么点P 到x 轴的距离为 .
8.某校举办科学竞技比赛，有A，B，C 3 种题库，A 题库有5 000 道题，B 题库有4 000 道题，C 题库有3
000 道题.小申已完成所有题，他A 题库的正确率是0.92，B 题库的正确率是0.86，C 题库的正确率是
0.72，现他从所有的题中随机选一题，正确率是 .
9.已知虚数z，其实部为1，且z+2
z =m(m∈R)，则实数m 为 .
10.设集合A 中的元素皆为无重复数字的三位正整数，且元素中任意两者之积皆为偶数，则集合中元素个数
的最大值为 .
11.海上有灯塔O，A，B，货船T，如图，已知A 在O 的正东方向，B 在O 的正北方向，O 到A，B 的距离
相等，∠BTO=16.5°，∠ATO=37°，则∠BOT= .(结果精确到0.1°)
12.等比数列{an}的首项a1>0，公比q>1，记In={x-y|x，y∈[a1，a2]∪[an，an+1]}，若对任意正整数n，In是闭
区间，则q 的取值范围是 .
二、选择题
13.已知沿海地区气温和海水表层温度相关，且样本相关系数为正数，对此描述正确的是
( )
A.沿海地区气温高，海水表层温度就高
B.沿海地区气温高，海水表层温度就低
C.随着沿海地区气温由低到高，海水表层温度呈上升趋势
D.随着沿海地区气温由低到高，海水表层温度呈下降趋势
14.下列函数中，最小正周期是2π 的是
( )
A.y=sin x+cos x
B.y=sin xcos x
C.y=sin2x+cos2x
D.y=sin2x-cos2x
15.定义一个集合Ω，其元素是空间内的点，任取P1，P2，P3∈Ω，存在不全为0 的实数λ1，λ2，λ3，使得λ1⃗
O P1+λ2⃗O P2+λ3⃗O P3=0(其中O 为坐标原点).已知(1，0，0)∈Ω，则(0，0，1)∉Ω 的充分条件是
( )
A.(0，0，0)∈Ω
B.(-1，0，0)∈Ω
C.(0，1，0)∈Ω
D.(0，0，-1)∈Ω
16.已知定义在R 上的函数f(x)，集合M={x0|对于任意x∈(-∞，x0)，f(x)<f(x0)}，在使得M=[-1，1]的所有f(x)
中，下列说法成立的是( )
A.存在f(x)是偶函数
B.存在f(x)在x=2 处取到最大值
C.存在f(x)在R 上单调递增
D.存在f(x)在x=-1 处取到极小值
三、解答题
17.如图，在正四棱锥P-ABCD 中，O 为底面ABCD 的中心.
(1)若AP=5，AD=3√2，求△POA 绕PO 旋转一周形成的几何体的体积；
(2)若AP=AD，E 为PB 的中点，求直线BD 与平面AEC 所成角的大小.
18.已知函数f(x)=logax(a>0，且a≠1).
(1)若函数f(x)的图象过点(4，2)，求不等式f(2x-2)<f(x)的解集；
(2)若存在x 使得f(x+1)，f(ax)，f(x+2)依次成等差数列，求实数a 的取值范围.
19.为了解某地初中学生体育锻炼时长与学业成绩的关系，从该地区29 000 名学生中随机抽取580 人，得到
日均体育锻炼时长(单位：小时)与学业成绩的数据如表所示：
学业成绩
日均体育锻炼时长/小时
[0，0.5)
[0.5，1)
[1，1.5)
[1.5，2)
[2，2.5]
优秀
5
44
42
3
1
不优秀
134
147
137
40
27
(1)该地区29 000 名学生中日均体育锻炼时长不小于1 小时的人数约为多少？
(2)估计该地区初中学生日均体育锻炼时长(精确到0.1 小时)；
(3)是否有95%的把握认为学业成绩优秀与日均体育锻炼时长不小于1 小时且小于2 小时有关？
附：χ2=
n(ad -bc)
2
(a+b)(c +d )(a+c)(b+d )，n=a+b+c+d.P(χ2≥3.841)≈0.05.
20.已知双曲线Γ：x2- y
2
b
2 =1(b>0)，左、右顶点分别为A1，A2，过点M(-2，0)的直线交双曲线Γ 于P，Q 两点.
(1)若Γ 的离心率为2，求b；
(2)若b=2√6
3
，△MA2P 为等腰三角形，且点P 在第一象限，求点P 的坐标；
(3)连接QO(O 为坐标原点)并延长交Γ 于点R，若⃗A1 R·⃗A2 P=1，求b 的取值范围.
21.已知D 是R 的一个非空子集，y=f(x)是定义在D 上的函数，对于点M(a，b)，函数s(x)=(x-a)2+[f(x)-b]2.若
对于P(x0，f(x0))，满足s(x)在x=x0处取得最小值，则称P 是M 的“f 最近点”.
(1)若D=(0，+∞)，f(x)=1
x ，M(0，0)，求证：对于点M(0，0)，存在点P，使得P 是M 的“f 最近点”；
(2)若D=R，f(x)=ex，M(1，0)，请判断是否存在一个点P，它是M 的“f 最近点”，且直线MP 与曲线
y=f(x)在点P 处的切线垂直；
(3)若D=R，已知y=f(x)是可导的，y=g(x)的定义域为R 且函数值恒为正，t∈R，M1(t-1，f(t)-g(t))，M2(t+1，
f(t)+g(t)).若对于任意t∈R，都存在曲线y=f(x)上的一点P，使得P 既是M1的“f 最近点”，又是M2的“f 最
近点”，试判断y=f(x)的单调性.
答案精析
1.{1，3，5}
解析 A={1，3，5}.
2.√3
解析 因为3>0，所以f(3)=√3.
3.(-1，3)
解析 由x2-2x-3=(x-3)(x+1)<0，
得-1<x<3.
4.0
解析 方法一 因为f(x)是奇函数，所以f(-x)=-f(x)，
即(-x)3+a=-(x3+a)，得a=0.
方法二 因为f(x)是奇函数，所以f(0)=a=0.
5.15
解析 因为a∥b，所以2k=5×6，得k=15.
6.10
解析 由题意得2n=32，所以n=5，
则(x+1)5的展开式的通项Tr+1=C5
rx5-r1r=C5
rx5-r，
令5-r=2，得r=3，
所以展开式中x2的系数为C5
3=10.
7.4√2
解析 设P(x0，y0)，
因为点P 到准线x=-1 的距离为9，
所以x0+1=9，
则x0=8，y0
2=4x0=32，
则y0=±4√2，
即点P 到x 轴的距离为4√2.
8.0.85
解析 A 题库占
5 000
5 000+ 4 000+3 000= 5
12，
B 题库占
4 000
5 000+ 4 000+3 000=1
3，
C 题库占
3 000
5 000+ 4 000+3 000=1
4 ，
则所求概率P= 5
12×0.92+1
3×0.86+1
4 ×0.72=0.85.
9.2
解析 方法一 设z=1+bi(b∈R 且b≠0)，
则z+2
z =1+bi+
2
1+bi
=1+bi+2(1-bi)
1+b
2
=1+
2
1+b
2+(b- 2b
1+b
2)i=m，
因为m∈R，所以b- 2b
1+b
2=0，
得b2=1，所以m=1+
2
1+b
2=2.
方法二 由z+2
z =m 得z2-mz+2=0，
解得z=m±√8-m
2i
2
(m2<8，m∈R)，
依题意得m
2 =1，解得m=2.
10.329
解析 由题意可知，集合中最多有一个奇数，其余均为偶数.
个位为0 的无重复数字的三位正整数有A9
2=72(个)；
个位为2，4，6，8 的无重复数字的三位正整数有C 4
1C8
1C8
1=256(个).
所以集合中最多有72+256=328(个)偶数，再加上一个奇数，则集合中元素个数的最大值为328+1=329.
11.7.8°
解析 设∠BOT=θ(0°<θ<90°)，则∠AOT=90°-θ，
在△BOT 中，由正弦定理得
OB
sin16.5° =
OT
sin(16.5°+θ)，
在△AOT 中，由正弦定理得
OA
sin37° =
OT
sin(37°+90° -θ)，
∵OA=OB，
∴两式相除得sin37°
sin16.5° =sin(37°+90° -θ)
sin(16.5°+θ)
，
则sin 37°sin(16.5°+θ)=sin 16.5°sin(37°+90°-θ)，
∴sin θ(cos 16.5°-sin 16.5°)sin 37°=cos θ(cos 37°-sin 37°)sin 16.5°，
∴tan θ=
1
tan37° -1
1
tan16.5° -1
≈0.137 6，又θ 为锐角，
∴θ≈7.8°.
12.[2，+∞)
解析 显然等比数列{an}为递增数列，不妨设x≥y，
若x，y∈[a1，a2]，则x-y∈[0，a2-a1]，
若x，y∈[an，an+1]，则x-y∈[0，an+1-an]，
若x∈[an，an+1]，y∈[a1，a2]，
则x-y∈[an-a2，an+1-a1]，
∵对任意正整数n，In都是闭区间，
∴an-a2≤an+1-an，如图，
又a1>0，q>1，
∴qn-2qn-1+q≥0，
即qn-2(q-2)+1≥0，
对任意正整数n，上式都成立，则必有q≥2.
13.C [因为沿海地区气温和海水表层温度相关，且样本相关系数为正数，所以随着沿海地区气温由低到高，
海水表层温度呈上升趋势.]
14.A [对于A，y=sin x+cos x
=√2sin(x + π
4)，
其最小正周期为2π，A 正确；
对于B，y=sin xcos x=1
2sin 2x，
其最小正周期为π，B 错误；
对于C，y=sin2x+cos2x=1，为常函数，
不存在最小正周期，C 错误；
对于D，y=sin2x-cos2x=-cos 2x，
其最小正周期为π，D 错误.]
15.C [因为存在不全为0 的实数λ1，λ2，λ3，
使得λ1⃗O P1+λ2⃗O P2+λ3⃗O P3=0，
所以⃗O P1，⃗O P2，⃗O P3共面.
只要点(1，0，0)，(0，0，1)以及再选取的点对应的向量共面，就有(0，0，1)∈Ω，
否则就能得到(0，0，1)∉Ω.
对于选项A，(0，0，0)对应的向量是零向量，零向量与任意向量共线，故三点对应的向量共面，不能推出
(0，0，1)∉Ω，故A 错误；
对于选项B，若(1，0，0)，(-1，0，0)∈Ω，且(1，0，0)，(-1，0，0)两点对应的向量共线，所以(0，0，1)
可以属于Ω，故B 错误；
对于选项C，显然(1，0，0)，(0，1，0)，(0，0，1)三点对应的向量不共面，故可以推出(0，0，1)∉Ω，故
C 正确；
对于选项D，(0，0，-1)与(0，0，1)两点对应的向量共线，(1，0，0)，(0，0，-1)，(0，0，1)三点对应的
向量共面，故不能推出(0，0，1)∉Ω，故D 错误.]
16.B [对于A，因为M=[-1，1]，
所以f(x)<f(1)在(-∞，1)上恒成立，
此时f(-1)<f(1)与f(x)是偶函数矛盾，故A 错误；
对于B，不妨取f(x)={
-2, x<-1,
x ,-1≤x ≤1,
1, x>1,
满足M=[-1，1]，f(x)在x=2 处取到最大值，故B 正确；
对于C，若存在f(x)在R 上单调递增，
则对任意x0∈R，
当x<x0时，都有f(x)<f(x0)，
则此时M=R，
与M=[-1，1]矛盾，故C 错误；
对于D，方法一 若存在f(x)在x=-1 处取得极小值，
则存在一个δ>0，
对于任意x 满足0<|x+1|<δ，
都有f(-1)<f(x)，又-1-δ
2∈(-1-δ，-1)，
而由-1∈M 以及M 的含义知f(-1- δ
2)<f(-1)，
与f(-1)<f(x)对于任意x 满足0<|x+1|<δ 矛盾，故D 错误.
方法二 假设存在f(x)在x=-1 处取到最小值，
则在-1 的左侧附近存在n，
使得f(n)>f(-1)，
这与已知集合M 的定义矛盾，故D 错误.]
17.解 (1)在正四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 为正方形，
∴△AOD 为等腰直角三角形，
又AD=3√2，∴AO=3，
∵AP=5，PO⊥底面ABCD，
∴PO=√A P
2- A O
2=4.
∴Rt△POA 绕直角边PO 旋转一周形成的几何体是底面半径为3，高为4 的圆锥，
∴旋转体的体积为V=1
3×π×32×4=12π.
(2)如图，连接OE，
∵AP=AD=AB，E 为PB 的中点，
∴PB⊥AE，
同理，PB⊥CE，
又AE∩CE=E，AE，CE⊂平面AEC，
∴PB⊥平面AEC，
∴∠BOE 是BD 与平面AEC 所成的角.
设AP=AD=2，则BO=√2，BE=1，
在△BPD 中，E，O 分别为BP，BD 的中点，
∴EO=1
2PD=1
2AP=1，
∴△BEO 是等腰直角三角形，
∴∠BOE=π
4 ，即BD 与平面AEC 所成角的大小为π
4 .
18.解 (1)∵f(x)的图象过点(4，2)，
∴loga4=2，解得a=2.
∴f(x)=log2x，显然其在定义域(0，+∞)上单调递增，
由f(2x-2)<f(x)有{
2 x -2>0,
x>0,
2 x -2< x ,
解得1<x<2.
∴原不等式的解集为{x|1<x<2}.
(2)∵f(x+1)，f(ax)，f(x+2)依次成等差数列，
∴2f(ax)=f(x+1)+f(x+2)，
即2loga(ax)=loga(x+1)+loga(x+2)，x>0，a>0，且a≠1，
即loga(ax)2=loga[(x+1)(x+2)]，
由f(x)=logax 是单调函数得(ax)2=(x+1)(x+2)，
得a2= x
2+3 x +2
x
2
=2×(
1
x)
2
+3×1
x +1，x>0，
设t=1
x ，
则t>0，a2=2t2+3t+1 在t∈(0，+∞)上有解，
设g(t)=2t2+3t+1，
则g(t)在(0，+∞)上单调递增，
故g(t)>1，即a2>1，得a>1.
∴a 的取值范围是(1，+∞).
19.解 (1)抽取的样本中日均体育锻炼时长不小于1 小时的人数为42+3+1+137+40+27=250.
设该地区29 000 名学生中有x 人的日均体育锻炼时长不小于1 小时，
则250
580=
x
29 000，解得x=12 500.
故该地区29 000 名学生中日均体育锻炼时长不小于1 小时的人数约为12 500.
(2)依题意得，该地区初中学生日均体育锻炼时长为
[0.25×(5+134)+0.75×(44+147)+1.25×(42+137)+1.75×(3+40)+2.25×(1+27)]÷580=540÷580≈0.9(小时).
所以该地区初中学生日均体育锻炼时长约为0.9 小时.
(3)对数据重新组合，得到2×2 列联表.
学业成绩
日均体育锻炼时长/小时
[1，2)
其他
合计
优秀
45
50
95
不优秀
177
308
485
合计
222
358
580
提出原假设H0：学业成绩优秀与日均体育锻炼时长不小于1 小时且小于2 小时无关.
确定显著性水平α=0.05，
因为χ2=580×(45×308-177×50)
2
95×485×222×358
≈3.976，
由P(χ2≥3.841)≈0.05，而3.976>3.841.χ2的值超过了α 所确定的界限，从而原假设不成立，所以有95%的把
握认为学业成绩优秀与日均体育锻炼时长不小于1 小时且小于2 小时有关.
20.解 (1)由双曲线的方程知a=1，c=√1+b
2，
因为离心率为2，b>0，
所以c
a=√1+b
2
1
=2，得b=√3.
(2)当b=2√6
3
时，
双曲线Γ：x2-3 y
2
8 =1，且A2(1，0).
因为点P 在第一象限，
所以∠PA2M 为钝角.
又△MA2P 为等腰三角形，
所以|A2P|=|A2M|=3.
设点P(x0，y0)，且x0>0，y0>0，
则{
√( x0-1)
2+ y0
2=3,
x0
2- 3 y0
2
8 =1,
得{
x0=2,
y0=2√2,
所以P(2，2√2).
(3)由双曲线的方程知A1(-1，0)，A2(1，0)，
且由题意知Q，R 两点关于原点对称.
设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
则R(-x2，-y2).
设直线PQ 的方程为x=my-2.
联立直线与双曲线的方程得{
x =my -2,
x
2- y
2
b
2 =1,
消去x，得(b2m2-1)y2-4b2my+3b2=0，
且b2m2-1≠0，即m2≠1
b
2，
Δ=(-4b2m)2-4×3b2(b2m2-1)=4b4m2+12b2>0.
由根与系数的关系，
得y1+y2= 4 b
2m
b
2m
2-1
，y1y2=
3b
2
b
2m
2-1
.
因为⃗A1 R=(-x2+1，-y2)，⃗A2 P=(x1-1，y1)，
由⃗A1 R·⃗A2 P=1，得(-x2+1)(x1-1)-y1y2=1，
所以(x2-1)(x1-1)+y1y2=-1，
即(my2-3)(my1-3)+y1y2=-1，
整理得(m2+1)y1y2-3m(y1+y2)+10=0，
所以(m2+1)·
3b
2
b
2m
2-1
-3m· 4 b
2m
b
2m
2-1
+10=0，
整理得b2m2+3b2-10=0，
所以b2= 10
m
2+3∈(0，10
3 ].
又m2≠1
b
2，所以b2≠
10
1
b
2 +3= 10b
2
3b
2+1
，
得b2≠3，所以b2∈(0，3)∪(3，10
3 ]，
又b>0，故b 的取值范围是(0，√3)∪(√3，√30
3 ].
21.(1)证明 因为函数f(x)=1
x ，
x∈(0，+∞)，M(0，0)，
所以s(x)=(x-0)2+(
1
x -0)
2
=x2+ 1
x
2≥2，
当且仅当x2= 1
x
2，x>0，即x=1 时，s(x)取得最小值2，
f(1)=1，所以P(1，1)，
故对于点M(0，0)，存在点P(1，1)，使得P 是M 的“f 最近点”.
(2)解 因为函数f(x)=ex，x∈R，M(1，0)，
所以s(x)=(x-1)2+e2x，
则s'(x)=2(x-1)+2e2x.
记m(x)=s'(x)=2(x-1)+2e2x，
则m'(x)=2+4e2x>0，
所以m(x)在R 上单调递增.
因为m(0)=s'(0)=0，
所以当x<0 时，m(x)=s'(x)<0；
当x>0 时，m(x)=s'(x)>0.
所以s(x)在(-∞，0)上单调递减，
在(0，+∞)上单调递增，
因此当x=0 时，s(x)取到最小值，
又f(0)=e0=1，
所以M 的“f 最近点”为P(0，1).
为判断直线MP 与曲线y=f(x)在点P 处的切线是否垂直，
可另设P(k，ek)，
则由f'(x)=ex，知在P(k，ek)处的切线l 的斜率为ek，
由题意知MP⊥l，因此e
k -0
k -1 =- 1
e
k ，
整理得k+e2k-1=0.
令h(k)=k+e2k-1，
易知h(k)在R 上单调递增，又h(0)=0，所以方程k+e2k-1=0 有唯一解k=0，
所以点P(0，1).
综上，存在满足条件的一个点P(0，1).
(3)解 设{
s1( x)=( x -t +1)
2+[f ( x)- f (t )+ g(t )]
2,
s2( x)=( x -t -1)
2+[f ( x)- f (t )- g(t )]
2.
由条件，对任意t∈R，存在P(x0，f(x0))，
使得x0同时是s1(x)和s2(x)的最小值点.
于是，对任意x∈R，{
s1( x0)≤s1( x),
s2( x0)≤s2( x),
即{
( x0-t +1)
2+[f ( x0)- f (t )+ g(t )]
2≤( x -t +1)
2+[f ( x)- f (t )+ g(t )]
2,
( x0-t -1)
2+[f ( x0)- f (t )- g(t )]
2≤( x -t -1)
2+[f ( x)- f (t )- g(t )]
2,
特别地，当x=t 时，
{
( x0-t +1)
2+[f ( x0)- f (t )+ g(t )]
2≤1+[g(t )]
2,
( x0-t -1)
2+[f ( x0)- f (t )- g(t )]
2≤1+[g(t )]
2,
两式相加，化简得(x0-t)2+[f(x0)-f(t)]2≤0.
所以x0=t.
另一方面，求导得
{
s' 1( x)=2( x -t +1)+2[f ( x)- f (t )+ g(t )]f '( x),
s' 2( x)=2( x -t -1)+2[f ( x)- f (t )- g(t )]f '( x).
因为si(x)(i=1，2)的最小值点也是极小值点，
所以s'1(x0)=0，s'2(x0)=0，
即{
( x0-t +1)+[f ( x0)- f (t )+ g(t )]f '( x0)=0,
( x0-t -1)+[f ( x0)- f (t )- g(t )]f '( x0)=0,
两式相减，得g(t)f'(x0)=-1.
代入x0=t，并由g(t)>0，
得f'(t)=- 1
g(t )<0，t∈R.
所以f(x)在R 上单调递减.
