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2025 年高考上海卷数学真题
一、填空题
1.(改编)已知全集U={x∈R|2≤x≤5}，集合A={x∈R|2≤x<4}，则∁UA= .
答案 {x∈R|4≤x≤5}(或[4，5])
解析 根据补集的含义知∁UA={x∈R|4≤x≤5}.
2.不等式x -1
x -3<0 的解集为 .
答案 (1，3)
解析 原不等式可转化为(x-1)(x-3)<0，解得1<x<3，则其解集为(1，3).
3.已知等差数列{an}的首项a1=-3，公差d=2，则该数列的前6 项和为 .
答案 12
解析 根据等差数列的求和公式可得，S6=6a1+6×5
2
d=12.
4.在二项式(2x-1)5的展开式中，x3的系数为 .
答案 80
解析 二项展开式的通项为Tk+1=C5
k(2x)5-k·(-1)k=(-1)k25-kC5
kx5-k，
令5-k=3，得k=2，可得x3的系数为(-1)2×25-2C5
2=80.
5.函数y=cos x 在[- π
2 ，π
4]上的值域为 .
答案 [0，1]
解析 由函数y=f(x)=cos x 在[- π
2 ，0]上单调递增，在(0，π
4]上单调递减，
且f(- π
2)=0，f(0)=1，f(
π
4)=√2
2 ，
故函数y=cos x 在[- π
2 ，π
4]上的值域为[0，1].
6.(改编)已知随机变量X 的分布列为
X
5
6
7
P
0.2
0.3
0.5
则期望E(X)= .
答案 6.3
解析 由题设有E(X)=5×0.2+6×0.3+7×0.5=1+1.8+3.5=6.3.
7.如图，在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，BD=4√2，DB1=9，则该正四棱柱的体积为 .
答案 112
解析 因为BD=4√2且四边形ABCD 为正方形，故BA=4，
而DB1=9，故BB1
2+BD2=81，故BB1=7，
故所求体积为7×4×4=112.
8.设a，b>0，a+1
b=1，则b+1
a的最小值为 .
答案 4
解析 易知b+1
a=(b+ 1
a)(a+ 1
b)=ab+ 1
ab+2≥2√ab· 1
ab+2=4，
当且仅当ab=1，即a=1
2，b=2 时取等号，此时b+1
a取得最小值4.
9.4 个家长和2 个儿童去爬山，6 个人需要排成一条队列，要求队列的头和尾均是家长，则不同的排列个数
有 种.
答案 288
解析 先选两位家长排在队列的头和尾有A4
2=12(种)排法，再排队列中的四人有A4
4=24(种)排法，
故有12×24=288(种)排列.
10.已知复数z 满足z2=z
2，|z|≤1，则|z-2-3i|的最小值是 .
答案 2√2
解析 设z=a+bi(a，b∈R)，所以z=a-bi，
由题意可知z2=a2+2abi-b2=z
2=a2-2abi-b2，则ab=0，
又|z|=√a
2+b
2≤1，由复数的几何意义知z 在复平面内对应的点Z(a，b)在单位圆内部(含边界)的坐标轴上运
动，如图所示即点Z 在线段AB，CD 上运动，
设E(2，3)，则|z-2-3i|=|ZE|，由图象可知|BE|=√10>|CE|=2√2，
所以|ZE|min=2√2，即|z-2-3i|的最小值为2√2.
11.小申同学观察发现，生活中有些时候影子可以完全投射在斜面上.某斜面上有两根长为1 米的垂直于水
平面放置的杆子，与斜面的接触点分别为A，B，它们在阳光的照射下呈现出影子，阳光可视为平行光，
其中一根杆子的影子在水平面上，长度为0.4 米；另一根杆子的影子完全在斜面上，长度为0.45 米.则斜面
的底角θ= .(结果用角度制表示，精确到0.01°)
答案 12.58°
解析 如图分别为A，B 两处杆子及其影子的几何示意图，在A 处，tan x= 1
0.4 =2.5，
在B 处满足tan∠CED=2.5(其中ED∥水平面，CE 是射过B 处杆子最高点的光线，光线交斜面于点E)，
故设BD=y，则ED=1+ y
2.5 ，
由勾股定理，y2+(
1+ y
2.5 )
2
=0.452，
解得y≈0.098(负值舍去)，
于是θ=arcsin 0.098
0.45 ≈12.58°.
12.已知f(x)={
1, x>0,
0, x =0,
-1, x<0,
a，b，c 是平面内三个不同的单位向量.若f(a·b)+f(b·c)+f(c·a)=0，则|a+b+c|的取值范
围是 .
答案 (1，√5)
解析 若f(a·b)=f(b·c)=f(c·a)=0，则a·b=b·c=c·a=0，
又三个向量均为平面内的单位向量，故向量a，b，c 两两垂直，显然不成立；
故{f(a·b)，f(b·c)，f(c·a)}={-1，0，1}.
不妨设{
f (a·b)=1,
f (b·c)=0,
f (c·a)=-1,
则a·b>0，b·c=0，c·a<0，
不妨设b=(1，0)，c=(0，1)，a=(cos θ，sin θ)，θ∈[0，2π)，
则{
a·b=cosθ>0,
c·a=sinθ<0, 则θ∈(
3 π
2 ，2π)，
则|a+b+c|=|(1+cos θ，1+sin θ)|=√(1+cosθ)
2+(1+sinθ)
2
=√3+2cosθ+2sinθ=√
3+2√2sin(θ+ π
4)，
由θ∈(
3 π
2 ，2π)，θ+π
4 ∈(
7 π
4 ，9 π
4 )，
则sin(θ+ π
4)∈(- √2
2 ，√2
2 )，2√2sin(θ+ π
4)∈(-2，2)，
故|a+b+c|的取值范围是(1，√5).
二、单选题
13.已知事件A，B 相互独立，事件A 发生的概率为P(A)=1
2，事件B 发生的概率为P(B)=1
2，则事件A∩B 发
生的概率P(A∩B)为( )
A.1
8
B.1
4
C.1
2
D.0
答案 B
解析 因为A，B 相互独立，故P(A∩B)=P(A)P(B)=1
2×1
2=1
4 .
14.设a>0，s∈R.下列各项中，能推出as>a 的一项是( )
A.a>1，且s>0
B.a>1，且s<0
C.0<a<1，且s>0
D.0<a<1，且s<0
答案 D
解析 ∵a>0，as>a，∴as-1>1=a0，
当a∈(0，1)时，y=ax在定义域上单调递减，
此时若s-1<0 即s<1，则一定有as-1>1=a0成立，故D 正确，C 错误；
当a∈(1，+∞)时，y=ax在定义域上单调递增，要满足as-1>1=a0，需s-1>0 即s>1，故A，B 错误.
15.已知A(0，1)，B(1，2)，C 在Γ：x2-y2=1(x≥1，y≥0)上，则△ABC 的面积( )
A.有最大值，但没有最小值
B.没有最大值，但有最小值
C.既有最大值，也有最小值
D.既没有最大值，也没有最小值
答案 A
解析 设点C 为(a，b)(a≥1，b≥0)，则a2-b2=1，则a=√b
2+1，
kAB=2-1
1-0=1，直线AB 的方程为y-1=x，即x-y+1=0，
根据点到直线的距离公式，点C 到直线AB 的距离即△ABC 边AB 上的高，
为|a -b+1|
√2
=|√b
2+1-b+1|
√2
=√b
2+1-b+1
√2
，
设f(b)=√b
2+1-b=
1
√b
2+1+b
，
由于b≥0，显然f(b)关于b 单调递减，f(b)max=f(0)，无最小值，
即△ABC 中，边AB 上的高有最大值，无最小值，
又边AB 的长一定，故△ABC 的面积有最大值，无最小值.
16.已知数列{an}，{bn}，{cn}的通项公式分别为an=10n-9，bn=2n，cn=λan+(1-λ)bn.若对任意的λ∈[0，1]，
an，bn，cn的值均能构成三角形，则满足条件的正整数n 有( )
A.4 个
B.3 个
C.1 个
D.无数个
答案 B
解析 由题意an，bn，cn>0，不妨设点A(n，an)，B(n，bn)，C(n，cn)，三点均在第一象限内，
由cn=λan+(1-λ)bn可知，⃗BC=λ⃗BA，λ∈[0，1]，
故点C 恒在线段AB 上，则有min{an，bn}≤cn≤max{an，bn}<an+bn.
即对任意的λ∈[0，1]，cn<an+bn恒成立，
令10x-9=2x，构造函数f(x)=2x-10x+9，x>0，
则f'(x)=2xln 2-10，由f'(x)单调递增，
又f'(3)<0，f'(4)>0，存在x0∈(3，4)，使f'(x0)=0，
即当0<x<x0时，f'(x)<0，f(x)单调递减；
当x>x0时，f'(x)>0，f(x)单调递增；
故f(x)至多2 个零点，
又由f(1)>0，f(2)<0，f(5)<0，f(6)>0，
可知f(x)存在2 个零点，不妨设为x1，x2(x1<x2)，且x1∈(1，2)，x2∈(5，6).
①若an≤bn，即10n-9≤2n时，此时n=1 或n≥6.
则an≤cn≤bn，可知bn+cn>an成立，
要使an，bn，cn的值均能构成三角形，
所以an+cn>bn恒成立，故bn<2an，
所以有{
10n-9≤2
n,
2
n<2(10n-9),解得n=6；
②若an≥bn，即10n-9≥2n时，此时n=2，3，4，5.
则an≥cn≥bn，可知an+cn>bn成立，
要使an，bn，cn的值均能构成三角形，
所以bn+cn>an恒成立，故an<2bn，
所以有{
10n-9≥2
n,
10n-9<2
n+1,解得n=4 或n=5，
综上可知，满足条件的正整数n 有3 个.
三、解答题
17.2024 年巴黎奥运会，中国获得了男子4×100 米混合泳接力金牌.以下是历届奥运会男子4×100 米混合
泳接力项目冠军成绩记录(单位：秒)，数据按照升序排列.
206.78
207.46
207.95
209.34
209.35
210.68
213.73
214.84
216.93
216.93
(1)求这组数据的极差与中位数；
(2)从这10 个数据中任选3 个，求恰有2 个数据在211 以上的概率；
(3)若比赛成绩y 关于年份x 的经验回归方程为y
^ =-0.311x+b
^，年份x 的平均数为2 006，预测2028 年冠军队
的成绩(精确到0.01 秒).
解 (1)由题意，该组数据的最大值为216.93，最小值为206.78，
则极差为216.93-206.78=10.15；
中间两数据为209.35 与210.68，
则中位数为209.35+210.68
2
=210.015.
故极差为10.15，中位数为210.015.
(2)由题意，数据共10 个，在211 以上的数据共有4 个，
设事件A 为“恰有2 个数据在211 以上”，则P(A)=C4
2·C6
1
C10
3
= 3
10，
故恰有2 个数据在211 以上的概率为3
10.
(3)由题意，比赛成绩的平均数为
1
10×(206.78+207.46+207.95+209.34+209.35+210.68+213.73+214.84+216.93+216.93)=211.399，
由y
^ =-0.311x+b
^过点(2 006，211.399)，
则b
^=211.399+0.311×2 006=835.265，
故经验回归方程为y
^ =-0.311x+835.265.
当x=2 028 时，y
^ =-0.311×2 028+835.265=204.557≈204.56.
故预测2 028 年冠军队的成绩为204.56 秒.
18.如图，P 是圆锥的顶点，O 是底面圆心，AB 是底面直径，且AB=2.
(1)若直线PA 与圆锥底面所成的角为π
3 ，求圆锥的侧面积；
(2)已知Q 是母线PA 的中点，点C，D 在底面圆周上，且弧AC 的长为π
3 ，CD∥AB.设点M 在线段OC 上，
证明：直线QM∥平面PBD.
(1)解 由题知，∠PAB=π
3 ，即轴截面△ABP 是等边三角形，故PA=AB=2，
底面周长为2π×1=2π，则圆锥的侧面积为1
2×2×2π=2π.
(2)证明 如图所示，连接QC，QO，OD，由题知AQ=QP，AO=OB，则根据中位线性质可知，QO∥PB，
又QO⊄平面PBD，PB⊂平面PBD，则QO∥平面PBD，
由于´AC=π
3 ，底面圆的半径为1，则∠AOC=π
3 ，又CD∥AB，则∠OCD=π
3 ，
又OC=OD，则△OCD 为等边三角形，则CD=1，
于是CD∥BO 且CD=BO，则四边形OBDC 是平行四边形，故OC∥BD，
又OC⊄平面PBD，BD⊂平面PBD，故OC∥平面PBD.
又OC∩QO=O，OC，QO⊂平面QOC，
于是平面QOC∥平面PBD，
又M∈OC，则QM⊂平面QOC，则直线QM∥平面PBD.
19.已知f(x)=x2-(m+2)x+mln x，m∈R.
(1)若f(1)=0，求不等式f(x)≤x2-1 的解集；
(2)若函数y=f(x)满足在(0，+∞)上存在极大值，求m 的取值范围.
解 (1)因为f(1)=0，则1-m-2+0=0，故m=-1，则f(x)=x2-x-ln x，x>0，f(x)≤x2-1 即x+ln x≥1，
设s(x)=x+ln x，x>0，则s'(x)=1+1
x >0，故s(x)在(0，+∞)上为增函数，
又s(1)=1，所以x+ln x≥1 即为s(x)≥s(1)，故x≥1，
故原不等式的解集为[1，+∞).
(2)f(x)在(0，+∞)有极大值即为有极大值点.
f'(x)=2x-(m+2)+m
x =2 x
2-(m+2)x +m
x
=(2 x -m)( x -1)
x
，x>0，
若m≤0，则当x∈(0，1)时，f'(x)<0，当x∈(1，+∞)时，f'(x)>0，
故x=1 为f(x)的极小值点，无极大值点，故舍去；
若0<m
2 <1，即0<m<2，则当x∈(
m
2 ，1)时，f'(x)<0，
当x∈(0，m
2)∪(1，+∞)时，f'(x)>0，
故x=m
2 为f(x)的极大值点，符合题设要求；
若m=2，则当x∈(0，+∞)时，f'(x)≥0，f(x)无极值点，舍去；
若m
2 >1，即m>2，则当x∈(1，m
2)时，f'(x)<0，
当x∈(0，1)∪(
m
2 ，+ ∞)时，f'(x)>0，
故x=1 为f(x)的极大值点，符合题设要求.
综上，m>0 且m≠2，即m 的取值范围为(0，2)∪(2，+∞).
20.已知椭圆Γ：x
2
a
2+ y
2
5 =1(a>√5)，M(0，m)(m>0)，A 是Γ 的右顶点.
(1)若Γ 的一个焦点为(2，0)，求离心率e；
(2)若a=4，且Γ 上存在一点P，满足⃗PA=2⃗MP，求m；
(3)已知AM 的中垂线l 的斜率为2，l 与Γ 交于C，D 两点，∠CMD 为钝角，求a 的取值范围.
解 (1)由椭圆Γ：x
2
a
2+ y
2
5 =1(a>√5)，可知b2=5，
由右焦点为(2，0)，可知c=2，则a=√5+2
2=3，
故离心率e=c
a=2
3.
(2)由题意A(4，0)，M(0，m)(m>0)，设P(xp，yp)，
由⃗PA=2⃗MP得，{
4 - x p=2 x p,
- y p=2 y p-2m,
解得P(
4
3 ，2m
3 )，代入x
2
16+ y
2
5 =1，
得1
9+4 m
2
45 =1，又m>0，解得m=√10.
(3)由线段AM 的中垂线l 的斜率为2，可知直线AM 的斜率为-1
2，
则m-0
0-a =-1
2，解得m=a
2，
由A(a，0)，M(0，a
2)得AM 的中点坐标为(
a
2 ，a
4)，
故直线l：y=2x-3
4 a，显然直线l 过椭圆内的点(
3
8 a，0)，
故直线l 与椭圆恒有两个不同的交点，
设C(x1，y1)，D(x2，y2)，
由{
y =2 x - 3
4 a,
x
2
a
2 + y
2
5 =1,
消去y 得(4a2+5)x2-3a3x+ 9
16a4-5a2=0，
由根与系数的关系得x1+x2= 3a
3
4 a
2+5
，x1x2=
9
16 a
4-5a
2
4 a
2+5
，
因为∠CMD 为钝角，则⃗MC·⃗MD<0，且⃗MC(x1，y1- a
2)，⃗MD=(x2，y2- a
2)，
则有x1x2+( y1- a
2)( y2- a
2)<0，
所以x1x2+(2 x1- 5
4 a)(2 x2- 5
4 a)=5x1x2-5
2a(x1+x2)+25
16a2<0，
即5(
9
16 a
4-5a
2)-5
2a×3a3+25
16a2(4a2+5)<0，解得a2<11，
又a>√5，
故√5<a<√11，即a 的取值范围是(√5，√11).
21.已知函数y=f(x)的定义域为R.对于正实数a，定义集合Ma={x|f(x+a)=f(x)}.
(1)若f(x)=sin x，判断π
3 是否是Mπ中的元素，请说明理由；
(2)若f(x)={
x +2, x<0,
√x , x ≥0, Ma≠⌀，求a 的取值范围；
(3)若y=f(x)是偶函数，当x∈(0，1]时，f(x)=1-x，且对任意a∈(0，2)，均有Ma⊆M2.写出y=f(x)，x∈(1，2)
的解析式，并证明：对任意实数c，函数y=f(x)-c 在[-3，3]上至多有9 个零点.
解 (1)f (
π
3)=sin π
3 =√3
2 ，f (
π
3 + π)=-sin π
3 =-√3
2 ，则π
3 不是Mπ中的元素.
(2)方法一 因为Ma≠⌀，则存在实数x0使得f(x0+a)=f(x0)，且a>0，
当x<0 时，f(x)=x+2，其在(-∞，0)上单调递增，
当x≥0 时，f(x)=√x，其在[0，+∞)上也单调递增，
则x0<0≤x0+a，则x0+2=√x0+a，
令x+2=0，解得x=-2，则-2≤x0<0，
则a=(√x0+a)
2-x0=( x0+2)
2-x0=(x0+ 3
2)
2
+7
4 ，所以a 的取值范围为[
7
4 ，4).
方法二 作出该函数图象如图所示，则由题意知直线y=t 与该函数有两个交点，
由图知0≤t<2，假设交点分别为A(m，t)(m≥0)，B(n，t)(n<0)，
联立方程组{√m=t ,
n+2=t ,得a=|AB|=m-n=t2-(t-2)=(t - 1
2)
2
+7
4 ，
所以a 的取值范围为[
7
4 ，4).
(3)对任意x0∈(1，2)，x0-2∈(-1，0)，因为f(x)是偶函数，
则f(x0-2)=f(2-x0)，而2-x0-(x0-2)=4-2x0∈(0，2)，
所以x0-2∈M 4 -2 x0⊆M2，
所以f(x0)=f(x0-2)=f(2-x0)，因为x0∈(1，2)，则2-x0∈(0，1)，
所以f(x0)=f(2-x0)=1-(2-x0)=x0-1，所以f(x)=x-1，x∈(1，2)，
所以当s∈(0，1)时，1-s∈(0，1)，1+s∈(1，2)，则f(1-s)=1-(1-s)=s，f(1+s)=(1+s)-1=s，
则f(1-s)=f(1+s)，
而1+s-(1-s)=2s，(3-s)-(1-s)=2，3-s∈(2，3)，
则1-s∈M2s⊆M2，则f(1-s)=f(3-s)，
所以当x∈(2，3)时，f(x)=f(x-2)=1-(x-2)=3-x，而f(x)为偶函数，画出函数图象如图所示，
其中f(-3)=f(3)，f(-2)=f(2)=f(0)，但其对应的y 值均未知.
首先说明f(-3)=n∉(0，1)，
若f(-3)=n∈(0，1)，则-3+n∈(-3，-2)，易知此时f(x)=x+3，x∈(-3，-2)，
则f(-3+n)=n=f(-3)，所以-3∈Mn⊆M2，而当x∈[-1，0)时，f(x)=x+1，
所以f(-3)=f(-1)=0，与f(-3)=n∈(0，1)矛盾，所以f(-3)∉(0，1)，即f(-3)=f(3)∉(0，1).
令y=f(x)-c=0，则y=f(x)=c，
当c=0 时，即使让f(-3)=f(3)=f(-2)=f(2)=f(0)=0，此时最多7 个零点；
当c≥1 时，若f(-2)=f(2)=f(0)=f(-3)=f(3)=c，此时有5 个零点，
故此时最多5 个零点；
当c<0 时，若f(-2)=f(2)=f(0)=f(-3)=f(3)=c，此时有5 个零点，
故此时最多5 个零点；
当0<c<1 时，若f(-2)=f(2)=f(0)=c，此时有3 个零点，
又f(-3)=f(3)∉(0，1)，
则最多在(-3，-2)，(-2，-1)，(-1，0)，(0，1)，(1，2)，(2，3)之间取得6 个零点，
以及在x=-2，0，2 处成为零点，故不超过9 个零点.
综上，对任意实数c，函数y=f(x)-c 在[-3，3]上至多有9 个零点.
