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7.3 课后训练
1.已知三棱锥
的顶点
在底面的射影
与
的垂心重合，且
．
若三棱锥
的外接球半径为
，则
的最大值为（ ）
A．6
B．8
C．10
D．12
2.(莱西市期末)已知球
是正三棱锥
(底面是正三角形，顶点在底面的射影为底面
中心)的外接球，
，
，点
在线段
上，且
．过点
作球
的
截面，则所得截面面积的最小值是（ ）
A．
B．
C．
D．
3.已知平面图形
，
为矩形，
，
是以
为顶点的等腰直角三角
形，如图所示，将
沿着
翻折至△
，当四棱锥
体积的最大值为
，此时四棱锥
外接球的表面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
4.（25·云南师大附中高三月考卷（三）T14）在平面四边形
中，
，
是边长为6 的正三角形．将该四边形沿对角线
折成一个大小为
，
的二面
角
，则四面体
的外接球半径的取值范围为 ．
5.(2026 届江西省部分学校9 月调研·T14)正方体
棱长为2，E，F 分别是
棱
，
的中点，M 是正方体的表面上一动点，当四面体
的体积最大时，四
面体
的外接球的表面积为______．
（多选）6．（2024 春•电白区校级月考）我国古代数学著作《九章算术》中记载：斜解立
方，得两堑堵．其意思是：一个长方体沿对角面一分为二，得到两个一模一样的堑堵．如
图，在长方体
中，
，
，
，将长方体
沿平面
一分为二，得到堑堵
，下列结论正确的序号
为（ ）
A．堑堵
的体积为30
B．
与平面
所成角的正弦值为
C．堑堵
外接球的表面积为
D．堑堵
没有内切球
2．（2026•安徽模拟）已知某圆台的上、下底面的半径分别为4 和2，且该圆台有内切球
（球与圆台的侧面及两个底面均相切），在圆台上底面圆
的圆周上取一点
，在圆台下
底面圆
的圆周上取一点
，且
，则直线
与平面
所成角的正弦值为
（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2022 春•重庆期末）正八面体是每个面都是正三角形的八面体．如图所示，若此正八
面体的棱长为2，则它的内切球的表面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
9．如图，正四面体
的棱长为
，在正四面体中放入
个小球，第一个小球
为正四
面体的内切球，半径为
，从第二个小球开始，小球
放在小球
的上方并与之
相切，且与正四面体的三个面相切，以此类推，设小球
的半径为
，则小球
的半径
为
．
【题3】已知正三棱柱的高等于1，一个球与该正三棱柱的所有棱都相切，则该球的体积为
A．
B．
C．
D．
【训练1】已知某棱长为
的正四面体的各条棱都与同一球面相切，则该球与此正四面
体的体积之比为（ ）
A．
B．
C．
D．
（多选）4．（2026•眉山模拟）如图，在正方体
中，点
在线段
上运
动，则下列结论正确的是（ ）
A．
平面
B．不存在点
，使得平面
平面
C．直线
与平面
所成角的正弦值的最大值为
D．若正方体棱长为1，则以
为球心，
为半径的球体被平面
所截图形面积的
最小值为
（多选）5．（2026•高新区校级二模）如图，在长方体
中，
，
，点
是棱
上的动点（不含端点），过点
，
，
作长方体的截面，并将长
方体分成上下两部分，体积分别为
，
，则（ ）
A．截面是平行四边形
B．若
，则
C．存在点
，使得截面为长方形
D．截面的面积存在最小值
7．（2025 秋•济宁月考）在棱长为2 的正方体
中，点
在正方形
及其内部上运动，若点
到
的距离是到
距离的两倍，则点
的轨迹长度为
．
4．（2024•湖北期末）若四面体的三组对棱分别相等，即
，
，
，
给出下列结论：
①四面体每组对棱相互垂直；
②四面体每个面的面积相等；
③连接四面体每组对棱中点的连线相交于一点；
④从四面体每个顶点出发的三条棱两两夹角之和大于
而小于
；
其中正确结论的序号是
．（写出所有正确结论的序号）
8．（2022•苏州模拟）在《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”，
已知某“堑堵”的底面是斜边长为2 的等腰直角三角形，高为2，则该“堑堵”的表面积
为（ ）
A．
B．
C．
D．
