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天水市2026 年初中学业水平考试数学试卷
考生注意：本试卷满分为120 分，考试时间为120 分钟．所有试题均在答题卡上作答，否则
无效．
一、选择题：本大题共10 小题，每小题3 分，共30 分，每小题只有一个正确选项．
1. 2026 的绝对值是（ ）
A. 2026
B.
2026
−
C.
1
2026
D.
1
2026
−
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了绝对值，熟练掌握绝对值的性质是解题关键．根据正数的绝对值等于它本身解答即可
得．
【详解】解：∵2026
0
，
∴2026
2026
=
．
故选：A．
2. 某几何体的三视图如图所示，该几何体为（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据三视图的特征，主视图和左视图确定几何体的侧面形状，俯视图确定底面形状，从而判断几何
体的名称．
【详解】解∶∵主视图和左视图都是三角形，
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∴该几何体是锥体，
∵俯视图是圆且圆心处有一点，
∴该几何体是圆锥．
观察选项，A 是圆柱，B 是三棱柱，C 是圆锥，D 是球，故C 选项符合题意．
3. 截至2026 年初，甘肃省光热发电装机容量已达620000 千瓦，其规模居全国首位，为推动我国新能源
高质量的发展做出了贡献．数据620000 用科学记数法表示为（ ）
A.
6
0.62 10
B.
5
6.2 10
C.
4
6.2 10
D.
4
62.0 10
【答案】B
【解析】
【详解】解：620000 用科学记数法表示为
5
6.2 10
．
4. 计算：
2
2
b
a
b
a
a
+
−
= （ ）
A. 2
b
a
B. 4
2
b
a
a
−
C. 1
2
D.
1
2
−
【答案】D
【解析】
【详解】解：
(
)
2
2
2
2
2
1
2
2
2
2
2
2
b
a
b
b
a
b
b
a
b
a
a
a
a
a
a
a
−
+
+
+
−
−
=
−
=
=
= −
．
5. 如图，直线a ，b 及木条c 在同一平面内，将木条c 绕点O顺时针旋转到与直线a 垂直时，其旋转角的
最小度数是（ ）
A. 60
B. 50
C. 40
D. 30
【答案】C
【解析】
【分析】如解图，根据三角形的外角的性质，得到1
50
=
，当木条c 绕点O顺时针旋转到与直线a 垂直
时，
1
变为90，得到最小旋转角度为90
50
40
−
=
.
【详解】解：由图可知，100
50
1
=
+
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∴1
50
=
，
当木条c 绕点O顺时针旋转到与直线a 垂直时，1
变为90，
故最小旋转角度为90
50
40
−
=
.
6. 如图，四边形ABCD与四边形A B C D
是以原点O为位似中心的位似图形．若
(
)
2,0
B
，
(
)
4,0
B
，
5
A B
=
，则AB =（ ）
A. 3
B. 2 5
C. 4
D. 3 5
【答案】B
【解析】
【分析】根据对应点坐标求出位似比，再利用对应边之比等于位似比求解即可．
【详解】解：∵
(
)
2,0
B
，
(
)
4,0
B
，
∴
2
OB=
，
4
OB =
，
∵四边形ABCD与四边形A B C D
是以原点O为位似中心的位似图形，
∴A B
OB
AB
OB
=
，即
5
2
4
AB =
，
∴
2 5
AB =
．
7. 随着人工智能的快速发展，越来越多的学生使用I
A 辅助学习．小凯记录了自己连续八周每周使用I
A
辅助学习的时间（单位：分钟），并绘制了如图所示的折线统计图．根据统计图，下列关于小凯这八周使
用I
A 辅助学习时间的描述，错误的是（ ）
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A. 众数是127 分钟
B. 平均数是133 分钟
C. 中位数是132 分钟
D. 总时间是1064 分钟
【答案】A
【解析】
【分析】从折线统计图中读取八周的数据，分别计算众数、平均数、中位数及总时间，逐一判断选项即可.
【详解】解：由图可知，这八周的数据分别为：127,123,132,139,127,132,152,132
∵ 数据132出现了3次，次数最多，
∴ 众数是132 分钟，故A 选项描述错误；
∵ 总时间为127 123 132 139 127 132 152 132
1064
+
+
+
+
+
+
+
=
（分钟），故 D 选项描述正确；
∵ 平均数为1064
133
8
=
（分钟），
∴ B 选项描述正确；
将这组数据从小到大排列为：123,127,127,132,132,132,139,152，
∵ 处于中间位置的两个数都是132，
∴ 中位数是132 132
132
2
+
=
（分钟），故C 选项描述正确．
8. 如图，ABC
内接于
O
，CD是
O
的直径，AB 与CD交于点P ．若
60
ABC
=
，
50
ACB
=
，则
BPC
= （ ）
A. 95
B. 100
C. 105
D. 110
【答案】B
【解析】
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【分析】根据CD是直径得到
90
CBD
=
，因此根据角的和差求出
ABD
，根据三角形的内角和定理
求出
A
，即可得到
D
，再根据三角形外角的性质即可求解．
【详解】解：∵CD是直径，
∴
90
CBD
=
，
∵
60
ABC
=
，
∴
90
60
30
ABD
CBD
ABC
−
−
=
=
=
．
∵
60
ABC
=
，
50
ACB
=
，
∴
180
70
A
ABC
ACB
−
−
=
=
，
∴
70
D
A
= =
，
∴
70
30
100
BPC
D
ABD
=
+
=
+
=
．
9. 甘肃省是“一带一路”沿线上重要的节点省份，特色农产品正借势加速走向世界．兰州海关数据显示，
2026 年第一季度甘肃省农产品出口呈增长趋势，其中天水花牛苹果汁和陇南黄芪出口总额为3.4亿元，苹
果汁出口额比黄芪出口额的2 倍少0.4 亿元．设苹果汁和黄芪的出口额分别为x 亿元、y 亿元，则可列二
元一次方程组为（ ）
A.
3.4
2
0.4
x
y
x
y
+
=
=
+
B.
3.4
2
0.4
x
y
y
x
+
=
=
+
C.
3.4
2
0.4
x
y
y
x−
+
=
=
D.
3.4
2
0.4
x
y
x
y−
+
=
=
【答案】D
【解析】
【分析】解题关键是从题干中提取两个等量关系，分别列出方程后可得对应选项．
【详解】解：∵苹果汁出口额为x 亿元，黄芪出口额为y 亿元，两种产品出口总额为3.4亿元，
∴
3.4
x
y
+
=
，
∵ 苹果汁出口额比黄芪出口额的2 倍少0.4 亿元，
∴
2
0.4
x
y
=
−
，
因此可得方程组
3.4
2
0.4
x
y
x
y
+
=
=
−
，符合的选项为D ．
10. 如图1，在菱形ABCD中，对角线AC 与BD交于点O，动点M 从点O出发，沿OC
CD
→
匀速运
动至点D 时停止．设点M 的运动路程为x ，AM 的长度为y ，y 与x 的函数图象如图2 所示，在点M 的
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运动过程中，当AM
CD
⊥
时，AM 的长度是（ ）
A. 3 5
B. 6
C. 4 2
D. 3 3
【答案】D
【解析】
【分析】根据函数图象获取AO 的长度以及OC
CD
+
的值，结合菱形性质求出边长CD和对角线AC ，判
定ACD
的形状，最后利用三角函数或勾股定理求出CD边上的高AM ．
【详解】解：由图2 可知，当
0
x =
时，
3
y =
，此时点M 在点O 处，
∴
3
AO =
，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC
BD
⊥
，
3
CO
AO
=
=
，AD
CD
=
．
由图2 可知，当
9
x =
时，点M 到达点D，
此时运动路程为
9
OC
CD
+
=
，
∴
9
9 3
6
CD
OC
−
=
= −=
，
∴
6
AD
CD
=
=
．
∵
3 3
6
AC
AO CO
=
+
= + =
，
∴AC
AD
CD
=
=
，即ACD
是等边三角形．
当AM
CD
⊥
时，AM 为等边ACD
的高，
∴
3
sin60
6
3 3
2
AM
AD
=
=
=
．
二、填空题：本大题共6 小题，每小题3 分，共18 分．
11. 因式分解：
2
2
5
10
a b
ab
+
= ________________．
【答案】
(
)
5
2
ab a
b
+
【解析】
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【详解】解：
(
)
2
2
5
10
5
2
a b
ab
ab a
b
+
=
+
．
12. 若代数式
1
x
x
+
在实数范围内有意义，则实数x 的值可以是________________．（请写出一个
．．符合条
件的值．即可）
【答案】1（答案不唯一）
【解析】
【分析】根据二次根式有意义的条件和分式有意义的条件，求出x 的取值范围，在取值范围内任取一个符
合条件的值即可．
【详解】解：∵代数式
1
x
x
+
在实数范围内有意义，
∴
1
0
0
x
x
+
解得：
1
x − 且
0
x
，
取值范围内x 的值可以是
1
x =
（答案不唯一）．
13. 已知m 是一元二次方程
2
2
3
0
x
x−
+
=
的一个根，则代数式
2
2
4
m
m
+
的值是________________．
【答案】6
【解析】
【分析】根据一元二次方程根的定义得到
2
2
3
m
m
+
=
，再变形所求代数式代入计算即可．
【详解】解：∵m 是一元二次方程
2
2
3
0
x
x−
+
=
的一个根，
∴
2
2
3
0
m
m−
+
=
，
∴
2
2
3
m
m
+
=
，
∴
(
)
2
2
2
4
2
2
2 3
6
m
m
m
m
+
=
+
=
=
．
14. 如图，矩形纸片ABCD的边BC 上有一点E ，将纸片沿AE 折叠，点B 落在点B．若
60
CEB
=
，
3cm
AB =
，则点B到AD的距离等于______cm ．
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【答案】3
2
【解析】
【分析】作BF
AD
⊥
于点F，先根据折叠性质和角度关系求出
60
BEA
B EA
=
=
，再利用直角三角
形中30角所对边等于斜边一半，求出BF
的长度
【详解】解：作BF
AD
⊥
于点F，
90
B AF
=
∴
，
由折叠得
180
60
2
CEB
BEA
B EA
−
=
=
=
，
BAE
B AE
=
，
3cm
AB
AB
=
=
，
又四边形ABCD为矩形，
90
B
BAD
=
=
，
30
BAE
B AE
=
=
，
2
30
B AF
BAD
BAE
=
−
=
，
1
3 cm
2
2
B F
AB =
=
．
15. 求圆的面积是历史悠久的数学课题之一，在很多古代数学文献中都有记载，如公元3世纪，中国数学
家刘徽利用割圆术证明了圆的面积等于半周长与半径之积；17 世纪，德国数学家开普勒也利用无穷分割
圆的方法，将圆转化为直角边长分别等于圆周长和半径的直角三角形，如图所示，将
O
的面积转化为
Rt ODC
的面积，其中
OMN
AOB
S
S
=
扇形
．在Rt ODC
中，CD等于
O
周长，OD 等于
O
半径，若
4π
CD =
，
2 π
9
MN =
，则扇形AOB的圆心角等于________________度．
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【答案】
20
【解析】
【分析】设
O
的半径为r ，
AOB
n
= ，根据CD的长求出圆的半径，根据
OMN
AOB
S
S
=
扇形
，列出方
程进行求解即可.
【详解】解：设
O
的半径为r ，
AOB
n
= ，
∵CD等于
O
周长，
4π
CD =
，
∴4π
2πr
=
，
∴
2
r =
，
∴
2
OD =
，
由题意，OD
CD
⊥
，
又∵
OMN
AOB
S
S
=
扇形
，
∴
2
π
1
2
2
π 2
360
2
9
n
=
，
∴
20
n =
，即
20
AOB
=
．
16. 如图1，据生物学资料介绍，射水鱼会从口中射出一股水流击中昆虫达到捕食目的，其射出的水流可以
看作一条抛物线的一部分（不考虑空气阻力）．图2 是一次捕食中一条射水鱼发现一只昆虫后射出水流的图
象，其中水流从点O 射出，水流运动的高度
(
)
cm
y
与水平距离
(
)
cm
x
近似满足函数关系
(
)
2
1
4
0
10
y
x
x x
= −
+
．若这只昆虫在点
(
)
20,50
P
，则这次射出的水流______击中昆虫．（填“能”或“不
能”）
【答案】不能
【解析】
【分析】本题主要考查了二次函数的应用．根据题意，把
20
x =
代入
(
)
2
1
4
0
10
y
x
x x
= −
+
，把结果与50 比
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较即可．
【详解】解：把
20
x =
代入
2
1
4
10
y
x
x
−
=
+
，得
2
1
20
4 20
40
10
y
−
=
+
=
，
40
50
∵
，
不能击中昆虫．
三、解答题：本大题共6 小题，共32 分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算
步骤．
17. 计算：
4
14
18
7
+
．
【答案】
5 2
【解析】
【详解】解：原式
8
18
=
+
2 2
3 2
=
+
5 2
=
．
18. 解不等式组：
7
4
5
3
5
2
x
x
x
x
−
−
．
【答案】2
5
x
【解析】
【详解】解：
7
4
5
3
5
2
x
x
x
x
−
−
①
②
，
解不等式①得：
2
x
，
解不等式②得：
5
x
，
∴原不等式组的解集为2
5
x
．
19. 先化简，再求值：(
)
(
)(
)
2
2
1
2
4
3
a
a
a
−
+
−
+
，其中
1
a
−
=
．
【答案】9
7
a +
，2
−
【解析】
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【详解】解：原式
(
)
2
2
4
4
1
4
3
8
6
a
a
a
a
a
=
+
+ −
+
−
−
2
2
4
4
1
4
3
8
6
a
a
a
a
a
=
+
+ −
−
+
+
9
7
a
=
+
．
当
1
a
−
=
时，原式
(
)
9
1
7
2
=
−
+
= −．
20. 在某学校举办的数学文化周活动中，同学们利用角、线段、三角形等图形，借助图形的旋转或对称设
计了一些美丽的图案．如图1是小彤设计的一件艺术作品的平面图，它由6 个全等三角形构成，外轮廓为
正六边形．
（1）请判断图1 是____________图形；（填“轴对称”或“中心对称”）
（2）图2 是从图1 选取的部分图案，其中A B C
看作由ABC
绕旋转中心O顺时针方向旋转一定角度
后得到的，请你用无刻度直尺和圆规确定该图案的旋转中心O．（保留作图痕迹，不写作法）
【答案】（1）中心对称；
（2）解：如图，点O 为所求旋转中心．
【解析】
【分析】（1）根据轴对称图形和中心对称图形的定义判断即可；
（2）连接AA，BB，分别作AA，BB的垂直平分线，两线相交于点O，则点O 即为所求的旋转中心．
【小问1 详解】
解：将该图形绕点正六边形的中心旋转180，能与原图形重合，故图1 是中心对称图形．
【小问2 详解】
略
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21. 现有四张材质、大小、颜色都相同的不透明卡片，每张卡片正面写上一个实数，分别为3
−，2
−，
2 ，6 ，将四张卡片正面向下洗匀．
（1）随机抽取一张卡片，卡片上的实数是正数的概率是________；
（2）随机抽取一张卡片，记下卡片上的实数后，将卡片正面向下放回洗匀，再随机抽取一张卡片，记下
卡片上的实数．请你用画树状图或列表的方法，求抽取的两张卡片上实数之和为负数的概率．
【答案】（1）
1
2
（2）
3
8
【解析】
【小问1 详解】
解：随机抽取一张卡片，共有4 种等可能的结果，其中卡片上的实数是正数的结果有2 种，
故
2
1
4
2
P =
=
；
【小问2 详解】
解：列表如下：
第一次
第二次
3
−
2
−
2
6
3
−
6
−
5
−
1
−
3
2
−
5
−
4
−
0
4
2
1
−
0
4
8
6
3
4
8
12
或画树状图如下：
共有16种等可能的结果，两实数之和为负数的结果有6 种，
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P
（抽取的两张卡片上实数之和为负数）
6
3
16
8
=
=
．
22. 如图1，清代数学典籍《平三角举要》中记载了“用高上之高测远”的古法，此法专门解决测远目标被
遮挡且观测点周边没有多余空间的测绘困境，其关键在于观测者巧妙借用测远目标竖直方向正上方建筑的
已知高度来完成测算．某数学兴趣小组的成员在黄河南岸的A 处观测到黄河北岸的山上有一座塔，他们想
了解观测点到塔的水平距离，但因宽阔的河面及山脚遮挡，无法直接利用工具测量，于是他们借助“用高
上之高测远”的古法，设计了如下解决方案：如图2 ，设观测点A到塔CD的水平距离为AB （点B ，
C ，D 在同一条直线上），CD
AB
⊥
，在点A分别测得塔顶C 的仰角
16.73
CAB
=
、塔底D 的仰角
14.01
DAB
=
，查阅资料可知塔的高度
17
CD =
米．根据以上信息，请你求出观测点A到塔CD的水
平距离AB ．（结果精确到1米）
参考数据：sin14.01
0.24
，cos14.01
0.97
，tan14.01
0.25
，sin16.73
0.29
，
cos16.73
0.96
，tan16.73
0.30
．
【答案】观测点A到塔CD的水平距离AB 约是340米
【解析】
【分析】设AB
x
=
米，在Rt CAB
中，由正切定义得
tan16.73
0.30
CB
AB
x
=
；在Rt DAB
中，
tan14.01
0.25
DB
AB
x
=
．根据塔高
17
CD
CB
DB
−
=
=
米列方程，求解即可．
【详解】解：设AB
x
=
米，
在Rt CAB
中，tan
CB
CAB
AB
=
，
tan16.73
0.30
CB
AB
x
=
．
在Rt DAB
中，tan
DB
DAB
AB
=
，
tan14.01
0.25
DB
AB
x
=
．
CB
DB
CD
−
=
，
0.30
0.25
17
x
x
−
=
，
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解得
340
x =
．
答：观测点A到塔CD的水平距离AB 约是340米．
四、解答题：本大题共5 小题，共40 分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算
步骤．
23. 为深入学习贯彻习近平总书记关于“讲好中国故事，传播好中国声音，展示真实、立体、全面的中国”
的重要指示精神，落实立德树人根本任务，某区教育系统举办“讲好中国故事，弘扬传统文化”讲故事比
赛，引导学生了解中华优秀传统文化，增强民族自信心和自豪感．比赛分为初赛和复赛．经初赛后，共有360
名学生参加复赛．为了解比赛情况，举办方从学生复赛成绩中随机抽取了50 名学生的成绩作为样本数据，
进行了整理和分析，绘制成如下不完整的统计图表：
频数、频率分布表
组别
成绩x （分）
频数
频率
A
60
70
x
7
0.14
B
70
80
x
15
n
C
80
90
x
m
0.36
D
90
100
x
10
0.2
根据所给信息，解答下列问题：
（1）m = ______，n = ______；
（2）补全频数分布直方图；
（3）这50 名学生成绩的中位数会落在______组；（填组别）
（4）若复赛成绩在D 组的学生将获得一等奖，请你估计这360 名复赛学生中获得一等奖的人数．
【答案】（1）18；0.3
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（2）补全频数分布直方图，如下：
（3）C （4）72 人
【解析】
【分析】（1）根据频率= 频数总数，即可求解；
（2）根据C 组的人数为18 人，补全频数分布直方图即可；
（3）根据中位数的定义可判断这名学生成绩的中位数会落在C 组；
（4）利用样本估计总体即可求解．
【小问1 详解】
解：
50 0.36
18
m =
=
，
15 50
0.3
n =
=
；
【小问2 详解】
略
【小问3 详解】
解：∵A，B 组的人数之和为7 15
22
+
=
，A，B，C 组的人数之和为7 15 18
40
+
+
=
，且这50 名学生成
绩的中位数为第25 位，26 位的成绩之和的1
2 ，
∴这50 名学生成绩的中位数会落在C 组；
【小问4 详解】
解：360 0.2
72
=
人，
即估计这360 名复赛学生中获得一等奖的人数为72 人．
24. 如图，一次函数
3
y
x
b
=
+
的图象与反比例函数
(
)
0
k
y
k
x
=
的图象交于点
(2,3)
A
，与x 轴交于点
C ．在反比例函数图象上有一点
( 3,
)
B
m
−
，过点B 作BD
x
⊥
轴于点D ，连接AD ，BC ．
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（1）求一次函数
3
y
x
b
=
+
与反比例函数
(
)
0
k
y
k
x
=
的表达式；
（2）求四边形BDAC 的面积．
【答案】（1）
3
3
y
x−
=
；
6
y
x
=
（2）10
【解析】
【分析】（1）将点
(
)
2,3
A
分别代入一次函数和反比例函数，可求出b 和k ．
（2）由反比例函数的表达式求出点B 的坐标，再分别求一次函数与x 轴交点C 和点D 的坐标，将四边形
BDAC 分割为两个三角形
,
ACD
BCD
S
S
求面积即可．
【小问1 详解】
解：由题意，点
(2,3)
A
在一次函数
3
y
x
b
=
+
上，
3 2
3
b
+
=
，解得
3
b
−
=
；
一次函数的表达式为
3
3
y
x−
=
．
点
(2,3)
A
在反比例函数
(
)
0
k
y
k
x
=
上，
3
2
k
=
，解得
6
k =
，
反比例函数的表达式为
6
y
x
=
．
【小问2 详解】
解：点
(
)
3,
B
m
−
在反比例函数
6
y
x
=
上，
6
2
3
m =
= −
−
∴点 B 的坐标为(
)
3, 2
−
−
，
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BD
x
⊥
轴，垂足 D 在 x 轴上，
点D 的坐标为(
)
3,0
−
，
直线
3
3
y
x
=
−
与 x 轴交点 C ，
令
0
y =
，则0
3
3
x
=
−
，解得
1
x =
，
∴ 点C 的坐标为(
)
1,0 ，
(
)
1
3
4
CD
= −−
=
，
四边形BDAC 的面积为
1
1
1
1
3
4 3
4 2
6
4
10
2
2
2
2
ACD
BCD
S
S
S
CD
CD BD
=
+
=
+
=
+
=
+
=
．
25. 如图，AB 是
O
的直径，点C 是
O
上一点，CD
AB
⊥
于点D ，点E 在AB 的延长线上，CB 平
分
ECD
．
（1）求证：CE 是
O
的切线；
（2）当
8
AD =
，
5
sin
5
BCE
=
时，
①填空：tan BCE
的值等于__________；
②求BC 的长．
【答案】（1）证明：如图，连接OC ，
∵OC
OB
=
，
∴
OBC
OCB
=
．
∵CB 平分
ECD
，
∴
BCE
DCB
=
．
∵CD
AB
⊥
，
∴
90
OBC
DCB
+
=
，
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∴
90
OCB
BCE
+
=
，
∴OC
CE
⊥
．
∵OC 为
O
的半径，
∴CE 是
O
的切线；
（2）①
1
tan
2
BCE
=
；②2 5
【解析】
【分析】（1）连接OC ，由OC
OB
=
得
OBC
OCB
=
；由CB 平分
ECD
得
BCE
DCB
=
．结合
CD
AB
⊥
，可知Rt BCD
中
90
OBC
DCB
+
=
，等量代换得
90
OCB
BCE
+
=
，即OC
CE
⊥
，
进而即可证明；
（2 ）①由CB 平分
ECD
得
BCE
DCB
=
，在Rt BCD
中，
5
sin
5
BD
DCB
BC
=
=
．可得
5
5
BC
BD =
，由勾股定理得
2 5
5
BC
CD =
，进而即可求出tan BCE
；②连接AC ，由AB 是直径得
90
ACB
=
，结合CD
AB
⊥
，由同角的余角相等得
DCB
CAB
=
，则可得
CAB
BCE
=
，即
1
tan
2
CAB
=
．在Rt ACD
中，
8
AD =
，由
1
tan
2
CD
CAB
AD
=
=
得
4
CD =
；在Rt BCD
中，由
1
tan
2
BD
DCB
CD
=
=
得
2
BD =
，最终由勾股定理求解即可．
【小问1 详解】
略
【小问2 详解】
解：①∵
BCE
DCB
=
，
5
sin
5
BD
BCE
BC
=
=
，
∴
5
5
BC
BD =
，
∵
2
2
2
BD
CD
BC
+
=
，
∴
2 5
5
BC
CD =
，
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∴
5
1
5
tan
tan
2
2 5
5
BC
BD
BCE
BCD
CD
BC
=
=
=
=
；
②如图，连接AC ，
AB
为
O
的直径，
90
ACB
=
，
90
OBC
CAB
+
=
．
由（1）可知，
90
OBC
DCB
+
=
，
DCB
CAB
=
，
由（1）可知，
DCB
BCE
=
，
DCB
CAB
BCE
=
=
，
1
tan
tan
tan
2
DCB
CAB
BCE
=
=
=
．
在Rt ACD
中，
1
tan
2
CD
CAB
AD
=
=
，
8
AD =
，
4
CD
=
．
在Rt BCD
中，
1
tan
2
BD
DCB
CD
=
=
，
4
CD =
，
2
BD
=
，
2
2
2
2
2
4
2 5
BC
BD
CD
=
+
=
+
=
．
26. 在一次数学兴趣小组活动中，同学们围绕等腰三角形进行探究，下面是部分探究内容，请你思考并解答．
（1）【初步尝试】如图1，在ABC
中，AB
AC
=
，过点B 作BQ
AC
∥
，
2
BQ =
，连接AQ ．点P 在
线段AB 上，满足
BPC
CAQ
=
，求AP 的长．
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（2）【类比探究】如图2，在ABC
中，AB
AC
=
，以AB 为对角线的矩形AEBD 的顶点D 在AC 上，
P ，Q 分别是线段AB ，BE 上的动点（不含端点），AP
BQ
=
．当
BPC
BCD
=
时，用等式表示出
CD和QE 的数量关系，并说明理由．
（3）【拓展迁移】如图3，在矩形AEBD 中，P ，Q 分别是线段AB ，BE 上的动点（不含端点），
AP
BQ
=
．当
1
2
EAQ
DAP
=
时，用等式表示出BP 和QE 的数量关系，并说明理由．
【答案】（1）
2
AP =
（2）解：CD
QE
=
，理由如下：
如图1，连接AQ ．
四边形AEBD 为矩形，
∴BE
AD
，
PAC
QBA
=
AC
BA
=
，
PAC
QBA
=
，AP
BQ
=
，
∴
(
)
SAS
PAC
QBA
≌
，
CPA
AQB
=
，
∴180
180
CPA
AQB
−
−
=
，
即
BPC
AQE
=
．
BPC
BCD
=
，
BCD
AQE
=
，
四边形AEBD 为矩形，
BD
AE
=
，
90
BDC
BDA
AEQ
=
=
=
，
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(
)
AAS
BDC
AEQ
≌
，
CD
QE
=
．
（3）解：
2
BP
QE
=
，理由如下：
如图2 ，延长AD至点F ，使得AF
AB
=
，连接BF ，PF ．
AF
AB
=
，
(
)
1
1
180
90
2
2
DFB
ABF
DAP
DAP
=
=
−
=
−
．
1
2
EAQ
DAP
=
，
90
DFB
EAQ
EQA
−
=
=
．
由（2）同理可得，
(
)
AAS
DFB
EQA
≌
，
FD
QE
=
．
AB
AF
=
，
AP
BP
AD
FD
+
=
+
，
AP
BP
AD
QE
+
=
+
．
四边形AEBD 为矩形，
AD
BE
=
，
AP
BP
BE
QE
+
=
+
，
2
AP
BP
BQ
QE
+
=
+
．
AP
BQ
=
，
2
BP
QE
=
．
【解析】
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【分析】（1）由平行线的性质得到
PAC
QBA
=
．由
BPC
CAQ
=
得到
PCA
QAB
=
，从而证
明
(
)
ASA
PAC
QBA
≌
，根据全等三角形的性质即可解答；
（2）连接AQ ．证明
(
)
SAS
PAC
QBA
≌
，得到
CPA
AQB
=
，因此
BPC
AQE
=
，从而
BCD
AQE
=
，进而证明
(
)
AAS
BDC
AEQ
≌
，即可得出CD
QE
=
．
（3）延长AD至点F ，使得AF
AB
=
，连接BF ，PF ．由等边对等角得到
(
)
1
1
180
90
2
2
DFB
ABF
DAP
DAP
EQA
=
=
−
=
−
=
，由
(
)
AAS
DFB
EQA
≌
得到
FD
QE
=
，根据线段的和差得出AP
BP
AD
QE
+
=
+
，根据矩形的性质有AD
BE
=
，因此
2
AP
BP
BQ
QE
+
=
+
，从而可得
2
BP
QE
=
．
【小问1 详解】
解：∵BQ
AC
∥
，
PAC
QBA
=
．
BPC
CAQ
=
，
PAC
PCA
PAC
QAB
+
=
+
，
PCA
QAB
=
．
PAC
QBA
=
，AC
BA
=
，
PCA
QAB
=
，
(
)
ASA
PAC
QBA
≌
，
2
AP
BQ
\
=
=
．
【小问2 详解】
略
【小问3 详解】
略
27. 抛物线
2
2
3
y
x
bx
c
=
+
+
与x 轴交于A，
(2,0)
C
两点，与y 轴交于点
(0, 6)
B
−
．动点D 在线段OB 上
（点D 与点O不重合）．
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（1）求抛物线
2
2
3
y
x
bx
c
=
+
+
的表达式；
（2）连接CD，在CD的左上方以CD为边作正方形CDMN ．
①如图1，当
4
BD =
时，求正方形CDMN 的面积；
②如图2，当点M 落在抛物线上时，求点M 的坐标；
（3）如图3，在动点D 的正上方有另一动点
(0,
)
E
p ，且
13
4
ED =
，当点D 从点B 开始运动时，点E 以
相同的速度同时出发，两点都沿y 轴的正方向匀速运动，点D 停止运动时点E 同时停止运动．连接AE ，
CD，求AE
CD
+
的最小值和此时p 的值．
【答案】（1）
2
2
5
6
3
3
y
x
x−
=
+
（2）①8 ；②( 4, 2)
−
−
（3）AE
CD
+
的最小值为13 5
4
，此时
9
4
p =
【解析】
【分析】（1）把
(2,0)
C
、
(0, 6)
B
−
代入
2
2
3
y
x
bx
c
=
+
+
，解方程组求出
5
3
6
b
c
−
=
=
，即可得出答案；
（2）①根据
(0, 6)
B
−
、
4
BD =
得出
2
OD =
，根据点
(2,0)
C
，利用勾股定理求出
2
8
CD =
，即可求出正
方形CDMN 的面积；
②过点M 作MF
x
⊥
轴于F ，MH
y
⊥
轴于H ，得出四边形FMHO是矩形，得出OH
FM
=
，
MH
OF
=
，根据正方形的性质及角的和差关系得出CD
MD
=
，
MDH
OCD
=
，可证明
(AAS)
MDH
OCD
≌
，得出
2
DH
OC
=
=
，MH
OD
=
，设
2
2
5
( ,
6)
3
3
M m
m
m
+
−
(
0)
m
，则
MH
m
= −
，
2
2
5
6
3
3
OH
m
m
= −
−
+
，根据OD
OH
DH
=
+
得出
2
2
5
6
2
3
3
m
m
m
−
= −
−
+ +
，解方程求
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出m 的值，即可得出答案；
（3）过点A作AG
y
∥
轴，使
13
4
ED
AG
=
=
，连接DG ，得出四边形AGDE 是平行四边形，可得
AE
DG
=
，得出当点G 、D 、C 三点在同一条直线上时，AE
CD
+
取最小值，最小值为CG 的长，根
据抛物线解析式求出
9
(
,0)
2
A −
，利用勾股定理求出
13 5
4
CG =
，利用待定系数法求出直线CG 的解析式
为
1
1
2
y
x−
=
，进而求出
(0, 1)
D
−
，根据
13
4
ED =
，即可求出
9
4
p =
．
【小问1 详解】
解：∵抛物线
2
2
3
y
x
bx
c
=
+
+
与x 轴交于A，
(2,0)
C
两点，与y 轴交于点
(0, 6)
B
−
，
∴
2
2
2
2
0
3
6
b
c
c
−
+
+
=
=
，
解得：
5
3
6
b
c
−
=
=
，
∴抛物线的表达式为
2
2
5
6
3
3
y
x
x−
=
+
．
【小问2 详解】
解：①∵
(0, 6)
B
−
，点D 在线段OB 上，
4
BD =
，
∴
6
OB =
，
2
OD
OB
BD
=
−
=
，
∵
(2,0)
C
，
∴
2
OC =
，
∴
2
2
2
2
2
2
2
8
CD
OD
OC
=
+
=
+
=
，
∴正方形CDMN 的面积为
2
8
CD =
；
②如图，过点M 作MF
x
⊥
轴于F ，MH
y
⊥
轴于H ，
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∵
90
OFM
FOH
MHO
=
=
=
，
∴四边形FMHO是矩形，
∴OH
FM
=
，MH
OF
=
，
∵在CD的左上方以CD为边作正方形CDMN ，
∴CD
MD
=
，
90
CDM
=
，
∵
90
MDH
ODC
+
=
，
90
ODC
OCD
+
=
，
∴
MDH
OCD
=
，
在MDH
和OCD
中，
MHD
DOC
MDH
OCD
MD
CD
=
=
=
，
∴
(
)
AAS
MDH
DCO
≌
，
∴
2
DH
OC
=
=
，MH
OD
=
，
设
2
2
5
( ,
6)
3
3
M m
m
m
+
−
(
0)
m
，则MH
m
= −
，
2
2
2
5
2
5
(
6)
6
3
3
3
3
OH
m
m
m
m
= −
+
−
= −
−
+
，
∵OD
OH
DH
=
+
，
∴
2
2
5
6
2
3
3
m
m
m
−
= −
−
+ +
，
解得：
1
4
m = −，
2
3
m =
（舍去），
∴
2
2
2
5
2
5
6
( 4)
( 4)
6
2
3
3
3
3
m
m
+
−
=
−
+
−
−
= −，
∴点M 的坐标( 4, 2)
−
−
．
【小问3 详解】
解：如图，过点A作AG
y
∥
轴，使AG
ED
=
，连接DG ，
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∵点D 、E 的速度相同，
∴
13
4
ED =
是定值，
∵AG
DE
∥
，
13
4
ED
AG
=
=
，
∴四边形AGDE 是平行四边形，
∴AE
DG
=
，
∴AE
CD
DG
CD
+
=
+
，
∴当点G 、D 、C 三点在同一条直线上时，AE
CD
+
取最小值，最小值为CG 的长，
∵
2
2
5
6
3
3
y
x
x−
=
+
，
∴当
0
y =
时，
2
2
5
6=0
3
3
x
x
+
−
，
解得：
1
9
2
x
−
=
，
2
2
x =
，
∴
9
(
,0)
2
A −
，
9
2
OA =
，
9
13
2
2
2
AC
OC
OA
=
+
=
+
=
，
∴
2
2
2
2
13
13
13 5
(
)
(
)
4
2
4
CG
AG
AC
=
+
=
+
=
，即AE
CD
+
的最小值为13 5
4
，
∵
9
(
,0)
2
A −
，
13
4
ED
AG
=
=
，
∴
9
13
(
,
)
2
4
G −
−
，
设直线CG 的解析式为y
kx
n
=
+
，
∴
2
0
9
13
2
4
k
n
k
n
+
=
−
+
= −
，
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解得：
1
2
1
k
n
=
= −
，
∴直线CG 的解析式为
1
1
2
y
x−
=
，
当
0
x =
时，
1
y
−
=
，
∴
(0, 1)
D
−
，
∵
13
4
DE =
，
(0,
)
E
p ，点E 在点D 上方，
∴
13
9
1
4
4
p = −+
=
．
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