压轴02利用导数研究不等式的4大核心题型（压轴题专练）（全国通用）（原卷版）_三轮冲刺_2026年试卷教辅资源等多个文件_上好课2026版高中《终极冲刺讲练测》（数学）（全国通用）

压轴02 利用导数研究不等式的4 大核心题型
1.导数与不等式证明是高考考查的重点内容，在解答题中一般会考查函数的单调性、极值和最值的综合运用，
试题难度中等或偏上，若以压轴题出现，则难度较大.
2.恒成立问题(能成立问题)多与参数的取值范围问题联系在一起，是近几年高考的热门题型，可以出现在选
择、填空或解答题中，也经常以压轴解答题形式出现，难度较大.
题型01 单变量函数不等式的证明
1.（2023 年新课标全国Ⅰ卷数学真题）已知函数



ex
f x
a
a
x
=
+
-
．
(1)讨论

f x 的单调性；
(2)证明：当
0
a >
时，

3
2ln
2
f x
a
>
+
．
2．（2026·菏泽一模）已知函数

ex
f x
x
a
=
+
，
ln
g x
x
x
a
=
+
．
(1)若函数

f x 的最小值与
g x 的最小值之和为
4
e
-
，求a 的值．
(2)若
0
a =
，
0
x >
，证明：


f x
g
x
>
¢
．
题型02 双变量函数不等式的证明
3．（2026·四川攀枝花·三模）已知函数



ln
1
R
a
f x
x
a
x
=
+
-
Î
．
(1)当
2
a =
时，求函数

f x 在
1
x = 处的切线方程；
技法指导
利用导数证明或判定不等式问题常用方法
(1)最值法：通过移项构造新函数或者等价变型构造新函数，求解新函数的最值，从而得出不等关系；
(2)适当放缩构造法：根据已知条件适当放缩或利用常见放缩结论，从而判定不等关系；
(3)凹凸反转法：把所证不等式转化为两个函数的大小关系，分别求解两个函数的最值，得到不等关系.
技法指导
　证明含双参不等式的关键：一是转化，即由已知条件入手，寻找双参所满足的关系式，并把含双参的
不等式转化为含单参的不等式；二是构造函数，借助导数，判断函数的单调性，从而求其值；三是回归
含双参的不等式的证明，把所求的最值应用到含参的不等式中，即可证得结果.
(2)设函数

f x 的导函数为

f
x
¢
，若





1
2
1
2
f
x
f
x
x
x
¢
¢
=
¹
，证明：




1
2
1
1
f
x
f
x
a
+
+
> ．
4．（2026·安徽六安一模）已知函数


1
( )
cos
1
(
)
x
f x
e
x
ax a
R
+
=
+
+
-
Î
.
（1）若
( )
f x 在

1,
- +¥ 上单调递增，求实数a 的取值范围；
（2）当 
1
a = - 时，若实数
1
2
1
2
,
(
)
x x
x
x
<
满足
1
2
(
)
(
)
2
f x
f x
+
=
，求证：
1
2
0
x
x
+
<
.
题型03 利用导数研究恒成立问题
5.（2024 全国甲（理）卷T21）已知函数





1
ln 1
f x
ax
x
x
=
-
+
-
．
(1)当
2
a = - 时，求

f x 的极值；
(2)当
0
x ³
时，

0
f x ³
，求a 的取值范围．
6.（2026·山东青岛·一模）已知函数

ex
f x
ax
=
-
．
(1)讨论
( )
f x 的单调性；
(2)当
0
x >
时，
2
( )
1
f x
x
x
³
-
+ 恒成立，求a 的取值范围.
7．（2026·湖南永州·一模）已知函数

2
ln
R
=
-
Î
f
x
ax
x
a
，
．
(1)讨论

f x 的单调区间；
(2)若
0
a >
，且当
(0,1]
xÎ
时，

1
f
x ³ 恒成立，求a 的取值范围．
题型04 利用导数研究能成立问题
8．（2026·安徽合肥·模拟预测）已知函数



2
e
1,
R
x
f x
ax
x
a
=
-
-
-
Î
(1)设




F x
f x
f
x
=
-
-
，讨论

F x 的单调性；
(2)设




G x
f x
f
x
=
+
-
，若

0
G x <
有解，求a 的取值范围．
技法指导
由不等式恒成立求参数的取值范围问题的策略
(1)求最值法.将恒成立问题转化为利用导数求函数的最值问题.
(2)分离参数法.将参数分离出来，进而转化为a>f(x)max 或a<f(x)min 的形式，通过导数的应用求出f(x)的最
值，即得参数的范围.
技法指导
不等式有解问题可类比恒成立问题进行转化，要理解清楚两类问题的差别.
含参数的不等式能成立(存在性)问题的转化方法
若a>f(x)在x∈D 上能成立，则a>f(x)min；
若a<f(x)在x∈D 上能成立，则a<f(x)max.
9．（2025·甘肃·模拟预测）已知函数



ex
f x
ax
a
=
×
ÎR 的极小值为
1
e
-
．
(1)求曲线

y
f x
=
在点



1,
1
f
处的切线方程；
(2)若
0
b >
，且存在


0,
x
¥
Î
+
，使得e
ln
bx
b
x
£
成立，求实数b 的取值范围．
10．（2025·辽宁·模拟预测）已知函数

2
ln
1
(
1)
x
f x
x
+
=
+
(1)求出函数

f x 在1,e
e
é
ù
ê
ú
ë
û 上的最值
(2)若关于x 的不等式




2
ln e
2
1
x
ax
a x
-
>
+
存在唯一的整数解，求实数a 的取值范围．
1．（2025·湖北武汉·模拟）已知函数
2
( )
ln(
1)
f x
x
ax
x
=
+
+
-
（aÎR ）.
(1)当
1
a = 时，讨论
( )
f x 的单调性；
(2)当
0
x ³
时，
( )
0
f x ³
恒成立，求a 的取值范围.
2．（2025·山东聊城·三模）已知函数



1
ln
f x
m x
m
x
=
+
ÎR ．
(1)若

0
f x ³ 恒成立，求m 的取值范围；
(2)当
1
m = 时，（i）求

f x 的最小值；（ii）证明：

3sin
cos
2
x
xf x
x
>
+
．
3．（2025·广东肇庆二模）已知函数

2
ln
ln
f x
a
x
x
x
x
=
-
+
．
(1)若
0
a =
，求

f x 的零点；
(2)若
0
a >
，讨论

f x 的单调性；
(3)若


0,1
aÎ
，证明：

e
1
a
f
< ．
4．（2025·福建龙岩三模）已知函数
2
1
2
1
( )
(
)
ln
2
4
2
(
0)
f x
ax
a
x
a a
x
=
-
+
+
+
>
.
(1)求

f x 的单调区间;
(2)设
2
2
g x
x
x
=
-
，若对任意
1
(0,2]
x Î
，均存在
2
(0,2]
x Î
，使得



1
2
f x
g x
<
，求实数a 的取值范围.
5．（2026·黑龙江·一模）已知函数

2
(
1)
ln
f x
a x
x
x
=
+
+
+
，

R
aÎ
．
(1)讨论

f x 的单调性；
(2)当
1
0
2
a
-
£
<
时，求证：

1
2
1
2
f x
a
a
£
-
- ．
6．（2025·广东·模拟预测）已知函数



2
1 e
1
x
x
f x
x
-
=
-
.
(1)求

f x 的单调区间；
(2)证明：当
1
2
x <
时，



4 e 2
1
f x
x
< -
-
；
(3)若



0
1
g x
f x
k
k
=
-
<
<
有两个零点
1
2
,
x x ，且
1
2
0
x
x
<
<
，证明：
1
2
0
x
x
+
<
.
7.（2025·海南·模拟预测）已知函数


( )
e
1
,
a x
f x
x a
-
=
+
ÎR ．
(1)当
2
a =
时，求
( )
f x 的单调区间与极值点；
(2)已知
( )
f x 有两个极值点
1
2
2
x
x
<
<
，证明：
1
2
3
x
x
+
>
．
8．（2025·安徽合肥·一模）已知函数




2
e
2
1 ,
ln
e
1
1
x
x
x
f x
g x
x x
x
ax
x
-
=
=
-
-
+
+
-
.
(1)求

f x 的单调区间；
(2)若对于任意
1
1 ,1
2
x
æ
ö
Î -
ç
÷
è
ø ，总存在


2
1,
x Î
+¥ ，使得




1
2
f x
g x
£
，求a 的取值范围.
9．（2025·辽宁大连·模拟预测）已知

2
2ln
f
x
ax
x
=
-
，


0,e
xÎ
，其中e是自然对数的底数．
(1)讨论
( )
f x 的单调性；
(2)设
2
1
e
a >
，
5
ln x
g x
a
= - +
．存在
1
x ，
2
(0,e]
x Î
，使得




1
2
9
-
<
f
x
g x
成立，试求实数a 的取值范围．
10．（2026·河北保定·一模）已知函数 

3
sin
sin
,
.
f x
x
a
x a
=
-
ÎR
(1)当 
1
3
a =
时，求

f x 的极值.
(2)已知
0
a =
.
（i）证明: 



0,1
2
tan
x
f x
x
x
" Î
>
-
，
；
（ii）若 

2
f x
x
tx
³
-
在 

0, + ¥ 上恒成立，求实数t 的取值范围.
11．（2026·河北张家口·一模）已知函数

ex
f x =
，


ln
1
g x
x
=
-
．
(1)求曲线
g x 在点



2,
2
g
处的切线方程；
(2)证明：


3
f x
g x
>
+ ；
(3)若
0
a >
，关于x 的不等式


ln
1
af x
a
g x
+
<
- 有解，求实数a 的取值范围．
12．（25-26 高三上·广西·期末）已知函数

e cos
x
f x
x
=
，
sin
1
g x
x
=
+ ．
(1)求

f x 在
π
0, 2
æ
ö
ç
÷
è
ø 内的单调性；
(2)若存在
π ,0
6
x
é
ù
Î -
ê
ú
ë
û ，使得


0
f x
ag x
-
³
，求实数a 的取值范围；
(3)设方程


f x
g x
=
在区间


π
π
2 π
,2 π
1,2,
,2025,2026
3
2
n
n
n
æ
ö
+
+
=
×××
ç
÷
è
ø
内的根从小到大依次为
1
x ，
2x ，…，
2025
x
，
2026
x
，试比较
2026
x
与
2025
2π
x
+
的大小，并说明理由．
13．记


,
y
f
x
y
g
x
=
¢
=
¢
分别为函数


,
y
f x
y
g x
=
=
的导函数.若存在
0x ÎR ，满足




0
0
f x
g x
=
且




0
0
f
x
g
x
¢
¢
=
，则称
0x 为函数

y
f x
=
与

y
g x
=
的一个“S 点”.
(1)证明：函数y
x
=
与
2
2
2
y
x
x
=
+
-
不存在“S 点”：
(2)若函数
2
1
y
ax
=
- 与
ln
y
x
=
存在“S 点”，求实数a 的值：
(3)已知


2
e
,
x
b
f x
x
a g x
x
= -
+
=
，若存在实数
0
a >
，使函数

y
f x
=
与

y
g x
=
在区间

2,+¥ 内存在“S