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7.4 空间距离（精讲）
一．点到线的距离
1.概念：过一点作垂直于已知平面的直线，则该点与垂足间的线段，叫做这个点到该平面的垂线段，垂线
段的长度叫做这个点到该平面的距离；
设⃗AP＝
，直线l 的一个单位方向向量为
，则向量⃗AP在直线l 上的投影向量⃗AQ＝
，在Rt△APQ
中，由勾股定理，得PQ＝ √|⃗AP|
2-|⃗AQ|
2
＝
二．两异面直线间的距离：即两条异面直线公垂线段的长度.
三．点到平面的距离：已知平面α 的法向量为
，A 是平面α 内的定点，P 是平面α 外一点.过点P 作平面α
的垂线l，交平面α 于点Q，则
是直线l 的方向向量，且点P 到平面α 的距离就是⃗AP在直线l 上的投影向
量⃗
QP
的长度.因此
1
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四．直线到平面的距离：一条直线与一个平面平行时，这条直线上任意一点到这个平面的距离，叫做这条
直线到这个平面的距离；
五．两个平面间的距离：如果两个平面平行，那么其中一个平面内的任意一点到另一个平面的距离都相等，
我们把它叫做这两个平行平面间的距离.
一．求点面距常见方法
方法一：作点到面的垂线，点到垂足的距离即为点到平面的距离
方法二：等体积法
方法三：向量法
二.向量法求两异面直线的距离
分别以这两条异面直线上任意两点为起点和终点的向量为
，与这两条异面直线都垂直的法向量为
，则
两条异面直线间的距离就是
在
方向上的正射影向量的模，设为d，从而由公式
求解.
考点一 点线距
【例1-1】（2023 春·江西南昌）如图，
是棱长为的正方体，若
在正方体内部且满足
，则
到
的距离为（ ）
2
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A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】以A 为坐标原点，
正方向为
轴，可建立如图所示空间直角坐标系，
则
，
，
，
，
，
，
，
，
，
且
为锐角，
，
点
到
的距离
.
故选：D.
【例1-2】（2023·江苏徐州·校考模拟预测）在空间直角坐标系中，直线的方程为
，空间一点
3
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，则点
到直线的距离为（ ）
A．
B．1
C．
D．
【答案】D
【解析】根据题意，直线的方程为
，
即
，则直线的方向向量为
，又因为过点
，
，
，则
，
故
在
上的射影为：
，
故点
到直线的距离为：
.
故选：D.
【一隅三反】
1．（2023 春·广东茂名·高三校考阶段练习）菱形
的边长为4，
，E 为AB 的中点（如图
1），将
沿直线DE 翻折至
处（如图2），连接
，
，若四棱锥
的体积为
，
点F 为
的中点，则F 到直线BC 的距离为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】连接
，因为四边形
为菱形，且
，所以
为等边三角形，
因为 E 为AB 的中点，所以
，所以
，
因为
，
平面
，所以
平面
，
4
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因为菱形
的边长为4，所以
，
所以直角梯形
的面积为
，
设四棱锥
的高为，则
，得
，
所以
，所以
平面
，
所以以
为原点，
所在的直线分别为
轴，建立空间直角坐标系，则
，
所以
，
所以
所以
，
所以F 到直线BC 的距离为
，
故选：A
2．（2023·广东佛山·统考模拟预测）如图，在平行六面体
中，以顶点A 为端点的三条棱
长都是a，且
，
，E 为
的中点，则点E 到直线
的距离为（ ）
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A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】
在平行六面体
中，不妨设
，
，
．
,
，
，
，
所以
，
，
，
所以E 到直线
的距离为
，
故选：A
考点二 线线距
【例2】（2023·全国·高三专题练习）长方体
中，
，
，
为
的中点，
则异面直线
与
之间的距离是（ ）
6
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A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】建立如图所示的空间直角坐标系，则
，
，
，
，
，
，
，
设
与
的公垂线的一个方向向量为
，
则
，取
，得
，
，即
，
又
，
所以异面直线
与
之间的距离为
．
故选：D．
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【一隅三反】
1．（2023·全国·高三专题练习）在长方体
中，
，
，
，则异面直线
与
之间的距离是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】
如图所示，以
为原点，
所在直线为
轴如图建立空间直角坐标系
则
设直线
与
的公垂线的方向向量为
则
不妨令
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又
则异面直线
与
之间的距离
故选：D
2．（2023·全国·高三专题练习）定义：两条异面直线之间的距离是指其中一条直线上任意一点到另一条直
线距离的最小值．在棱长为1 的正方体
中，直线
与
之间的距离是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
设
为直线
上任意一点， 过
作
，垂足为
，可知此时
到直线
距离最短
设
，
，
则
，
，
，
，
即
，
9
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，即
，
，
，
，
当
时，
取得最小值
，
故直线
与
之间的距离是
.
故选：B.
3．（2023·全国·高三专题练习）定义：两条异面直线之间的距离是指其中一条直线上任意一点到另一条直
线距离的最小值.在长方体
中，
，
，
，则异面直线
与
之间的
距离是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】如图，以D 为坐标原点建立空间直角坐标系，
则
，
则
，
，
设
和
的公垂线的方向向量
，
则
，即
，令
，则
，
，
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.
故选：D.
考点三 点面距
【例3-1】（2023·浙江·校联考模拟预测）如图，在四棱锥
中，底面
为平行四边形，侧面
是边长为
的正三角形，平面
平面
，
．
(1)求证：平行四边形
为矩形；
(2)若
为侧棱
的中点，且平面
与平面
所成角的余弦值为
，求点
到平面
的距离．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【解析】（1）取
中点
，连接
，
为正三角形，则
，
面
面
，面
面
，
面
，则
面
，
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面
，故
，又
，
面
，
，
所以
面
，
面
，故
，则平行四边形
为矩形.
（2）如下图，以
为原点，
为
轴，
为
轴建立坐标系，设
，
则
，
，
，
，
，
所以
，
，
设面
的法向量为
，则
，令
，则
，
设面
的法向量为
，则
，令
，则
，
由
，解得
，
则面
的法向量为
，
，
点
到平面
的距离
.
【例3-2】（2023·吉林长春·东北师大附中校考模拟预测）如图，在四面体
中，
．点
为棱
上的点，且
，三棱锥
的体
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积为
．
(1)求点A 到平面
的距离；
(2)求平面
与平面
夹角的余弦值．
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）取
中点
，连接
，因为
，所以
，
又
平面
，
所以
平面
，而
平面
，所以
，
由已知
，所以
，
由
平面
平面
，得平面
平面
，
因此
在平面
内的射影就是直线
，
设
在面
的射影为
，则
在直线
上，
由题意知
,则
,
所以
，
所以
，又因为
，所以
与
重合，所以
平面
，
以
为原点，
所在直线为
轴建立如图所示的空间直角坐标系
，
则
，
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所以
点坐标为
，
．
设平面
的一个法向量是
，
则
，取
，则
，即
，
所以点A 到平面
的距离
．
（2）设平面
的法向量为
，
则
，取
，则
，
故
，
所以
，
由于平面
与平面
夹角范围为
，
所以平面
与平面
夹角的余弦值是
．
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【一隅三反】
1．（2022 秋·山东青岛·高三统考期中）如图，四棱锥
中，底面ABCD 为正方形，
为等边
三角形，面
底面ABCD，E 为AD 的中点.
(1)求证：
；
(2)在线段BD 上存在一点F，使直线AP 与平面PEF 所成角的正弦值为
.
①确定点F 的位置；
②求点C 到平面PEF 的距离.
【答案】(1)证明见解析
(2)①点
的位置是线段
上靠近
的三等分点；②
【解析】（1）取
中点
，连接
，
,
为等边三角形,
,
面
底面
，
面
底面
，
面
，
面
，
，
，
，
又
，
面
，
面
，
，
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（2）①如图以
为原点，
为轴，
为
轴建立空间
直角坐标系.设
，
，
，
，
,
,
，
，
，
，
，
设
是平面
的一个法向量
则有
，
令
解得：
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因为直线
与平面
所成角的正弦值为
即
解得
，所以点
的位置是线段
上靠近
的三等分点，
②
，
，
，
点
到平面
的距离
.
2．（2023·江苏苏州·模拟预测）在如图所示的圆锥中，已知
为圆锥的顶点，
为底面的圆心，其母线长
为6，边长为
的等边
内接于圆锥底面，
且
.
(1)证明：平面
平面
；
(2)若
为
中点，射线
与底面圆周交于点
，当二面角
的余弦值为
时，求点
到平面
的距离.
【答案】(1)证明见解析
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(2)
【解析】（1）因为
为圆锥的顶点，
为底面的圆心，所以
面
.
又因为
面
，所以
，即
.
因为
为
外接圆圆心，且
为正三角形，所以
.
又因为
且
，
面
，所以
面
，
因为
面
，所以面
面
.
（2）作
交
于
，取
中点为
.
因为
，
，所以
.
因为
面
，
，
面
，所以
，
.
如图，以点
为坐标原点，
，
，
所在的直线分别为
，
，轴建立空间直角坐标系
.
因为
，
，所以
，
，
所以
，
，
，
，
.
由
，得
，
，
，
，
.
设面
的法向量为
，则
，
取
，则
，
，所以
.
设面
的法向量为
，则
,
取
，则
，
，所以
.
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由
，且
，
解得
，所以
，
.
又因为
，所以
，
所以
到面
的距离
.
考点四 面面距
【例4】（2023·全国·高三专题练习）在棱长为的正方体
中，则平面
与平面
之
间的距离为
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】建立如图所示的直角坐标系，则
，
，
，
，
所以
，
，
，
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设平面
的一个法向量
，则
，
即
，解得
，故
，
显然平面
平面
，
所以平面
与平面
之间的距离
．
【一隅三反】
1．（2023·全国·高三专题练习）如图，在四棱锥
中，底面
是边长为
的正方形，
底
面
，
，
、
、
分别是
、
、
的中点．求：
(1)直线
与平面
的距离；
(2)平面
与平面
的距离．
【答案】(1)
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(2)
【解析】1）解：因为
平面
，四边形
为正方形，
以点
为坐标原点，
、
、
所在直线分别为
、
、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
则
、
、
、
、
、
，
因为
、
分别为
、
的中点，则
，
平面
，
平面
，
平面
，
因为
且
，
、
分别为
、
的中点，则
且
，
所以，四边形
为平行四边形，
，
平面
，
平面
，
平面
，
，
、
平面
，
平面
平面
，
平面
，
平面
，
设平面
的法向量为
，
，
，
则
，取
，可得
，
，
所以，直线
与平面
的距离为
.
（2）解：因为平面
平面
，则平面
与平面
的距离为
.
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2．（2023·全国·高三专题练习）直四棱柱
中，底面
为正方形，边长为
，侧棱
，
分别为
的中点，
分别是
的中点．
(1)求证：平面
平面
；
(2)求平面
与平面
的距离．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【解析】（1）法一:证明：连接
分别为
的中点，
分别是
的中点，
，
平面
，
平面
，
平面
，
平行且等于
，
是平行四边形，
，
平面
，
平面
，
平面
，
，
平面
平面
；
法二: 如图所示，建立空间直角坐标系
，
22
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则
，
，
，
，
，
，
平面
，
平面
，
平面
，
平面
，
平面
，
平面
，
又
，
平面
平面
，
（2）法一:平面
与平面
的距离
到平面
的距离．
中，
，
，
，
由等体积可得
，
．
法二:
设平面
的一个法向量为
，
则
，则可取
，
，
平面
与平面
的距离为
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3．（2023·全国·高三专题练习）如图，已知正方体
的棱长为2，E，F，G 分别为AB，
BC，
的中点．
(1)求证：平面
平面EFG；
(2)求平面
与平面EFG 间的距离．
【答案】(1)证明见详解；
(2)
﹒
【解析】（1）∵E 是AB 中点，F 是BC 中点，
∴连接AC 得，EF∥AC，
∵
是平行四边形，
∴
，
又
平面
平面
，
∥平面
，
同理，连接
可得
，可得EG∥平面
，
与
平面EFG，
∴平面
∥平面EFG﹒
24
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（2）如图：
以D 为原点，DA、DC、
分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系Oxyz﹒
则
∴
，
设平面
的法向量为
，
则
，取
，
则平面
与平面EFG 间的距离为
﹒
4．（2023·全国·高三专题练习）底面为菱形的直棱柱
中，
分别为棱
的中
点.
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(1)在图中作一个平面
，使得
，且平面
.（不必给出证明过程，只要求作出
与直棱柱
的截面）；
(2)若
，求平面
与平面
的距离
.
【答案】(1)见解析
(2)
【解析】（1）
如图，取
的中点
，连接
，则平面
即为所求平面
.
证明：由
,
平面
，
平面
，可得
平面
.
由
，
平面
，
平面
，可得
平面
.
,
平面
，
平面
,故可得平面
平面
，即平面
.
（2）如图，连接
,
交
于
，
在直棱柱
中，底面为菱形，
，
分别以
所在的直线为
轴，
为原点建立如图所示空间直角坐标系，
又
所有棱长为2，
，
26
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，
，
设
是平面
的一个法向量，则
，即
令
得
，
，
点
到平面
的距离
，
平面与平面的距离.
27
