文档文本内容
压轴21 圆锥曲线中二级结论的7 大核心题型
1.导数解答题与高等数学知识交汇命题，考查考生的知识迁移能力、现场学习能力与现场运用能力，逐渐成
为命题的热点，难度较大，一般作为压轴题出现；2.常见的高等数学知识除了前面学习过的泰勒公式与洛必
达法则、还有拉格朗日中值定理、罗尔中值定理、柯西中值定理、伯努利不等式、微积分、帕德近似等.
题型01 焦点三角形
1.已知椭圆的中心在原点，对称轴为坐标轴，
、
为焦点，点P 在椭圆上，直线
与
倾斜角的差
为
，△
的面积是20，离心率为
，求椭圆的标准方程
.
2.已知椭圆C：
𝑥2
𝑎2＋
𝑦2
𝑏2＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，其离心率为e＝
1
2，点P 为该椭圆上一点，
且满足∠F1PF2＝
π
3，已知△F1PF2 的内切圆的面积为3π，则该椭圆的长轴长为（ ）
A.2 B.4
C.6 D.12
题型02 周角定理（斜率积为定值）
3.（2025·河北衡水·一模）已知A ，B 分别为双曲线C ：
2
2
2
2
1
x
y
a
b
-
= （
0
a >
，
0
b >
）的左、右顶点，P 是C
上一点，且直线AP ，BP 的斜率之积为2，则C 的离心率为
A．2
B．
3
C．
5
D．
6
4.（2025·辽宁葫芦岛·一模）已知椭圆
2
2
:
1
4
3
x
y
G
+
= ，A，B 为G 的短轴端点，P 为G 上异于A，B 的一点，
1F
2
F
1
PF
2
PF
90
2
1PF
F
3
5
技法指导
1.焦点三角形的面积公式：P 为椭圆(或双曲线)上异于长轴端点的一点，F1，F2 为其焦点，记∠F1PF2＝
θ，则：在椭圆中，S△PF1F2＝b2·tanθ
2；在双曲线中，S△PF1F2＝b2
tanθ
2
.
2.焦点三角形的周长为2(a＋c).
技法指导
周角定理：已知点P 为椭圆(或双曲线)上异于顶点的任一点，A，B 为长轴(或实轴)端点，则在椭圆中，
kPA·kPB=-
b2
a2=e2-1，在双曲线中，kPA·kPB=
b2
a2=e2-1.
则直线AP ，BP 的斜率之积为（ ）
A．3
4
B．4
3
C．
3
4
-
D．
4
3
-
题型03 椭圆、双曲线的焦点弦问题
5.如图，F1，F2 为椭圆
𝑥2
4 ＋y2＝1 的两焦点，P 为椭圆上除长轴端点外的任一点，∠F1PF2 的平分线PM 与长
轴交于点M（m，0），则m 的取值范围是
；
6.已知双曲线C 的左、右焦点分别为F1（－7，0），F2（7，0），过F2 的直线与C 的右支交于A，B 两点.
若𝐴𝐹2＝2𝐹2𝐵，｜AB｜＝｜F1B｜，则双曲线C 的方程为
.
题型04 抛物线的的焦点弦问题
7.过抛物线y2＝4x 的焦点F 的直线交抛物线于A，B 两点，点O 是原点，若｜AF｜＝3，则△AOB 的面积为
技法指导
1.在椭圆中，焦点弦中通径（垂直于长轴的焦点弦）最短，弦长lmin＝
2𝑏2
𝑎.
2.在双曲线中，同支的焦点弦中最短的为通径（过焦点且垂直于实轴的弦），其长为
2𝑏2
𝑎，异支的弦中最
短的为实轴，其长为2a.
技法指导
设AB 是过抛物线y2＝2px（p＞0）焦点F 的弦，若A（x1，y1），B（x2，y2），则
（1）x1x2＝
𝑝2
4 ，y1y2＝－p2；
（2）焦半径｜AF｜＝x1＋
𝑝
2＝
𝑝
1－cos𝛼，｜BF｜＝x2＋
𝑝
2＝
𝑝
1+cos𝛼（α 为弦AB 与x 轴的夹角）；
（3）弦长｜AB｜＝x1＋x2＋p＝
2𝑝
si𝑛2𝛼（α 为弦AB 的倾斜角），且
1
｜𝐴𝐹｜＋
1
｜𝐵𝐹｜＝
2
𝑝；
（4）S△OAB＝
𝑝2
2sin𝛼（O 为抛物线的顶点）；
（5）以AB 为直径的圆与准线相切；以MN 为直径的圆与AB 切于焦点F；以焦半径AF（BF）为直径的
圆与y 轴相切.
（ ）
A.
2
2
B. 2
C.
3 2
2
D.2 2
8.〔多选〕（2025·抚顺一模）已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的准线方程为x＝－1，过抛物线C 的焦点F
的直线l 交抛物线C 于A，B 两点，则下列说法正确的是（ ）
A.｜AB｜的最小值为4
B.设Q（3，2），则△QAF 周长的最小值为4
C.以AF 为直径的圆与y 轴相切
D.若𝐵𝐹＝2𝐹𝐴，则直线l 的斜率为2 2或－2 2
题型05 切线问题
9.已知点
(10,3)
P
在椭圆
2
2
2
:
1
99
x
y
C a +
= 上.若点
0
0
,
N x
y
在圆
2
2
2
:
M x
y
r
+
=
上，则圆M 过点N 的切线方程为
2
0
0
x x
y y
r
+
=
.由此类比得椭圆C 在点P 处的切线方程为（ ）
A．
1
33
11
x
y
+
=
B．
1
110
99
x
y
+
=
C．
1
11
33
x
y
+
=
D．
1
99
110
x
y
+
=
10.求双曲线
2
2
1
4
x
y
-
= 在点
4, 3
P
处的切线方程．
题型06 圆锥曲线的第二定义
11.已知点A（( 2, 3)
-
），设点F 为椭圆
2
2
16
12
x
y
+
的右焦点，点M 为椭圆上一动点，求
2
MA
MF
+
的最小值，
并求此时点M 的坐标．
技法指导
1.设 𝑃(𝑥0,𝑦0) 为椭圆 𝑥2
𝑎2 + 𝑦2
𝑏2 = 1 上的点, 则过该点的切线方程为:
𝑥𝑥0
𝑎2 + 𝑦𝑦0
𝑏2 = 1
2. 设 𝑃(𝑥0,𝑦0) 为双曲线 𝑥2
𝑎2−𝑦2
𝑏2 = 1 上的点, 则过该点的切线方程为:
𝑥𝑥0
𝑎2 −𝑦𝑦0
𝑏2 = 1
3. 设 𝑃(𝑥0,𝑦0) 为抛物 线 y2 = 2𝑝𝑥 上的点, 则过该点的切线方程为𝑦𝑦0 = 𝑝(𝑥+ 𝑥0)
技法指导
1.圆锥曲线的第二定义：到定点的距离与到定直线的距离的比是常数e 的点的轨迹叫做圆锥曲线.当0＜
e＜1 时为椭圆；当e＝1 时为抛物线；当e＞1 时为双曲线.
2.第二定义中要注意定点和定直线是相应的焦点和准线，且“点点距为分子、点线距为分母”，其商即是
离心率e.圆锥曲线的第二定义，给出了圆锥曲线上的点到焦点距离与此点到相应准线距离间的关系，要
善于运用第二定义对它们进行相互转化.
12.已知椭圆
𝑥2
𝑎2＋
𝑦2
𝑏2＝1（a＞b＞0），F1，F2 分别是左、右焦点，若椭圆上存在点P，使∠F1PF2＝90°，则椭
圆的离心率e 的取值范围为
.
题型07 阿基米德三角形
13.阿基米德（公元前287 年—公元前212 年）是古希腊伟大的物理学家、数学家、天文学家，不仅在物理
学方面贡献巨大，还享有“数学之神”的称号．抛物线上任意两点𝐴，𝐵处的切线交于点𝑃，称△𝑃𝐴𝐵为“阿基
米德三角形”，当线段𝐴𝐵经过抛物线焦点𝐹时，△𝑃𝐴𝐵具有以下特征：
（1）𝑃点必在抛物线的准线上；
（2）△𝑃𝐴𝐵
为直角三角形，且𝑃𝐴⊥𝑃𝐵；（3）𝑃𝐹⊥𝐴𝐵．已知过抛物线𝑥2 = 16𝑦焦点的直线𝑙与抛物线交于𝐴，𝐵两点，过
点𝐴，𝐵处的切线交于点𝑃，若点𝑃的横坐标为2，则直线𝐴𝐵的方程为（ ）
A．𝑥+ 2𝑦−8 = 0
B．𝑥−2𝑦+ 8 = 0
C．𝑥−4𝑦+ 16 = 0
D．𝑥+ 4𝑦−16 = 0
14.已知抛物线C：x2＝4y，直线y＝kx＋b 与抛物线交于A，B 两点，|AB|＝8，且抛物线在A，B 处的切线相
交于点P，则△PAB 的面积最大值为( )
A．8
B．16
C．16 2
D．32
1.椭圆C 的左、右焦点分别记为
1
2
F
F
、
，过左焦点
1F 的直线交椭圆C 于A、B 两点.若弦长|AB|的最小值为3，
且
2
ABF
△
的周长为8，则椭圆C 的焦距等于（ ）
A．1
B．2
C．
3
D．2 3
2.设F 为抛物线C：y2＝3x 的焦点，过F 且倾斜角为30°的直线交C 于A，B 两点，O 为坐标原点，则△AOB
技法指导
抛物线的弦为
，过
两点做抛物线切线交于
点，称
为阿基米德三角形, 则有:
（1）阿基米德三角形底边上的中线平行于抛物线的轴
（2）若阿基米德三角形的底边即弦
过抛物线内的定点
, 则另一顶点
的轨迹为一条直线
（3）底边为
的阿基米德三角形的面积最大值为
（4）若阿基米德三角形的底边过焦点, 顶点
的轨迹为准线, 且阿基米德三角形的面积最小值为
（5）在阿基米德三角形中,
AB
,
A B
Q
ABQ
AB
C
Q
a
3
8
a
p
Q
2
p
QFA
QFB
=
的面积为( )
A.3 3
4
B.9 3
8
C.63
32
D.9
4
3.已知过圆锥曲线
2
2
1
x
y
m
n
+
= 上一点
,
o
o
P x
y
的切线方程为
0
0
1
x x
y y
m
n
+
= .过椭圆
2
2
1
12
4
x
y
+
= 上的点
3, 1
A
-
作椭圆的切线l ，则过A 点且与直线l 垂直的直线方程为（ ）
A．
3
0
x
y
-
-
=
B．
- 2
0
x
y
+
=
C．2
3
3
0
x
y
+
-
=
D．3
10
0
x
y
-
-
=
4.已知抛物线C 的顶点是原点O，焦点F 在x 轴的正半轴上，经过点F 的直线与抛物线C 交于A，B 两点，
若𝑂𝐴·𝑂𝐵＝－12，则抛物线C 的方程为（ ）
A.x2＝8y
B.x2＝4y
C.y2＝8x
D.y2＝4x
5.（2025·重庆模拟）如图，A，B 分别是椭圆C：
𝑥2
𝑎2＋
𝑦2
𝑏2＝1（a＞b＞0）的左、右顶点，点P 在以AB 为直
径的圆O 上（点P 异于A，B 两点），线段AP 与椭圆C 交于另一点Q，若直线BP 的斜率是直线BQ 的斜
率的4 倍，则椭圆C 的离心率为（ ）
A. 3
3
B.
1
2
C.
3
2
D.
3
4
6.设F1，F2 为椭圆C：y2＋x2
n＝1(0<n<1)的焦点，若在椭圆C 上存在点P，满足∠F1PF2＝120°，则实数n 的
取值范围为( )
A.
1
(0, ]
4
B. 1
[ ,1)
4
C.
2
(0,
]
2
D.
2
[
,1)
2
7.已知F1，F2 分别是椭圆C：
𝑥2
𝑎2＋
𝑦2
𝑏2＝1（a＞b＞0）的左、右焦点，若椭圆C 上存在点M 使得∠F1MF2＝
2α（α≠0），则椭圆C 的离心率e 的取值范围为（ ）
A.（0，sin 2α]
B.（0，sin α]
C.[sin 2α，1）
D.[sin α，1）
8.〔多选〕（2025·浙江温州二模）已知双曲线C：
𝑥2
𝑎2－
𝑦2
𝑏2＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别是F1，F2，
过右焦点F2 的直线l 与双曲线的右支交与A，B 两点，则下列说法中正确的是（ ）
A.弦AB 的最小值为
2𝑏2
𝑎
B.若｜AB｜＝m，则△F1AB 的周长为2m＋4a
C.若AB 的中点为M，且AB 的斜率为k，则kOM·k＝
𝑏2
𝑎2
D.若直线AB 的斜率为3，则双曲线的离心率e∈[2，＋∞）
9.（多选）设椭圆C：
𝑥2
𝑎2＋
𝑦2
𝑏2＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，左、右顶点分别为A1，A2，点P
是C 上异于A1，A2 的一点，则下列结论正确的是（ ）
A.若C 的离心率为
1
2，则直线PA1 与PA2 的斜率之积为－
4
3
B.若PF1⊥PF2，则△PF1F2 的面积为b2
C.若C 上存在四个点P 使得PF1⊥PF2，则C 的离心率的取值范围是（0，
2
2 ）
D.若｜PF1｜≤2b 恒成立，则C 的离心率的取值范围是（0，
3
5］
10.（多选）已知抛物线C：y2＝6x 的焦点为F，O 为坐标原点，倾斜角为θ 的直线l 过点F 且与C 交于
M，N 两点，若△OMN 的面积为3 3，则（ ）
A.sin θ＝
3
2
B.｜MN｜＝24
C.以MF 为直径的圆与y 轴仅有1 个交点
D.
｜𝑀𝐹｜
｜𝑁𝐹｜＝
3
3 或
｜𝑀𝐹｜
｜𝑁𝐹｜＝3
11.过抛物线
2
4
x
y
=
上一点
4,4 的抛物线的切线方程为
.
12.设F 为抛物线C：y2＝3x 的焦点，过F 且倾斜角为30°的直线交C 于A，B 两点，O 为坐标原点，则
△OAB 的面积为
13.已知双曲线x2
a2－y2
b2＝1(a>0，b>0)，过原点的直线与双曲线交于A，B 两点，以线段AB 为直径的圆恰好过
双曲线的右焦点F，若△ABF 的面积为2a2，则双曲线的离心率为________.
14.如图，已知点
0
0
,
P x
y
是双曲线
2
2
1 :
1
4
3
x
y
C
-
= 上的点，过点P 作椭圆
2
2
2 :
1
4
3
x
y
C
+
= 的两条切线，切点为
A 、B ，直线AB 交
1
C 的两渐近线于点E 、F ，O 是坐标原点，则OE OF
×
uuur uuur
的值为
15.如图所示，已知抛物线C1：y2＝2px(p>0)过点(2，4)，圆C2：x2＋y2－4x＋3＝0.过圆心C2 的直线l 与抛物
线C1 和圆C2 分别交于P，Q，M，N，则|PM|＋4|QN|的最小值为________.
