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压轴21 圆锥曲线中二级结论的7 大核心题型
参考答案
压轴题型精讲
题型01 焦点三角形
1.【答案】
或
【解析】设
，则
.
，
又
，
，即
.解得：
.[来源:学科网
所求椭圆的标准方程为
或
.
2.【答案】D
【解析】由e＝
1
2，得
𝑐
𝑎＝
1
2，即a＝2c①.设△F1PF2 的内切圆的半径为r，
因为△F1PF2 的内切圆的面积为3π，所以πr2＝3π，解得r＝3（舍负），
在△F1PF2 中，根据椭圆的定义及焦点三角形的面积公式，
知𝑆△𝐹1𝑃𝐹2＝b2tan
∠𝐹1𝑃𝐹2
2
＝
1
2r（2a＋2c），
【二级结论】椭圆中𝑆△𝑃𝐹1𝐹2＝b2·tan
𝜃
2
即3
3 b2＝3（a＋c）②.又a2＝b2＋c2③.联立①②③得c＝3，a＝6，b＝3 3，
所以该椭圆的长轴长为2a＝2×6＝12.
题型02 周角定理（斜率积为定值）
3.【答案】B
【解析】（常规解法）由题意可知，
(
,0),
( ,0)
A
a
B a
-
，设
1
1
,
P x y
2
AP
PB
K
k
×
=
Q
，
1
1
1
1
2
y
y
x
a x
a
\
×
=
-
+
，即
2
2
2
1
1
2
2
y
x
a
=
-
又
2
2
1
1
2
2
1
x
y
a
b
-
= ，
2
2
2
2
2
2
1
2
2
b
a
x
a
b
a
\
-
=
-
，解得
1x
a
= ± （舍），
2
2
2
b
a
=
1
20
45
2
2
=
+ y
x
1
20
45
2
2
=
+ x
y
=
2
1PF
F
= 90
Q
20
45
tan
2
tan
2
2
2
2
1
=
=
=
=
b
b
b
S
PF
F
Q
3
5
2
2
=
-
=
=
a
b
a
a
c
e
\
9
5
1
2
2
=
- a
b
9
5
20
1
2 =
- a
45
2 =
a
\
1
20
45
2
2
=
+ y
x
1
20
45
2
2
=
+ x
y
技法指导
周角定理：已知点P 为椭圆(或双曲线)上异于顶点的任一点，A，B 为长轴(或实轴)端点，则在椭圆中，
kPA·kPB=-
b2
a2=e2-1，在双曲线中，kPA·kPB=
b2
a2=e2-1.
2
2
1
3
c
b
e
a
a
\ =
=
+
=
，故选B
（结论解法）由结论可得kPA·kPB=-𝑏2
𝑎2=e2-1，即
2
1
2,
3
e
e
- =
\
=
，故选B
4.【答案】C
【解析】（常规解法）设
0
0
,
P x
y
，则有
2
2
0
0
1
4
3
x
y
+
= ，即有
2
2
0
0
3
3
4
x
y -
= -
，
由椭圆方程不妨设短轴端点
,
A B 的坐标分别为
0, 3 、
0,
3
-
，
则
0
2
0
0
0
2
2
0
0
0
0
2
3
3
3
3
3
4
4
AP
BP
y
y
y
k
k
x
x
x
x
x
-
+
-
×
=
×
-
= -
=
=
，故选C.
（结论解法）由椭圆方程
2
2
1
4
3
x
y
+
= ，可得
2
2
4,
3
a
b
=
=
，在椭圆中，kPA·kPB=-
b2
a2=
3
4
-
，故选C
题型03 椭圆、双曲线的焦点弦问题
5.【答案】（－3
2，3
2）
【解析】（1）设P（x0，y0），则｜PF1｜＝a＋ex0，｜PF2｜＝a－ex0，
由角平分线性质知，
｜𝑃𝐹1｜
｜𝑃𝐹2｜＝
｜𝐹1𝑀｜
｜𝑀𝐹2｜，于是得
𝑎＋𝑒𝑥0
𝑎－𝑒𝑥0＝
𝑚＋𝑐
𝑐－𝑚⇒m＝e2x0＝
3
4x0，
因为x0∈（－2，2），所以m∈（－
3
2，
3
2）.
6.【答案】𝑥2
3 －𝑦2
4 ＝1
【解析】如图，令｜F2B｜＝t，则｜AF2｜＝2t，∴｜AB｜＝3t，｜F1B｜＝3t，
又
1
｜𝐴𝐹2｜＋
1
｜𝐵𝐹2｜＝
2𝑎
𝑏2，∴
1
2𝑡＋
1
𝑡＝
2𝑎
𝑏2，即
3
2𝑡＝
2𝑎
𝑏2，
又｜F1B｜－｜F2B｜＝2a，∴3t－t＝2a，∴2t＝2a，∴t＝a，∴
3
2𝑎＝
2𝑎
𝑏2，
即3b2＝4a2，又c＝7，∴a2＋b2＝7，解得b2＝4，a2＝3，故双曲线C 的方程为
𝑥2
3 －
𝑦2
4 ＝1.
题型04 抛物线的的焦点弦问题
7.【答案】C
【解析】∵y2＝4x，∴p＝2，又由题意知
1
｜𝐴𝐹｜＋
1
｜𝐵𝐹｜＝
2
𝑝，∴
1
3＋
1
｜𝐵𝐹｜＝
2
𝑝＝1，∴｜BF｜＝
3
2.
设∠AFx＝θ（0＜θ＜π），由｜AB｜＝｜AF｜＋｜BF｜＝
2𝑝
si𝑛2𝜃＝
4
si𝑛2𝜃，
即3＋
3
2＝
4
si𝑛2𝜃，∴sin2θ＝
8
9，sin θ＝
2 2
3 ，则△AOB 的面积S△AOB＝
𝑝2
2sin𝜃＝
4
2×2 2
3
＝
3 2
2 ，故选C.
8.【答案】ACD
【解析】抛物线C：y2＝2px（p＞0）的准线方程为x＝－1，所以
𝑝
2＝1，则p＝2，所以抛物线C：y2＝4x，
易知过焦点且垂直于对称轴的弦最短，所以｜AB｜的最小值为2p＝4，故A 正确；
如图，过点A 作准线的垂线，垂足为C，交y 轴于A1，F（1，0），根据抛物线的定义可得｜AF｜＝｜
AC｜，所以△QAF 周长为｜AF｜＋｜AQ｜＋｜QF｜＝｜AC｜＋｜AQ｜＋（3－1）
2＋22＝｜AC｜＋｜
AQ｜＋2 2，由图可知，当A，C 与点Q 共线时，｜AC｜＋｜AQ｜有最小值，最小值为Q 到准线x＝－1
的距离，其值为3－（－1）＝4，所以（｜AC｜＋｜AQ｜）min＋2 2＝4＋2 2，故B 错误；易知C 正确；
设直线AB 的方程为x＝my＋1，联立𝑥＝𝑚𝑦+ 1，
𝑦2 = 4𝑥，
整理可得：y2－4my－4＝0，易知Δ＞0，设A（x1，y1），
B（x2，y2），可得y1＋y2＝4m，y1y2＝－4，因为𝐵𝐹＝2𝐹𝐴，所以y2＝－2y1，解得y2＝8m，y1＝－4m，所以
32m2＝4，解得m2＝
1
8，所以k＝±
1
𝑚2＝±2 2，因此D 正确.故选A、C、D.
题型05 切线问题
9.【答案】C
【解析】因为点
(10,3)
P
在椭圆
2
2
2
:
1
99
x
y
C a +
= 上，故可得
2
100
9
1
99
a
+
= ，解得
2
110
a =
；
由类比可得椭圆C 在点P 处的切线方程为：
10
3
1
110
99
x
y
+
= ，整理可得
1
11
33
x
y
+
= ，故选：C.
10.【答案】
3
1
0
x
y
-
- =
【解析】因
4, 3
P
在双曲线上，\双曲线
2
2
1
4
x
y
-
= 在点
4, 3
P
处的切线方程为
3
1
0
x
y
-
- =
.
题型06 圆锥曲线的第二定义
11.【解】如图，过点A 作右准线l 的垂线，垂足为N，与椭圆交于点M．
∵椭圆的离心率
1
2
e =
，∴由第二定义得2 MF
MN
=
，
2
MA
MF
\
+
的最小值为|AN|的长，且
2
8
10
AN =
+
=
，
2
MA
MF
\
+
的最小值为10，此时点M 的坐标为(2 3, 3) ．
12.【答案】［
2
2 ，1）
【解析】设点P（x0，y0），则由第二定义得｜PF1｜＝e（x0＋
𝑎2
𝑐）＝a＋ex0，｜PF2｜＝e（
𝑎2
𝑐－x0）＝a－ex0.
因为△PF1F2 中∠F1PF2＝90°，所以｜PF1｜2＋｜PF2｜2＝｜F1F2｜2.
即（a＋ex0）2＋（a－ex0）2＝（2c）2＝4c2，解得𝑥2
0＝
2𝑐2－𝑎2
𝑒2
，
由椭圆方程中x 的范围知0≤𝑥2
0≤a2.所以0≤
2𝑐2－𝑎2
𝑒2
＜a2，解得
2
2 ≤e＜1.
题型07 阿基米德三角形
13.【答案】C
【解析】抛物线𝑥2 = 16𝑦的焦点𝐹的坐标为(0,4)，准线方程为𝑦= −4，
由题意知，△𝑃𝐴𝐵为“阿基米德三角形”，可得𝑃点必在抛物线的准线上，
所以点𝑃(2,−4)，直线𝑃𝐹的斜率为
4−(−4)
0−2
= −4，
又因为𝑃𝐹⊥𝐴𝐵，所以直线𝐴𝐵的斜率为
1
4，
所以直线𝐴𝐵的方程为𝑦= 1
4𝑥+ 4，即𝑥−4𝑦+ 16 = 0,故选：C．
14.【答案】D
【解析】方法一 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立{
y＝kx＋b，
x2＝4y， 得x2－4kx－4b＝0，
由根与系数的关系得x1＋x2＝4k，x1x2＝－4b，
又|AB|＝1＋k2|x1－x2|＝1＋k2· 16k2＋16b＝8，故k2＋b＝
4
1＋k2，
又x2＝4y，∴y＝1
4x2，∴y′＝1
2x，故直线PA 的方程为y－y1＝1
2x1(x－x1)，
即y＝1
2x1x－1
4x21，同理，直线PB 的方程为y＝1
2x2x－1
4x22，
联立直线PA，PB 方程可得x＝x1＋x2
2
，y＝x1x2
4 ，
即x＝4k
2 ＝2k，y＝x1x2
4 ＝－b，即P(2k，－b)，∴点P 到直线AB 的距离d＝|2k2＋2b|
1＋k2 ，
∴S△PAB＝1
2|AB|·d＝1
2×8×|2k2＋2b|
1＋k2 ＝4×
2
1＋k2·
4
1＋k2＝
3
2
2
32
(1
)
k
+
，
当k＝0 时，(S△PAB)max＝32.
方法二 由阿基米德三角形的性质知(S△PAB)max＝|AB|3
8p ＝83
8×2＝32.
1.【答案】B
【解析】由题意可知
2
2
3 ,4
8,
2,
3,
1
2
b
a
a
b
c
a =
=
\
=
=
\ = ，焦距等于2，故选B．
2.【答案】D
【解析】抛物线C：y2＝3x 中，2p＝3，p＝3
2，故S△OAB＝p2
2sin θ＝
9
4
2sin 30°＝9
4.
3.【答案】B
【解析】过椭圆
2
2
1
12
4
x
y
+
= 上的点
3, 1
A
-
的切线l 的方程为
3
1
12
4
y
x
-
+
= ，即
4
0
x
y
-
-
=
，切线l 的斜率为
1.与直线l 垂直的直线的斜率为-1，过A 点且与直线l 垂直的直线方程为
1
3
y
x
+ = -
-
，即
2
0
x
y
+
-
=
，故
选B
4.【答案】C
【解析】设抛物线为y2＝2px（p＞0），A（x1，y1），B（x2，y2），
则x1x2＝
𝑝2
4 ，y1y2＝－p2，得𝑂𝐴·𝑂𝐵＝x1x2＋y1y2＝
𝑝2
4 －p2＝－
3
4p2＝－12，得p＝4，
即抛物线C 的方程为y2＝8x.故选C.
5.A. 3
3
B.
1
2
C.
3
2
D.
3
4
【答案】C
【解析】根据周角定理可知kAQ·kBQ＝e2－1，又𝑘𝐴𝑄·𝑘𝐵𝑃＝－1，
4𝑘𝐵𝑄＝𝑘𝐵𝑃，
所以kAQ·kBP＝4kAQ·kBQ＝4（e2－1）＝－1⇒e＝
3
2 .故选C.
6.【答案】A
【解析】易知当点P 位于椭圆的左顶点或右顶点时，∠F1PF2 最大，且△PF1F2 的面积也最大，故b2tan θ
2≤
1
2×2c×b.
即
3n≤1
2×2 1－n× n，又0<n<1，故解得0<n≤1
4.
7.【答案】D
【解析】由题，0＜2α＜π，则0＜α＜
π
2，由焦点三角形面积公式得𝑆△𝐹1𝑀𝐹2＝b2tan α，
设M（x0，y0），则｜y0｜≤b，所以𝑆△𝐹1𝑀𝐹2＝
1
2·2c·｜y0｜≤bc，
故𝑆△𝐹1𝑀𝐹2＝b2tan α≤bc，所以bsin α≤ccos α，
两边同时平方得（a2－c2）sin2α≤c2cos2α，解得sin α≤e，
又0＜e＜1，所以sin α≤e＜1.故选D.
8.【答案】ABC
【解析】弦AB 的最小值为通径
2𝑏2
𝑎，故A 正确；
由双曲线的定义得｜AF1｜－｜AF2｜＝2a，｜BF1｜－｜BF2｜＝2a，
所以｜AF1｜＝｜AF2｜＋2a，｜BF1｜＝｜BF2｜＋2a，
｜AF1｜＋｜BF1｜＝｜AF2｜＋2a＋｜BF2｜＋2a＝｜AB｜＋4a，
则△F1AB 的周长为｜AF1｜＋｜BF1｜＋｜AB｜＝2｜AB｜＋4a＝2m＋4a，故B 正确；
由双曲线可得kAB·kOM＝
𝑏2
𝑎2，故C 正确；
若直线AB 的斜率为3，所以
𝑏
𝑎＜3，所以b2＜3a2，所以c2＜4a2，
所以e＝
𝑐
𝑎∈（1，2），故D 错误.故选A、B、C.
9.【答案】BD
【解析】设P（x0，y0），∴
𝑥2
0
𝑎2＋
𝑦2
0
𝑏2＝1，∵e＝
𝑐
𝑎＝
1
2，∴a＝2c，∴a2＝
4
3b2，∴𝑘𝑃𝐴1·𝑘𝑃𝐴2＝－
𝑏2
𝑎2＝－
3
4，∴选项A
错误；若PF1⊥PF2，△PF1F2 的面积为b2tan
π
4＝b2，∴选项B 正确；
若C 上存在四个点P 使得PF1⊥PF2，即C 上存在四个点P 使得△PF1F2 的面积为b2，
∴
1
2·2c·b＞b2，∴c＞b，∴c2＞a2－c2，∴e∈（
2
2 ，1），∴选项C 错误；
若｜PF1｜≤2b 恒成立，∴a＋c≤2b，∴a2＋c2＋2ac≤4b2＝4（a2－c2），
∴5e2＋2e－3≤0，∴0＜e≤
3
5，∴选项D 正确.
10.【答案】AC
【解析】依题意F（
3
2，0），设直线l：x＝my＋
3
2，M（x1，y1），N（x2，y2），由𝑥＝𝑚𝑦＋
3
2 ，
𝑦2 = 6𝑥，
整理得y2－6my
－9＝0，则Δ＝36（m2＋1）＞0，所以y1＋y2＝6m，y1y2＝－9，所以S△OMN＝
1
2×｜y1－y2｜×
3
2＝
3
4×6 𝑚2 + 1
＝3 3，解得3m2＝1，所以m2＝
𝑐𝑜𝑠2𝜃
si𝑛2𝜃＝
1
3，又sin2θ＋cos2θ＝1，解得sin2θ＝
3
4，所以sin θ＝±
3
2 ，又
θ∈[0，π），所以sin θ＝
3
2 ，故A 正确；因为｜MN｜＝1 + 𝑚2· （𝑦1＋𝑦2）
2－4𝑦1𝑦2＝6×
4
3＝8，故B
错误；因为以MF 为直径的圆与y 轴相切，故C 正确；因为
｜𝑀𝐹｜
｜𝑁𝐹｜＝
｜𝑦1｜
｜𝑦2｜，若m＝
3
3 ，则y2－2 3y－9＝0，
解得y＝－3或y＝3 3；若m＝－
3
3 ，则y2＋2 3y－9＝0，解得y＝3或y＝－3 3；即｜y1｜＝3、｜
y2｜＝3 3或｜y2｜＝3、｜y1｜＝3 3，所以
｜𝑀𝐹｜
｜𝑁𝐹｜＝
1
3或
｜𝑀𝐹｜
｜𝑁𝐹｜＝3，故D 错误.故选A、C.
11.【答案】
2
4
y
x
=
-
【解析】因
4,4 在
2
4
x
y
=
上，故切线方程为
4
2(
4)
y
x
-
=
-
，即
2
4
y
x
=
-
.
12.【答案】9
4
【解析】通法：由已知得焦点坐标为F(3
4，0)，因此直线AB 的方程为y＝3
3 (x－3
4)，即4x－4 3y－3＝0.
与抛物线方程联立，化简得4y2－12 3y－9＝0，
则yA＋yB＝3 3，yA·yB＝－9
4，
故|yA－yB|＝（yA＋yB）2－4yAyB＝6.
因此S△OAB＝1
2|OF||yA－yB|＝1
2×3
4×6＝9
4.
优解：由2p＝3，及|AB|＝2p
sin2 α
得|AB|＝2p
sin2 α＝
3
sin2 30°＝12.
原点到直线AB 的距离d＝|OF|·sin 30°＝3
8，
故S△AOB＝1
2|AB|·d＝1
2×12×3
8＝9
4.
13.【答案】3
【解析】如图.设双曲线的左焦点为F′，连接AF′，BF′，
因为以AB 为直径的圆恰好过双曲线的右焦点F(c，0)，
所以S△AF′F＝S△ABF＝2a2 且∠F′AF＝θ＝π
2，
根据双曲线焦点三角形面积公式，得S△AF′F＝b2
tanθ
2
.
所以2a2＝b2，即b2
a2＝2，e＝1＋b2
a2＝3.
14.【答案】1
【解析】椭圆C2 关于点P(x0，y0)的切点弦AB 的方程为x0x
4 ＋y0y
3 ＝1，即3x0x＋4y0y＝12，
由{
3x0x＋4y0y＝12，
y＝
3
2 x，
解得
0
0
0
0
4 3
6
,
3
2
3
2
E
x
y
x
y
+
+
，同理
0
0
0
0
4 3
6
,
3
2
3
2
F
x
y
x
y
-
-
-
.
则OE
→
·OF
→
＝
48
3x20－4y20＋－36
3x20－4y20＝
12
3x20－4y20＝1.
15.【答案】13
【解析】由题设知，16＝2p×2，则2p＝8，
故抛物线的标准方程为y2＝8x，则焦点F(2，0)，
由直线PQ 过抛物线的焦点，则1
|PF|＋1
|QF|＝2
p＝1
2，
圆C2：(x－2)2＋y2＝1 的圆心为(2，0)，半径为1，
4
|
| 1
4(|
| 1) |
| 4 |
| 5
2(|
| 4 |
1 )
5
|)
1
(
PM
QN
PF
QF
PF
QF
PF
F
QF
QF
P
+
=
- +
-
=
+
+
=
+
-
-
4
4
)
2 (
5
4
5
13
PF
QF
PF
QF
QF
PF
QF
PF
+
+
³
×
+
=
=
´
当且仅当|PF|＝2|QF|时，等号成立，故|PM|＋4|QN|的最小值为13.
