压轴22 解析几何中的创新与融合问题的3 大核心题型
随着高考改革的不断深入，高考对学生知识迁移能力、数学思维能力、探究能力的考查不断深入，圆
锥曲线中的创新类试题成为了高考命题的热点，圆锥曲线中的创新类试题一般可分为两类：一是“新定义
曲线”（如2024·新高考Ⅰ卷11 题），二是“新定义交汇题”（如2024·新高考Ⅱ卷19 题）.对于“新定义曲线”
类问题，要研透“新曲线”的定义和性质，从特殊到一般，结合已学过的知识、方法去解决问题.对于“新
定义交汇题”，圆锥曲线可与函数、数列、向量等结合，解这类问题要在深刻理解对应知识的基础上，发现
并挖掘题目中蕴含的信息，灵活变换角度，转化为“熟悉”的问题去解决.
题型01 圆锥曲线与其他知识的交汇
1.（2026·河南周口·模拟）已知点
1
1,
P t
t
+
在抛物线
2
:
4
C x
y
=
上，过点
1P 作斜率为1
- 的直线交C 于另一个
点
1
Q ，设
2P 与
1
Q 关于y 轴对称，再过
2P 作斜率为1
- 的直线交C 于另一个点
2
Q ，设
3P 与
2
Q 关于y 轴对称，
以此类推一直作下去，设
*
,
n
n
n
P
x
y
nÎN
．
(1)求t 的值；
(2)求数列
nx
的通项公式，并求数列
1
n
n
x
y
ì
ü
í
ý
+
î
þ
的前n 项和
nT 的取值范围；
(3)求
*
1
2
n
n
n
P P
P
n
+
+
ÎN
V
的面积．
2.（2026·湖北黄冈·二模）已知向量
cos , sin
OP
r
r
q
q
=
uuur
绕着原点O 沿逆时针方向旋转a 角可得到向量
cos
, sin
OP
r
r
q
a
q
a
=
+
¢
+
uuur
.
(1)求点
2,0
T
绕着原点O 沿逆时针方向旋转π
4 得到的点T¢的坐标；
(2)若曲线E 上的所有点绕着原点逆时针方向旋转π
4 得到曲线E¢ 对应的方程为
2
2
5
5
2
24
x
y
x y
¢
¢
¢ ¢
+
-
=
.
（i）求曲线E 的方程；
（ii）设直线l 过定点
2,0
-
与曲线E 交于点
,
A B ，直线m 过定点
2,0 与曲线E 交于点C ，D ，且l
m
^
，
求
, ,
,
A B C D 四点构成的四边形面积的最小值.
技法指导
解析几何中的数列性质的研究，要依据已有的条件构建数列的递推关系，再对得到的递推关系作消元处
理，从而得到纯粹的单数列的递推关系，这样便于问题的解决.
题型02 曲率与曲率半径问题
3.（2026·广西·月考）曲率是表示曲线在某一点的弯曲程度的数值，曲线的曲率定义如下：若
f
x
¢
是函数
f x 的导函数，
f
x
¢¢
是
f
x
¢
的导函数，则曲线
y
f x
=
在点
0
0
,
P x
f x
处的曲率
0
3
2
2
0
1
f
x
K
f
x
=
é
ù
+ ë
û
¢¢
¢
.
(1)若函数
2
2
3
x
x
x
f
=
-
+ ，求曲线
y
f x
=
在点
1,
1
P
f
处的曲率.
(2)若函数
2
4
( 2
2)
f x
x
x
=
-
- <
<
，证明：曲线
y
f x
=
在其上任意一点处的曲率为定值，且该定值为
1
2 .
(3)已知函数
π
cos
( 2
2)
4
x
f x
a
x
=
- <
<
，若在曲线
y
f x
=
上存在一点
0
0
,
P x
f x
，使曲线
y
f x
=
在点P
处的曲率
1
2
K >
，求a 的取值范围.
4.在几何学常常需要考虑曲线的弯曲程度，为此我们需要刻画曲线的弯曲程度．考察如图所示的光滑曲线
:
C y
f x
=
上的曲线段
AB ，其弧长为s
D ，当动点从A 沿曲线段
AB 运动到B 点时，A 点的切线Al 也随着
转动到B 点的切线Bl ，记这两条切线之间的夹角为q
D
（它等于Bl 的倾斜角与Al 的倾斜角之差）．显然，当
弧长固定时，夹角越大，曲线的弯曲程度就越大；当夹角固定时，弧长越小则弯曲程度越大，因此可以定
义
Δ
Δ
K
s
q
=
为曲线段
AB 的平均曲率；显然当B 越接近A，即s
D 越小，K 就越能精确刻画曲线C 在点A 处
的弯曲程度，因此定义
3
Δ
0
2
2
Δ
lim Δ
1
s
y
K
s
y
q
®
¢
=
+
¢
=
¢
（若极限存在）为曲线C 在点A 处的曲率．（其中y¢，y¢¢ 分
别表示
y
f x
=
在点A 处的一阶、二阶导数）；
技法指导
函数y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的曲率半径的求法：
设曲线y＝f(x)在(x0，y0)处的曲率半径为r，则由公切线及圆的切线性质可得{
f′（x0）＝－
x0－a
y0－b，
f″（x0）＝
r2
（b－y0）3，
由(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2 知[f′(x0)]2＋1＝
r2
（y0－b）2，所以r＝{[f′（x0）]2＋1}
3
2
|f″（x0）|
.
(1)求单位圆上圆心角为45°的圆弧的平均曲率；
(2)求椭圆
2
2
1
5
x
y
+
= 在
3, 10
5
æ
ö
ç
÷
ç
÷
è
ø
处的曲率；
(3)定义
3
2 2
1
y
y
y
¢¢
=
¢
+
j
为曲线
y
f x
=
的“柯西曲率”．已知在曲线
ln
2
f x
x
x
x
=
-
上存在两点
1
1
,
P x
f x
和
2
2
,
Q x
f x
，且P，Q 处的“柯西曲率”相同，求3
3
1
2
x
x
+
的取值范围.
题型03 利用函数性质之间的关系推理论证
5.焦距为2c 的椭圆
2
2
2
2
:
1
x
y
a
b
G
+
= （
0
a
b
>
>
）满足a ､b ､c 成等差数列，称G 为“等差椭圆”.
(1)求G 的离心率；
(2)过
0,
D
a
-
作直线l 与G 有且只有一个公共点，求此直线的斜率k 的值；
(3)设点A 为椭圆的右顶点，P 为椭圆上异于A 点的任一点，Q 为P 关于原点O 的对称点（Q 也异于A ），直
线AP ､AQ 分别与y 轴交于M ､N 两点，判断以线段MN 为直径的圆是否过定点？说明理由.
6.（2025·上海徐汇二模）若给定椭圆
2
2
1
0
0
(
)
C
ax
by
a
b
a
b
+
=
¹
：
＞，＞，
和点
0
0
(
)
N x
y
，
，则称直线
0
0
1
l
ax x
by y
+
=
：
为椭圆C 的“伴随直线”．
（1）若
0
0
(
)
N x
y
，
在椭圆C 上，判断椭圆C 与它的“伴随直线”的位置关系（当直线与椭圆的交点个数为0
个、1 个、2 个时，分别称直线与椭圆相离、相切、相交），并说明理由；
（2）命题：“若点
0
0
(
)
N x
y
，
在椭圆C 的外部，则直线l 与椭圆C 必相交．”写出这个命题的逆命题，判断此
逆命题的真假，说明理由；
（3）若
0
0
(
)
N x
y
，
在椭圆C 的内部，过N 点任意作一条直线，交椭圆C 于A、B，交l 于M 点（异于A、
B），设
1
2
,
MA
AN MB
BN
l
l
=
=
uuuv
uuuv uuuv
uuuv
，问
1
2
l
l
+
是否为定值？说明理由．
技法指导
对于“新定义曲线”类问题，理解“新曲线”的定义（方程）是关键，通过“新曲线”的定义（方程）
结合图形，与学过的研究圆锥曲线的思路及方法进行合理联想，利用曲线与方程思想即可解决问题.
1．（2025·湖南长沙一模）设双曲线
2
2
:
1
3
y
x
G
-
= ，正项数列
nx
满足
1
1
x = ，对任意的
2
n ³
，
*
N
nÎ
，都有
1
, 3
n
n
x
x -
是G 上的点．
（1）求数列
nx
的通项公式；
（2）记
1
2
2
3
1
1
1
1
...
n
n
n
S
x
x
x
x
x
x +
=
+
+
+
+
+
+
，是否存在正整数m ，使得
2
2
1
33
m
y
x
S
-
= 与G 有相同的渐近线？如
果有，求出m 的值；如果没有，请说明理由．
2.（2025·上海浦东新·三模）设椭圆
1
E 的长半轴长为
1a 、短半轴长为
1b ，椭圆
2
E 的长半轴长为
2a 、短半轴长
为
2b ，若
1
1
2
2
a
b
a
b
=
，则我们称椭圆
1
E 与椭圆
2
E 是相似椭圆.已知椭圆
2
2
:
1
2 +
=
x
E
y
，其左顶点为A 、右顶点
为B .
（1）设椭圆E 与椭圆
2
2
:
1
2
x
y
F
s +
= 是“相似椭圆”，求常数s的值；
（2）设椭圆
:
G
2
2
2
x
y
l
+
=
（0
1
l
<
< ），过A 作斜率为
1k 的直线1l 与椭圆G 只有一个公共点，过椭圆E 的上
顶点为D 作斜率为
2k 的直线2l 与椭圆G 只有一个公共点，求
1
2
k k 的值；
（3）已知椭圆E 与椭圆
2
2
:
1
2
x
y
H
t
+
= （
2
t >
）是相似椭圆.椭圆H 上异于A 、B 的任意一点
0
1
(
,
)
C x
y ，且椭
圆E 上的点
0
2
(
,
)
M x
y
（
1
2
0
y y >
）求证：AM
BC
^
.
3．（2025·河北沧州二模）在平面直角坐标系中，若点
,
P x y 的横、纵坐标均为整数，则称
,
P x y 为格点，
若曲线Γ 上存在3 个格点构成三角形，则称Γ 为“3 格曲线”.
(1)若椭圆
2
2
2
:
1(1
2)
4
x
y
C
b
b
+
=
<
<
为“3 格曲线”，求C 的离心率；
(2)若椭圆
2
2
2
:
1(0
2)
4
x
y
C
b
b
+
=
<
<
上存在
4
n n ³
个格点，且从中任取3 个格点构成三角形，设该三角形的
一个顶点为C 的左顶点的概率为
P n ，求
P n ；
(3)若直线:
2
l y
x
=
+
上存在2 个格点
,
M N ，使得
2
MK
NK
+
=
，其中K 为曲线D ：
2
2
2
1
0
4
x
y
b
b
+
=
>
与y
轴正半轴的交点，求b 的值.
4．（2026·甘肃武威一模）曲线的曲率是描述几何弯曲程度的量，曲率越大，曲线的弯曲程度越大．曲线在
点M 处的曲率
3
2
2
1
y
K
y
=
+
¢¢
¢
（其中y¢表示函数
( )
y
f x
=
在点M 处的导数，y¢¢ 表示导函数
( )
f
x
¢
在点M 处的
导数）．在曲线
( )
y
f x
=
上点M 处的法线（过该点且垂直于该点处的切线的直线为曲线在此处的法线）指向
曲线凹的一侧上取一点D,使得
1
|
|
MD
K
r
=
=
，则称以D 为圆心，以r 为半径的圆为曲线在M 处的曲率圆，
因为此曲率圆与曲线弧度密切程度非常好，且再没有圆能介于此圆与曲线之间而与曲线相切，所以又称此
圆为曲线在此处的密切圆．
(1)求出曲线
2
2
1 :
2
C
y
x
-
=
在点
(0, 2)
M
处的曲率，并在曲线
2 :
1
C
xy = 的图象上找一个点E，使曲线
2
C 在点
E 处的曲率与曲线
1
C 在点
(0, 2)
M
处的曲率相同；
(2)若要在曲线
2
2
1 :
2
C
y
x
-
=
上支凹侧放置圆
3
C 使其能在
(0, 2)
M
处与曲线
1
C 相切且半径最大，求圆
3
C 的方
程；
(3)在（2）的条件下，在圆
3
C 上任取一点P，曲线
1
C 上任取关于原点对称的两点A，B，求PA PB
×
uuur uuur 的最大值．
5．（2026 云南大理模拟）刻画曲线的弯曲程度是几何研究的重要内容，曲线的曲率是针对曲线上某个点的
切线方向角对弧长的转动率，曲线的曲率越大，表示曲线的弯曲程度越大.若记
'
''f
x
f
x
¢
é
ù
= ë
û ，则函数
y
f x
=
在点
0
0
,
P x
y
处的曲率
''
0
3
2
2
0
1
f
x
K
f
x
=
é
ù
ê
¢
+
ú
ë
û
.
(1)求曲线
ln
y
x
=
在点
1,0 处的曲率；
(2)已知函数
2
3
2
3
ln
3
2
a
g x
x
x
x
x
=
-
-
，
1
0, e
a
æ
ö
Îç
÷
è
ø ，若存在
1
x ，
2x 使得
g x 的曲率为0，求证：
1
2
8
2ln
ln
3
x
x
+
>
.
6.中国结是一种手工编制工艺品，因其外观对称精致，符合中国传统装饰的审美观念，广受中国人喜爱. 它
有着复杂奇妙的曲线，却可以还原成单纯的二维线条，其中的“八字结”对应着数学曲线中的伯努利双纽线.
在xOy 平面上，我们把与定点
1
,0
F
a
-
，
2
,0
0
F
a
a >
距离之积等于
2
a 的动点的轨迹称为伯努利双纽线，
1F ，
2F 为该曲线的两个焦点. 数学家雅各布•伯努利曾将该曲线作为椭圆的一种类比开展研究. 已知曲线
2
2
2
2
2
:
9
C
x
y
x
y
+
=
-
是一条伯努利双纽线.
(1)求曲线C 的焦点
1F ，
2F 的坐标；
(2)试判断曲线C 上是否存在两个不同的点A，B（异于坐标原点O），使得以AB 为直径的圆过坐标原点O.
如果存在，求出A，B 坐标；如果不存在，请说明理由.
7.（2025·湖北黄冈·二模）已知向量
cos , sin
OP
r
r
q
q
=
uuur
绕着原点O 沿逆时针方向旋转a 角可得到向量
cos
, sin
OP
r
r
q
a
q
a
=
+
¢
+
uuur
.
(1)求点
2,0
T
绕着原点O 沿逆时针方向旋转π
4 得到的点T¢的坐标；
(2)若曲线E 上的所有点绕着原点逆时针方向旋转π
4 得到曲线E¢ 对应的方程为
2
2
5
5
2
24
x
y
x y
¢
¢
¢ ¢
+
-
=
.
（i）求曲线E 的方程；
（ii）设直线l 过定点
2,0
-
与曲线E 交于点
,
A B ，直线m 过定点
2,0 与曲线E 交于点C ，D ，且l
m
^
，
求
, ,
,
A B C D 四点构成的四边形面积的最小值.
8..（2025·山东潍坊·二模）双曲线
2
2
2
:
0
C x
y
a
a
-
=
>
的左、右顶点分别为A 、
1A ，点
1A 到C 的渐近线的
距离为
2
2 ．
(1)求C 的方程；
(2)按照如下方式依次构造点
n
A （
2
n ³
且nÎN ）：过点
1
n
A - 作斜率为2
- 的直线交C 于另一点
1
n
B - ，设
n
A 是
点
1
n
B - 关于实轴的对称点，记点
n
A 的坐标为
,
n
n
x
y
．
（i）证明：数列
n
n
x
y
-
、
n
n
x
y
+
是等比数列，并求数列
nx
和
ny
的通项公式；
（ii）记
1
n
n
A AA +
△
的面积为S ，
1
1
n
n
A A A +
△
的面积为T ，求S
T 的最大值．
