文档文本内容
专题10 立体几何中球的内切与外接问题
目录
高频考情深度解读（高考命题规律透视+培优备考要求）
核心考点系统梳理（重难知识图谱+解题结论与高效技巧）
聚焦题型精准解密（5 大题型精讲+变式拔高训练）
题型一 长方体 / 正方体背景下的外接球问题（
）
题型二 三棱锥外接球（线面垂直型）（
）
题型三 几何体的内切球问题（多面体 / 旋转体）（
）
题型四 球的截面与最值问题（
）
题型五 旋转体（圆锥、圆台、圆柱）的外接球问题（
）
实战演练高效提分（高考仿真模拟+限时训练提升）
高考中题型分布：仍以选择题、填空题为主，分值占比 5~10 分，偶尔结合解答题第一问考查外接球
表面积 / 体积计算，属于 “中档稳拿分” 模块。
基础知识必备：外接球核心：掌握长方体 / 正方体外接球直径与体对角线的关系（长方体：
2 R =√a
2+b
2+c
2；正方体：外接球2 R =a√3、内切球2 R =a、棱切球2 R =a√2）；三棱锥外接球的两类
核心模型（对棱相等补成长方体、线面垂直型）；旋转体（圆锥、圆台、圆柱）外接球的轴截面转化逻辑。
内切球核心：多面体（棱锥、棱台）内切球的体积分割法（V = 1
3 S表⋅r）；旋转体（圆锥、圆台）内切
球的轴截面等面积法，牢记圆台内切球的隐含条件（母线长l =r1+r2）。截面与最值：熟练应用球的截面
性质（r
2= R
2−d
2，r 为截面圆半径，d 为球心到截面距离）；掌握球面上点到平面距离、截面面积、球面
两点间距离的最值求解逻辑。基础工具：正弦定理（求底面多边形外接圆半径r =
a
2sin A ）、勾股定理
（构建外接球半径R 的方程）、空间几何体的体积与表面积公式（含棱锥、棱台、旋转体）。
2026 高考预测：考查重点：长方体 / 正方体背景下的外接球问题（基础送分）、三棱锥外接球（线面垂
直型为高频考点）、球的截面与最值问题（能力拔高），旋转体（圆锥、圆台）外接球问题考查频率上升。
命题趋势：① 补形法、轴截面转化法的深度应用，强调 “空间问题平面化”；② 跨模块融合，如结合
1
函数求截面面积最值、结合体积公式求外接球半径；③ 新情境设计，如以正八面体、组合体（圆柱 + 圆
锥）为载体，考查内切球与外接球综合；④ 隐性条件增多，如通过体积、线面角间接给出棱长或高，需
先推导再计算。
重难知识汇总：外接球模型体系：补形类：三棱锥 “对棱相等”“三条棱两两垂直”“线面垂直且底面
为矩形” 时，补成长方体 / 正方体，共享外接球。线面垂直类：三棱锥有一条棱垂直底面（底面为多边
形），设棱长为h，底面外接圆半径为r，则R
2=r
2+(
h
2)
2
（球心在底面外接圆圆心的垂线上，距离底面h
2
处）。旋转体类：圆锥（R
2=r
2+(h−R)
2，r 为底面半径，h 为高）；圆台（R
2=r1
2+(h−d )
2=r2
2+d
2，d
为球心到下底面距离）；圆柱（R =√
r
2+(
h
2)
2
）。内切球关键条件：多面体：内切球与各面均相切，核心
是 “体积分割”，需准确计算表面积（含所有面，棱台需算上下底 + 侧面）。旋转体：圆锥轴截面为等
腰三角形，内切圆半径通过等面积法求解；圆台需满足 “母线长 = 上底半径 + 下底半径” 才存在内切
球。最值问题核心逻辑：截面面积最值：d 最小（过球心）时截面面积最大（S = π R
2），d 最大（垂直于
球心与截面内某点连线）时截面面积最小。点到平面距离最值：球心到平面距离为d0，则最大值为d0+ R，
最小值为|d0−R|。
常用技巧方法：补形法：针对 “对棱相等”“三线垂直” 的三棱锥，补成长方体 / 正方体，快速转化为
已知模型求外接球。轴截面法：处理旋转体（圆锥、圆台、圆柱）的内切 / 外接球问题，将空间几何转化
为等腰三角形、等腰梯形的平面几何问题。体积分割法：多面体内切球半径求解的核心方法，先求几何体
体积V 和表面积S表，再代入r = 3V
S表
。正弦定理求底面外接圆半径：底面为三角形时，利用r =
a
2sin A 快速
求解，避免复杂几何推导。勾股定理建模：通过球心、底面外接圆圆心、顶点构建直角三角形，建立关于
R 的方程（核心方程思想）。最值转化法：将截面面积、点到平面距离等最值问题，转化为 “球心到截面
/ 平面距离d 的范围问题”，简化计算。
易错避坑提效： 补形法误区：未验证三棱锥是否满足补形条件（如 “对棱相等” 需三组对棱均相等），
盲目补形导致错误。外接球半径公式混淆：线面垂直型三棱锥误将R
2=r
2+(
h
2)
2
记为R
2=r
2+h
2，忽略球
心位置在高的中点附近。内切球存在条件遗漏：圆台未验证 “母线长 = 上底半径 + 下底半径”，直接
套用公式求解内切球半径。表面积计算错误：体积分割法中漏算棱台的上下底面、棱锥的某个侧面，导致
S表偏小，r 偏大。截面最值逻辑颠倒：误将 “球心到截面距离最大” 当成截面面积最大，实际d 与r 成
反比。旋转体轴截面失误：圆锥轴截面未取过轴线的截面，导致内切圆半径计算错误；圆台轴截面未保证
等腰梯形的对称性。单位换算与公式记错：混淆球的表面积（4 π R
2）与体积（4
3 π R
3）公式，或计算体
对角线时忘记开根号。
2
题型一 长方体 / 正方体背景下的外接球问题
方法点拨： 核心结论：长方体（长 a、宽 b、高 c）的外接球直径等于体对角线，即
；正方体（棱长 a）外接球直径
，内切球直径 2R=a，棱切球直径
。 补形法适用场景：三棱锥满足 “对棱相等”“线面垂直且底面为矩形” 等条件时，可补成
长方体，利用长方体外接球与原几何体外接球相同求解。 关键步骤：先判断几何体是否可补成长方体，
再通过棱长关系或体积、表面积条件求出体对角线，进而得外接球半径。
【典例01】（2025·四川凉山·一模）(多选题)四边形ABCD 中，
，
，
则（ ）
A．若M 为CD 的中点，则
B．直线AD 与BC 所成角的余弦值为
C．
D．空间四边形ABCD 外接球的表面积为
【答案】ACD
【分析】根据空间向量的线性运算以
为基底计算即可判断A；根据空间四边形的棱长结合余弦
定理计算
的值，从而利用空间向量的线性运算与数量积计算
，即可判断
B；计算
，从而得数量积
即可判断C；根据空间四边形的对棱长度相等，将几何体补成
长方体，按照长方体计算外接球的表面积即可判断D.
【详解】
3
对于A，若M 为CD 的中点，则
，故A 正确；
对于B，因为
，
，所以由余弦定理得：
，
又
，所以
，
故直线AD 与BC 所成角的余弦值为
，故B 不正确；
对于C，因为
，又
，
所以
，则
，故C 正确 ；
对于D，由于空间四边形ABCD 中，
，
，
所以如下图将空间四边形ABCD 补成长方体
，
则空间四边形ABCD 外接球即长方体的外接球，
所以外接球半径
4
所以外接球的表面积为
，故D 正确.
故选：ACD.
【典例02】（2025·河北秦皇岛·三模）已知正方体
的各顶点都在球
的表面上，若球
的表面积为
，则平面
截球
所得的截面面积为 ．
【答案】
/
【分析】根据给定条件，求出正方体的棱长，再求出
外接圆面积即可.
【详解】由球
的表面积为
，得球的半径为
，则正方体
的体对角线长为
，
正方体
的棱长为2，则正
边长为
，其外接圆半径
，
则
外接圆面积为
，所以平面
截球
所得的截面面积为
.
故答案为：
【变式01】（2025·四川广安·模拟预测）在三棱锥
中，三条棱
，
，
两两垂直，且
，
，
.若点
为三棱锥
的外接球球面上任意一点，则
到面
距离的最大
值为（ ）
A．
B．
5
C．
D．
【答案】C
【分析】根据题意，易得外接球半径
，利用正弦定理得到截面
的外接圆半径为
，从而
得到球心
到
面的距离，结合题意即可得到最大值.
【详解】三棱锥
的外接球就是以
、
、
为长、宽、高的长方体的外接球，
其直径为
，即
，
又
，所以
，
则
，于是由正弦定理，
的外接圆半径为
，
故球心
到
面的距离为
.
所以点
到面
距离的最大值是
.
故选：C.
【变式02】（2025·上海浦东新·三模）已知三棱锥
的四个顶点均在球
的表面上，且
，
，
，
．若点
到底面
的距离为1，则球
的表面积为（ ）．
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】依据线面垂直的判定定理来确定线面垂直关系，再利用长方体的体对角线与外接球直径的关系求
出球的直径，进而求出球的半径和表面积.
【详解】因为
平面
，所以
底面
，
因为点
到底面
的距离为1．所以
．
因为
平面
，
所以
平面
，而
平面
，故
，
，
即该球的直径为
6
所以球的半径为
．
故选：B
【变式03】（2025·江西新余·模拟预测）四面体的每一组对棱的长度相等，分别为
，
，
，则该
四面体的体积为 ，该四面体的外接球的表面积为 .
【答案】
【分析】由题意可作图，将符合题意的四面体放在正四棱柱中，利用分割法，根据四棱柱与三棱锥的体积
公式，可得空一的答案；根据正四棱柱的外接球，结合球的表面公式，可得空二的答案.
【详解】不妨设四面体为
，
，
，
，
可将四面体
放置在长方体中，如图所示:
设长方体的同一顶点处的三条棱长分别为a，b，c，则
，解得
，
，
，
则四面体
的体积
，
该四面体的外接球即为长方体的外接球，设其半径为R，则
，
7
所以球的表面积为
.
故答案为：
；
.
题型二 三棱锥外接球（线面垂直型）
方法点拨：模型特征：存在一条棱垂直于底面（底面为三角形或四边形），底面多边形的外接圆半径
可通过正弦定理求解（
)，a 为底面三角形一边，A 为对应内角）。 核心公式：设垂直底面的
棱长度为 h，底面外接圆半径为 r，则外接球半径 R 满足
（球心在底面外接圆圆心的垂
线上，距离底面
处）。 关键步骤：先证明线面垂直关系，再求底面外接圆半径，最后通过勾股定理构
建方程求 R。
【典例01】（2025·四川达州·二模）三棱锥
各个顶点均在球
表面上，
，
外接圆
的半径为
，点
在平面
的射影为
中点，且
与平面
所成的角为
，则球
的表面积为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】连接
，所以O 必在
上，在
中求得
，在
中得
，由勾股定理计算得球半
径，从而得球面积．
【详解】取
中点
，连接
，点
在平面
的射影为
点，
又因为
，所以
外接圆圆心为
，所以O 必在直线
上，
8
因为
，
外接圆的半径为
，所以
是
外接圆的圆心，
，
因为
平面
，
与平面
所成的角为
，
则
，从而
，
设球O 的半径为R，在
中，
，则
，解得
，
所以球O 的表面积为
.
故选：B．
【典例02】（2025·河北保定·一模）已知三棱锥
中，
平面
，
，
，
，则三棱锥
的外接球表面积（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】先根据正弦定理求底面
外接圆半径，再根据三棱锥
外接球半径
求得
外接球半径，进而求外接球表面积.
【详解】在
中，
，
，
所以
，所以
.
设
外接圆半径为，则
.
又
平面
，且
，设三棱锥
的外接球半径为
，
9
则
.
所以三棱锥
的外接球表面积为：
.
故选：D
【变式01】（2025·江西·模拟预测）已知点A，B，C，D 都在半径为3 的球面上，且
是边长为
的正三角形，则三棱锥
体积的最大值为 .
【答案】
【分析】先求出
外接圆的半径，再结合球的半径求出球心到平面
的距离，进而得到点
到平
面
的最大距离，最后根据三棱锥体积公式求出体积的最大值.
【详解】设
外接圆的圆心为
，半径为.
由正弦定理，在正
中，
，
，则
.
因为
，所以
，即
，解得
.
已知球的半径
，球心
到平面
的距离
，
外接圆的半径，根据勾股定理
，
可得
.
当点
，球心
，
共线且
与
在平面
同侧时，点
到平面
的距离最大，最大距离
10
.
根据正三角形面积公式，可得
.
根据三棱锥体积公式，可得
.
故答案为：
.
【变式02】（2025·广东江门·模拟预测）在三棱锥
中，
，
，
，
且三棱锥
的体积为
，则该三棱锥外接球的表面积为 ．
【答案】
【分析】先根据三棱锥的体积，求三棱锥的高，再根据三棱锥的几何性质，确定三棱锥外接球球心的位置
和外接球的半径，利用球的表面积公式求面积.
【详解】如图：
在
中，
，
，所以
.
取
中点
，则
为
外接圆的圆心，且
外接圆半径为
.
连接
，因为
，所以
.
又
（
）.
所以
，即
.
11
又
平面
，
，所以
平面
.
所以
.
所以三棱锥
外接球的球心在线段
上，设为
，再设三棱锥
外接球的半径为
，
在
中，
，
，
,
由
.
所以三棱锥
外接球的表面积为
.
故答案为：
【变式03】（2025·河南·模拟预测）已知球
是正三棱锥
的外接球，
，
过点
作球
的截面，若截面面积为
，则直线
与该截面所成的角为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】作
平面
，垂足为
，由正三棱锥性质求出
及外接球的半径
，进而求得
，利
用球的截面性质求解.
【详解】如图，作
平面
，垂足为
，则
是正三角形
的中心，
因为
，
，
所以
，则
，
因为
，取
的中点
，所以
，
，
12
设正三棱锥外接球的半径为
，则
，得
，
所以
，故
，
设过点
的球
的截面圆的半径为，圆心为，
为截面圆上一点，
，则
，
所以
，则
，
所以
与该截面所成角为
，故
，
，即
与该截面所成角为
.
故选：C.
题型三 几何体的内切球问题（多面体 / 旋转体）
方法点拨：多面体（棱锥、棱台）内切球：核心是 “体积分割法”，即 V=1/3×S 表 ×r（V 为几何
体体积，S 表为表面积，r 为内切球半径）。 旋转体（圆锥、圆台）内切球：借助轴截面转化为平面几
何问题，圆锥轴截面为等腰三角形，内切圆半径可通过等面积法求解；圆台轴截面为等腰梯形，内切圆需
满足 “腰长 = 上底 + 下底”（可内切条件）。 关键步骤：先求几何体的体积和表面积（或轴截面面
积），再代入公式求解半径，注意内切球存在的隐含条件（如圆台需满足母线长 = 上底半径 + 下底半
径）。
13
【典例01】（2025·云南·三模）正三棱台
的上、下底边长分别为6，18，该正三棱台内部有一
个内切球（与上、下底面和三个侧面都相切），则正三棱台的表面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】由几何体结构特征，得到内切球与上、下底面切点为上下底的重心，作截面图，设内切球半径为
r，根据球的性质，求得
，得到正三棱台的高为，结合棱台的表面积公式，即可求解.
【详解】由题意知，正三棱台
的上、下底边长分别为
和
，
可得上下底正三角形的高分别为
，
，
由几何体结构特征，可得内切球与上、下底面切点为上下底的重心，
故如图甲所示，作截面，得到图乙，
设内切球半径为r，则
，解得
，所以正三棱台的高为6，
所以
.
故选：D．
【典例02】（2025·广西北海·模拟预测）已知一个正四棱锥的底面边长为
，内切球的体积为
，则
这个正四棱锥的体积为（ ）
14
A．
B．
C．
D．16
【答案】C
【分析】由内切球的体积为
可求内切球的半径.设球与正四棱锥底面切于点
，侧面切于点
，设
，延长
交底面于点
.根据正四棱锥的底面边长及
即可求解
的值，利用棱锥体
积公式即可求解.
【详解】因为内切球的体积为
，所以内切球的半径为1.
如图所示，设球与正四棱锥底面切于点
，侧面切于点
，设
，延长
交底面于点
.
因为正四棱锥的底面边长为
，
所以
.
又
，所以
，即
，解得
.
所以
，所以正四棱锥的体积为
.
故选：C.
【变式01】（2025·四川德阳·三模）六氟化硫分子结构为正八面体结构（正八面体每个面都是正三角形）.
若一正八面体的内切球表面积为
，外接球表面积为
，则
的值为（ ）
A．
B．
C．3
D．4
15
【答案】C
【分析】根据正八面体的结构特征可得外接球的半径，利用等积法可得内切球半径，进而利用球的表面积
公式即可求得.
【详解】如图正八面体，连接
和
交于点
，
因为
，
，所以
，
，
又
平面
，
平面
，
，
所以
平面
，
设正八面体的外接球的半径为
，内切球半径为，
假设正八面体的棱长为
，
则
，
，
，
，
，
因
，则
，且
为正八面体的中心，
则点
到平面
的距离为内切球半径，
因为
，即
，
即
，所以
，
所以
.
故选：C.
16
【变式02】（2025·湖南·二模）已知
是直三棱柱，a，b，c 分别是角A，B，C 的对边，且满
足
，
，若三棱柱
有内切球，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据正弦定理及两角和的正弦公式化简可得
，进而结合等面积法求得
的内切圆半径，
即可求得三棱柱
内切球的半径，进而求解即可.
【详解】由
，
根据正弦定理得，
，
则
，
因为
，所以
，则
，即
，
则
，又
，
所以
，所以
，即
，
设
的内切圆半径为，
则
，即
，
要使三棱柱
有内切球，说明内切球半径刚好为
，
所以三棱柱的高
为内切球的直径，即
.
故选：B.
【变式03】（2025·甘肃平凉·模拟预测）已知侧棱长为
，底面边长为
的正三棱锥
，其内切
17
球球心为
，球
与球
以及三棱锥
的三个侧面均相切，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】设球
的半径为
，三棱锥
的表面积为，根据体积分割法，求得
，设
在底面
内的射影为
，在
上取点
，使得
，过
作平面
的平行平面
，求得
，设球
的半径为
，求得
，进而求得
的长.
【详解】设球
的半径为
，三棱锥
的表面积为，
则
，
解得
，
又由
，且
，
可得
，
设
在底面
内的射影为
，
因为
在
上，在
上取点
，使得
，
过
作平面
的平行平面
，交
，
，
于点G，T，H，
如图所示，则
也是正三棱锥，球
即为该三棱锥的内切球，
又因为
，
设球
的半径为
，则
，所以
，
18
所以
.
故选：B.
题型四 球的截面与最值问题
方法点拨：截面性质：球的截面圆半径 r 满足 r ²=R ²-d ²（R 为球半径，d 为球心到截面的距离），
截面面积最值由 d 的范围决定（d 最小则 r 最大，截面面积最大；反之则最小）。 最值常见类型：球
面上两点间距离最值（过球心的大圆劣弧长）、点到平面距离最值（球心到平面距离 ±R）、截面面积最
值（结合 d 的取值范围）。 关键步骤：先确定球心位置和半径，再分析球心到截面、点到平面的距离关
系，利用几何性质或函数思想求最值。
【典例01】（2025·河北秦皇岛·三模）已知球
是正三棱锥
的外接球，
是边长为
的正三
角形，
，
为
边上的一点，且
与平面
所成角的正切值为
.若过点
的球
的截面
面积为
，则
与该截面所成的角为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】作
平面
，垂足为
，由正三棱锥性质求出
及外接球的半径
，进而求得
，利
用球的截面性质求解.
【详解】如图，作
平面
，垂足为
，则
是正三角形
的中心，
因为
，
，
所以
，则
，
19
所以
为
与平面
所成角，故
，
，
设正三棱锥外接球的半径为
，则
，得
，
所以
，故
，
如图，设过点
的球
的截面圆的半径为，圆心为，
为截面圆上一点，
，则
，
所以
，则
，
所以
与该截面所成角为
，故
，
，即
与该截面所成角为
.
故选：B.
【典例02】（2025·贵州六盘水·模拟预测）(多选题)在直四棱柱
中，
，
，
20
点
，
在以线段
为直径的圆
上运动，且
，
，
三点共线，点
，
分别是线段
，
的
中点，则下列说法中正确的是（ ）
A．平面
平面
B．当四棱柱
的体积最大时，
C．当
时，过
的平面截该四棱柱的外接球所得截面面积的最小值为
D．当
时，过点
，
，
的平面截该四棱柱所得的截面周长为
【答案】ABD
【分析】对A：借助线面垂直判定定理先证
平面
，再借助面面垂直判定定理即可得；对B：
利用基本不等式可得
时，四棱柱
的体积最大时，则可建立适当空间直角坐标
系求证；对C：求出球心到直线
的距离后借助垂径定理计算即可得；对D：作出所需平面计算周长即
可得.
【详解】对A：由直四棱柱性质可得
，由
为直径，则
，
又
，
、
平面
，故
平面
，
又
平面
，故平面
平面
，故A 正确；
对B：由
，则
，
21
则
，
当且仅当
时，等号成立，
即四棱柱
的体积最大时，
，同理
，
则此时四棱柱
为正方体，
则可以
为原点，建立如图所示空间直角坐标系，
有
、
、
、
、
，
则
，
，有
，
故
，故B 正确；
对C：当
时，则由B 可得此时四棱柱
为正方体，
有
、
，则
，
由正方体性质可得该正方体的外接球球心为
，设为
，
则
，外接球半径为
.
则点
到直线
的距离
，
又该截面面积取最小时，点
到该截面的距离为
，
22
则
，故C 错误；
对D：取
中点
，连接
、
、
、
、
，
则
且
，又
，故
，
故
、
、
、
四点共面，即所求截面为四边形
，
则截面周长为
，故D 正确.
故选：ABD
【变式01】（2025·云南昭通·模拟预测）已知球
的半径为3，正方体
所有顶点均在球面
上，点
是棱
的中点，过点
作球
的截面，则所得截面面积的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据正方体对角线长就是球的直径求出正方体的棱长，结合当
与截面垂直时，截面圆的半径
最小，此时截面圆面积最小，进而可得答案．
【详解】设正方体棱长为
，则正方体对角线长就是球的直径
，
球心O 是正方体对角线中点，
由正方体对角线公式
，解得
．
因为点
是棱
的中点，当
与截面垂直时，截面圆的半径最小，此时截面圆面积最小．
因为
，
，勾股定理
，解得
，
设截面圆半径为，则
，
23
所以截面面积
，
故选：C．
【变式02】（24-25 高三下·重庆南岸·月考）如图，已知正方形
的边长为4，
点在边
上且
，将
沿
翻折到
的位置，使得
．空间四点
的外接球为球
，
过
点作球
的截面
，则
截球
所得截面面积的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据给定条件，确定球心
的位置并求出球半径，再利用圆的截面性质求出截面面积最小值.
【详解】如图，取
的中点为
，
由正方形
的边长为4，得
，
24
因此
为四面体
的外接球球心，外接球半径
，
设球心到平面
的距离为
，截面圆的半径为，
则有
，即
，
当
截面
时，
最大，此时截面面积最小，且
，
在
中，
，
，
．
由余弦定理可得，
．
此时
，所以截面面积最小值为
.
故选：C
【变式03】（2025·河北·模拟预测）在四面体
中，
，
，
，
则该四面体的外接球的表面积为 ；E，F 分别是
，
的中点，若用一个与直线
垂直且与四
面体的每个面都相交的平面
去截该四面体，由此得到一个多边形截面，则该多边形截面面积的最大值为
．
【答案】
/
【分析】将四面体
补形成长方体，由题设可得出长方体的各棱长，进而求解外接球的半径，再根据
球的表面积公式计算即可；分析可得截面
与直线
垂直，平行于上底面
，结合三角形相似
可得
，设
，求出
，再结合三角形面积公式及基本不等式求解即可.
【详解】如图，将四面体
补形成长方体，
设长方体的棱长
，那么四面体
的六条棱长都是它的面对角线.
则有
，解得：
，
25
而四面体
的外接球即为长方体的外接球，
则外接球的半径为
，
所以外接球的表面积为
；
由
分别是
，
中点，即为长方体两个底面的中心，
而截面
与直线
垂直，平行于上底面
，
故
，
，
根据平行截比定理得到
，
，且
，
则
，而
，故有
，
设
，而
，
故
，
则截面面积
.
故答案为：
；
.
题型五 旋转体（圆锥、圆台、圆柱）的外接球问题
方法点拨：圆锥外接球：轴截面为等腰三角形，设圆锥底面半径 r、高 h，外接球半径 R，通过勾股
定理建立方程 R ²=r ²+(h-R)²（球心在圆锥高所在直线上）。 圆台外接球：轴截面为等腰梯形，设上底
26
半径 r₁、下底半径 r₂、高 h，外接球半径 R，利用勾股定理 R ²=r₁ ²+(h-d)²=r₂ ²+d ²（d 为球心到下底
面的距离），联立求解。 关键步骤：优先作轴截面，将空间问题转化为平面几何问题，通过几何关系建
立关于 R 的方程，注意球心位置可能在几何体内部或外部。
【典例01】（25-26 高三上·贵州遵义·月考）圆台的上、下底面半径分别为、
，且
，母线
，
圆台的表面积为
，若球
为圆台的外接球，且球心在圆台内部，则该球的表面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】如图，根据圆台的表面积公式和勾股定理求出球的半径，结合球的表面积公式计算即可求解.
【详解】如图，设圆台的高为，上、下底面圆的圆心分别为
，圆台外接球的半径为
，
圆台的表面积为
，
解得
，
，则
.
由图可知
，
有
，即
，
解得
，则
，
所以外接球的表面积为
.
故选：C
【典例02】（2025·天津·一模）如图，几何体
为一个圆柱和圆锥的组合体，圆锥的底面和圆柱的一个底
面重合，圆锥的顶点为
，圆柱的上、下底面的圆心分别为
、
，若该几何体
存在外接球（即圆锥的
顶点与底面圆周在球面上，且圆柱的底面圆周也在球面上）．已知
，则该组合体的体积等于
27
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】由组合体的特征确定球心在
中点，再由
得出底面半径，进而得出组合体体积.
【详解】设该组合体外接球的球心为
，半径为
，易知球心在
中点，则
.
则圆柱的底面半径为
，
则该组合体的体积等于
.
故选：A
【变式01】（2025·湖北·模拟预测）已知圆锥的母线长为6，其内切球和外接球球心重合，则该圆锥外接
球的表面积为（ ）
A．48π
B．36π
C．24π
D．12π
【答案】A
【分析】根据内切球和外接球球心重合，得到角之间的关系，继而可求外接球半径.
【详解】
28
因为内切球和外接球球心重合，如图可以得到
所以外接球半径
，
∵
，∴
因此圆锥外接球的表面积为48π.
故选：A.
【变式02】（23-24 高三下·重庆·期中）(多选题)圆锥内半径最大的球称为该圆锥的内切球，若圆锥的顶点
和底面的圆周都在同一个球面上，则称该球为圆锥的外接球.如图，圆锥
的内切球和外接球的球心重合，
且圆锥
的底面直径为6，则（ ）
A．设圆锥的轴截面三角形为
，则其为等边三角形
B．设内切球的半径为
，外接球的半径为
，则
C．设圆锥的体积为
，内切球的体积为
，则
D．设
是圆锥底面圆上的两点，且
，则平面
截内切球所得截面的面积为
【答案】ABD
【分析】作出圆锥的轴截面，依题意可得
为等边三角形，设球心为
（即为
的重心），即可
求出
的外接圆和内切圆的半径，即可为圆锥的外接球、内切球的半径，即可判断A、B，由圆锥及球
29
的体积公式判断C，
所对的圆心角为
（在圆
上），设
的中点为
，即可求出
，不妨设
为
上的点，连接
，过点
作
交
于点
，利用三角形相似求出
，即可求出截面圆的半
径，从而判断D.
【详解】作出圆锥的轴截面如下：
因为圆锥
的内切球和外接球的球心重合，所以
为等边三角形，故A 正确；
又
，所以
，
设球心为
（即为
的重心），所以
，
，
即内切球的半径为
，外接球的半径为
，所以
，故B 正确；
设圆锥的体积为
，则
，
内切球的体积为
，则
，所以
，故C 错误；
设、
是圆锥底面圆上的两点，且
，则
所对的圆心角为
（在圆
上），
设
的中点为
，则
，不妨设
为
上的点，连接
，则
，
过点
作
交
于点
，则
，所以
，
即
，解得
，
30
所以平面
截内切球截面圆的半径
，
所以截面圆的面积为
，故D 正确；
故选：ABD
【点睛】关键点点睛：本题解答的关键是由题意得到圆锥的轴截面三角形为等边三角形，从而确定外接球、
内切球的半径.
【变式03】（2025·安徽·一模）已知顶点为
的圆锥的外接球为球
为底面圆的一条直径，
是母线
的中点，
为底面圆的中心，
为线段
的中点，若
是边长为2 的正三角形，则球
的表面积
为 ，
与该圆锥底面所成角的正切值为 .
【答案】
/
【分析】取
的中点
，连接
，取
的中点
，连接
，
，
，根据已知得
，进
而求出外接球的半径，即可得球的表面积，应用几何法求线面角的正切值.
【详解】取
的中点
，连接
，取
的中点
，连接
，
，
.
因为
是边长为2 的正三角形，所以
，
31
所以
设球
的半径为
，由
，得
，
故球
的表面积为
.
易知
圆锥底面，则
是
与该圆锥底面所成的角，
所以
与该圆锥底面所成角的正切值为
.
故答案为：
，
（限时训练：15 分钟）
1．（25-26 高三上·青海西宁·月考）一个棱长为3 的正方体的顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】分析可得球的直径是正方体的体对角线，代入数据，可求出球的半径，代入表面积公式，即可得
答案.
【详解】因为棱长为3 的正方体的八个顶点都在同一个球面上，
所以球的直径是正方体的体对角线，即球的半径
，
所以球的表面积为
.
故选：A．
32
2．（2025·贵州铜仁·三模）在三棱锥
中，已知
平面
，
，
．
若该三棱锥的顶点都在同一个球面上，则该球的体积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据三棱锥两两垂直的特性将三棱锥补为长方体，三棱锥外接球的半径为所补长方体的直径，计
算求出半径，代入体积公式可得结果.
【详解】因为
平面
，
，
，
，所以
，即
．
把三棱锥
补成长方体，长方体的体对角线就是外接球的直径
．
根据长方体体对角线公式
，则
，
球的体积
.
故选：C．
3．（2025·辽宁·三模）已知三棱锥
中，
，面
面
，该三棱锥外接球半径为
，
则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．1
D．
【答案】C
【详解】如图，平面
与平面
外接圆圆心分别为
、
，
外接圆半径分别为
、
，
三棱锥外接球球心为
，半径
，
中点为
，
33
由球的性质知
平面
，
平面
，
，
，
∵
为
中点，∴
，
，
∵面
面
，∴
，
即四边形
为矩形，∴
，
，
∴
，
，
解得，
，
，
由正弦定理，
，
，
故选：C.
4．（2025·浙江嘉兴·三模）若某正四面体的内切球的表面积为
，则该正四面体的外接球的体积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据给定条件，结合正四面体的结构特征，再求出其外接球的半径即可.
【详解】正四面体的内切球与其外接球球心重合，
如图，正四面体
内切球与外接球球心
在其高
上，
34
则
是正四面体
内切球半径，
是正四面体
外接球半径，
由正四面体
的内切球的表面积为
，得
，令
，
，
，
，
在
中，
，解得
，
，
所以该正四面体的外接球的体积
.
故选：C
5. （2025·四川眉山·模拟预测）已知某圆锥的轴截面是边长为6 的等边三角形，则该圆锥的内切球的表面
积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】利用轴截面的性质及平面几何知识即可求出内切球半径，再根据球的表面积公式即可求解.
【详解】如图，设该圆锥内切球的球心为
，半径为，
球
切该圆锥的母线
于点
，
为该圆锥底面圆的圆心，
则
，
，因为
，所以
，又
，
，则
，解得
，
故该圆锥的内切球的表面积为
.
故选：C
35
6. （2025·河南·模拟预测）已知球
是正三棱锥
的外接球，
，过点
作球
的截面，若截面面积为
，则直线
与该截面所成的角为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】作
平面
，垂足为
，由正三棱锥性质求出
及外接球的半径
，进而求得
，利
用球的截面性质求解.
【详解】如图，作
平面
，垂足为
，则
是正三角形
的中心，
因为
，
，
所以
，则
，
因为
，取
的中点
，所以
，
，
设正三棱锥外接球的半径为
，则
，得
，
所以
，故
，
36
设过点
的球
的截面圆的半径为，圆心为，
为截面圆上一点，
，则
，
所以
，则
，
所以
与该截面所成角为
，故
，
，即
与该截面所成角为
.
故选：C.
7. （2025·江苏盐城·模拟预测）现有一块棱长为2 的正四面体木料，用平行于该木料底面的一个平面将木
料截成两部分，若这两部分的表面积相等，则该平面在木料上的截面面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】画出图形，设
，分别求出四面体
的表面积和三棱台
的表面积，由这
两部分的表面积相等，求出
，即可求出截面面积.
【详解】如图正四面体
，
，
，令
，截面
，
因为
，所以
，即
，则
，
，所以四面体
为正四面体，
四面体
的表面积为：
，
37
设梯形
的高为
，
的高为
，
所以梯形
的面积为
，
所以三棱台
的表面积为：
，
又
，所以
，解得：
，
所以截面
.
故选：D.
8. （25-26 高三上·江西·开学考试）已知圆台的上底面积，下底面积分别为
，体积为
，则该圆台的
外接球表面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据圆台的底面面积和体积公式，求得圆台的底面圆半径以及高；再根据外接球球心的几何特点，
列出等量关系，进而求得球半径，再求球的表面积即可.
【详解】设该圆台的上底面和下底面半径分别为
，高为；
由题可知：
，
，解得
；
设圆台上底面、下底面圆心为
，外接球球心为
，球半径长度为
，
显然，球心
在
的连线上，设
，根据题意，作图如下所示：
38
若要满足题意，则
，也即
，
，解得
，
故
，则该圆台外接球表面积
.
故选：B.
9. （24-25 高三上·广西南宁·期中）我校开设通用技术选修课程，在学习完通用技术的必修模块——技术
与设计后，老师要求学生使用硬纸片制作一个表面积为
的圆柱（硬纸片的厚度不记），记该圆柱的底
面半径为，则当圆柱的外接球表面积取得最小值时，
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】利用几何关系列方程，结合基本不等式求解即可.
【详解】
设圆柱的高为，
则
，故
设圆柱的外接球半径为
，则
，
39
故
，
当且仅当
，
时，等号成立，
故当
时，圆柱的外接球表面积取得最小值.
故选：C
10. （24-25 高三下·贵州贵阳·月考）已知一个圆台的上、下底面半径分别为2 和4，母线长为6，则此圆台
外接球与内切球表面积之比为（ ）
A．2
B．
C．
D．3
【答案】C
【分析】利用轴截面图形，把空间问题转化为平面问题，再利用解三角即可得解.
【详解】取圆台轴截面
如图所示，
外接球球心
在中轴线
上．
由勾股定理可知，
，设
，
，
则
, 解得
．
先设
的中点
到
的距离为
，
40
再用等面积法可得：
，
则有：
，
此时
，
从而可知内切球半径
，
所以，该圆台外接球和内切球表面积之比为
，
故选：C．
41
