01一元二次函数的图象与性质
巩固练习
考点1：二次函数一般式中各参数的集合意义
A组
1
如图所示，当ab > 0时，函数y = ax2与f(x) = ax + b的图象是 （
）
A.
B.
C.
D.
2
已知二次函数y=ax +bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列结论中正确的是（
）
A. a＞0
B. 3是方程ax +bx+c=0的一个根
C. c＜0
D. 当x＜1时，y随x的增大而减小
2
2
3
若函数f (x) = x2 + (a + 2)x + 3，x ∈[a, b]的图象关于直线x = 1对称，则b =
.
4
已知二次函数y = ax2 + bx + c（其中a > 0，b > 0，c < 0），关于这个二次函数的图象有如下说法：①图象的开
口一定向上；②图象的顶点一定在第四象限；③图象与x轴的交点至少有一个在y轴的右侧.以上说法正确的个数为
（）
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
1
考点2：定轴定区间值域问题
A组
1
求函数y = −x2 + 2x + 3, x ∈[0, 3]的最大值和最小值.
B组
1
已知函数f (x) = x2 −4x + 5
（1）写出函数y随x增大而增大的x的区间范围
（2）求f (x)在[1，4]上的最值
（3）求f (x)在[3，6]上的最值
（4）求f (x)在[−2，0]上的最值
2
考点3：R上的恒成立值域问题
B组
1
函数f (x) = √mx2 −2mx + 4的x在R上函数恒有意义，则实数m的取值范围是
3
02 集合的概念及表示方法
巩固练习
考点1：集合的定义
A组
1
下列对象能组成集合的是
①桃浦中学一部分学生
②倒数等于自身的实数
③超过100页的书
④世界知名艺术家
⑤方程x2 + 1 = 0的全体解
考点2：集合的分类
A组
1
判断下列各组对象能否构成集合．若能构成集合，指出是有限集还是无限集；若不能构成集合，试说明理由．
(1)
上海各区的名称；
(2)
尾数是5的自然数；
(3)
我们班身高大于1.7m的同学．
4
考点3：集合的性质
A组
1
若−3 ∈{a −3, 2a −1, a2 −1}，则a的值为（
）
A. －1
B. 0
C. 1
D. 2
考点4：方程解与元素个数问题
B组
1
若集合A = {x ax2 + 2x −1 = 0, x ∈R}只有一个元素，则实数a的取值范围是
．
∣
2
已知集合A = {x ax2 −3x + 2 = 0, x ∈R}.若集合A中至多有一个元素，则实数a的取值范围是（
）
A. a ≥9
8
B. a ≥9
8 或a = 0
C. a > 9
8 或a = 0
D. a < 9
8 或a = 0
∣
考点5：列举法表示集合
A组
1
用列举法表示下列集合：
（1）方程组{
的解集；
（2）不大于10的非负奇数集；
（3）A = {x|x ∈Z,
6
4 −x ∈N}．
x + y = 3
x −y = 1
5
B组
1
已知集合A={x|-2<x<2,x∈Z},B={y|y=x +1,x∈A},则集合B用列举法表示是
.
2
考点6：描述法表示集合
A组
1
被7除余2的所有自然数组成的集合可以表示为
.
B组
1
用描述法表示下列集合：
(1)
被3除余1的所有自然数组成的集合；
(2)
比1大又比10小的所有实数组成的集合；
(3)
平面直角坐标系中坐标轴上所有点组成的集合.
考点8：符号运用
A组
1
用符号“∈”或“∉”填空．
（1）0
N；
（2）−√2
R；
（3）3π
Q；
（4）−10
Z．
6
考点9：元素与集合的关系问题
A组
1
下列写法正确的是（
）.
A. 0 ∈{(0, 1)}
B. 1 ∈{(0, 1)}
C. (0, 1) ∈{(0, 1)}
D. (0, 1) ∈{0, 1}
2
已知集合A＝{1,2,3}，B＝{(x，y)|x∈A，y∈A，x＋y∈A}，则B中所含元素的个数为
．
3
设集合A = {x, xy, xy −1}，其中x ∈Z，y ∈Z且y ≠0. 若0 ∈A，则用列举法表示集合A =
B组
1
已知A = {x|x = a + b√3, a ∈Z, b ∈Z}
（1）试写出集合A的五个元素；
（2）判断下列元素是否属于A：0，−√3，√12，3√2，1
2 −√3；
（3）若x ∈A, y ∈A，试判断x + y, xy与A的关系.
7
03 集合和集合的关系
巩固练习
考点1：子集与真子集的概念
B组
1
集合A＝{﹣1，2，4}，B＝{2，m2}，B ⊆A，则m＝
．
2
已知集合A = {1}，B = {x x2 + 3x + a = 0}，若A ⊆B，则实数a的值为
．
∣
3
已知集合M = {x|x = kπ
4 + π
4 , k ∈Z}，集合N = {x x = kπ
8 −π
4 , k ∈Z}，则（
）
A. M ∩N = ∅
B. M ⊆N
C. N ⊆M
D. M ∪N = M
∣
考点2：符号运用
A组
1
若集合A = {x x2 −2x + 1 = 0}，B = {x x2 −1 = 0}，则A
B.（用符号“⊂”“=”或“⊃”连接）
∣∣
2
用适当的符号（∈、∉、=、、）填空：
（1）∅
{0}；
（2）{y |y = 3x}
{x y = (x −1)2 + 1}.
∣
8
考点3：集合相等
B组
1
若集合A = {x|ax2 −ax + 2 = 0} = ∅，则实数a的取值范围是
.
考点5：子集个数的求算
A组
1
集合P满足P ⊂{(x, y)|x2 + y2 = 4, x, y ∈Z}，则这样的集合P有
个．
考点6：子集个数的应用
B组
1
已知集合P满足{a, b} ⊂P ⊆{a, b, c, d, e}，则集合P的个数有
个；
考点8：集合关系中的参数取值问题
A组
1
已知集合A = {x|x2 + x −6 = 0}，B = {x|mx + 1 = 0}，若B ⊆A，求实数m的取值范围．
9
B组
1
已知a ∈R，x ∈R，集合A = {2, 4, x2 −5x + 9}，B = {3, x2 + ax + a}，C = {x2 + (a + 1)x −3, 1}.
（1）求使集合A = {2, 3, 4}的x的值；
（2）求使2 ∈B，B ⊆A的a，x的值；
（3）求使集合B = C的a，x的值.
2
已知A = {x x2 + 4x = 0}，B = {x x2 + 2 (a + 1)x + a2 −1 = 0}.
(1)
若A ∩B = A，求实数a的值；
(2)
若B是A的真子集，求实数a的取值范围.
∣∣
10
04 集合的基本运算
巩固练习
考点1：交并补集的定义
A组
1
已知全集U = R, A = (1, +∞), B = [√2, √5)，则A ∩B =
.
–
2
若集合A = {(x, y) |x + y = 0}, B = {(x, y) |2x −y = 3}，则A ∩B =（
）
A. {1, −1}
B. {−1, 1}
C. {(1, −1)}
D. {(−1, 1)}
3
若全集U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}, A = {3, 5, 8}, B = {7, 9, 10}，则A ∪B =
.
–
B组
1
已知A = (−∞, 0]，B = [a, +∞)，且A ⋃B = R，则实数a的取值范围为
.
考点2：已知交并补集求参数取值问题
A组
1
设全集U = {2, 3, a2 + 2a −3}，A = {3, a}，若A = 5，则实数a =
.
–
B组
1
已知集合A={x|3≤x≤7}，B={x|2＜x＜10}，C={x|x-a<0}．
（1）求A∪B；
（2）求（∁A）∩B；
（3）若A∩C=A，求实数a的取值范围．
R
11
考点3：交并补集与一元二次方程的根
B组
1
已知集合A = {x|x2 + (p −1)x + q = 0}，B = {x|(x −1)2 + p (x −1) + q = x + 1}，当A = {2}时，求集合B．
考点4：交集的运算性质
A组
1
已知集合A={x｜-2≤x≤5}，B={x｜m≤x≤2m-1}
A∩B="B"，求m的取值范围．
考点5：并集的运算性质
A组
1
若A, B是全集U的真子集，则下列四个命题：①A ∩B = A；②A ∪B = A；③A ∩B = ∅;④A ∩B = U;⑤B ⊆A中
与命题A ⊆B等价的有（
）
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个
–
–
12
考点6：补集的运算性质
A组
1
设全集U = {1，2，3，4，5，6，7，8}，集合S = {1，3，5}，集合T = {3，6}，则S ∩T =
．
–
B组
1
设全集U={(x, y)|x, y ∈R}．集合M {(x, y)| y −3
x −2 = 1}，N = {(x, y)|y ≠x + 1}，则∁(M ⋃N)等于
．
U
考点7：利用文氏图解决交并补问题
A组
1
设全集为U，集合A, B是U的子集，用交、并、补运算符号表示图中阴影部分集合为
．
2
给定全集U，A，B是U的子集，且A ⊆B，则（
）
A. A ⊆B
B. A ∩B = ∅
C. A ∪B = U
D. A ⊆B
–
–
B组
1
将集合A ∩C ∩∁UB在如图中用阴影部分表示出来
.
2
设全集U = {1, 2, 3, 4, 5}，若A ∩B = {2}，A ∩B = {4}，A ∪B = {1, 5}，则A =
．
–
–
13
3
设全集U =｛x|x ⩽20的素数｝，(∁UB) ⋂A = {3, 5}，(∁UA) ⋂B = {7, 19}，(∁UA) ⋂(∁UB) = {2, 17}，求集合A
，B．
考点8：文氏图的实际应用
B组
1
某班有36名同学参加数学、物理、化学课外探究小组，每名同学至少参加一个至多参加两个小组.已知参加数学、
物理、化学小组的人数分别为26、15、13，同时参加数学和物理小组的有6人，同时参加物理和化学小组的有4人，
则同时参加数学和化学小组的有
人.
14
05 常用逻辑关系
巩固练习
考点1：命题的概念
A组
1
已知下列语句:①一束美丽的花;②x>3;③2是一个偶数;④若x=2,则x -5x+6=0.其中是命题的个数是
( )
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
2
考点2：命题的判断
B组
1
设U为全集，下面三个命题中为真命题的是（
）
A. 若A ∩B = ∅，则(∁UA) ∪(∁UB) = U；
B. 若A ∪B = U，则(∁UA) ∩(∁UB) = ∅；
C. 若A ∩B = ∅，则A = B = ∅；
D. 若A ∪B = ∅，则A = B = ∅.
考点3：命题与推出关系
B组
1
已知命题p：x ﹣4x﹣5≤0，命题q：x ﹣2x＋1﹣m ≤0(m＞0)．
（1）若p是q的充分条件，求实数m的取值范围；
（2）若m＝5，命题p和q中有且只有一个真命题，求实数x的取值范围．
2
2
2
15
考点4：充分条件与必要条件
A组
1
若m, n ∈R，则“m + n ≥0”是“m ≥0且n ≥0”的
条件．
2
下列说法正确的是（
）
A. x ∈Z是x ∈N的必要不充分条件
B. x ≥3是x > 5的充分不必要条件
C. 若q ⇒p，则p是q的充分条件
D. 一个四边形是矩形的充分条件是它是平行四边形
3
俗话说“便宜没好货”，这句话的意思是，“不便宜”是“好货”的（
）条件
A. 充分非必要
B. 必要非充分
C. 充要
D. 非充分非必要
考点5：已知条件关系求参数取值
B组
1
设α：1 ≤x ≤3；β: m + 1 ≤x ≤2m + 4，m ∈R，若α是β的充分不必要条件，则m的取值范围是
考点6：命题的反设
B组
1
对于命题“若a ∈R且a −√2是有理数，则a是无理数”，用反证法证明时，假设a是有理数后下面到处矛盾的方法：
①因为a是有理数，√2是无理数，所以a −√2是无理数，这与a −√2是有理数矛盾；
②因为a −√2有理数，√2是无理数，所以a是无理数，这与a是有理数矛盾；
③因为a是有理数，a −√2是有理数，所以a −a + √2 = √2是有理数，这与√2是无理数矛盾；
其中，推理正确的序号是
.
16
考点7：反证法在证明题中的应用
A组
1
已知实数x, y满足x + y = 2，则下列结论的证明更适合用反证法的是（
）
A. 证明xy ≤1
B. 证明x, y中至少有一个不大于1
C. 证明x2 + y2 ≥2
D. 证明x, y可能都是奇数
B组
1
用反证法证明命题“设n ∈Z，已知n2是偶数，则n是偶数”时，应假设
.
2
若x ∈R, a = x2 −x, b = x2 −3x + 2.证明：a, b至少有一个不小于0.
17
06 等式的性质
巩固练习
考点1：等式的性质
A组
1
已知4m + 2n −5 = m + 5n，利用等式的性质比较m与n的大小关系：m
n(填“>”“<”或“=”)．
B组
1
下列运用等式的性质进行的变形中，正确的是（
）
A. 如果a = b，那么a+c = b −c
B. 如果 a
c = b
c ，那么a = b
C. 如果a = b，那么 a
c = b
c
D. 如果a2 = 3a，那么a = 3
考点2：方程及方程的解
A组
1
设k ∈R，若关于x与y的二元一次方程组{
的解集为空集，则k =
.
3x −y = 1
kx −y = 2
B组
1
关于x，y的方程组{
的解集，不正确的说法是（
）
A. 可能是空集
B. 必定不是空集
C. 可能是单元素集合
D. 可能是无限集
ax −3y = 6
3x −2y = 4
18
C组
考点3：一元二次方程的解集
A组
1
关于x的方程(k −1)x2 −2(k −2)x + k + 1 = 0的解集为非空集合，则实数k的取值范围是
．
B组
1
若方程组{
有唯一的实数解(x, y)，则r的值是
A. 0
B. 1
C. 1
2
D. −1
2
x2 + y2 = r
x + y = a −r
C组
1
记关于x的三个方程分别为：
①x2 + a1x + 1 = 0；
②x2 + a2x + 2 = 0；
③x2 + a3x + 4 = 0，其中a1, a2, a3是正实数，且满足a2
2 = a1a3．
则下列选项中，能推出方程③无实根的是（ ）
A. 方程①有实根，且②有实根
B. 方程①有实根，且②无实根
C. 方程①无实根，且②有实根
D. 方程①无实根，且②无实根
考点4：韦达定理的应用
A组
1
若关于方程x2 −2ax + 5 + 2a = 0的两实根的平方和为14，则实数a的值为
．
19
B组
1
已知函数f(x) = ax2 + bx + c有两个零点x1，x2，则可设f(x) = a (x −x1) (x −x2)，由
ax2 + bx + c = a (x −x1) (x −x2) = ax2 −a (x1 + x2)x + ax1x2可知x1 + x2 = −b
a ，x1x2 = c
a ，这就是一元二次
方程根与系数的关系，也称韦达定理．多项式运算可以更好地理解“韦达定理”，类似地，若x1, x2, x3为方程
ax3 + bx2 + cx + d = 0(a ≠0)的3个实数根，设ax3 + bx2 + cx + d = a (x −x1) (x −x2) (x −x3)，则
−a (x1 + x2 + x3)为x2的系数，a (x1x2 + x1x3 + x2x3)为x的系数，−ax1x2x3为常数项，于是有
x1 + x2 + x3 = −b
a ，x1x2 + x2x3 + x3x1 = c
a ，x1x2x3 = −d
a 实际上任意实系数n次方程都有类似结论．设方程
(x −1)4 + (x −1)3 −7(x −1)2 + 5 = 0的四个实数根为x1, x2, x3, x4，则x1 + x2 + x3 + x4 =
，x1x2x3x4 =
．
20
07 不等式的性质
巩固练习
考点1：作差法比较两实数的大小
A组
1
已知x, y ∈R，比较x2 + y2与2(2x −y) −5的大小.
B组
1
（1）已知x ∈R，比较2x2 + 3x −1与7x −3的大小；
（2）已知a > 0，b > 0，若a + b > 4，求证：
a
b + 2 和
b
a + 2 中至少有一个大于1
2 .
21
C组
1
（1）设a, b ∈R，比较a2 + b2与2(2a −b) −5的大小.
（2）解关于x的不等式mx −2 ≥3x −4m，其中m ∈R.
考点2：作商法比较两实数的大小
A组
1
若a > b > 0，求证：aabb > (ab)
a + b
2
．
22
B组
1
设a, b ∈R+，试比较aabb与abba的大小.
考点3：不等式的基本性质
A组
1
若a < b < 0下列不等式中：①a
b < 1；②|a| > |b|；③1
b2 < 1
a2 ； ④1
a < 1
b ，成立的有（
）个
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
B组
1
设a, b为实数，则“a < b < 0”是“ 1
a > 1
b ”的（
）条件.
A. 充分不必要
B. 必要不充分
C. 充要
D. 既不充分也不必要
C组
1
已知非零实数a、b满足a > b，则下列不等式一定成立的是（
）
A. a−1 > b−1
B. a2 > b2
C. a3 > b3
D. |a| > |b|
23
考点4：叠加性的应用
B组
1
已知−1 < 2a + b < 2，3 < a −b < 4，求5a + b的取值范围.
考点5：不等式性质的应用
B组
1
已知a､b都是正实数，且b
a = b −a.
(1)
求证：a > 1；
(2)
求b的最小值.
24
08 不等式的解法（一）
巩固练习
考点1：一元一次不等式的解法
A组
1
不等式组{
无实数解，则m的取值范围是
.
x < 5
x > m
B组
1
不等式ax > b (b ≠0)的解集不可能是（
）
A. (−∞, b
a )
B. R
C. (−∞, −b
a )
D. ( b
a , +∞)
考点2：一元二次不等式的解法
A组
1
x ∈R ，则 “ x ≥2 ” 是 “ x2 −x > 0 ” 的（
）
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
B组
1
已知集合A = {x|x2 −4x < 0, x ∈N∗}，则集合A的真子集的个数为（ ）
A. 3
B. 4
C. 8
D. 7
C组
1
若“x > a”是“x2 −2x −3 < 0”的必要不充分条件，则实数a的取值范围是（ ）
25
A. (−∞−1)
B. (−∞−1]
C. (−1, +∞)
D. [−1, +∞)
考点3：根据不等式的解集求参数
A组
1
已知一元二次不等式x2 + bx + c < 0的解集为(1, 2)，则不等式bx2 −5x + c ≥0的解集是
.
B组
1
若不等式(1 −a)x2 −4x + 6 > 0的解集是{x ∣−3 < x < 1}．
(1)
求实数a的值；
(2)
当(b2 −1)x2 −2 (b −1)x + a −4 > 0的解集为∅时，求实数b的取值范围．
考点4：含参一元二次不等式的解法
B组
1
求下列关于x的不等式的解集：
(1)
5
x −7 ≥−1；
(2)
2a2x2 −3ax −2 > 0.
26
考点5：一元二次不等式在实数集上恒成立问题
B组
1
若关于x的不等式2kx2 + kx + 1
8 > 0对于一切实数x都成立，求实数k的取值范围．
C组
1
已知函数h(x) = ax2 + ax + 2．
(1)
若对于任意x ∈R，不等式h(x) > −1恒成立，求实数a的取值范围；
(2)
当a < 0时，解关于x的不等式h(x) < (1 −a)x + 4．
27
考点6：一元二次不等式在某区间上恒成立问题
B组
1
若对关于x的不等式2kx2 + kx + 1
8 > 0对一切任意x ∈(−1
8 , +∞)都成立，则实数k的取值范围是
.
C组
1
已知关于x的不等式kx2 −2x + 6k < 0 (k > 0)．
(1)
若不等式的解集为A = (2, 3)，求实数k的值；
(2)
若不等式在x ∈(2, 3)时恒成立，求实数k的取值范围．
28
09 不等式的解法(二)
巩固练习
考点1：不含参分式不等式的解法
A组
1
不等式2x −1
x
< 0的解集是
.
B组
1
不等式
x
x2 −4x + 6 ≥1的解集为
．
考点2：含参分式不等式的解法
A组
1
已知
ax
x −1 < 1的解集是{x ∣x < 1或x > 2}，求实数a的值．
29
B组
1
已知不等式ax2 + bx + 1 > 0的解集为{x −1
2 < x < 1
3 }，则a + b =
，此时不等式ax + 3
x −b ≤0的解集为
．
∣
考点3：单绝对值不等式的解法
A组
1
下列不等式中，与|x −2|＜3的解集相同的是(
)
A. x2 −4x −5＜0
B. x + 1
x −5 ≤0
C. (5 −x)(x + 1)＜0
D. x2 + 4x −5＜0
B组
1
不等式x2 −5 |x| −6 < 0的解集是_____________.
A. (−1, 6)
B. (−6, 1).
C. (−1, 1)
D. (−6, 6)
C组
1
不等式 x −1 < |2x −1| < x 的解集为 .
考点4：双绝对值不等式的解法
A组
1
解下列不等式：
(1)|2x −1| −|x −2| < 0；
(2)|x −1 |+|x −3| ≥4.
30
B组
1
解下列不等式：
(1)
2
x < x + 1；
(2)
|x| +
1
x + 1
> x +
1
x + 1 ．
∣∣∣
考点5：含参绝对值不等式的解法
B组
1
关于 x 的不等式 |x + 3| −|x −1| ⩽a2 −5a 的解集不是 ∅，则实数 a 的取值范围为
．
31
10 基本不等式（一）
巩固练习
考点1：积定和最小(积为定值时和有最小值)
A组
1
已知x > 1，则x +
4
x −1 的取值范围是
.
B组
1
《九章算术》中“勾股容方”问题：“今有勾五步，股十二步，问勾中容方几何？”魏晋时期数学家刘徽在其《九章算
术注》中利用出入相补原理给出了这个问题的一般解法：如图（1），用对角线将长和宽分别为b和a的矩形分成两
个直角三角形，每个直角三角形再分成一个内接正方形（黄）和两个小直角三角形（朱、青）．将三种颜色的图形
进行重组，得到如图（2）所示的矩形，该矩形长为a+b，宽为内接正方形的边长d．由刘徽构造的图形可以得到许
多重要的结论，如图（3），设D为斜边BC的中点，作直角三角形ABC的内接正方形的对角线AE，过点A作AF⊥BC
于点F，则下列推理正确的是（ ）
A. 由题图（1）和题图（2）面积相等得d =
2ab
a + b
B. 由AE ≥AF可得√a2 + b2
2
≥a + b
2
C. 由AD ≥AE可得√a2 + b2
2
≥
2
1
a + 1
b
D. 由AD ≥AF可得a2 + b2 ≥2ab
32
考点2：一正二定三相等
A组
1
x ∈R，且使代数式有意义，则下列代数式中最小值为2的是（
）
A. x + 1
x
B. 2x + 2−x
C. x2 + 4
x2
D. √x2 + 2 +
1
√x2 + 2
B组
1
若a > 1，b > 1且a ≠b，则a + b、2ab、2√ab、a2 + b2中值最小的是
A. a + b
B. 2ab
C. 2√ab
D. a2 + b2
考点3：和定积最大(和为定值时积有最大值)
A组
1
已知正实数x，y满足x + 2y = 3，则xy的最大值为
.
B组
1
已知x< 5
4 ，求y＝4x－2＋
1
4x −5 的最大值；
33
考点4：三角不等式及其取等条件
A组
1
对于任意的实数a、b，有不等式|a + b| ≤|a| + |b|，等号当且仅当（
）时成立
A. a、b同号
B. a、b异号
C. a = b
D. ab ≥0
B组
1
若x ，x 都满足方程|2x −1 |+|2x + 3| = 4 且x1 < x2 ，则x2 −x1 的取值范围是
．
1
2
考点5：三角不等式求最值
A组
1
代数式|a −40| + |a + 20|的最小值是
．
B组
1
已知a = −2，若不等式|a + b| + |a −b| ≥m恒成立，则m的取值范围为
.
2
已知函数f(x) = |x −k| + |x −3k|
(k > 0)，若当3 ≤x ≤4时，f(x)都能取到最小值，则实数k的取值范围是
.
3
已知关于x的不等式|x −1| −1 ≤2a −|x + 1|有实数解，则实数a的取值范围为
.
34
考点6：三角不等式的其他应用
A组
1
设x ∈R，[x]表示不大于x的最大整数，如[π] = 3, [−1.2] = −2, [ 1
2 ] = 0，则使[|x −1|] = 3成立的x的取值范围
．
2
对任意x ∈R，x ≠−1，不等式|2x −1| + |2 −x|
|x + 1|
≥a恒成立，则实数a的取值范围是
；
35
11 基本不等式（二）
巩固练习
考点1：“1“的代换的直接运用
A组
1
已知正数x, y满足x + y = 1，则1
x + 4
y 的最小值为
．
B组
1
已知x > 0，y > 0，若不等式(2x + y) ( m
x + 2
y ) ≥18恒成立，则正实数m的最小值是
.
C组
1
若两个正实数x，y满足4x + y = 2xy，且不等式 x + y
4 < m2 −m有解，则实数m的取值范围是（
）
A. (−1, 2)
B. (−∞, −2) ∪(1, +∞)
C. (−2, 1)
D. (−∞, −1) ∪(2, +∞)
考点2：“1“的代换的变形
A组
1
已知x, y是正实数，且满足xy −(x + y) = 1，则x + y的取值范围是 .
B组
1
设0 < m < 1
2 ，若2
m +
2
1 −2m ≥k恒成立，则k的取值范围为
.
36
考点3：基本不等式的实际应用（填选）
A组
1
如果一个直角三角形的斜边长等于5，那么这个直角三角形的面积的最大值等于
.
2
已知a > b > 0，那么，当代数式a2 +
16
b(a −b) 取最小值时，点P(a, b)的坐标为
B组
1
三国时期赵爽在《勾股方圆图注》中对勾股定理的证明可用现代数学表述为如图所示，我们教材中利用该图作
为“（
）”的几何解释.
A. 如果a > b > 0，那么√a > √b
B. 如果a > b > 0，那么a2 > b2
C. 对任意实数a和b，有a2 + b2 ≥2ab，当且仅当a = b时等号成立
D. 对任意正实数a和b，有a + b ≥2√ab，当且仅当a = b时等号成立
考点4：基本不等式的实际应用（解答）
A组
1
用一根长为l的铁丝制成一个矩形框架，当长和宽分别为多少时，该框架的面积最大？
37
B组
1
某企业在现有设备下每日生产原先成本y（单位：万元）与日产量x（单位：吨）之间的函数关系式：
y = 2x2 + (15 −4k)x + 120k + 8，近年来各部门都非常重视大气污染防治工作，为了配合环境卫生综合整治，该
企业引进了除尘设备，每吨产品的除尘费用为k万元，引进除尘设备后，当日产量x = 1时，总成本（总成本为原先
成本和除尘费用之和）为142万元．
(1)
求k的值：
(2)
求引进除尘设备后日产量为多少时，每吨产品的成本最小，并求出最小值．
38
12 暑期复习
巩固练习
考点2：集合的运算
A组
1
已知集合P = {x ∈Z| −5 ≤x ≤3}，Q = {x ∈N ∣x2 ≥16} ，则P∩(∁NQ)=（
）
A. [1,3]
B. [1,4]
C. {0,1,2,3}
D. {0,1,2,3,4}
2
已知非空集合A、B，A ={a|a具有性质α}，B ={b|b具有性质β}.如果命题“如果α，那么β”为假命题，那么下列哪张
关于集合A、B包含关系的图象一定不成立（
）
A.
B.
C.
D.
B组
1
已知常数a ∈R，集合A = {x| 2x + 11
x + 2
≥3}，集合B = {x|x2 + 2ax −3a2 < 0}.
(1)
若a = 2，求A ∩B；
(2)
若A ∪B = A，求实数a的取值范围.
39
考点3：充分条件与必要条件
A组
1
设条件a: x −2
x + 3 ≥0，条件β: (x −2) (x + 3) ≥0，则条件a是条件β的（
）
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
2
设A、B均为非空集合，则“x ∈A ∩B”是“x ∈A ∪B”的
A. 充分非必要条件
B. 必要非充分条件
C. 充要条件
D. 非充分非必要条件
B组
1
已知命题p：x<-1或x>3，命题q：x<3m+1或x>m+2.若p是q的充分非必要条件，求m的取值范围.
考点4：不等式的基本性质
A组
1
如果ab > 0，那么“a > b”是“ 1
a < 1
b ”的（
）
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
40
考点5：解不等式
A组
1
不等式1 + 1
x < 0的解集是
.
B组
1
若0<a<1，则不等式(a－x)(x −1
a ) >0的解集是
．
2
已知关于x的不等式x2 + ax + a + 3 > 0的解集为R，则实数a的取值范围是（
）．
A. (−2, 6)
B. (−∞, −2) ∪(6, +∞)
C. [−2, 6]
D. (−∞, −2] ∪[6, +∞)
3
已知集合A = {x
x −2
2x + 3 ≤0}，集合B = {x |m −1 ≤x ≤2m + 1}，若B ⊆A，求m的取值范围.
∣
考点6：基本不等式
A组
1
已知x ∈(0, +∞)，则y = 2x +
4
2x + 1 的最小值为（
）
A. 3
B. 4
C. 3√2
D. 6
41
B组
1
已知0＜x＜1，则x(3－3x)取最大值为
A. 1
2
B. 1
4
C. 2
3
D. 3
4
2
若正数x，y满足x + y = 2，则
1
x + 1 + 1
y 的最小值为
.
42
