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8.5 两点之间的距离公式、点到直线的距离公式、
平行线间的距离公式（练习）
目录
1
题型一、两点之间的距离.........................................................................2
2
题型二、点到直线之间的距离.................................................................8
3
题型三、两条平行线间的距离...............................................................13
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1 题型一、两点之间的距离
一、单选题
1．已知
的三个顶点分别为
，则
的
周长是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据两点间的距离公式可求得三角形三边的长度，从而可得选项．
【详解】由题意知
，
，
，
故
的周长为
.
故选：C．
【点睛】本题考查两点间的距离公式，属于基础题．
2．到
，
的距离相等的动点P 满足的方程是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】设点
，利用
，整理化简后可的点P 满足的方
程.
【详解】设
，
因为点P 到
，
的距离相等，
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则
即
，
化简整理得：
．
故选：B
【点睛】本题主要考查了求点的轨迹方程，涉及两点间距离公式，属于基
础题.
3．已知直线
上两点
的横坐标分别为
，则
为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】求得
的坐标，由此求得
.
【详解】当
时，
；当
时，
，
所以
，
所以
.
故选：A
【点睛】本小题主要考查两点间的距离公式，属于基础题.
4．过点
和点
的直线与直线
垂直，则
（ ）
A．
B．4
C．
D．2
【答案】C
【解析】根据两直线垂直可得
，根据两点间的距离公式可得结果.
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【详解】因为过点
和点
的直线与直线
垂直，
所以
，即
，
所以
.
故选：C
5．以
，
两点为直径的圆的半径是（ ）
A．
B．
C．2
D．1
【答案】A
【分析】利用两点之间的距离公式求出
，再根据该圆的半径为
，
即可得到结果.
【详解】由题意可知，
所以以
，
两点为直径的圆的半径是
.
故选：A.
6．已知
的三个顶点
、
、
，则
的
中线
的长是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】求出点
的坐标，利用平面内两点间的距离公式可求得
.
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【详解】由题意可知，线段
的中点为
，故
.
故选：A.
7．已知
三点，且
，则实数
的值为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】直接利用两点间的距离公式列方程计算即可
【详解】由两点间的距离公式，及
可得：
，解得
.
故选：A
8．已知点A、B 是直线
与坐标轴的交点，则
（ ）
A．
B．
C．1
D．2
【答案】A
【分析】先求得
两点的坐标，进而求得
.
【详解】由
，
令
，得
，设
；
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令
，得
，设
.
所以
.
故选：A
9．已知点
，则
为（ ）
A．5
B．
C．
D．4
【答案】A
【分析】由距离公式求解.
【详解】
.
故选：A
二、填空题
10．已知
中，点
，
，
.则
的面积为
.
【答案】10
【分析】由两点式的直线BC 的方程，再根据点点到直线的距离求出BC 边
上的高d，再根据两点之间的距离公式求出BC，根据三角形的面积公式计算即
可.
【详解】解：由两点式的直线BC 的方程为
＝
，即为x+2y﹣8
＝0，
由点A 到直线的距离公式得BC 边上的高d＝
＝
，
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BC 两点之间的距离为
＝4
，
∴△ABC 的面积为
×4
×
＝10，
故答案为：10.
【点睛】本题考查了直线方程的求法点到直线的距离公式，两点之间的距
离公式，三角形的面积公式，属于基础题.
11．在
中，A（1，3），B（2，-2），C（-3，1），则D 是线段AC
的中点，则中线BD 长为 ；
【答案】5
【分析】先求D 点坐标，再结合两点距离公式求解即可．
【详解】由
所以
，
则
故答案为：5
12．已知x 轴上一点A 与点
的距离为13，则点A 的坐标为 ．
【答案】
或
【解析】设
，由条件可得
，解出
答案即可.
【详解】设
，则
即
，解得
或
所以点A 坐标为
或
故答案为：
或
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13．已知点
，
，则以线段
为直径的圆的方程为 ．
【答案】
【分析】利用线段中点坐标公式求出圆心坐标，利用两点间距离公式求出
半径，然后写出圆的标准方程．
【详解】∵
，
，线段
的中点
,则
,
即圆心坐标为
,
，
所以该圆的标准方程为
.
故答案为：
．
三、解答题
14．已知点
，
，
，
（1）求直线
的方程；
（2）求
的面积.
【答案】（1）
；（2）
【解析】（1）利用点斜式可求出直线方程；
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（2）求出高和底边长即可得面积.
【详解】解：（1）由已知
，
则
，
即
；
（2）由（1）得点
到直线
的距离为
，
又
，
.
【点睛】本题考查直线方程的求解，点面距离，点点距离，是基础题.
15．已知：
，
和
.
(1)若A，B，C 三点共线，求t 的值；
(2)若
，求t 的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由A，B，C 三点共线，可得
，根据斜率公式即可
得解；
（2）根据两点间的距离公式计算即可.
【详解】（1）
，
若A，B，C 三点共线，所以
，
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即
，解得
；
（2）
，
则
，解得
.
2 题型二、点到直线之间的距离
一、单选题
1．已知直线过点
和
，则原点到直线的距离为（ ）
A．
B．
C．
D．3
【答案】C
【详解】因为直线经过两点(2,3)和(-2,1)，则直线方程为
，化
简得
，
则坐标原点
到直线的距离为
.
故选：C
【分析】由两点式可以写出直线方程，再利用点到直线的距离公式即可求
解.
2．点
到直线
的距离是（ ）
A．1
B．2
C．
D．
【答案】A
【分析】应用点线距离公式求距离即可.
0
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【详解】由点线距离公式有
.
故选：A
3．点
到直线
的距离为（ ）
A．1
B．2
C．
D．
【答案】D
【分析】由点到直线的距离公式计算即可得.
【详解】
.
故选：D.
4．原点到直线
间的距离是（ ）
A．
B．
C．1
D．
【答案】A
【分析】利用点到直线的距离公式直接求值即可.
【详解】原点到直线
间的距离是：
.
故选：A
5．点
到直线
的距离等于（ ）
A．
B．
C．
D．
1
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【答案】B
【分析】直接由点到直线的距离公式计算即可求解.
【详解】直线方程化为
，
由点到直线的距离公式得
．
故选：B.
6．点
到直线
的距离为（ ）
A．
B．2
C．
D．1
【答案】D
【分析】利用点到直线的距离公式直接计算得解.
【详解】点
到直线
的距离
.
故选：D
7．点
到直线
的距离是（ ）
A．1
B．2
C．
D．3
【答案】A
【分析】直接利用点到直线的距离公式可得答案.
【详解】由题意可得：点
到直线
的距离
.
故选：A.
二、填空题
2
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8．点
到直线
：
的距离是
【答案】
【分析】直接代入点到直线的距离公式求解即可.
【详解】点
到直线
：
的距离是
.
故答案为：
.
9．点
到直线
的距离为
【答案】
【分析】利用点到直线的距离公式即可得出．
【详解】由点
到直线
的距离为有
，
故答案为：
.
10．点
到直线
的距离为 .
【答案】
【分析】利用点
到直线
的距离公式
直接求解.
【详解】
3
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故答案为：
11．点
到直线
的距离为
【答案】
【分析】根据点到直线距离公式计算即可.
【详解】点
到直线
的距离为
.
故答案为：
三、解答题
12．（1）求点
到直线
的距离；
（2）求两条平行直线
与
间的距离.
【答案】（1）
；（2）
.
【分析】（1）利用点到直线的距离公式可得；
（2）根据平行直线间的距离公式可得.
【详解】（1）由点到直线的距离公式可得，
点
到直线
的距离
.
（2）由平行直线间的距离公式可得，
直线
与
的距离
4
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.
13．平面直角坐标系中，已知
三个顶点的坐标分别为
，
，
.
(1)求
边所在的直线方程；
(2)求
的面积.
【答案】(1)
(2)15
【分析】（1）由B，C 两点的坐标，得直线的两点式方程，化简得一般式
方程；
（2）用两点间距离公式求B，C 两点间的距离，计算点A 到直线BC 的距
离可得三角形的高，得三角形的面积.
【详解】（1）因为
，
，所以BC 所在的直线方程为
，
即
.
（2）B，C 两点间的距离为
，
点A 到直线BC 的距离
，
所以
的面积为
.
5
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3 题型三、两条平行线间的距离
一、单选题
1．与直线
的距离等于
的直线方程为
A．
B．
C．
或
D．
或
【答案】C
【分析】本题考查平行直线间的距离公式．
【详解】设直线方程为
，两平行直线间的距离为
，
解得c=0 或-2．
直线的方程为
或
正确答案选C．
【点睛】平行直线间的距离公式为
2．直线
与
之间的距离为
，则
等于( )
A．0
B．-20
C．0 或-20
D．0 或-10
【答案】C
【分析】先转化直线
，然后利用两平行直线间的距离公式
求解即可.
【详解】解：由题意知，直线
与
平行，且直
6
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线
，可化为
，
所以
，解得
或
.
故选：C.
3．已知直线
，直线
：
与直线平行，则
直线与
之间的距离为（ ）
A．
B．
C．4
D．2
【答案】C
【分析】根据两直线平行求出
，再根据两平行直线间的距离公式可求出
结果.
【详解】因为
，所以
，得
，
所以直线与
之间的距离为
.
故选：C
4．已知直线
，
相互平行，且
，
间
的距离为
，则a 的值为（ ）
A．
B．6
C．
或
D．6 或-4
【答案】C
【分析】根据两平行直线之间的距离公式即可求出．
7
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【详解】
即
，所以
，
间的距离为
，解得
或
．
故选：C．
5．平行直线
与
之间的距离等于（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】将直线
化为
，由两平行线间的距离公式，即可
求解.
【详解】将直线
化为
，
根据两平行线间的距离公式，可得
与
间的距离为
.
故选：A.
6．已知直线
，直线
，则
与
之间的距离
为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】直接利用两平行线减的距离公式即可求解.
【详解】直线
的方程可化为
，则直线
与
之间的距离
8
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．
故选：A
7．已知两条直线l1：x＋2y
4
﹣＝0，l2：2x＋4y＋7＝0，则直线l1与直线l2
间的距离为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】由两直线方程可知两直线平行，利用两平行线间的距离公式即可
得结果.
【详解】因为两直线
平行，
且
，
它们之间的距离即为
与
之间的距离
为：
，
故选：A.
8．两条平行线
与
的距离为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据平行线间的距离公式求解即可.
【详解】解：将直线
化为
，所以两条平行
9
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直线间的距离为
，
故选：D.
9．如果两直线
：
与
：
互相平行，那么它
们之间的距离为（ ）
A．4
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】先根据两直线平行得到
的值，进而利用两平行线距离公式求出
它们之间的距离.
【详解】由题意得：
且
，解得：
，故直线
：
与
：
它们之间的距离为
.
故选：D
10．已知
，
，则
与
的距离为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据两平行线间的距离公式求得正确答案.
【详解】∵已知平行直线
，
，
∴
与
间的距离
.
故选：A
0
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二、填空题
11．已知直线
与直线
距离为
，则
的值为
【答案】7
【分析】直接利用两平行线间的距离公式列方程求解即可
【详解】因为直线
与直线
距离为
，
所以
，化简得
，
解得
或
（舍去）
故答案为：7
12．已知直线l 与直线
和
平行且距离相等，
则直线l 的方程为 ．
【答案】
【分析】设直线l 的方程为
，然后利用两平行
线间的距离公式列方程求解即可
【详解】设直线l 的方程为
，由两条平行直线
间的距离公式可得
，于是
，解得
，
1
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故直线l 的方程为
．
故答案为：
【点睛】此题考查两平行线间的距离公式的应用，属于基础题
13．已知直线l1：x＋y－1＝0，l2：x＋y＋a＝0，且两直线间的距离为
，
则a＝ ．
【答案】－3 或1/1 或－3
【分析】根据两条平行直线间的距离公式，即可求解．
【详解】由两条平行直线间的距离公式，得
，
|
∴a＋1|＝2，解得a＝－3 或a＝1．
故答案为：－3 或1．
三、解答题
14．分别求出满足下列条件的直线的方程：
（1）过原点作直线的垂线，垂足为
，求直线的方程；
（2）与直线
平行，且相距为2 的直线方程；
（3）求过点(2,1)，且与
垂直的直线方程.
【答案】（1）
；（2）
或
；
（3）
【分析】（1）由题可得直线与直线
垂直，则可求出斜率，进而可得
直线方程；
2
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（2）设与直线
平行的直线为
，由两平行直
线的距离公式列方程求解即可；
（3）设与
垂直的直线为
，代入点(2,1)即可
求出.
【详解】解：（1）直线与直线
垂直，故斜率
，
则直线方程为
，即
；
（2）设与直线
平行的直线为
，
则
，解得
或
，
故所求直线方程为
或
；
（3）设与
垂直的直线为
，
代入点(2,1)得
，解得
，
故所求直线方程为
.
【点睛】本题考查待定系数法求直线方程，关键是熟悉平行，垂直关系下
的直线方程的设法，是基础题.
15．已知
的顶点坐标为
．
（1）求
所在直线的方程；
（2）求与直线AC 平行且与直线AC 距离为
的直线方程．
【答案】（1）
；（2）
或
.
【分析】（1）由两点式计算直线方程即可；
3
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（2）先求出直线
，再根据两直线的距离公式即可得到所求的直线方程.
【详解】解：（1）由两点式得
得AB 直线方程为
（用其他方法可以做）；
（2）AC:
得AC 直线方程为
设与AC 平行的直线方程为
，所以
，
得
或6
所求直线方程为
或
.
4
