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8.5 两点之间的距离公式、点到直线的距离公式、
平行线间的距离公式（讲义）
目录
1
知识点01 两点间的距离公式....................................................................2
2
知识点02 点到直线的距离公式................................................................2
3
知识点03 两条平行线间的距离公式........................................................2
4
题型一、两点之间的距离.........................................................................2
5
题型二、点到直线之间的距离.................................................................7
6
题型三、两条平行线间的距离...............................................................13
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1 知识点01 两点间的距离公式
两点间距离公式：平面内两点P1(x1, y1)，P2(x2, y2)间的距离公式为：
|P1 P2|=√(x1−x2)
2+( y1−y2)
2.
中点坐标公式：平面内两点P1(x1, y1)，P2(x2, y2)，P1与P2的中点为O，则O
点坐标为( x1+ x2
2
, y1+ y1
2
)
2 知识点02 点到直线的距离公式
1、定义：过一点向直线作垂线，则该点与垂足之间的距离，就是该点到直
线的距离，即垂线段的长度．
2、距离公式：点P(x0, y0)到直线l: Ax + By +C =0的距离d =|A x0+ B y0+C|
√A
2+ B
2
．
【注意】
（1）直线方程应用一般式，若给出其他形式，应先化成一般式再用公式．
（2）点到直线的距离是直线上的点与直线外一点的最短距离．
（3）点到直线的距离公式适用任何情况，当点P在直线l上时，它到直线的
距离为0．
3 知识点03 两条平行线间的距离公式
1、定义：两条平行线间的距离是指夹在这两条平行线间的公垂线段的长．
2、距离公式：两条平行直线l1: Ax + By +C1=0，l2: Ax + By +C2=0(C1≠C2)，
它们之间的距离为：d =|C1−C2|
√A
2+ B
2
【注意】在使用公式时，两直线方程为一般式，且x和y的系数对应相等．
4 题型一、两点之间的距离
一、单选题
1．已知点
，
，且
，则实数
等于（ ）
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A．1
B．3
C．1 或3
D．
或3
【答案】C
【解析】根据两点间的距离公式可解得结果.
【详解】因为
，
所以
，即
，解得
或
，
故选：C
2．已知点
，且
两点的距离为5，则
（ ）
A．0
B．8
C．0 或8
D．4
【答案】C
【分析】根据两点距离公式即可求解.
【详解】由题意可得
或
，
故选：C
3．已知过
两点的直线的倾斜角是
，则
两点
间的距离为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】利用倾斜角求出
，然后利用两点间距离公式即可得出答案.
【详解】由题知，
，
解得
，故
，
则
两点间的距离为
.
故选：C
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4．三角形的三个顶点为
，D 为
中点，则
的长为（ ）
A．3
B．5
C．9
D．25
【答案】B
【分析】由中点坐标公式求得
，应用两点间的距离公式求
的长.
【详解】由题设
，则
.
故选：B
5．已知两点
，
，则
的值是（ ）
A．4
B．5
C．6
D．7
【答案】B
【分析】利用两点间的距离公式求解可得.
【详解】由两点间的距离公式得
.
故选：B
6．已知三角形的三个顶点为
，则过点
的中线的
长为（ ）
A．2
B．
C．
D．3
【答案】B
【分析】由中点坐标公式以及两点间距离公式计算可得结果.
【详解】由题得线段
的中点坐标为
，
故过点
的中线的长为
．
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故选：B
7．已知
的顶点为
，
，
，则BC 边上的中
线长为（ ）
A．4
B．5
C．
D．
【答案】B
【分析】先求出BC 的中点D 的坐标，利用两点间的距离公式求出BC 边上
的中线长.
【详解】设BC 的中点为D，
因为
，
，所以
,
所以BC 边上的中线长
.
故选：B
8．在平面直角坐标系中，点
和点
之间的距离为（ ）
A．2
B．3
C．
D．5
【答案】D
【分析】利用两点之间的距离公式计算即得.
【详解】点
和点
之间的距离为
.
故选：D.
9．已知A 点坐标为
，B 点坐标为
，以线段
为直径的圆的
半径是（ ）
A．4
B．
C．
D．2
【答案】C
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【分析】利用两点距离公式求线段AB 的长，即可得半径.
【详解】由题意知，
，
以线段
为直径的圆的半径是
，
故选：C
二、填空题
10．在x 轴上找一点Q，使点Q 与A（5，12）间的距离为13，则Q 点的坐
标为 ．
【答案】
或
/
或
【分析】根据两点之间距离公式求解.
【详解】设
，则有
，解得
或
.
即
或
.
故答案为：
或
.
11．已知点
与点
间的距离为
，则
．
【答案】9 或
【分析】根据两点间的距离公式列方程求解即可.
【详解】由
，
得
，
即
，解得
或
．
故答案为：9 或
.
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12．已知
的三个顶点
，
，
，则
的
形状为 ．
【答案】等腰直角
【分析】解法一：先利用两点距离距离公式求出
，
，
，再根据边长关系得
，且
，即可得
是等腰直角三角形．
解法二：结合两点斜率公式及
判断
，利用两点距
离公式求得
，即可得
是等腰直角三角形．
解法三：利用向量坐标运算判断
和
，即可得
是等腰直角三角形．
【详解】方法一：如图，
因为
，
，
，所以
，且
，
所以
是等腰直角三角形．
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解法二：因为
，
，所以
，
所以
．
又
，
，
所以
，所以
是等腰直角三角形．
解法三：
，
，
则
，且
，
所以
且
，所以
是等腰直角三角形．
故答案为：等腰直角
5 题型二、点到直线之间的距离
一、单选题
1．若原点到直线
的距离为1，则a，b，c 应满足的关系式为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据题意利用点到直线的距离公式分析求解.
【详解】原点
到直线
的距离为1，
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则
，整理得
.
故选：A.
2．若点
到直线
的距离为4，则
（ ）
A．2
B．3
C．5
D．7
【答案】D
【分析】根据点到直线距离公式列出方程，求出答案.
【详解】点
到直线
的距离为4，
可得
，解得
.
故选：D.
3．若
，
两点到直线
的距离相等，则
（ ）
A．
B．
C．2 或
D．2 或
【答案】C
【分析】由题意，根据点到直线的距离公式建立关于
的方程，解之即可
求解.
【详解】由题意知，
，
得
，解得
或
，
即实数
的值为
或
.
故选：C
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4．已知点
到直线
的距离为3，则实数
等于
（ ）
A．3
B．
C．0 或3
D．0 或
【答案】D
【分析】由点到直线的距离公式即可求解.
【详解】由题意可得
，解得
或
，
故选：D
5．若点
到直线
（
）的距离为3，则
（ ）
A．3
B．2
C．
D．1
【答案】B
【分析】利用点到直线的距离公式列方程求解即可.
【详解】因为点
到直线
（
）的距离为3，
所以
，结合
可得
，
故选：B.
6．点
到直线
的距离为（ ）
A．
B．2
C．
D．1
【答案】D
【分析】由点到直线距离公式直接计算即可求解.
【详解】由题点
到直线
的距离为
0
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.
故选：D.
7．点
到直线
与直线
的距离之和为（ ）
A．3
B．5
C．6
D．7
【答案】D
【分析】先求出点到两直线的距离，再求和即可；
【详解】点
到直线
的距离为
，到直线
的距
离为
，
故点
到直线
与直线
的距离之和为7．
故选：D.
8．点
到直线
的距离
（ ）
A．
B．
C．
D．2
【答案】A
【分析】利用点到直线的距离公式求解即可.
【详解】点
到直线
的距离
故选：A.
9．坐标原点O 到直线
的距离为（ ）
1
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A．
B．
C．
D．2
【答案】C
【分析】根据点到直线的距离公式即可求解.
【详解】由点到直线的距离公式可得
.
故选:C.
10．点
到直线
的距离为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】利用点到直线的距离公式直接求解即可.
【详解】
到直线
的距离为
.
故选：A
二、填空题
11．已知直线
，点
到直线的距离等于
，则
【答案】
【分析】利用点到直线的距离公式，列式计算即得.
【详解】依题意，
，所以
.
故答案为：
2
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12．已知直线同时满足条件:①与直线
垂直；②到原点的距
离为1，则直线的方程为 .
【答案】
或
【分析】设直线的方程为
，再根据点到直线的距离公式
即可得解.
【详解】设直线的方程为
，且
，解得
，
所以直线的方程为
或
.
故答案为：
或
.
13．已知
点到直线
的距离为1，则
.
【答案】
/
【分析】利用距离公式可求
的值.
【详解】由题设有
，故
，故
.
故答案为：
14．已知
，
两点到直线
的距离相等，则
.
【答案】0 或
3
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【分析】根据给定条件，利用点到直线的距离公式列式计算得解.
【详解】依题意，
，所以
或
.
故答案为：0 或
三、解答题
15．直线过点
.
(1)若直线与直线
平行，求直线的方程；
(2)若点
到直线的距离为1，求直线的方程.
【答案】(1)
(2)
或
【分析】（1）设出直线的方程，利用待定系数法求得正确答案.
（2）根据直线的斜率是否存在进行分类讨论，结合
到直线的距离来
求得直线的方程.
【详解】（1）设直线方程为
将
代入得
，
所求直线方程是
（2）若直线的斜率不存在，
则过
的直线为
，到
的距离为1，满足题意；
4
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若直线的斜率存在，设斜率为
，
则的方程为
.
由
到直线的距离为1，可得
.
解得
，
所以直线方程为
，即
.
综上得所求的直线方程为
或
.
6 题型三、两条平行线间的距离
一、单选题
1．两平行线
与
间的距离为
，则c
等于（ ）
A．0 或40 B．10 或30
C．
或10
D．
或40
【答案】B
【解析】利用两平行线间的距离公式列方程求解即可
【详解】解：由题意可得，
，即
，
解得
或
，
故选：B
2．若直线x＋3y－9＝0 与直线x＋3y－c＝0 的距离为
，则c 的值为
（ ）
A．－1
B．19
5
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C．－1 或19
D．1 或－19
【答案】C
【分析】由题意利用两条平行线间的距离公式，可的c 的值．
【详解】由两平行线间的距离公式得，
d＝
＝
，
所以| c－9|＝10，得c＝－1 或c＝19．
故选：C.
3．已知两条平行直线
与
间的距离为
3，则
（ ）
A．9 或21
B．
或21
C．9 或
D．9 或3
【答案】B
【分析】由平行直线间的距离公式建立关系即可求解.
【详解】两条平行直线
与
间的距离为
3，
则两平行直线间的距离为
，解得
或
.
故选：B.
4．若两条平行线
与
之间的距离是2，则m
的值为（ ）
A．
或11
B．
或10
C．
或12
D．
或11
6
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【答案】A
【分析】利用平行线间距离公式进行求解即可.
【详解】因为两条平行线
与
之间的距离是
2，
所以
，或
，
故选：A
5．若直线
与
平行，则
与
之
间的距离为（ ）
A．
B．
C．
D．3
【答案】A
【分析】利用两直线平行确定
的值，再由两平行直线的距离公式计算即
得.
【详解】直线
即
，因
，可得
，
则直线
与
之间的距离为
.
故选：A.
6．若直线
与直线
平行，那么这
两条直线之间的距离为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
7
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【分析】根据两直线平行可得参数
，进而确定平行线间距离.
【详解】有已知直线
与直线
平行，
则
，即
，
此时直线
与直线
，即
满足平行，
则两直线间距离
，
故选：D.
7．直线
与直线
间的距离是（ ）
A．
B．
C．
D．１
【答案】B
【分析】利用平行线间距离公式计算得解.
【详解】直线
方程为
，直线
方程为
，
所以所求距离为
.
故选：B
8．已知直线
和直线
平行，则这两条平行线之间
的距离为（ ）
A．
B．
C．
D．
8
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【答案】B
【分析】先将两条直线化为
和
的形式，
然后利用两条平行直线间的距离公式来求解即可.
【详解】直线
可化为
，设两条平行直线间的距
离为
，则
.
故选：
.
9．两条平行直线
：
与
：
之间的距离为
（ ）
A．1
B．
C．
D．3
【答案】C
【分析】根据距离公式可求距离，从而可得正确的选项.
【详解】由距离公式可得两条平行线之间的距离为
，
故选：C.
10．已知直线
和直线
平行，则这两条线之间的距
离为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据两平行线间的距离公式即可求解.
9
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【详解】设两平行线间的距离为
，则
.
故选：B
二、填空题
11．直线
与
间的距离为3，则
.
【答案】
或
【分析】利用平行线间距离公式求解即可.
【详解】由题，可知
，所以两平行线间距离为
，
解得
或
，
故答案为：
或
12．与直线
平行且与它的距离为
的直线方程是 ；
【答案】
或
【分析】设所求直线方程为
，根据平行直线间的距离公式列
方程，化简求得
的值，从而求得正确答案.
【详解】设直线
平行的直线方程为
，
依题意
，解得
或
，
所以所求直线方程为：
或
.
0
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故答案为：
或
13．若两条平行直线
：
与
：
间的距离为
2，则
.
【答案】
或
【分析】根据两平行线见距离公式运算求解.
【详解】由题意可得：
，解得
或
.
故答案为：
或
.
三、解答题
14．已知平面直角坐标系内两点A（4，0），B（0，3）.
(1)求直线AB 的方程；
(2)若直线l 平行于直线AB，且到直线AB 的距离为2，求直线l 的方程.
【答案】(1)
(2)
或
【分析】（1）由直线方程的两点式可求解；
（2）根据直线的平行关系及平行直线之间的距离公式可求解.
【详解】（1）∵A（4，0），B（0，3）
由两点式可得直线AB 的方程为
，即
.
（2）由（1）可设直线l：
，
1
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∴
，解得
或
.
∴直线l 的方程为
或
.
15．（1）求两条平行直线3x＋4y－12＝0 与mx＋8y＋6＝0 之间的距离；
（2）求到直线3x－4y＋1＝0 的距离为3，且与此直线平行的直线的方程．
【答案】（1）3；（2）3x－4y＋16＝0 或3x－4y－14＝0.
【分析】（1）由两直线平行列式可得m 的值，再由平行线间的距离公式
可求得结果；
（2）设出平行直线系方程，由平行线间的距离公式列方程可得结果.
【详解】（1）由两直线平行得
，解得：m＝6.
∴直线6x＋8y＋6＝0 即为3x＋4y＋3＝0.
∴两平行直线间的距离
，
（2）设所求直线方程为3x－4y＋m＝0，
由两平行线间的距离公式得
，解得：m＝16 或m＝－14.
故所求的直线方程为：3x－4y＋16＝0 或3x－4y－14＝0.
2
