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专题13 函数的图象
考点一
根据解析式选择函数图象
考点二
利用动点研究函数图象
考点三
图象变换问题
考点四
函数零点所在区间的判断
考点五
方程法判断零点个数
考点六
数形结合法判断零点个数
考点七
利用函数的零点求参数
一、函数图象变换：
平移变换
对称变换
伸缩变换
翻折变换
二、函数的零点
1．函数零点的概念
1
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对于函数
，我们把使
成立的实数x 叫做函数
的零点．
2．函数的零点与方程的根之间的联系
函数
的零点就是方程
的实数根，也就是函数
的图象与x 轴的交点的横坐标即
方程
有实数根⇔函数
的图象与x 轴有交点⇔函数
有零点．
3．零点存在性定理
如果函数
在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有
，那么，函数
在区间
内有零点，即存在
，使得
，这个
也就是方程
的根.
4．常用结论
（1）若连续不断的函数
( )
f x
是定义域上的单调函数，则
( )
f x
至多有一个零点；
（2）函数
有零点
方程
有实数根
函数
与
的图象有
交点；
（3）函数
有零点
方程
有实数根
函数
与
的图象有交点
，其中
为常数.
考点一
根据解析式选择函数图象
例1．（2023·全国·高三专题练习）函数
的图象大致为（ ）
2
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A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】由奇偶性判断A 选项，再利用函数值的正负排除BD 选项.
【详解】由题意知
的定义域为
，
因为
，所以
为奇函数，排除A.
当
时，
，当
时，
，排除B，D.
故选：C.
例2．（2022 春·四川成都·高二校联考期末）我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形缺数时
难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休.”在数学的学习和研究中，常用函数的解析式来分析函数的图
象特征，如函数
的大致图象为（ ）
3
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A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】利用
时，
即可排除错误选项.
【详解】当
时，
恒成立，可排除ABC.
故选：D.
例3．（2022·全国·高三专题练习）函数
的图像大致是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
4
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【分析】根据函数
的奇偶性和关键点的函数值即可确定.
【详解】
是偶函数，
是奇函数，∴
是奇函数，
排除B，D；
A 与C 的区别在于x=2 时的函数值，
，
，
，由图可知，对于A，当x=2 时，
，
对于C，当x=2 时，
；
故选：C.
例4．（2021 春·陕西汉中·高三统考期中）函数
的图象可以是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据函数的定义域、单调性等知识确定正确答案.
【详解】由
解得
或
，
所以
的定义域是
，AB 选项错误.
当
时，
，是减函数，C 选项错误，
所以D 选项正确.
故选：D
5
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例5．（2023 秋·云南楚雄·高二统考期末）已知函数
，则函数
的大致图象
是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】利用特殊值代入和函数
的单调性判断选项即可得到答案.
【详解】令
，则
，排除A，C 选项；
当
时，
，
，
所以
在
为减函数，排除B 选项.
故选：D
考点二
利用动点研究函数图象
例6．（2021 秋·高三课时练习）如图下面的四个容器高度都相同，将水从容器顶部一个孔中以相同的速度
注入其中，注满为止．用下面对应的图象显示该容器中水面的高度和时间之间的关系，其中不
正确的有（ ）
6
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A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
【答案】A
【分析】结合几何体的结构和题意知，容器的底面积越大水的高度变化慢、反之变化的快，再由图象越平
缓就是变化越慢、图象陡就是变化快来判断．
【详解】A、因正方体的底面积是定值，故水面高度的增加是均匀的，即图象是直线型的，故A 不对；
B、因几何体下面窄上面宽，且相同的时间内注入的水量相同，所以下面的高度增加的快，上面增加的慢，
即图象应越来越平缓，故B 正确；
C、球是个对称的几何体，下半球因下面窄上面宽，所以水的高度增加的越来越慢；上半球恰相反，所以
水的高度增加的越来越快，则图象先平缓再变陡；故C 正确；
D、图中几何体两头宽、中间窄，所以水的高度增加的越来越慢后再越来越慢快，则图象先平缓再变陡，
故D 正确．
故选A．
【点睛】本题考查了数形结合思想，对于此题没有必要求容器中水面的高度h 和时间t 之间的函数解析式，
因此可结合几何体和图象作定性分析，即充分利用数形结合思想．
例7．（2022 秋·高一课时练习）明清时期，古镇河口因水运而繁华．若有一商家从石塘沿水路顺水航行，
前往河口，途中因故障停留一段时间，到达河口后逆水航行返回石塘，假设货船在静水中的速度不变，水
流速度不变，若该船从石塘出发后所用的时间为x（小时）、货船距石塘的距离为y（千米），则下列各图
中，能反映y 与x 之间函数关系的大致图象是
A．
B．
7
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C．
D．
【答案】A
【分析】由题意可以得出各段过程中y 随x 变化而变化的趋势，即可得答案.
【详解】由题意可得：货船从石塘到停留一段时间前，y 随x 增大而增大；停留一段时间内，y 随x 增大而
不变；解除故障到河口这段时间，y 随x 增大而增大；从河口到返回石塘这段时间，y 随x 增大而减少.
故选A
【点睛】本题考查了函数的图像，解题的关键是理解题意，利用数形结合的思想，属于基础题.
例8．（2020·全国·高三专题练习）如图，
是边长为2 的正三角形，记
位于直线
≤
左侧的图形的面积为
，则
的大致图像为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】先由已知条件写出
的函数关系式，即可选择其图像.
【详解】因为
是边长为2 的正三角形，
8
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当
≤1 时，
；
当
≤2 时，
所以
.只有选项B 中图像符合
故选：B.
【点睛】此题考查的是求函数解析式和由解析式选函数图像，属于基础题.
例9．（2021·高三课时练习）如图所示，已知正方形ABCD 的边长为4，动点P 从B 点开始沿折线BCDA
向A 点运动．设P 点运动的路程为x，△ABP 的面积为S，则函数S＝f(x)的图像是( )
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】数形结合，分P 点在BC、CD、DA 三种情况，依次求出S＝f(x)的解析式，根据解析式即可作出
图像﹒
9
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【详解】由题意：
P 点在BC 上时，0≤x＜4，S＝
＝2x；
P 点在CD 上时，4≤x≤8，S＝
＝8；
P 点在DA 上时，8＜x≤12，S＝24－2x．
故选：D﹒
例10．（2022 秋·高三单元测试）如图，点P 在边长为1 的正方形边上运动，设M 是CD 的中点，则当P
沿A－B－C－M 运动时，点P 经过的路程x 与△APM 的面积y 之间的函数
的图像大致是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】分类讨论点P 处于不同位置时的面积y 与x 之间的关系，得出解析式，继而可得其大致图象.
【详解】根据题意可得，当
时（如图1 所示），S△APM＝
=
x；
当
时（如图2 所示），S△APM＝S 梯形ABCM－S△ABP－S△PCM
＝
；
10
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当
时（如图3 所示），S△APM＝
，
∴
根据函数解析式，结合图形，可知选项A 符合，
故选A．
考点三
图象变换问题
例11．（2023 秋·上海宝山·高三上海市吴淞中学校考期末）将函数
的图象向左平移__________个单
位可得到函数
的图象.
【答案】
【分析】根据指数对数的运算知
，即可求解.
【详解】因为
，
所以将函数
的图象向左平移
个单位可得函数
的图象.
故答案为：
11
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例12．（2022 秋·北京·高三牛栏山一中校考阶段练习）已知函数
的图象沿
轴向左平移
个单位后与
函数
的图象关于
轴对称，若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据函数对称关系、函数图象平移的基本方法可求得
，由
可求得结果.
【详解】
关于
轴对称的函数为
，
，
，
.
故选：C.
例13．（2023 秋·江西宜春·高二校考期末）若函数
的大致图象如图，其中
为常数，
则函数
的大致图象是（ ）
A．
B．
C．
D．
12
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【答案】B
【分析】由函数
的图象可推得，
，且
，可得函数
的图象递减，
且
，从而可判断答案.
【详解】由函数
的图象为减函数可知，
，
再由图象的平移变换知，
的图象由
向左平移不超过一个单位，可知
，
故函数
的图象递减，且
，则符合题意的只有B 中图象
故选：B.
例14．（2023·全国·高三对口高考）作出下列函数的图像：
(1)
(2)
；
(3)
；
(4)
；
(5)
；
(6)
；
(7)
．
【答案】(1)答案见解析
(2)答案见解析
(3)答案见解析
(4)答案见解析
(5)答案见解析
(6)答案见解析
13
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(7)答案见解析
【分析】（1）将
化为
，由反比例函数
的图象经过平移变换可得答案；
（2）将函数写成分段函数，结合二次函数图象可得答案；
（3）化简函数解析式，分段作出函数图象；
（4）脱掉绝对值符号，化简函数解析式，结合二次函数图象可得答案；
（5）结合指数函数图象，依据图象的平移以及对称变换可得答案：
（6）结合二次函数图象，依据图象对称变换可得答案：
（7）结合对数函数图象，依据图象对称变换可得答案.
【详解】（1）函数
，则其图象可看作由反比例函数
的图象，
先向右平移3 个单位，再向下平移2 个单位得到，其图象如图示：
（2）
，其图象如图：
（3）设
，其图象如图：
14
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（4）设
，其图象如图：
（5）设
，其图象可看作由函数
的图象向右平移1 个单位，再向下平移1 个单
位得到，
而
，其图象可由
的图象保留
时的图象，然后将该部分关于y 轴对称得
到，
则
图象如图示：
（6）
的图象可由函数
的图象保留x 轴上方的部分不变，
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将x 轴下方的部分翻折到x 轴上方得到，图象如图：
（7）设
，则其图象可由
的图象向左平移1 个单位，
再保留x 轴上方部分不变，将x 轴下方部分翻折到x 轴上方得到，如图：
例15．（2023·全国·高三专题练习）若直线
与函数
（
且
）的图象有两个公共点，
则
的取值不可以是（ ）
A．
B．
C．
D．3
【答案】D
【分析】分别将
和
两种情况作出函数图象，利用数形结合根据交点个数即可求得
的取值范围，
即可得出选项.
【详解】
的图象由
的图象向下平移一个单位，再将
轴下方的图象翻折到
轴上方得到，
分
和
两种情况分别作图.
当
时，图象如下图所示：
16
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此时需要
，即
，
所以
；
当
时，图象如下图所示：
此时需满足
，
都符合条件；
综上可知,
的取值范围为
或
，
所以
的取值不可以是D.
故选：D
考点四
函数零点所在区间的判断
例16．（2023·全国·高三专题练习）函数
的零点所在区间（取整数）是_________．
【答案】
【分析】先根据题意得出函数的定义域与单调性，再利用零点存在定理，即可得出答案.
【详解】由题意，得
的定义域为
，易知函数
和
在
均为增函数，
所以
在
单调递增，因为
，
，
所以由零点存在定理可知，函数零点所在区间为
.
故答案为：
.
17
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例17．（2022 秋·高三单元测试）用“二分法”求方程
在区间
内的实根，取区间中点为
，那么下一个有根的区间是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】设
，其中
，及
，即可求解．
【详解】由题意，设
，
其中
，
又由
，则
，
可得方程根在区间
．
故选：A．
例18．（2023 秋·吉林长春·高三汽车区第三中学校考期末）函数
的零点所在的大致区间是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】首先判断函数的单调性，再根据零点存在性定理判断即可.
【详解】
的定义域为
，
又
与
在
上单调递增，
所以
在
上单调递增，
又
，
所以
，
18
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根据函数零点的判定定理可得函数
的零点所在的大致区间为
，
故选：C.
例19．（2023 春·江苏宿迁·高三校考期中）函数
的零点所在的区间可以是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】函数
的零点即为函数
的交点的横坐标，作出函数
的图象，根
据函数图象可得函数零点的个数，再根据零点的存在性定理即可得解.
【详解】令
，则
，
则函数
的零点即为函数
的交点的横坐标，
如图，作出函数
的图象，
由图可知函数
的交点在第一象限，且只有一个交点
即函数
的零点大于零，且只有一个零点，
又
，
所以函数
的零点所在的区间可以是
.
故选：C.
例20．（2023·全国·高三专题练习）用二分法求方程
近似解时，所取的第一个区间可以是
19
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（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】
，判断函数单调性，求出区间的端点的函数值，再根据零点的存在性定理即可
得出答案.
【详解】令
，
因为函数
在
上都是增函数，
所以函数
在
上是增函数，
，
所以函数
在区间
上有唯一零点，
所以用二分法求方程
近似解时，所取的第一个区间可以是
.
故选：B.
考点五
方程法判断零点个数
例21．（2023 秋·贵州遵义·高三统考期末）（多选）函数f(x)=(x2-1)(x+1)的零点是 （ ）
A．-1
B．0
C．1
D．2
【答案】AC
【分析】根据零点的定义，解方程，即可求解.
【详解】令
，解得：
，
所以函数的零点是
和.
故选：AC
例22．（2023·全国·高三专题练习）已知函数
，则
的所有零点之和为（
20
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）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】令
求解即可.
【详解】
时，由
得
，
时，由
得
或
，
所以四个零点和为
．
故选：D．
例23．（2022 秋·四川成都·高一四川省成都市玉林中学校考阶段练习）若函数
，则
函数
的零点个数为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】B
【分析】根据分段函数解析式，分
和
两种情况分别解方程，即可得答案.
【详解】由题意函数
，
则函数
的零点个数即
的解的个数，
当
时,令
,即
或
（舍去），得
，符合题意；
当
时，令
，得
，符合题意，
故
的零点有2 个，
故选：B.
21
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例24．（2023 春·山西·高三统考阶段练习）已知函数
，则方程
的实数解的
个数为（ ）
A．2
B．3
C．4
D．5
【答案】B
【分析】讨论
、
，令
求解即可判断个数.
【详解】当
时，由
，解得
；
当
时，由
，得
或
，解得
或
．
故方程
的实数解的个数为3．
故选：B
例25．（2023 春·广东揭阳·高三校联考阶段练习）函数
，则函数
的零点
个数为（ ）
A．2
B．3
C．4
D．5
【答案】A
【分析】令
，结合题意得到
的两根为
，
，然后根据函数
的单调性和最值
进而求解.
【详解】令
，则
，当
时，由
可得
或
（舍去）；当
时，由
可得
，所以
的两根为
，
，
则
或
，因为
在
上单调递减，在
上单调递增，
所以
，若
，易知方程无解，
若
，当
时，由
，得
或
（舍去），
此时方程有唯一的解；
当
时，由
，得
，此时方程有唯一的解，
综上所述可知函数
的零点个数为
个，
22
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故选：A.
考点六
数形结合法判断零点个数
例26．（2021 秋·高三课时练习）方程
的解的个数是( )
A．0
B．1
C．2
D．3
【答案】C
【分析】数形结合分析函数
与函数
的图象交点的个数即可.
【详解】由
得
，
在同一平面直角坐标系内作出
与
的图象，
两个函数的图象有两个交点，所以方程有两个解，
故选：C.
例27．（2022 秋·高一单元测试）（多选）给出以下四个方程，其中有唯一解的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ABD
【分析】将方程的解的个数转化为函数与函数的交点个数，数形结合即可判断.
【详解】对于A：函数
与
的图象如下所示：
23
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所以方程
有唯一解，符合题意；
对于B：函数
与
的图象如下所示：
所以方程
有唯一解，符合题意；
对于C：函数
与
的图象如下所示：
所以方程
有两个实数解，不符合题意；
24
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对于D：函数
与
的图象如下所示：
所以方程
有唯一解，符合题意.
故选：ABD.
例28．（2023 秋·贵州黔西·高三统考期末）已知函数
定义在R 上，且
，满足
，且当
时，
，则函数
的零点个数是（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】C
【分析】先利用题给条件求得函数
的奇偶性对称轴和周期，再利用数形结合的方法即可求得函数
的零点个数.
【详解】定义在R 上函数
满足
，可得
为奇函数，
又由
，可得
有对称轴
，
由
，可得
，
则
最小正周期为4，
函数
的零点即函数
与函数
图像交点的横坐标.
又当
时，
，
25
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在同一坐标系内作出函数
与函数
图像如下：
两函数图像有3 个公共点
，
则函数
的零点个数是3
故选：C
例29．（2023·四川·四川省金堂中学校校联考三模）函数
的零点个数为__________.
【答案】1
【分析】在同一坐标系中作出
与
的图象，由图即可得出答案.
【详解】解：注意到
，在同一坐标系中作出
与
的图象，
易知零点个数为1.
故答案为：1.
例30．（2023·全国·高三专题练习）已知函数
，则函数
的零点个数
为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】C
26
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【分析】令
得
，根据分段函数性质可在同一直角坐标系中作出
，
的大致图
象，由图象可知，函数
与
的图象有3 个交点，即可得出答案．
【详解】解：令
得
，
在同一直角坐标系中作出
（图中细实线所示），
（图中粗实线所示）的大致图象如下：
由图象可知，函数
与
的图象有3 个交点，
即函数
有3 个零点，
故选：C.
考点七
利用函数的零点求参数
例31．（2023 春·河南焦作·高三统考期中）若函数
有且仅有一个零点，则实数
的
取值范围为 __________ .
【答案】
【分析】求出函数
在
上的零点，分析可知，直线
与函数
在
上的图象无交点，
数形结合可得出实数
的取值范围.
【详解】当
时，令
可得
；
当
时，
，此时函数
单调递减，
27
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因为函数
有且只有一个零点，所以，函数
在
上无零点，
由
可得
，
所以，直线
与函数
在
上的图象无交点，如下图所示：
且当
时，
，由图可知，当
或
时，直线
与函数
在
上的图象无交点.
因此，实数
的取值范围是
.
故答案为：
.
例32．（2023 秋·贵州黔西·高三统考期末）（多选）已知函数
，实数
是函数
的两个零点，则下列结论正确的有（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BCD
【分析】函数零点问题转化为两函数交点问题，数形结合可判断AB，再由
判断C，利用均值
不等式及指数函数单调性判断D.
【详解】
，
的零点即函数
与
图象交点的横坐标，作出图象，
28
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由图象可知，当
时，两个函数图象有2 个交点，且
，
即
，化简可得
，
由
，
等号取不到，
可得
，所以
.
综上可知，BCD 正确，A 错误.
故选：BCD
例33．（2023 春·新疆阿克苏·高三校考阶段练习）（多选）已知函数
，若方程
有四个不同的实数解，它们从小到大依次记为
，
，
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ACD
【分析】将方程的实数解个数问题转换为两个函数的交点问题，即可求出
的取值范围，并得到
，
，
，
之间的关系，其中
，
是方程
的实数根，根据二元一次方程和韦达定理即可找到关
系；
，
满足等式
.
【详解】当
时，
，在
单调递减，
，在
单调递
增，
；
29
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当
时，
，在
单调递减，
，在
单调递
增，
，
若
有四个不同的实数解，则
，故A 正确；
因为
，所以
，
，所以
，故B
错误；
因为
，根据韦达定理可知在方程
中
，故C 正确；
，
，
所以
，D 正确.
故选：ACD
例34．（2023 春·江西·高三校联考阶段练习）已知函数
且
有两个零点，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】将解：函数
且
有两个零点，转化为函数
的图像与直线
有两个公共点求解.
30
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【详解】解：因为函数
且
有两个零点，
所以
且
有两个零点，
即函数
的图像与直线
有两个公共点，
当
时，由图①得
1，故
；
当
时，由图②得
，不符合题意.
，
故选：A
例35．（2023·贵州遵义·校考模拟预测）“函数
存在零点”的一个必要不充分条件为
（ ）
A．
B．
C．m＞2
D．
【答案】A
【分析】令
可得
，再分析
的奇偶性与单调性，结合
的最值判断
即可.
【详解】令
化简可得
，令
，易得函数
为偶函数，且在
上单调递减，在
上单调递增，又
，且
，故
有零点则
，所求范围
要比此大，选项中仅A 符合.
故选：A.
31
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一、单选题
1．（2022·全国·高一专题练习）若直线y=2a 与函数
的图象有且只有一个公共点，则a 的取值范
围（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】画出两个函数在同一坐标系下的图象，数形结合分析即得解.
【详解】画出两个函数在同一坐标系下的图象，
若两个函数图象有且只有一个公共点，
则
或
，
或
.
故选：D．
2．（2023·山西阳泉·统考三模）函数
在区间
存在零点．则实数m 的取值范围是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】利用函数的单调性的性质及函数零点的存在性定理即可求解.
【详解】由
在
上单调递增，
在
上单调递增，得函数
32
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在区间
上单调递增，
因为函数
在区间
存在零点，
所以
，即
，解得
，
所以实数m 的取值范围是
.
故选：B.
3．（2023·全国·模拟预测）函数
在区间
上的大致图象为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】由选项图形特点，先判断函数的奇偶性，然后再根据
和
两个区间上函数值的正
负即可判断出函数图象.
【详解】因为
，且
，所以函数
为奇函数，
故排除A，B．
当
时，
，
，
，所以
；
33
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当
时，
，
，
，所以
．故排除D．
故选：C．
4．（2023 春·高三平湖市当湖高级中学校联考期中）已知函数
，则函数
零点个数最多是（ ）
A．10
B．12
C．14
D．16
【答案】B
【分析】画出
的图像，设
，首先讨论
的根的情况，再分析
根的情况即可
分析出
根的情况，即可得出答案．
【详解】画出
的图像，如图所示，
由
，令
，得
，
设
，由图像可知
，则
，
得
的图像，如图所示，
34
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由图像可知，
，
①当
时，即
，没有根；
②当
时，即
，此时有3 个根
，
，
，
当
时，即
，有3 个根，
当
时，即
，有4 个根，
当
时，即
，有4 个根，
故
时，
有11 个根；
③当
时，
，此时有三个根，
，
当
时，即
，有4 个根，
当
时，即
，有4 个根，
当
时，即
，有4 个根，
故
时，
有12 个根；
综上所述，
最多有12 个根，
故选：B．
5．（2023·四川成都·成都七中校考模拟预测）已知函数
的定义域为D，若对任意的
，都存在
35
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，使得
，则“
存在零点”是“
”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分且必要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】根据题意寻找条件说明充分性与必要性是否成立即可.
【详解】若
存在零点，不妨令
，
，即
，
由
，得
，则
存在零点
，
任意的
，取
且
，
但
，即
，故充分性不成立；
若
，则存在
，使得
，则
，即
存在零点
，故必要性成立，
所以，“
存在零点”是“
”的必要不充分条件．
故选：B．
6．（2023 春·浙江杭州·高三校联考阶段练习）函数
的一个零点所在的一个区间
是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】由函数
的单调性结合零点存在性定理求解即可.
【详解】函数
的定义域为
，易知函数
在
上单调递增.
，
，
由零点存在性定理可知，函数
的一个零点所在的一个区间是
.
36
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故选：C
7．（2022·全国·高三专题练习）设函数
，若互不相等的实数
，
满足
，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据题意，结合指数型函数图像性质，以及均值不等式，即可求解.
【详解】根据题意，易知函数
在区间
上单调递减，在区间
上单调递增.
因为互不相等的实数
，
满足
，
所以设
，则
，故
，
即
，解得
，因为实数
，
不相等，所以等号不成立，故
.
故选：A.
8．（2022·全国·高三专题练习）已知函数
，则方程
的实数根的个数为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】由已知，可令
，要求
，即为
，原题转化为直线
与
的图象
的交点情况，通过画出函数
的图象，讨论的取值，即可直线
与
的图象的交点情况.
【详解】令
，则
，
①当
时，
，
，
，即
，
②当
时，
，
，
画出函数
的图象，如图所示，
37
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若
，即
，无解；
若
，直线
与
的图象有3 个交点，即
有3 个不同实根；
若
，直线
与
的图象有2 个交点，即
有2 个不同实根；
综上所述，方程
的实数根的个数为5 个，
故选：
．
9．（2021 秋·山东青岛·高三青岛市即墨区第一中学校考期中）一质点从正方形的一个顶点
出发，沿着正
方形的边顺时针运动一周后回到
点，假设质点运动过程中的速度大小不变，则质点到点
的距离随时
间变化的大致图象为（ ）
A．
B．
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C．
D．
【答案】D
【分析】根据图象，分段讨论，即可得到.
【详解】
如图，当该质点运动到AB 段的G 点时，
，
长度逐渐增大，变化图象为一条上升的线段；
当该质点运动到BC 段的E 点时，
，
不变，
逐渐增大，变化图象为一段上升
的曲线；
当该质点运动到CD 段的F 点时，
，
不变，
逐渐减小，变化图象为一段下降
的曲线；
当该质点运动到AD 段的H 点时，
，
长度逐渐减小，变化图象为一段下降的线段.
综上可知，只有D 选项满足情况.
故选：D.
10．（2021 春·陕西榆林·高二陕西省神木中学校考阶段练习）已知
，若
存在两个零点，则实数m 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】变换得到
有两个交点，画出函数
和
的图形，得到
，得到
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答案.
【详解】
，即
，
画出函数
和
的图形，如图所示：
根据图像知：图像要有两个交点，即
，即
.
故选：A
二、多选题
11．（2023·全国·高三专题练习）已知函数
，若关于x 的方程
恰有两
个互异的实数解，则实数a 的值可以是（ ）
A．0
B．1
C．
D．2
【答案】BCD
【分析】首先根据题意画出函数
的图象，结合图象可知：当
时，直线
与
的图象有2 个交点，当直线与曲线
相切在第一象限时，有2 个交点，即可得到答案.
【详解】函数
的图象，如图所示：
40
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由题意知，直线
与
的图象有2 个交点．
当直线
过点
时，
，
当直线
过点
时，
．
结合图象如图可知，当
时，直线
与
的图象有2 个交点，
如图所示：
又当直线
与曲线
相切在第一象限时，
直线
与
的图象也有2 个交点，如图所示：
，化简可得
，由
，得
，
又由图可知
，所以
，此时切点的横坐标为2 符合.
综上，实数a 的取值范围是
.
故选：BCD．
12．（2021 秋·高三课时练习）函数
有两个零点
，
，且
，下列关于
，
的关系中错误的有( )
A．
且
B．
且
41
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C．
且
D．
且
【答案】ABD
【分析】利用两个函数图象的交点即可解决函数的零点问题.
【详解】令
，则
，
∴函数
的零点就是函数
与函数
图象交点的横坐标，
在同一平面直角坐标系中作出函数
的图象与
的图象，
如图所示，
结合图象知只有C 正确.
故选：ABD.
13．（2023 秋·安徽宣城·高三统考期末）已知函数
，
，若方程
有两个
不相等的买根，则实数
的取值可以是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BC
【分析】将函数
的解析式化为分段函数的形式，分析可知方程
在
、
上各有
一个根，分别求出方程
在
、
上的根，根据题意可得出关于实数
的不等式组，
综合可得出实数
的取值范围，即可得出合适的选项.
【详解】因为
，
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又因为程
有两个不相等的买根，则方程
在
、
上各有一个根，
当
时，由
可得
，可得
，其中
且
，
即
，解得
或
；
当
时，由
可得
，可得
，其中
且
，
即
，解得
.
综上所述，
.
故选：BC.
14．（2022 秋·江苏·高三淮阴中学校考期中）已知函数
的图象过原点，且无限接近直线
，但又不与该直线相交，则下列说法正确的是（ ）
A．
，
B．
的值域为
C．若
，则
D．若
，且
，则
【答案】AD
【分析】
过原点得
，由
时，
，可判断A；由
可判断B；画出
的图象可判断C；由
为偶函数可判断D.
【详解】∵
过原点，∴
，∴
①，
又∵
时，
，∴
时，
，
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由题知图象无限接近直线
，则
②，
由①②知
，
，故A 正确；
所以
，
，
，所以B 错误；
的图象如下：
由图知，
在
上单调递减，因为
，则
，
故C 错误；
∵
，∴
为偶函数，
又∵
，且
，
在
上单调递减，
在
上单调递增，∴
，
∴
，故D 正确.
故选：AD.
三、填空题
15．（2023·辽宁葫芦岛·统考一模）请估计函数
零点所在的一个区间______.
【答案】
【分析】根据零点存在性定理求解即可.
【详解】根据对数函数单调性的性质，
函数
为
上的减函数,
函数的图像在
上为一条连续不断的曲线,
44
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又
,
,
所以函数
零点所在的一个区间为
.
故答案为:
.
16．（2023·全国·高三专题练习）已知函数
满足：当
时，
，且
对任意
都成立，则方程
的实根个数是______．
【答案】4
【分析】根据给定条件，探讨函数
的性质，变形给定方程，转化成求两个函数图象的公共点个数
作答
【详解】依题意，函数
是以4 为周期的偶函数，当
时，
，
则当
时，
，
方程
，
因此原方程的实根就是函数
与函数
的图象的交点的横坐标，
在同一坐标系内作出函数
与
的图象，如图，
观察图象知，当
时，两函数图象只有一个交点，
当
时，由
得
，即当
时，两函数图象只有一个公共点，
于是当
时，函数
与
的图象有2 个公共点，
45
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又函数
与
均为偶函数，则当
时，两个函数图象有2 个公共点，
所以函数
与
的图象有4 个公共点，即原方程有4 个根．
故答案为：4
【点睛】方法点睛：函数零点个数判断方法：(1)直接法：直接求出f(x)=0 的解；(2)图象法：作出函数f(x)
的图象，观察与x 轴公共点个数或者将函数变形为易于作图的两个函数，作出这两个函数的图象，观察它
们的公共点个数.
17．（2023·全国·模拟预测）已知
则函数
的零点个数是
______．
【答案】7
【分析】作出函数
的图像，然后分解因式得到
或
，数形结合分析零点个数
【详解】函数
的零点即为方程
的根，解方程
得
或
．
作出函数
的图像，如图所示．
由图像知直线
与
的图像有4 个交点，直线
与
的图像有3 个交点．
因此函数
的零点有7 个．
故答案为：7
18．（2023 秋·云南昆明·高二统考期末）已知函数
，若方程
有4 个不同的
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实数根，则实数
的取值范围是________；
【答案】
【分析】原题意等价于
与
有四个不同的交点，结合图象分析求解.
【详解】原题意等价于
与
有四个不同的交点，
作出
的图象，如图所示：
可得：当
时，
与
有且仅有一个交点；
当
或
时，
与
有且仅有三个交点；
当
时，
与
有且仅四个交点；
当
时，
与
有且仅有两个交点；
综上所述：若
与
有四个不同的交点，则实数
的取值范围是
.
故答案为：
.
四、解答题
19．（2023 春·江西南昌·高一南昌市第三中学校考期中）设函数
且
是奇函数.
(1)已知
，求常数
的值.
(2)在（1）条件下，函数
在区间
有两个零点，求实数
的范围.
【答案】(1)
，
47
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(2)
【分析】（1）根据
和
可构造方程求得
的值，验证满足题意即可确定结果；
（2）令
，可求得
，将问题转化为
在
上恰有两个不同零点，根据
二次函数零点的分布可构造不等式组求得结果.
【详解】（1）
为定义在
上的奇函数，
，解得：
，
，解得：
（舍）或
；
当
，
时，
，此时
，满足
为奇函数，
，
.
（2）由（1）得：
，
则
；
令
，则在
上单调递增，
，
在
上恰有两个不同零点，
，解得：
，即实数
的范围为
.
20．（2023 秋·四川泸州·高一统考期末）已知函数
．
(1)用定义证明
在定义域上是减函数；
(2)若函数
在
上有零点，求实数a 的取值范围．
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【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）先求函数的定义域，再根据减函数的定义证明即可；
（2）由（1）知，函数
在定义域为
上的减函数，从而
为减函数，故只需满
足
，解不等式组即可求得a 的取值范围．
【详解】（1）证明：根据题意，函数
，
则有
，解可得
，即函数的定义域为
，
设
，则
，
，
因为
，所以
，
，
所以
，
故
，即
则函数
在定义域上是减函数；
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（2）根据题意，由（1）的结论，函数
在定义域为
上的减函数，
则
为减函数，
若函数
在
上有零点，
则
，
解可得：
，
故a 的取值范围为
．
21．已知函数
（t，
，且
）为偶函数．
(1)求t 和k 的值；
(2)讨论函数
的零点个数．
【答案】(1)
(2)讨论见解析
【分析】（1）根据偶函数定义
列式，化简即可找出t 和k 的值；
（2）将零点问题转化为
与
两个函数的交点问题，再利用
的单调性及其值域求解.
【详解】（1）解：因为
为偶函数，所以
，
即
，
化简得
，
即
，
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化简得
，
当
时，
，即
，
则
；
（2）由（1）知：
，即
，
当
时，令
，
，
，
当且仅当
，即
时，等号成立，
人去
，且
，
则
，
因为
，所以
；
又因为
，所以
，
则
，即
，
所以
在
上单调递增，
根据复合函数同增异减性质可知
在
单调递增，
因为
为偶函数，所以
在
单调递减，则
.
当
时，
没有零点；
当
时，
有一个零点；
当
时，
有两个零点.
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