第 14 讲 双曲线的二级结论
双曲线二级结论大全
一：双曲线的三个定义
1.双曲线的第一定义：
2.双曲线的第二定义
平面内，当动点M到一个定点的距离和它到一条定直线(点不在直线上)的距离之比是常数e= (e>1)时，这个
动点的轨迹就是双曲线，定点是双曲线的焦点，定直线是双曲线的准线，常数e是双曲线的离心率.
3.双曲线的第三定义：
设点 , N 为双曲线上关于原点对称的两点，点 是双曲线上异于 , N 的任意一点，若直线PM,
PN 的斜率存在，则必有 （焦点在y 轴上时为 ）
证明：设点
点M,P在双曲线上
两式相减得： , 亦即 证毕。
若圆锥曲线上存在任意两点 关于原点对称, 点 为圆锥曲线上异于 的任意一点, 有：
①
；
②
.
二.双曲线的通径过焦点 做 轴的垂线，交于椭圆 两点，设 ，代入椭圆方程 ，
， ，即 ，所以通径 .
①双曲线的焦点到渐近线的距离为常数 .
②双曲线的顶点到渐近线的距离为常数 .
③双曲线上任意一点 到两渐近线的距离乘积为定值.
， ，
设
，又点 在曲线上，所以
， ，即
三.双曲线的焦点三角形
1.设 ， 的周长：
2．双曲线 （a＞0,b＞o）的左右焦点分别为F ，F ，点P为双曲线上任意一点 ，则双
1 2
曲线的焦点角形的面积为 ， .
3．若P为双曲线 （a＞0,b＞0）右（或左）支上除顶点外的任一点,F , F 是焦点, ,
1 2
，则 （或 ）.
4．设双曲线 （a＞0,b＞0）的两个焦点为 F 、F ,P（异于长轴端点）为双曲线上任意一点，在
1 2△PF F 中，记 , , ，则有 .
1 2
5．PT平分△PF F 在点P处的内角，则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以实轴为直径的圆，除去实轴的两
1 2
个端点.
6．以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相交.
7．设P为双曲线上一点，则△PF F 的内切圆必切于与P在同侧的顶点.
1 2
8．双曲线焦三角形中,以焦半径为直径的圆必与以双曲线实轴为直径的圆相外切.
9．双曲线焦三角形的内切圆必切长轴于非焦顶点同侧的实轴端点.
10．双曲线两焦点到双曲线焦三角形内切圆的切线长为定值a+c与c-a.
11．双曲线焦三角形的非焦顶点到其旁切圆的切线长为定值c-a.
12．双曲线焦三角形中,外点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数 e(离心率). 注:在双曲线焦三角
形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点.
13．双曲线焦三角形中,其焦点所对的旁心将外点与非焦顶点连线段分成定比e.
14．双曲线焦三角形中,半焦距必为内、外点到双曲线中心的比例中项.
15．双曲线焦三角形中,双曲线中心到内点的距离、内点到同侧焦点的距离、半焦距及外点到同侧焦点的距离成比
例.
16．双曲线焦三角形中,半焦距、外点与双曲线中心连线段、内点与同侧焦点连线段、外点与同侧焦点连线段成比
例.
17．双曲线焦三角形中,过任一焦点向非焦顶点的内角平分线引垂线,则双曲线中心与垂足连线必与另一焦半径所在
直线平行.
18．双曲线焦三角形中,过任一焦点向非焦顶点内角平分线引垂线,则双曲线中心与垂足的距离为双曲线实半轴的长.
19．双曲线焦三角形中,过任一焦点向非焦顶点的内角平分线引垂线,垂足就是垂足同侧焦半径为直径的圆和双曲线
实轴为直径的圆的切点.
20．双曲线焦三角形中,非焦顶点的内角平分线与焦半径、实轴所在直线的夹角的余弦的比为定值e.
21．双曲线焦三角形中,非焦顶点的法线即为该顶角的外角平分线.
22．双曲线焦三角形中,非焦顶点的切线即为该顶角的内角平分线.
23．双曲线焦三角形中,过非焦顶点的切线与双曲线实轴两端点处的切线相交,则以两交点为直径的圆必过两焦点.
四．双曲线焦半径
1．双曲线 （a＞0,b＞o）的焦半径公式： ,
当 在右支上时， , .
当 在左支上时， , .
设 为直线 倾斜角
2.焦比公式
①交双曲线的一支时， ，
所以 ， ， .则 , .
②交双曲线不同支时（左右都相交）
则 ， ，即 ，所以 ，所以
，所以 ，此时变成 .
，则
证明过程：设
.
为焦长公式.
③若 ，则 ,所以 ，
即 .
交双曲线不同支时（左右都相交）
则 ， ，即 ，所以 ，所以
，所以 ，此时变成 .
即 .
3．设P点是双曲线 （a＞0,b＞0）上异于实轴端点的任一点,F 、F 为其焦点记 ，则(1)
1 2
.(2)
五．双曲线中点弦及切线切点弦
1．双曲线 （a＞0,b＞0）的两个顶点为 , ，与y轴平行的直线交双曲线于P P 时
1、 2A P 与A P 交点的轨迹方程是 .
1 1 2 2
2．若 在双曲线 （a＞0,b＞0）上，则过 的双曲线的切线方程是 .
3．若 在双曲线 （a＞0,b＞0）外 ，则过Po作双曲线的两条切线切点为P 、P ，则切点弦
1 2
P P 的直线方程是 .
1 2
4．AB 是双曲线 （a＞0,b＞0）的不平行于对称轴且过原点的弦，M 为 AB 的中点，则
.
5 ． 若 在 双 曲 线 （ a ＞ 0,b ＞ 0 ） 内 ， 则 被 Po 所 平 分 的 中 点 弦 的 方 程 是
.
6．若 在双曲线 （a＞0,b＞0）内，则过Po的弦中点的轨迹方程是 .
7．过双曲线 （a＞0,b＞o）上任一点 任意作两条倾斜角互补的直线交双曲线于B,C两点，
则直线BC有定向且 （常数）.
8．设双曲线方程 ,则斜率为k(k≠0)的平行弦的中点必在直线 ： 的共轭直线 上,而且
.
9．过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂
直.
10．过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直.
六：
六．中心张直角弦1．已知双曲线 （b＞a＞0），O为坐标原点，P、Q为双曲线上两动点，且 .（1）
;（2）|OP|2+|OQ|2的最小值为 ;（3） 的最小值是 .
2．MN是经过双曲线 （a＞b＞0）焦点的任一弦(交于同支)，若过双曲线中心O的半弦 ，
则 .
3．若PQ是双曲线 （b＞a ＞0）上对中心张直角的弦，则 .
4．若双曲线 （b＞a ＞0）上中心张直角的弦 L 所在直线方程为 ,则(1)
;(2) .
七．轨迹
1．在双曲线 中，定长为2m（ ）的弦中点轨迹方程为
2．已知双曲线 （a＞0,b＞0）,点P为其上一点F , F 为双曲线的焦点， 的内（外）角平分
1 2
线为 ，作 F 、F 分别垂直 于 R、S，当 P 跑遍整个双曲线时，R、S 形成的轨迹方程是 (
1 2
).
3．设 是双曲线 的实轴的两个端点， 是与 垂直的弦，则直线 与 的交点P的轨
迹是双曲线 .4．到双曲线 （a＞0,b＞0）的两准线和x轴的交点的距离之比为 （c为半焦距）的动点的轨迹
是姊妹圆 （e为离心率）.
5．到双曲线 （a＞0,b＞0）两焦点的距离之比等于 （c为半焦距）的动点M的轨迹是姊妹圆
.
6．到双曲线 （a＞0,b＞0）的实轴两端点的距离之比等于 （c为半焦距）的动点M的轨迹是姊
妹圆 .
7．已知 P 是双曲线 （a＞0,b＞0）上一个动点， 是它实轴的两个端点,且 ,
，则Q点的轨迹方程是 .
8. 过平面上的 点作直线 及 的平行线，分别交 轴于 ，交 轴于 .（1）若
，则 的轨迹方程是 .(2)若 ，则 的轨迹方程是
.
9．AB是双曲线 （a＞0,b＞0）的实轴， 是双曲线上的动点，过 的切线与过A、B的切线交于
、 两点，则梯形ABDC的对角线的交点M的轨迹方程是 .
10．OA、OB是双曲线 （a＞0,b＞0,且 ）的两条互相垂直的弦，O为坐标原点，则（1）
直线 AB 必经过一个定点 .(2) 以 O A、O B 为直径的两圆的另一个交点 Q 的轨迹方程是
（除原点）。
八．其它1．设 A、B 是双曲线 （a＞0,b＞0）的长轴两端点，P 是双曲线上的一点， ,
, ， c 、 e 分 别 是 双 曲 线 的 半 焦 距 离 心 率 ， 则 有 (1) .(2)
.(3) .
2．经过双曲线 （a＞0,b＞0）的实轴的两端点A 和A 的切线，与双曲线上任一点的切线相交于P 和
1 2 1
P ，则 .
2
3．双曲线的一条直径(过中心的弦)的长，为通过一个焦点且与此直径平行的弦长和实轴之长的比例中项.
4．如果一个双曲线虚半轴长为b，焦点F 、F 到直线 的距离分别为d 、d ，那么（1） ，且F 、F
1 2 1 2 1 2
在 异侧 直线L和双曲线相切,或 是双曲线的渐近线.（2） ，且F 、F 在L异侧 直线 和双
1 2
曲线相离，（3） ，或F 、F 在L同侧 直线L和双曲线相交.
1 2
5．设点 为双曲线 （a＞0,b＞0）的内部(（含焦点的区域）)一定点，AB是双曲线过定点
的任一弦.
(1)如 ,则当弦AB垂直于双曲线实轴所在直线时 .
(2)如 ,则当弦AB平行（或重合）于双曲线实轴所在直线时, .
6.已知双曲线 上有一点 ，过 分别引其渐近线的平行线，分别交 轴于 ，交
轴于 ， 为原点，则： （1） ； （2） .
7．设双曲线 （a＞0,b＞0）实轴的端点为 , 是双曲线上的点过P作斜率为 的直线
，过 分别作垂直于实轴的直线交 于 ,则（1） .（2）四边形 面积趋近于
.
8．给定双曲线 ： （a＞b＞0）, ： ,则(i)对 上任意给定的点 ,它的任一直角弦必须经过 上一定点M .
(ii)对 上任一点 在 上存在唯一的点 ,使得 的任一直角弦都经过 点.
9．已知双曲线 （a＞0,b＞0）的右准线 与x轴相交于点 ，过双曲线右焦点 的直线与双曲线相交
于A、B两点,点 在右准线 上，且 轴，则直线AC经过线段EF 的中点.
10． 是双曲线 （a＞0,b＞0）上一个定点，P A、P B是互相垂直的弦，则（1）直线
AB必经过一个定点 .（2）以P A、P B为直径的两圆的另一个交点Q的轨迹方
程是
(除P点).
11．L是经过双曲线 （a＞0,b＞0）的实轴顶点A且与x轴垂直的直线，E、F是双曲线的准线与x轴
交点,点 ，e 是离心率， ，H 是 L 与 X 轴的交点 c 是半焦距，则 是锐角且 或
（当且仅当 时取等号）.
12．设A、B是双曲线 （a＞0,b＞0）实轴上分别位于双曲线一支内（含焦点的区域）、外部的两点，
且 、 的横坐标 ，（1）若过A点引直线与双曲线这一支相交于P、Q两点，则 ；
（2）若过B引直线与双曲线这一支相交于P、Q两点，则 .
13．设过双曲线的实轴上一点B（m,o）作直线与双曲线相交于P、Q两点，A为双曲线实轴的左顶点，连结AP和
AQ分别交相应于过B点的直线MN： 于M，N两点,则 .
14．L是经过双曲线 （a＞0,b＞0）焦点F且与实轴垂直的直线，A、B是双曲线的两个顶点，e是离
心率,点 ，若 ，则 是锐角且 或 （当且仅当 时取等号）.15．设A、B、C、D为双曲线 （a＞0,b＞o）上四点,AB、CD所在直线的倾斜角分别为 ，直线
AB与CD相交于P,且P不在双曲线上,则 .
16．双曲线 （a＞0,b＞0）上存在两点关于直线 ： 对称的充要条件是
.
17．P 是双曲线 （a＞0，b＞0）上一点，则点 P 对双曲线两焦点张直角的充要条件是
.
18．双曲线 （a＞0,b＞0）与直线 有公共点的充要条件是 .
19．双曲线 （a＞0,b＞0）与直线 有公共点的充要条件是
.
20．MN是经过双曲线 （a＞0,b＞0）过焦点的任一弦(交于两支)，若AB是经过双曲线中心O且平行
于MN的弦，则 .
21．设 为双曲线 （a＞0,b＞0）上一点，P P 为曲线C的动弦,且弦PP , PP 斜率存在，记
1 2 1 2
为k , k , 则直线P P 通过定点 的充要条件是 .
1 2 1 2
22．若双曲线 （a＞0,b＞0）的左、右焦点分别为F 、F ，左准线为L，则当1＜e≤ 时，可在
1 2
双曲线上求一点P，使得PF 是P到对应准线距离d 与PF 的比例中项.
1 1 2
23．P 为双曲线 （a＞0,b＞0）上任一点,F ,F 为二焦点，A 为双曲线左支内一定点，则
1 2
,当且仅当 三点共线且 在左支时，等号成立.24．设A,B为双曲线 （a＞0,b＞0， ）上两点，其直线AB与双曲线 相交于
,则 .
25．设S为双曲线 （a＞0,b＞0）的通径，定长线段L的两端点A,B在双曲线右支上移动，记|AB|=
， 是 AB 中点，则当 时，有 , );当 时，有
.
26．设双曲线 （a＞0,b＞0）,M(m,o)为实轴所在直线上除中心，顶点外的任一点，过 M引一条直线
与双曲线相交于P、Q两点，则直线A P、A Q(A A 为两顶点)的交点N在直线 ： 上.
1 2 1 , 2
27．设过双曲线焦点F作直线与双曲线相交 P、Q两点，A为双曲线长轴上一个顶点，连结AP 和AQ分别交相应
于焦点F的双曲线准线于M、N两点，则MF⊥NF.
28．过双曲线一个焦点F的直线与双曲线交于两点P、Q, A 、A 为双曲线实轴上的顶点，A P和A Q交于点M，
1 2 1 2
A P和A Q交于点N，则MF⊥NF.
2 1
29．设△ABC三顶点分别在双曲线 上，且AB为 的直径， 为AB的共轭直径所在的直线， 分别交直线
AC、BC于E和F，又D为 上一点，则CD与双曲线 相切的充要条件是D为EF的中点.
30．过双曲线 （a＞0,b＞0）的右焦点F作直线交该双曲线的右支于M,N两点，弦MN的垂直平分线
交x轴于P，则 .
31．设A（x ,y ）是双曲线 （a＞0,b＞0）上任一点，过A作一条斜率为 的直线L，又设d是
1 1
原点到直线 L的距离, 分别是A到双曲线两焦点的距离，则 .
32．已知双曲线 （a＞0,b＞0）和 （ ），一条直线顺次与它们相交于A、B、
C、D四点，则│AB│=|CD│.
33．已知双曲线 （a＞0,b＞0）,A、B是双曲线上的两点，线段AB的垂直平分线与x轴相交于点, 则 或 .
34．L是双曲线 （a＞0,b＞0）焦点F 且与x轴垂直的直线，E、F是双曲线准线与x轴交点，H是L
1
与x轴的交点，点 ， ,离心率为e，半焦距为c，则 为锐角且 或
（当且仅当 时取等号）.
35．已知双曲线 （a＞0,b＞0），直线L通过其右焦点F ,且与双曲线右支交于A、B两点，将A、B
2
与双曲线左焦点F 连结起来，则 （当且仅当AB⊥x轴时取等号）.
1
36．设A、B是双曲线 （a＞0,b＞0）实轴上分别位于双曲线一支内（含焦点的区域），外部的两点，
（1）若过A点引直线与双曲线这一支相交于P、Q两点，（若B P交双曲线这一支于两点，则P、Q不关于x轴
对称），且 ，则点A、B的横坐标 、 满足 ；（2）若过B点引直线与双曲线这
一支相交于P、Q两点，且 ,则点A、B的横坐标满足 .
37 ． 过 双 曲 线 （ a ＞ 0,b ＞ 0 ） 的 右 焦 点 作 互 相 垂 直 的 两 条 弦 AB 、 CD, 则
；
38. 点 为双曲线 在第一象限的弧上任意一点，过 引 轴、 轴的平行线，交 轴、
轴于 ，交直线 于 ，记 与 的面积为 ，则： .
39. 点 为第一象限内一点，过 引 轴、 轴的平行线，交 轴、 轴于 ，交直线 于 ，
记 与 的面积为 ，已知 ，则 的轨迹方程是 或应用双曲线二级结论解题
一．单选题
1.设 ， 是双曲线 的两个焦点， 为坐标原点，点 在 上且 ，则△ 的面积为（
）
A． B．3 C． D．2
【答案】B【解析】由已知，不妨设 ，则 ，∵ ，
∴点 在以 为直径的圆上]即 是以P为直角顶点的直角三角形，故 ，
即 ，又 ，
∴ ，
解得 ，∴ ，故选B．
2.设双曲线 的左、右焦点分别为 ， ，离心率为 ． 是 上一点，且 ．
若△ 的面积为 ，则 （ ）
A．1 B．2 C．4 D．8
b2
S =
PF F θ b2
1 2
【答案】A解法二：由题意知，双曲线的焦点三角形面积为 tan ．∴ =4，则 ，
2 tan45° b=2c
e= =√5
又∵ a ，∴a=1．
3.过双曲线 ： （ ， ）的焦点且斜率不为0的直线交 于A， 两点， 为 中点，若
，则 的离心率为（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】D
【分析】先设出直线AB的方程，并与双曲线 的方程联立，利用设而不求的方法及条件 得到关于
的关系，进而求得双曲线 的离心率
【详解】不妨设过双曲线 的焦点且斜率不为0的直线为 ，令
由 ，整理得
则 ，
则 ，由 ，可得
则有 ，即 ，则双曲线 的离心率 ，故选：D
4.已知 为双曲线 的右顶点， 为双曲线右支上一点，若点 关于双曲线中心 的对称点为
，设直线 、 的倾斜角分别为 、 ，且 ，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】设出 坐标，根据题意得 ，代入斜率公式，由 点在双曲线上，消元整理得到 的关系，
进一步求得双曲线的离心率.
【详解】设 ，则 ，因为 ，即 ，由 ，所以
，因为 ，所以 ，即 ，得 ，所以，即 ，又 ，所以 ，即 ，所以 ，故双曲线的离心率为
．故选：D.
5.已知A，B，P是双曲线 （ ， ）上不同的三点，且A，B连线经过坐标原点，若直线PA，
PB的斜率乘积为 ，则该双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】设 ， ，根据对称性，知 ，然后表示出 ，又由于点A，P在双曲线上，
所以将其坐标代入方程中，两式相减，结合前面的式子可得 ，化简可求出离心率
【详解】设 ， ，根据对称性，知 ，所以 ．
因为点A，P在双曲线上，所以 ，两式相减，得 ，所以
所以 ，所以 ，所以 ．故选：D
6.已知双曲线 的左、右焦点分别为 、 ，过左焦点 作斜率为2的直线与双曲线交于A，B两
点，P是AB的中点，O为坐标原点，若直线OP的斜率为 ，则双曲线的离心率是（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】A
【分析】设 ， ，利用点差法，结合直线的斜率公式可求出 ，从而可求出 ，进而可求
出离心率
【详解】 ， ，则 ， ，两式相减得，所以 ，因为P是AB的中点，
所以 ， ，因为直线OP的斜率为 ，所以 ，因为过左焦点 作斜率为2的直线与双
曲线交于A，B两点，所以 ，所以 ， ，得 ，所以
，所以离心率为 故选：A
7.若双曲线 的焦点 到其渐近线的距离为 ，则双曲线的渐近线方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由题可得 ， ，即得.
【详解】双曲线 的焦点 到渐近线： ，即 的距离为：
，而 ，从而 ，故渐近线 即 .故选：B.
8.已知 是双曲线 ： 的一个焦点，则点 到 的一条渐近线的距离为
A． B．3 C． D．
【答案】A【解析】双曲线方程为 ，焦点 到一条渐近线的距离为 ，故选A．
9.已知双曲线 的离心率为2，过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点．
设A，B到双曲线同一条渐近线的距离分别为 和 ，且 ，则双曲线的方程为 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设双曲线的右焦点坐标为 ，则 ，由 可得： ，不妨设：，双曲线的一条渐近线方程为： ，据此可得： ，
，则 ，则 ，双曲线的离心率：
，据此可得： ，则双曲线的方程为 ，故选C．
x2 y2
1(a0,b0)
a2 b2
10．已知双曲线 的两条渐近线均和圆 ： 相切，且双曲线的右焦
C
点为圆 的圆心，则该双曲线的方程为
x2 y2 x2 y2 x2 y2 x2 y2
1 1 1 1
5 4 4 5 3 6 6 3
A． B． C． D．
3b
2
【答案】A【解析】圆C:(x3)2 y2 4，c3,而 c ，则b2,a2 5，故选A．
11.已知双曲线 的左､右焦点分别为 ，离心率为2，焦点到渐近线的距离为 .过
作直线 交双曲线 的右支于 两点，若 分别为 与 的内心，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】由题意，在 中，根据焦点到渐近线的距可得 ，离心率为2，
∴ ，解得： ，∴ ∴双曲线的
方程为 .记 的内切圆在边 ， ， 上的切点分别为 ，则 ， 横坐标相等
， ， ，由 ，即 ，得 ，即 ，记 的横坐
标为 ，则 ，于是 ，得 ，
同理内心 的横坐标也为 ，故 轴.设直线 的倾斜角为 ，则 ， （Q为坐
标原点），在 中， ，
由于直线 与 的右支交于两点，且 的一条渐近线的斜率为 ，倾斜角为 ，∴ ，即
，∴ 的范围是 .故选：D.
12.已知 ， 是椭圆和双曲线的公共焦点， 是它们的一个公共点，且 ，则椭圆和双曲线离心率倒数
之和的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据双曲线和椭圆的性质和关系，结合余弦定理即可得到结论．
【详解】设椭圆的长半轴为 ，双曲线的实半轴为 ，半焦距为 ，
由椭圆和双曲线的定义可知，设 ， ， ，
椭圆和双曲线的离心率分别为 ， ，
因 是它们的一个公共点，且 ，则由余弦定理可得：
……①
在椭圆中，由定义知 ，①式化简为： ……②
在双曲线中，由定义知 ，①式化简为： ……③
由②③两式消去 得： ，等式两边同除 得 ，
即 ，
由柯西不等式得 ，.
故选：B
13.已知 是双曲线 的右焦点，直线 经过点 且与双曲线相交于 两点，记该双曲线
的离心率为 ，直线 的斜率为 ，若 ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】由题意，设直线 的方程为 ，联立方程组 ，整理得 ，
设 ，可得 ，因为 ，即 ，
可得 ，代入上式，可得 ， 可得 ，整理得
，即 ，又由 ，可得 ，即 ，
所以 ，可得 ，即 .故选：C.
14.已知 ， 是双曲线 ： 的左，右焦点，过点 倾斜角为30°的直线与双曲线的左，
右两支分别交于点 ， .若 ，则双曲线 的离心率为（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】A
【详解】设 ，则 ，从而 ，进而 .过 作 ，则
.如图：
在 中， ， ；在 中， ，即 ，所以 .故选：A
15.已知双曲线 的左､右焦点分别为 ， ，过点 且倾斜角为 的直线 与双曲线的左､右支
分别交于点 ， ，且 ，则该双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：过 作 于点 ，设 ，因为直线 的倾斜角为 ，所以在直角三角形
中， ， ，由双曲线的定义可得 ，所以 ，同理可得 ，
所以 ，即 ，所以 ，因此 ，在直角三角形 中，
，所以 ，所以 ，则 .故选：A.
16.已知双曲线 ， 过 的右焦点 作垂直于渐近线的直线 交两渐近线于 、 两点 、
两点分别在一、四象限，若 ，则双曲线 的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：由题意知：双曲线的右焦点 ，渐近线方程为 ，即 ， 如下图所示:由点到直线距离公式可知： ，
又 ， ， ，即 ，设 ，
由双曲线对称性可知 ，而 ， ，由正切二倍角公式可知：
，即 ，化简可得： ，即 ，由双曲线离心率公式
可知： .故选：A.
17.已知双曲线 的两条渐近线分别为直线 ， ，经过右焦点 且垂直于 的直线 分别交
， 于 两点，且 ，则该双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】满足情形2，即 ， .
18． 是双曲线 的左右焦点，过 且斜率为1的直线与两条渐近线分别交于 两点，若
，则双曲线的离心率为
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】设直线方程为 ，与渐近线方程 联立方程组解得 因为 ，
所以 ，选B.
19．已知双曲线 的离心率为 ，焦点到渐近线距离为 ，则双曲线 实轴长（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由双曲线的性质可得双曲线渐近线方程，由点到直线的距离公式可得 ，再结合离心率即可得解.【详解】由题意，双曲线的一个渐近线为 即 ，
设双曲线的的右焦点为 ，则 ，
所以焦点到渐近线的距离 ，
又离心率 ，所以 ，
所以双曲线 实轴长 .
故选：D.
二．多选题
1．方程 表示的曲线为 ，下列正确的命题是（ ）
A．曲线 可以是圆 B．若 ，则曲线 为椭圆
C．曲线 可以表示抛物线 D．若曲线 为双曲线，则 或
【答案】AD【详解】
对于A，若曲线 是圆，则 ，解得 ，A正确；
对于B，由选项A知，当 时，曲线 是圆，不是椭圆，B错误；
对于C，曲线 有两条对称轴，不可能为抛物线，C错误；
对于D，若曲线 为双曲线，则 ，解得 或 ，D正确.故选：AD
2．已知双曲线 的左、右焦点分别为 、 ， ，过 的直线 与 的右支交于点 ，
若 ，则（ ）
A． 的渐近线方程为 B．
C．直线 的斜率为 D． 的坐标为 或
【答案】ABD【详解】对于A选项， ，且 ，解得 ，又因为 ，故双曲线 的渐近线方程为 ，A对；
对于B选项，因为点 在右支上，则 ，①
又因为 ，则 ，②
联立①②可得 ， ，所以， ，B对；
对于C选项，若点 在第一象限，则直线 的斜率为 ，
若点 在第四象限，由对称性可知，直线 的斜率为 .
综上所述，直线 的斜率为 ，C错；
对于D选项，设点 ，则 ，且 ，可得 ，
所以， ，
解得 ，则 ，可得 ，即点 ，D对.故选：ABD.
3.双曲线 的左、右焦点分别 ，具有公共焦点的椭圆与双曲线在第一象限的交点为 ，双曲线和椭
圆的离心率分别为 的内切圆的圆心为 ，过 作直线 的垂线，垂足为 ，则（ ）
A． 到 轴的距离为 B．点 的轨迹是双曲线
C．若 ，则 D．若 ，则
【答案】ACD
【详解】设圆 与 三边 的切点为 ，，又
，故 ，故 ，所以 到 轴的距离为 ，故A正确；过 作直线 的垂线，垂
足为 ，延长 交 于点 ，因为 ，则 为 的中点且 ，于是
，
故点 的轨迹是在以 为圆心，半径为 的圆上，故B不正确；
设椭圆的长半轴长为 ，它们的半焦距为 ，并设 ，
根据椭圆和双曲线的定义可得： ，所以 ，
在 中，由余弦定理得： ，即 ，
在 中，由余弦定理得： ，即 ，
由 ，两式相加，则 ，又 ，所以 ，
所以 ，所以 ，即 ，故C正确； ，即 ，所
以 ，即 ，故D正确.故选：ACD.
4.已知 分别为双曲线 的左、右焦点，过 的直线与双曲线的右支交于 两点，记 的内切
圆 的面积为 ， 的内切圆 的面积为 ，则（ ）
A．圆 和圆 外切 B．圆心 在直线 上
C． D． 的取值范围是
【答案】AC
【详解】双曲线 的 ，渐近线方程为 ，两渐近线倾斜角分别为 和
，设圆 与 轴切点为 过 的直线与双曲线的右支交于 两点，可知直线 的倾斜角取值范围为， 的的横坐标为 ，则由双曲线定义 ，所以由圆的切线长定理知
，所以 . 的横坐标均为 ，即 与 轴垂直.故圆 和圆 均与 轴相切于
，圆 和圆 两圆外切.选项A正确；由双曲线定义知， 中， ，则 只能是 的中
线，不能成为 的角平分线，则圆心 一定不在直线 上.选项B错误；在 中， ，
，则由直角三角形的射影定理可知 ，即 则 ，故
.选项C正确；
由直线 的倾斜角取值范围为 ，可知 的取值范围为 ，则 的取值范围为 ，
故 ，又 ，则
令 ，则 在 单调递减，在 单调递增.
值域为 故 的值域为 .
选项D错误.故选：AC.
5.设A，B是双曲线 上的两点，下列四个点中可以为线段 中点的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】AD
【分析】A选项由双曲线的对称性可直接判断，B、C、D选项，首先根据点差法分析可得 ，结合双曲线的渐近线斜率可判断B，C、D可通过联立直线方程与双曲线方程，利用判别式即可判断.
【详解】对于选项A：因为双曲线关于y轴对称，
所以当直线AB的方程为 时，线段AB的中点为 ，故A正确；
当直线AB的斜率存在且不为0时，
设 ，则 的中点 ，
可得 ，
因为 在双曲线上，则 ，两式相减得 ，
所以 .
对于选项B：可得 ，则 ，即 ，
双曲线的渐近线方程为 ，由于 与其中一条渐近线平行，故不可能有两个交点，故B错误；
对于选项C：可得 ，则 ，即 ，
联立方程 ，消去y得 ，
此时 ，故直线AB与双曲线没有交点，故C错误；
对于选项D： ，则 ，即 ，
联立方程 ，消去y得 ，
此时 ，故直线AB与双曲线有交两个交点，故D正确；
故选：AD.
6.如图， 是椭圆 与双曲线 在第一象限的交点，且 共焦
点 的离心率分别为 ，则下列结论正确的是（ ）A． B．若 ，则
C．若 ，则 的最小值为2 D．
【答案】ABD
【分析】根据给定条件结合椭圆、双曲线定义计算判断A；借助余弦定理、离心率公式、均值不等式计算判断B，
C，D作答.
【详解】由椭圆和双曲线的定义得： ，解得 ， ，A正确；
在 中，由余弦定理得： ，
整理得 ， ，即 ，
当 时， ，即 ，B正确；
当 时， ， ，
当且仅当 时取“=”，而 ，C不正确；
在椭圆中， ，即 ，
在双曲线中， ，即 ，
于是得 ，而 ，则 ，D正确.
故选：ABD
【点睛】方法点睛：双曲线上一点与两焦点构成的三角形，称为双曲线的焦点三角形，与焦点三角形有关的计算或
证明
常利用正弦定理、余弦定理、双曲线定义，得到a，c的关系.7.已知椭圆 与双曲线 ， 有公共焦点 （左焦点）， （右焦
点），且两条曲线在第一象限的交点为 ，若△ 是以 为底边的等腰三角形， ， 的离心率分别为 和
，且 ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】ACD
【分析】A由已知共焦点及椭圆、双曲线参数的关系判断；B、C由椭圆、双曲线的定义可得
，而 ，即可判定；D记 ，应用余弦定理可得
，由已知及B、C分析，即可判断.
【详解】设 ， 的焦距为 ，由 ， 共焦点知： ，故A正确；
△ 是以 为底边的等腰三角形知 ，由 在第一象限知： ，即
，即 ，即 ，故B错；
由 且 ，易得 ，故C正确；
在△ 中，记 ，根据定义 ．
由余弦定理有 ．
整理得 ，两边同时除以 ，可得 ，故
．
将 代入，得 ．故D正确
故选：ACD．
8.已知双曲线 的左、右焦点分别为 、 ，离心率为 ，焦点到渐近线的距离为 .过
作直线 交双曲线 的右支于 、 两点，若 、 分别为 与 的内心，则（ ）
A． 的渐近线方程为 B．点 与点 均在同一条定直线上C．直线 不可能与 平行 D． 的取值范围为
【答案】ABD
【详解】设双曲线 半焦距为 ，双曲线 的渐近线方程为 ，即 ，双曲线 的右焦点
到渐近线的距离为 ，由题意知 ，所以 ，所以
，故双曲线 的方程为 ，故渐近线方程为 ，故A正确；对于B选项，记
的内切圆在边 、 、 上的切点分别为 、 、 ， 由切线长定理可得 ，
， ，由 ，即 ，
得 ，即 ，记 的横坐标为 ，则 ，于是 ，得 ，
同理内心 的横坐标也为 ，故 轴，即 、 均在直线 上，故B正确；对于C选项，当 与 轴垂直
时， ，故C错误；对于D选项，设直线 的倾斜角为 ，则 ， （ 为坐标原
点），在 中， .
，由于直线 与 的右支交于两点，且 的一条渐
近线的斜率为 ，倾斜角为 ，结合图形可知 ，即 ，所以，
，故D正确.故选：ABD.三.填空题
1．已知F是椭圆 ： （ ）的右焦点，A为椭圆 的下顶点，双曲线 ： （ ，
）与椭圆 共焦点，若直线 与双曲线 的一条渐近线平行， ， 的离心率分别为 ， ，则
的最小值为______．
【答案】
【分析】根据直线 与 的一条渐近线平行，得到 ，再结合双曲线与椭圆共焦点得到 ，再利用基本
不等式求解.
【详解】解：设 的半焦距为c（ ），则 ，又 ，
所以 ，又直线 与 的一条渐近线平行，
所以 ，所以 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
又 ，
当且仅当 ，即 ， 时等号成立，
即 的最小值为 ．
故答案为：
2.已知双曲线方程是 ，过 的直线与双曲线右支交于 ， 两点（其中 点在第一象限），设点 、
分别为 、 的内心，则 的范围是______.【答案】
【详解】 因 ，故 ， ， ，
如图，过 点分别作 ， ， ，垂足分别为 ，
因 为 的内心，所以 ，
故 点也在双曲线上，即 为双曲线的右顶点，同理 ，所以 三点共线，设直线 的倾斜角为
，因双曲线的渐近线方程为 ，倾斜角为 ，根双曲线的对称性，不妨设 ，因
，所以 ， ,所以
，
因 ，所以 ，所以 ，故答案为：
3.过双曲线 的右焦点做一条渐近线的垂线，垂足为 ，与双曲线的另一条渐近线交于点
，若 ，则此双曲线的离心率为________
【答案】满足情形1，即 ，故 ，则
4．已知点 是离心率为 的双曲线 上的三点, 直线 的斜率分别是
点 分别是线段 的中点, 为坐标原点，直线 的斜率分别是 .若则
【答案】3
【分析】本题考查点差法，根据点差法的内容，设点，作差，计算得出 结合离心率为 ，求得
同理求得 代入问题计算即可.
【详解】因为双曲线 的离心率为 所以
不妨设 因为点 在 上，所以
两式相减,得 ,
因为点 是 的中点，所以 , ,
所以 即 所以
同理
因为 所以
故答案为：3.
