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专题16 导数与函数的单调性
考点一
由导函数确定原函数的图象
考点二
由原函数确定导函数的图象
考点三
求函数的单调区间
考点四
已知函数在区间上单调求参数
考点五
已知函数在区间上不单调求参数
考点六
已知函数在区间上存在单调求参数
考点七
解抽象不等式
一、函数的单调性
函数单调性的判定方法：
设函数
在某个区间内可导，如果
，则
为增函数；如果
，则
为
减函数．
注意：
①利用导数研究函数的单调性，要在函数的定义域内讨论导数的符号；
②在某个区间内，
(
)是函数
在此区间内单调递增(减)的充分条件，而不是必要条
件.例如，函数
在定义域
上是增函数，但
.
二、求可导函数单调区间的一般步骤
①确定函数
的定义域；
②求
，令
，解此方程，求出它在定义域内的一切实数；
③把函数
的间断点的横坐标和
的各实根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数
的定义域分成若干个小区间；
④确定
在各小区间内的符号，根据
的符号判断函数
在每个相应小区间内的增减性.
三、函数在区间上单调与求函数单调区间
1
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单调递增；
单调递增
；
单调递减；
单调递减
.
考点一
由导函数确定原函数的图象
例1．（2023 春·四川成都·高三四川省成都市新都一中校联考期中）已知函数
的导函数
的图象如图所示，则函数
（ ）
A．在
上单调递减
B．在
上单调递增
C．在R 上单调递减
D．在R 上单调递增
【答案】D
【分析】根据导函数的符号确定单调性.
【详解】∵导函数图象在x 轴及x 轴上方，则
，函数
为增函数,
∴
在R 上递增.
故选：D.
例2．设
是函数
的导函数，
的图象如图所示，则
的图象最有可能的是（ ）
2
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A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据导函数的图象得出函数的单调区间，根据函数
的单调性即可判断.
【详解】由导函数的图象可得当
时，
，函数
单调递增；
当
时，
，函数
单调递减；
当
时，
，函数
单调递增.
只有C 选项的图象符合.
故选：C.
例3．（2023·黑龙江齐齐哈尔·统考二模）已知函数
的图象如图所示（其中
是函数
的
导函数），下面四个图象中可能是
图象的是（ ）
3
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A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据
的图像，得到不同范围下，
的正负，得到
的单调性，得到答案.
【详解】由
的图象知，当
时，
，故
，
单调递增；
当
时，
，故
，当
，
，故
，
等号仅有可能在x＝0 处取得，
所以
时，
单调递减；
当
时，
，故
，
单调递增，结合选项只有C 符合.
故选：C.
例4．（2023 春·上海松江·高二上海市松江二中校考期中）函数
的导函数
的图像如图所
示，给出下列命题：
4
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①
是函数
的极小值点；
②
是函数
的最小值点；
③
在区间
上严格增；
④
在
处切线的斜率小于零.
以上所有正确命题的序号是__________.
【答案】①③
【分析】观察
的图像在
左右的符号即可判断①；观察
的图像，利用导函数的正负与
原函数的单调性的关系可判断②③；利用导数的几何意义即可判断④.
【详解】有图像可知，
的左侧导数值为负，右侧为正，故
是函数
的极小值点；
的左右两侧导数值均为正，故
不是函数
的最值点；
在区间
导数值为正，故
在区间
上严格增；
，故
在
处切线的斜率大于零.故正确命题的序号是①③.
故答案为：①③.
例5．（2023 春·天津南开·高三南开大学附属中学校考阶段练习）已知函数
的图象如图所示（其
中
是函数
的导函数），则
的图象大致是（ ）
A．
B．
5
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C．
D．
【答案】C
【分析】由
的图象得到
的取值情况，即可得到
的单调性，即可判断.
【详解】由
的图象可知当
时
，则
，
当
时
，则
，
当
时
，则
，
当
时
，则
，
所以
在
上单调递增，在
上单调递减，在
上单调递减，在
上单调递增，
故符合题意的只有C.
故选：C.
考点二
由原函数确定导函数的图象
例6．（2022·海南·校联考模拟预测）将函数
的图象向右平移1 个单位长度后，所得函
数
的图象大致为（ ）
A．
B．
C．
D．
6
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【答案】A
【分析】根据函数
的奇偶性，得到
的图象关于点
对称，再由
，得到
在
上为单调递增函数，即可得到答案.
【详解】由函数
向右平移1 个单位长度后，可得函数
的图象，
因为
，所以函数为奇函数，
所以函数
的图象关于点
对称，可排除B、D 项；
当
时，可得
，所以函数
为单调递增函数，
所以函数
在
上为单调递增函数，可排除C.
故选：A.
例7．（2023 春·四川绵阳·高二四川省绵阳南山中学校考期中）已知直线AB 是函数
图像的一条割
线（如图所示），
是函数
的导函数，若
，
，
，则关于a，
b，c 排序正确的是_______．
【答案】a<c<b
7
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【分析】利用导数的几何意义及两点斜率公式，结合图象判定即可.
【详解】由图象知
在
上单调递增，
又过点
和点
的直线的斜率为
，
由导数的几何意义，知
为曲线
在
处的切线方程的斜率，
为曲线
在
处的切线方程的斜率，如图，
得
．
故答案为：a<c<b
例8．（2023 春·新疆乌鲁木齐·高三乌市八中校考期中）设函数
在定义域内可导，其图象如图所示，
则导函数
的图象可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据函数图象得出单调性，然后判断导函数的正负即可选出答案.
8
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【详解】由函数
的图象，知
当
时，
是单调递减的，所以
；
当
时，
先递减，后递增，最后递减，所以
先负后正，最后为负．
故选：B．
例9．（2023·陕西西安·校联考一模）已知定义在
上的函数
的大致图像如图所示，
是
的导函数，则不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】分
、
两种情况求解即可.
【详解】若
，则
单调递减，图像可知，
，
若
，则
单调递增，由图像可知
，
故不等式
的解集为
．
故选：C
例10．（2023 春·山东菏泽·高二统考期中）已知
在R 上是可导函数，
的图象如图所示，则不等式
9
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的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据给定图象，求出
和
的解集，再求解给定不等式作答.
【详解】观察函数
的图象知，
的单调递增区间为
，递减区间为
，
因此不等式
的解集为
，
的解集为
，
不等式
化为：
或
，
解
得：
，无解；
解
得：
，解得
或
，
所以所求解集为
.
故选：C.
考点三
求函数的单调区间
例11．（2023 春·四川乐山·高三四川省峨眉第二中学校校考期中）函数
的单调递减区间为
（ ）
A．
B．
C．
D．
，
10
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【答案】A
【分析】求导，根据导函数的符号确定
的减区间.
【详解】
，当
时，
单调递增，当
时，
单调递
减；
的减区间是
；
故选：A.
例12．（2023·全国·高三专题练习）已知函数
.当
时，求
的
单调区间
【答案】
的递增区间是
，递减区间是
【分析】代入a 值，求出
的的导数，根据导数取值范围求出函数单调区间.
【详解】当
，定义域为
，
，
在
上单调递减，又
所以当
时，
单调递增，
当
时，
，
单调递减，
所以
的递增区间是
，递减区间是
.
例13．（2023 春·浙江台州·高三台州市书生中学校联考期中）函数
的单调递减区间为
___________.
【答案】
【分析】通过求导，解导函数小于零的不等式解集即可.
11
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【详解】由题意得：
，令
.
即函数
的单调递减区间为
.
故答案为：
例14．（2023 春·四川成都·高三成都外国语学校校考期中）已知函数
，若曲线
在
处的切线方程为
．
(1)求a，b 的值；
(2)讨论函数
的单调性．
【答案】(1)
；
(2)
在
和(1，2)上单调递增，在
上单调递减
【分析】（1）根据函数的切线方程即可求得参数值；
（2）先求函数的导函数，判断函数单调性.
【详解】（1）由已知可得
．又
，所以
（2）由（1）可知
，
，
令
，解得
或
，
令
，解得
或
，
所以
在
和(1，2)上单调递增，在
上单调递减．
例15．（2023·贵州黔东南·凯里一中校考三模）已知函数
，函数
的图象大致是
（ ）
12
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A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】令
，可排除AC，求导，再根据函数的单调性和极值点可排除D，即可得解.
【详解】
，令
得
或
，
故函数
有两个零点0，2，故A、C 错误；
又因为
，
当
或
时，
，当
时，
，
所以函数
在
和
上单调递增，在
上单调递减，故函数
在
处取得极大值，在
处取得极小值，故D 错.
故选：B．
考点四
已知函数在区间上单调求参数
例16．（2023 春·四川成都·高三四川省成都市新都一中校联考期中）若函数
的单调递减
区间为
，则实数k 的值为（ ）
A．1
B．
C．3
D．
【答案】A
【分析】求导得到导函数，确定
，1 是
的两根，解得答案.
【详解】由
，由已知递减区间，则
得：
，
13
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故
，1 是
的两根，
，
，
故选：A
例17．（2023 春·福建漳州·高三漳州三中校考阶段练习）若函数
在
上为单调函
数，则a 的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】函数
在
上为单调函数，则
在
上恒成立，或
在
上恒成
立，分类讨论解不等式即可.
【详解】由题意得
．
①若
为
上的单调增函数，则
在
上恒成立，即
在
上恒成立，
设
，
．
在
上恒成立，
在
上单调递减，
∴在
上，
，∴
．
②若
为
上的单调减函数，则
在
上恒成立，即
在
上恒成立，由
①可知其不可能成立，不符合题意．
综上，实数a 的取值范围是
．
故选：C
例18．（2023 春·上海浦东新·高三华师大二附中校考期中）设函数
在区间
上
严格减，则实数a 的取值范围是________
【答案】
【分析】利用导数先求出函数的单调减区间，结合条件建立不等关系即可求出结果．
14
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【详解】易知
，因为
，所以
，
由
，得到
，
又函数
在区间
上严格减，
所以
，解得
，
故答案为：
.
例19．（2023 春·河南洛阳·高三统考期中）已知函数
，若
在定义域上单调递
增，则实数
的取值范围是________．
【答案】
【分析】对函数
求导，根据函数在
上单调递增列不等式，分离常数
后，构造函数
，利用导数求得
的最小值，进而求得
的取值范围.
【详解】解：依题意，当
时，
恒成立，即
恒成立，
所以，
在
上恒成立，
构造函数
，则
，由
得
，由
得
所以函数
在区间
上递减，在区间
上递增，
所以，函数
在
处取得极小值也即是最小值，故
，
所以，
，即实数
的取值范围是
故答案为：
.
15
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例20．（2023·陕西西安·统考三模）若函数
在区间
上单调递增，则
的取值范围
是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】由导数与函数的单调性的关系结合条件可得
在
上恒成立，由此可得
在区
间
上恒成立，求函数
的值域可得
的取值范围.
【详解】因为函数
在区间
上单调递增，
所以
在区间
上恒成立，
即
在区间
上恒成立，
令
，
则
，
所以
在
上递增，又
，
所以
.
所以
的取值范围是
.
故选：B
考点五
已知函数在区间上不单调求参数
例21．（2023 春·天津武清·高三天津市武清区杨村第一中学校考期中）若函数
在区间
16
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上不单调，则实数m 的取值范围为___________．
【答案】
【分析】首先求出
的定义域和极值点，由题意得极值点在区间
内，且
，得出关于
的
不等式组，求解即可．
【详解】函数
的定义域为
，且
，
令
，得
，
因为
在区间
上不单调，
所以
，
解得
，
故答案为：
．
例22．（2023 春·甘肃金昌·高三永昌县第一高级中学校考期中）若函数
在
上不单调，
则实数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】求出
.由已知可得
在
上有极值点.分
以及
讨论，即可得出答案.
【详解】由
，得
.
因为
在
上不单调，所以
在
上有极值点.
17
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当
时，
在
上恒成立，
所以
在
上单调递减，不满足题意；
当
时，令
，得
，
所以有
，解得
.
综上所述，实数
的取值范围为
.
故选：C.
例23．（2023·全国·高三专题练习）函数
在区间
上不单调，实数
的范
围是____________.
【答案】
【分析】求导，判断单调性，从而求得函数
的极大值点为
，极小值点为
，进而可得
或
，求解即可.
【详解】
，
，令
，得
.
当
或
时，
；当
时，
.
所以函数
在
，
上单调递增，在
上单调递减，
所以函数
的极大值点为
，极小值点为
.
由题意可得
或
，解得
或
.
所以实数
的范围是
.
故答案为：
.
例24．（2023 春·福建三明·高三三明一中校考阶段练习）已知函数
.若函数
18
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在
上不单调，求
的取值范围.
【答案】
【分析】
根据函数
在
上不单调，由
在
上有不同的解求解.
【详解】
函数
，若函数
在
上不单调，则
在
上有不等根.
又
，
可得：
，
令
，
则有
，
因为
，则有
恒成立，
所以
在
上单调递减，
所以
，即
，
解得：
，则
的取值范围为
.
【点睛】方法点睛：当函数
在某区间上单调时，
或
；当函数
在某区间上不单
调时，则
在某区间上有不等根求解.
例25．（2023 春·河北张家口·高三校联考阶段练习）若函数
在区间
上不单调，
19
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则实数
的值可能是（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】BC
【分析】根据题意可得导函数在
有变号零点，从而建立不等式即可求解.
【详解】∵
定义域为
，
，
又∵
在
上不单调，
∴
且
在
有变号零点.
即：
且
在
有变号零点.
∴
，
∴
，解得：
.
故选：BC.
考点六
已知函数在区间上存在单调求参数
例26．（2023 春·山东枣庄·高三枣庄市第三中学校考阶段练习）已知函数
存在单调
递减区间，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】先得到
的定义域，由题意得到
在
上有解，参变分离后得到
在
上有解，利用配方求出
，得到实数
的取值范围.
【详解】
的定义域为
，
由题意得
在
上有解，
20
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即
在
上有解，
其中
，
故
，故实数
的取值范围是
.
故选：B
例27．（2022 秋·新疆乌鲁木齐·高三乌鲁木齐市第四中学校考期中）若函数
在区间
内存在单调递减区间，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】求导后，分别在
和
的情况下讨论得到
的单调性，结合单调递减区间所在的区间可
构造不等式求得结果.
【分析】
的定义域为
，
，
当
时，
恒成立，
在
上单调递增，不合题意；
当
时，令
，解得：
（舍）或
，
当
时，
；当
时，
；
在
上单调递增，在
上单调递减；
若
在区间
内存在单调递减区间，则
，解得：
，
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即实数
的取值范围为
.
故选：D.
例28．（2022·全国·高二专题练习）已知函数
，
，
．
(1)若函数
在
上单调递减，求实数a 的取值范围；
(2)若函数
存在单调递减区间，求实数a 的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由
在
上单调递减，得到
恒成立，用分离参数法求出实数a 的
取值范围；
（2）由
在
上存在单调递减区间，得到
有解，用分离参数法求出实数a 的取值范
围．
【详解】（1）因为
在
上单调递减，所以当
时，
恒成立，
即
恒成立，令
，
则
，而
．
因为
，所以
．所以
（此时
），所以
．
当
时，
．
因为
，所以
，即
在
上为减函数，
又
，所以实数a 的取值范围是
．
22
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（2）因为
，
，所以
．
因为
在
上存在单调递减区间，
所以当
时，
有解，即
有解．
设
，所以只要
即可，而
，
，
所以
，此时
，所以
．
又
，所以
或
．
所以实数a 的取值范围为
．
例29．（2023·全国·高三专题练习）若函数
存在增区间，则实数
的取值范围为
_____________.
【答案】
【分析】由题意知，存在
使得
，利用参变量分离法得出
，利用基本不等式在
时的最小值，即可得出实数
的取值范围.
【详解】
，定义域为
，
，
由题意可知，存在
使得
，即
.
当
时，
，
所以，
，因此，实数
的取值范围是
.
故答案为：
.
例30．（2023 春·北京海淀·高三北理工附中校考期中）已知函数
，若
在区间
上
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单调递增，则实数
的取值范围是___________；若
在区间
上存在单调递增区间，则实数a 的取
值范围是__________.
【答案】
【分析】函数求导后，函数
在区间
内单调递增，转换成
在
上恒成立，孤立参数得
，转换成求函数
最大值，从而得实数
的取值范围；
在区间
上存在单调递增区间转换成
在
上能成立，孤立参数得
，转换成求函数
最小值，从而得实数
的取值范围.
【详解】因为
，
，
在区间
内单调递增，
在
上恒成立，
在
上恒成立，
在
上恒成立，
，
，因为在
，
，则
的取值范围是：
.
若
在
上存在单调递增区间，则
在
上有解，
即
在
上有解，
，
又
，
.则
的取值范围是：
.
故答案为：
；
.
24
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考点七
解抽象不等式
例31．（2023 春·河南洛阳·高三洛宁县第一高级中学校联考阶段练习）已知
是定义在R 上的奇函数，
的导函数为
，若
恒成立，则
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据函数的单调性求解.
【详解】令函数
，则
，
因为
所以.
是增函数，
因为
是奇函数，所以
，
，
所以
的解集为
，即
≥
的解集为
；
故选：D.
例32．（2023 春·湖北·高三校联考期中）已知函数
的定义域为R，
为
的导函数，且
，则不等式
的解集是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】构造
，由导函数得到其单调性，从而由单调性解不等式求出答案.
【详解】根据题意，构造函数
，则
，
所以函数
在R 上单调递增，又
，即
，
25
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所以
，即
，解得
.
故选：D.
33．（江西省新八校2023 届高三第二次联考数学（文）试题）已知函数
，则不等式
的解集是______.
【答案】
【分析】由定义可判断函数的奇偶性，求导可得其单调性，从而可求解不等式.
【详解】因为函数
，所以
，即函数
为奇函数，
且
，则函数
为增函数，
则不等式
等价于
，
即
，解得
，
所以不等式的解集为
.
故答案为：
例34．（2022 秋·四川绵阳·高三四川省绵阳江油中学校考阶段练习）设函数
，则满
足
的x 取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】构造奇函数
，由导数确定单调性，然后由奇偶性、单调性解不等式．
【详解】设
，则
，
是奇函数，
又
．（等号成立的条件是
），
所以
是增函数，
26
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，
，因此有
，从而
，解得
，
故选：A．
例35．（2022 春·重庆沙坪坝·高三重庆一中校考期末）设定义在
上的可导函数
的导函数为
，
且
，若
，则不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】令
，利用导数说明函数的单调性，不等式
等价于
，即
，结合单调性即可得解.
【详解】因为
，所以
令
，则
，
即
在定义域
上单调递减，
又
，所以
，
因为
，所以不等式
等价于
，即
，
所以
，即不等式
的解集为
.
故选：D
一、单选题
1．（2023 春·四川成都·高三四川省成都市新都一中校联考期中）已知函数
的导函数
27
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的图像如图所示，则函数
（ ）
A．在
上单调递增
B．在
上单调递减
C．在
上单调递增
D．在
上单调递减
【答案】D
【分析】根据导函数的符号确定单调性.
【详解】由图可知：当
时，
单调递减，当
时，
单调递增，
当
时，
单调递增；
故选：D.
2．（2023·江西·统考模拟预测）已知函数
的大致图象如图所示，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据图形，结合函数的单调性和极值点的概念以及韦达定理，计算即可求解.
【详解】由图可知，函数
有两个递增区间，一个递减区间，
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所以函数
图象开口方向朝上，且于x 轴有两个交点，
故
；
又函数
的极大值点在y 轴左侧，极小值点在y 轴右侧，且极大值点离y 轴较近，
所以方程
的两根
满足
，
即
，得
，
因此
.
故选；B.
3．（2023 春·四川成都·高三四川省成都市新都一中校联考期中）已知函数
的单调递减
区间为
，则
的值为（ ）
A．3
B．
C．6
D．
【答案】D
【分析】求出函数的导函数，依题意
的解集为
，即可求出参数的值.
【详解】由
，所以
，
单调递减区间是
，
的解集为
，
即
的解集为
，
，
，经检验符合题意.
故选：D.
4．（2023 春·北京·高二北京八中校考期中）函数
的单调递增区间是（ ）
A．
B．
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C．
D．
【答案】C
【分析】求得函数的导数
，令
，即可求解函数的递增区间.
【详解】由题意，函数
，可得
，
令
，即
，解得
，
所以函数
的递增区间是
.
故选：C.
5．（2023 春·陕西宝鸡·高三统考期中）若
为正实数，且
，则下列不等式成立的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】由
，可判定A 不正确；根据
在
上单调递增，可判定B 不正确；
令
，求得
，得到函数
，可判定C 不正确；令
，求得
，进而可判定D 正确.
【详解】由
为正实数，且
，
对于A 中，由
，可得
，所以A 不正确；
对于B 中，由函数
在
上单调递增，所以
，
即
，所以B 不正确；
对于C 中，令
，可得
，令
，解得
，
当
时，
，
单调递减；
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当
时，
，
单调递增，
所以
与
，无法比较大小，所以C 不正确；
对于D 中，令
，可得
，则函数
单调递减，
所以
，即
，即
，所以D 正确.
故选：D.
6．（2023 春·四川乐山·高三四川省峨眉第二中学校校考期中）已知函数
，若
，则实数
的取值范围是（ ）
A．(1，＋∞)
B．(－∞，1)
C．
D．
【答案】B
【分析】先根据函数解析式确定函数的奇偶性，然后利用导数确定函数的单调性，再把不等式化为
的形式，然后去“
”化为一般不等式，从而得解.
【详解】
的定义域为
，
，所以
是奇函数，
又
恒成立（仅当
时等号成立），
所以
在
上单调递增，
由
得
，
所以
，解得
，
故选：B.
7．（2023·全国·校联考模拟预测）已知函数
在
上的图像如图所示，则
的解析式可能是
（ ）
31
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A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据图像知函数
是偶函数，并且在
轴右侧先减后增，且
时函数值大于0，然后根据这
些特点对每个选项中的函数逐一判断即可.
【详解】由题图，知函数
的图像关于y 轴对称，所以函数
是偶函数，故排除A；
对于B，
，虽然函数
为偶函数且在
上单调递减，在
上单调递增，
但
，与图像不吻合，排除B；
对于D，因为
，所以函数
是偶函数，但
，与图像不
吻合，排除D；
对于C，函数
为偶函数，图像关于y 轴对称，下面只分析y 轴右侧部分．当
时，
，
，
令
，求导，得
．当
时，
，
单调递增，
当
时，
，
单调递减，所以
在
处取得最大值．
又因为
，
，
，所以
，使得
，
当
时，
，
单调递减，当
时，
，
单调递增，
与图像吻合.
故选：C．
32
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8．（2023 春·湖北武汉·高三武钢三中校考阶段练习）若函数
在其定义域的一个子区间
内不是单调函数，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】先求出函数的定义域
，则有
，对函数求导后，令
求出极值点，使极值点
在
内，从而可求出实数
的取值范围.
【详解】因为函数
的定义域为
，
所以
，即
，
，
令
，得
或
（舍去），
因为
在定义域的一个子区间
内不是单调函数，
所以
，得
，
综上，
，
故选：A
二、多选题
9．（2023 春·重庆南岸·高三重庆市南坪中学校校考期中）已知函数
是定义在
上的可导函数，其导
函数为
.若
，且
，则使不等式
成立的
的值可能为（ ）
A．
B．1
C．
D．2
【答案】BD
【分析】构造函数
，通过求导并结合不等式
，即可得出使不等式
33
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成立的
的可能值.
【详解】由题意，
,
在函数
中,
设
，则
∵
，
∴
，
∴
，即
在定义域
上单调递减.
∵
，
∴
，
∴不等式
等价于
，即
，
解得：
，
结合选项可知，只有BD 符合题意.
故选：BD.
10．（2023 春·吉林延边·高三延边第一中学校考开学考试）下列命题中正确的是（ ）
A．若函数
在区间
上单调递增，那么一定有
.
B．若函数
在区间
上恒有
，则
在
上不是单调的.
C．若函数
在区间
上恒有
，则
在
上是单调递增的.
D．函数
在R 上是增函数.
【答案】BCD
【分析】利用导数与函数单调性的关系逐项分析即可.
【详解】对A，函数
在区间
上单调递增，那么在区间
上可以是
也可以是
,
34
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如
，因此A 不正确；
对B，根据导数与其单调性的关系可知当函数在某个区间内恒有
，
此时函数是常值函数，因此无单调性，因此B 正确；
对C，根据导数与单调性关系可知若函数
在区间
上恒有
，则
在
上是单调递
增的，故C 正确；
对D，
，
，
，则
单调递增，故D 正确.
故选：BCD.
11．（2022 春·重庆沙坪坝·高三重庆一中校考期末）已知函数
，则下列说法正确的是
（ ）
A．当
时，函数
的单调增区间为
B．当
时，函数
的极小值为1
C．若
在定义域内不单调，则
D．若对
有
成立，则
【答案】ABC
【分析】对于A、B，求导后，判断导数的正负后即可判断；对于C，分
和
两种情况讨论即可判
断；对于D，把
化为
，令
，从而问题转化为函数
在
上为增函数，求导后得到
，结合二次函数即可判断.
【详解】
35
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对于A、B，当
时，
，
所以当
时，
单调递减，
当
时，
单调递增，
所以函数
的单调增区间为
，在
有极小值
，故A、B 都正确；
对于C，因为
，
，
当
时，
恒成立，函数
在定义域内单调递增，
当
时，
符号不确定，函数
在定义域内不单调，故C 正确；
对于D，因为对
有
成立，
即
成立，
令
，
由题意知
在
上恒成立，即函数
在
上为增函数，
则
恒成立，故
，
因为
，所以
，故D 错误.
故选：ABC
12．（河北省2023 届高三考前押题卷数学试题）十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首
先把“=”作为等号使用，后来英国数学家哈里奥特首次使用“<”和“>”符号，不等号的引入对不等式的发
展影响深远．若
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ABD
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【分析】构造函数后根据函数单调性，结合对数函数，指数函数单调性判断各个选项即可.
【详解】设
，
，则
在
上恒成立，
所以
在
上单调递增，因为
，所以
，A 正确；
由
得
，即
，又因为
单调递增，所以
，B 正确；
由
得
，即
，所以
，C 错误；
因为
，所以
，D 正确．
故选：ABD.
三、填空题
13．（2023·全国·高三专题练习）定义在
上的非常数函数
满足：
，且
．
请写出符合条件的一个函数的解析式
______．
【答案】
（答案不唯一）
【分析】根据已知
，得出是增函数，再由
，得出对称中心
，确定一个具
体函数即可.
【详解】因为
得出
为增函数，
由
，则函数对称中心为
，
所以
满足要求.
故答案为：
（答案不唯一）．
14．（2023·上海·高三专题练习）已知实数
满足
，则
_____．
【答案】1
【分析】令
，根据其为增函数可得
.
【详解】设
，则
，故
在
上为增函数，
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而
即为
，
由题可得
，所以
，即
．
故答案为：1
15．（2023 春·黑龙江哈尔滨·高三哈九中校考期中）函数
的单调递减区间为___________.
【答案】
【分析】求导数
，解不等式
即可得函数的单调递减区间.
【详解】函数
的定义域为
，则
，
令
，则
，解得
，
故函数
的单调递减区间为
.
故答案为：
.
16．（2023 春·重庆南岸·高三重庆市南坪中学校校考期中）设函数
，若
为
上的单调函数，则实数
的取值范围为__________.
【答案】
【分析】求出函数的导数，判断其正负，确定导函数有最小值
，无最大值，由此确定
单调递增，得
，求得答案.
【详解】由已知，
的定义域为
，
由
得：
，
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令
，
当
时，
递减；
当
时，
递增，
故
在
时取得最小值
，无最大值，
由于
为
上的单调函数，所以只能是递增函数，
故
，即得
.
故答案为：
四、解答题
17．（2021 春·青海海南·高二校联考期中）已知函数
在点
处取得极小值
，其导函
数的图象经过
，
，如图所示.
（1）求
的值；
（2）求
，
，的值.
【答案】（1）
；（2）
.
【分析】（1）观察图象，根据满足
的点附近的导数的符号的变化情况来确定极小值，即可求出
结果；
39
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（2）根据图象和已知条件得
，建立方程组，解之即可求出结果.
【详解】（1）由图象可知：在
和
上，
；在
上，
，所以
在
和
上单调递减，在
上单调递增；因此
在
处取得极小值，所以
；
（2）因为
，则
，
由题意知
，
因此
，解得：
.
18．（2023 春·四川绵阳·高三四川省绵阳南山中学校考期中）已知函数
．
(1)若函数
的单调递减区间为
，求实数a 的值；
(2)若函数
在
单调递减，求实数a 的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据函数
的单调递减区间为
，得出
是
两个根，求出实
数a 的值并验证成立；
（2）由函数
在
单调递减，得出
对
恒成立，再求解实数a 的取值范围．
【详解】（1）
，
∵函数
的单调递减区间为
，
所以
是
的两个根，
40
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所以
，解得
.
经检验当
时，由
，解得
，
所以函数
的单调递减区间为
.
所以
.
（2）∵
在
单调递减
∴
对
恒成立，
即
，
恒成立
∴
.
19．已知函数
，求
的单调区间.
【答案】单调递增区间为
，单调递减区间为
【分析】先求出函数的定义域，然后对函数求导，再导数的正负求出函数的单调区间；
【详解】函数
的定义域为
，
由
，得
，
由
，得
，解得
，
由
，得
，解得
，
所以
的单调递增区间为
，单调递减区间为
，
20．（2023 春·四川绵阳·高三四川省绵阳南山中学校考期中）已知函数
．
(1)判断
在
上的单调性；
(2)若
，证明：
．
41
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【答案】(1)
在
上为减函数；
(2)证明见解析.
【分析】（1）求出函数
的导数，再判断该导数在
上的正负作答.
（2）等价变形要证的不等式，再利用（1）的结论，证明
即可推理作答.
【详解】（1）函数
，
，求导得
，
设
，
，则
，
于是
在
上为减函数，
，则
，
所以
在
上为减函数.
（2）当
时，
，而
，
因此原不等式等价于
，
由（1）知，
是
上的减函数，
于是要证原不等式成立，只需要证明当
时，
，
令
，求导得
，因此函数
是
上的增函数，
则
，即
，从而
，
即
，所以
．
21．（2023 春·黑龙江哈尔滨·高三哈尔滨三中校考阶段练习）已知函数
．
(1)若
，求曲线
在点
处的切线方程；
(2)若
在R 上单调递增，求实数a 的取值范围．
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【答案】(1)
(2)
【分析】（1）当
时，得到
的解析式，求得
，从而得到
，
，再利用点斜式即可
得到曲线
在点
处的切线方程；
（2）求出函数的导数，问题转化为对任意
，都有
恒成立，再根据二次函数的
性质即可求出a 的取值范围．
【详解】（1）当
时，则
，则
，所以
，
，
所以曲线
在点
处的切线方程
，即
．
（2）由
，则
，
又
在R 上单调递增，则对任意
，都有
恒成立，
当
时，
不恒成立，不符合题意；
当
时，
恒成立，符合题意；
当
时，要
恒成立，则需
，即
，
综上，实数a 的取值范围
．
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