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专题17 导数与函数的极值和最值
考点一
函数（导函数）图象与极值（点）的关系
考点二
求函数的极值（点）
考点三
已知极值（点）求参数
考点四
函数最值与极值的关系辨析
考点五
求函数的最值
考点六
由函数的最值求参数
考点七
利用导数解决实际应用问题
一、函数的极值
1.极值的概念：若函数
在点
附近有定义，
如果对
附近的所有点都有_____，则称
是函数的一个_____，记作
；
如果对
附近的所有点都有_____，则称
是函数的一个极小值，记作
；
极大值与极小值统称为极值，称
为_____．
2.求可导函数极值的步骤
求导函数
求方程
的_____
考查
在方程
的根附近的左右两侧导数值的
符号．如果_____，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果_____，那么f(x)在这个根处取得极小值．
二、函数的最值
1.最值的概念：
函数的最值，即函数图象上_____的纵坐标是最大值，图象上最低点的纵坐标是最小值，对于最值，我们
有如下结论：一般地，如果在区间
上函数
的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大
值与最小值.
2.求可导函数最值的步骤：
求
在
内的_____（极大值或极小值）
将
的各极值与_____和_____比较，其中最
大的一个为最大值，最小的一个为最小值．
三、函数的最值与极值的关系
1.极值是对某一点附近(即局部)而言，最值是对函数的定义区间
的_____而言；
1
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2.在函数的定义区间
内，极大（小）值可能有_____个（或者没有），但最大（小）值只有一个（或
者没有）；
3.函数
的极值点不能是区间的_____，而最值点可以是区间的端点；
4.对于可导函数，函数的最大(小)值必在_____或_____处取得.
考点一
函数（导函数）图象与极值（点）的关系
例1．（2023 春·安徽合肥·高二合肥一中校考期中）（多选）已知函数
的导函数
的图象如图所
示，则下列选项中正确的是（ ）
A．函数
在
处取得极大值
B．函数
在
处取得极值
C．
在区间
上单调递减
D．
的图象在
处的切线斜率大于零
例2．（2023 春·湖北武汉·高三华中师大一附中校考期中）设函数
在R 上可导，其导函数为
，
且函数
的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是（ ）
2
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A．
有三个极值点
B．
为函数的极大值
C．
有一个极大值
D．
为
的极小值
例3．（2022 秋·黑龙江大庆·高三大庆实验中学校考开学考试）（多选）函数
的导函数是
，下
图所示的是函数
的图象，下列说法错误的是（ ）
A．
是
的零点
B．
是
的极大值点
C．
在区间
上单调递减
D．
在区间
上不存在极小值
例4．（山东省潍坊市2022-2023 学年高三下学期期中数学试题）（多选）已知函数
的导函数
的
图象如图所示，则（ ）
A．
有且仅有两个极值点
B．
在区间
上单调递增
3
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C．若
在区间
上单调递增，则m 的取值范围为
或
D．
可能有四个零点
例5．（2023 春·北京·高三北京市第三十五中学校考期中）下图是函数
的导函数
的图象，
给出下列命题:
①
是函数
的极值点；
②1 是函数
的极值点；
③
在
处切线的斜率小于零；
④
在区间
上单调递增.
则正确的命题序号是（ ）
A．①②
B．①③
C．①④
D．②④
考点二
求函数的极值（点）
例6．（2023 春·北京昌平·高三北京市昌平区第二中学校考期中）已知函数
，则
的极值点
为________
例7．（2023 春·四川成都·高三四川省成都市新都一中校联考期中）已知函数
在点
处的切线与直线
垂直.
(1)求a 的值
4
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(2)求函数
的极值.
例8．（2023 春·河北·高三校联考阶段练习）已知函数
，则
的极大值为
（ ）
A．-3
B．1
C．27
D．-5
例9．（2023·全国·高三专题练习）函数
．求函数
在
上的极值；
例10．（2023 春·福建福州·高三校考期中）已知函数
所有极小值点从小到大排列成
数列
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
考点三
已知极值（点）求参数
例11．（2023 春·四川乐山·高二四川省峨眉第二中学校校考期中）已知函数
有两个极值点，
求
的范围（ ）．
A．
B．
C．
D．
例12．（2023 春·辽宁锦州·高三校考期中）已知函数
的极值点为1，且
（
为
的导函数），则
的极小值为________.
5
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例13．（2023·辽宁抚顺·校联考二模）已知函数
在
处取得极大值4，则
（ ）
A．8
B．
C．2
D．
例14．（2023 春·四川成都·高三四川省成都市新都一中校联考期中）已知函数
在
时
的极值为
，则函数
的单调递减区间为（ ）
A．
B．
C．
D．
例15．（2023·全国·模拟预测）已知函数
的极值点为1 和2，且
在
上
单调递增，则
的最小值为（ ）
A．4
B．
C．5
D．
考点四
函数最值与极值的关系辨析
例16．（2022 秋·上海嘉定·高三校考期中）下列说法正确的是( ).
A．函数在某区间上的极大值不会小于它的极小值.
B．函数在某区间上的最大值不会小于它的最小值.
C．函数在某区间上的极大值就是它在该区间上的最大值.
D．函数在某区间上的最大值就是它在该区间上的极大值.
例17．（2023 春·福建南平·高三校考阶段练习）函数
的导函数
的图象如图所示，则（ ）
6
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A．
为函数
的零点
B．函数
在
上单调递减
C．
为函数
的极大值点
D．
是函数
的最小值
例18．（2022·高三课时练习）连续函数
在
上有最大值是有极大值的（ ）
A．充分条件
B．必要条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
例19．（2023·全国·高二专题练习）（多选）函数
的定义域为
，导函数
在
内的图象
如图所示，则（ ）
A．函数
在
内一定不存在最小值
B．函数
在
内只有一个极小值点
C．函数
在
内有两个极大值点
D．函数
在
内可能没有零点
例20．（2023 春·陕西汉中·高三校联考期中）设
是函数
的导函数，
的图象如图所示，
则下列说法正确的有（ ）个.
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（1）函数一定有三个零点
（2）函数一定有三个极值点
（3）函数有最小值
（4）函数有最大值
（5）函数图像一定经过坐标原点
A．1
B．2
C．3
D．4
考点五
求函数的最值
例21．（2023 春·北京·高二清华附中校考期中）已知函数
，则
的最小值为
________.
例22．（2022·陕西咸阳·校考三模）已知
，
，若
，且
的最小值
为，则实数
的值为__________.
例23．（2023·全国·高三专题练习）已知函数
．求函数
在区间
上的最小值.
例24．（2023 春·北京昌平·高三北京市昌平区第二中学校考期中）已知函数
.求：
(1)曲线
在点
处的切线方程；
(2)函数
在区间
上的最值.
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例25．（2023 春·安徽合肥·高三合肥一中校考期中）函数
在
上的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
考点六
由函数的最值求参数
例26．（2023·全国·高二专题练习）已知函数
的最小值为
．求
的值；
例27．（2023·山东·山东省实验中学校考一模）若函数
在区间
上存在最小值，
则整数
的取值可以是______．
例28．（2023 春·北京海淀·高三101 中学校考期中）已知函数
在区间
的极小
值也是最小值，则n 的取值范围是________．
例29．（2023·四川宜宾·统考三模）若函数
的最小值是
，则实数
的取值范围
是（ ）
A．
B．
C．
D．
例30．（2023 春·山东聊城·高三山东省聊城第三中学校考期中）若函数
在区间(
,
)内存在最小值，则实数
的取值范围是（ ）
A．[－5,1)
B．(－5,1)
C．[－2,1)
D．(－2,1)
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考点七
利用导数解决实际应用问题
例31．（2023 春·天津南开·高三南开中学校考期中）将一个边长为3cm 的正方形铁片的四角截去四个边长
均为
cm 的小正方形，做成一个无盖方盒，则该方盒容积最大为（ ）
A．
B．
C．
D．
例32．（2023 春·安徽合肥·高二合肥工业大学附属中学校联考期中）如图所示，AB 为沿海岸的高速路，
海岛上码头O 离高速路最近点B 的距离是120km，在距离B 点300km 的A 处有一批药品要尽快送达海岛．
现要用海陆联运的方式运送这批药品，设登船点C 到B 的距离为x，已知汽车速度为100km/h，快艇速度
为50km/h．（参考数据：
．）
(1)写出运输时间
关于x 的函数；
(2)当C 选在何处时运输时间最短？
例33．（2023 春·山东菏泽·高三统考期中）经过市场调查，某小微企业计划生产一款小型电子产品已知生
产该产品需投入固定成本2 万元，每生产x 万件，需另投入流动成本P(x)万元当年产量小于9 万件时，
(万元)；当年产量不小于9 万件时，
(万元)每件产品售价为6 元，
假若该企业生产的电子产品当年能全部售完
(1)写出年利润Q(x)(万元)关于年产量x(万件)的函数解析式；(注:年利润=年销售收入
固定成本
流动成本)
(2)当年产量约为多少万件时，该企业的这一产品所获年利润最大?最大年利润是多少?(参考数据:
)
例34．（2023 春·山东泰安·高三统考期中）某工厂计划投资一定数额的资金生产甲，乙两种新产品.甲产品
的平均成本利润
（单位：万元）与投资成本
（单位：万元）满足：
（
，
为
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常数，
，
）；乙产品的平均成本利润
（单位：万元）与投资成本
（单位：万元）满足：
.已知投资甲产品为1 万元，10 万元时，获得的利润分别为5 万元，16.515 万元.
(1)求
，
的值；
(2)若该工厂计划投入50 万元用于甲，乙两种新产品的生产，每种产品投资不少于10 万元，问怎样分配这
50 万元，才能使该工厂获得最大利润？最大利润为多少万元？
（参考数据：
，
）
例35．（2023 春·北京·高一清华附中校考期中）为了丰富社区居民文化生活，某小区准备在一块空地上建
一个社区活动中心.如图，该小区内有两条互相垂直的道路与
，有一块空地
.以O 为坐标原点，直
线与
为坐标轴建立坐标系，曲线
是函数
图像的一部分，线段
是函数
图像的
一部分.社区活动中心的平面图是梯形
（其中，点M 在曲线
上，点N 在线段
上，
和
为两底边）.设梯形的高为x 米，梯形的面积是
平方米.
(1)求函数
的解析式和定义域；
(2)为使得社区活动中心的占地面积
最大，x 等于多少米?并求出最大面积
.
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一、单选题
1．（2023 春·北京海淀·高二101 中学校考期中）已知函数
，则函数
的最小值为（ ）
A．
B．1
C．
D．
2．（2023·四川凉山·三模）已知函数
的导函数
，若1 不是函数
的极值
点，则实数a 的值为（ ）．
A．－1
B．0
C．1
D．2
3．（2023·贵州贵阳·校联考模拟预测）若
在
和
处有极值，则函数
的单
调递增区间是（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（2023 春·北京·高三北京师大附中校考期中）已知
和
是定义在R 上的函数，且
，则“
有极值点”是“
和
中至少有一个函数有极值点”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
5．（2022 秋·福建福州·高三校考阶段练习）已知函数
，以下结论中错误的是（ ）
A．
是偶函数
B．
有无数个零点
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C．
的最小值为
D．
的最大值为
6．（2023·河南郑州·模拟预测）已知函数
的最小值为2，则
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
7．（2023·江西抚州·金溪一中统考模拟预测）已知函数
，且
，则
的最小值为（ ）
A．1
B．e
C．
D．
8．（2023 春·北京海淀·高三北理工附中校考期中）对于函数
的描述，下列说法正确的是（ ）
A．函数
存在唯一的零点
B．函数
在区间
上单调递增
C．函数
在区间
上单调递增
D．函数
的值域为R
二、多选题
9．（2023 秋·吉林松原·高三校考期末）已知函数
在
处取得极大值，则
（ ）．
A．3
B．1
C．
D．
10．（2023·全国·高三专题练习）若函数
在
上有最小值，则实数a 的值可能是
（ ）.
A．
B．
C．0
D．1
13
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11．（2023·全国·高三专题练习）设函数
在
上可导，其导函数为
，且函数
的图
像如图所示，则下列结论中一定成立的是（ ）
A．函数
有极大值
B．函数
有极大值
C．函数
有极小值
D．函数
有极小值
12．（2023·山西运城·统考三模）已知函数
，则下列说法正确的是（ ）
A．曲线
在
处的切线与直线
垂直
B．
在
上单调递增
C．
的极小值为
D．
在
上的最小值为
三、填空题
13．（2023·高三单元测试）设函数
，
，其中a 为实数．
在
上是单
调减函数，且
在
上有最小值，则a 的取值范围是______．
14．（2023 春·湖北·高三校联考期中）设函数
在区间[
上有零点，则实数
的取值范
14
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围是___________.
15．（2023 春·湖北襄阳·高二宜城市第一中学校联考期中）已知函数
的导函数为
，对
，
都有
，且
，若
在
上有极值点，则实数
的取值范围是
_________．
16．（2023 春·上海闵行·高三上海市七宝中学校考期中）若方程
有三个不同实根，则
实数
的取值范围是__________．
四、解答题
17．（2023 春·宁夏吴忠·高二青铜峡市高级中学校考期中）已知函数
在
处取得极值
2.
(1)求a，b 的值：
(2)求函数
在
上的最值.
18．已知函数
的两个极值点
满足
.
(1)求
的值；
(2)求
在区间
上的最值.
19．（2023 春·重庆万州·高二重庆市万州第二高级中学校考期中）已知函数
是
的极大值点.
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(1)求
的值；
(2)求函数
的极值.
20．（2023·全国·高三专题练习）已知
．
(1)求函数
在
内的极值点；
(2)求函数
在
上的最值．
21．（2023·全国·高三专题练习）已知函数
.求证：函数
存在唯一的极大值点.
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