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专题13 解答题知识点交汇、杂糅、综合创新专项训练
三角函数解三角形与数列交汇
1．已知数列
中，
，设
为
前n 项和，
．
(1)求
的通项公式；
(2)若
，求数列
的前n 项和
2．（2025·广东汕头·二模）已知数列
，
，其前
项和为
．
(1)求
；
(2)求
；
(3)若数列
的前
项和为
，且
，证明：
．
3．（25-26 高三上·辽宁营口·期中）在
中，角A，B，C 的对边分别为a，b，c，且
.
(1)求
；
(2)若
，求
的周长；
(3)若
外接圆的半径为
，求数列
的前
项和
.
4．（2025·上海松江·二模）已知函数
，当
时函数取得最大值4，
记
.
(1)求函数
的表达式；
(2)若数列
为等差数列，
，记
，求数列
的前
项和
.
1
5．（2025·福建漳州·模拟预测）设函数
，且
的图象相邻两条
对称轴的距离为
.
(1)求
的单调递增区间；
(2)将
所有的正零点按从小到大顺序排列得到数列
，求数列的前30 项和.
6．（2025·广东梅州·一模）在公差不为0 的等差数列
中，已知
，
，
成等比数列，
(1)求数列
的通项公式；
(2)若数列
满足
，求数列
的前2n 项和
．
7．（2025·新疆·模拟预测）已知函数
.
(1)若函数
在
上的零点从小到大依次为
，设数列
的前
项和为
，求
的值；
(2)在锐角
中，角A，B，C 的对边分别为
，
，，若
，
，
边上的中线
，求
的值.
8．（2025·贵州·三模）在数列
中，
，
，且
.
(1)证明：数列
是等差数列；
(2)记
，数列
的前
项和为
，证明：
；
(3)证明：
.
2
9．（2025·广西·模拟预测）已知数列
的前
项和为
，满足
.
(1)当
时，分别求
的值，并猜想此时数列
的通项公式（直接写结论）；
(2)当
时，求
的最大值；
(3)当
时，记数列
的前
项积为
，求
的最大值.
10．（2025·陕西西安·一模）将函数
的零点按照从小到大的顺序排
列，得到数列
，且
.
(1)求
；
(2)求
的单调增区间，并说明
在
上的单调性；
(3)求数列
的前
项和
.
11．（2025·四川内江·一模）已知函数
.
(1)当
时，求
在
上的最小值；
(2)当
时，设
是
从小到大的第
个极值点.
①证明：数列
是等比数列；
②证明：
.
数列与导数交汇
12．（2025·上海青浦·模拟预测）对于函数
，其中
.
(1)若函数
的图像过点
，求
的解集；
3
(2)求证：当
时，存在
使得
成等差数列.
13．（2025·广东广州·模拟预测）已知数列
中，
，
．
(1)求数列
的通项公式；
(2)给定正整数m，设函数
，求
．
14．（25-26 高三上·河南·期中）已知函数
．
(1)讨论
的单调性；
(2)若
，且对任意的
恒成立，求的取值范围；
(3)若
，数列
的前
项和为
，证明：
．
15．（2025·河北·二模）对数运算可以使一些复杂的数学计算变得简单，比如函数：
，
通常为了便于求导，我们可以作变形：
．
(1)求
的单调区间；
(2)已知
．
①若数列
满足
，
，求数列
的通项公式；
②求证：
．
16．（2025·重庆·模拟预测）已知函数
(
)
(1)讨论函数
的单调性
(2)若函数
存在两个零点
，求证:
；
4
(3)已知数列
的前
项和为
，数列
是首项为2 的等比数列，若存在正整数
，使得对任
意正整数
，均有
，求
的最大值.
17．（2025·河北唐山·三模）已知函数
.
(1)求函数
的单调区间；
(2)设函数
的极大值点为
，若
，
，数列
的前
项和为
，其中
表示不大于
的最大整数.
（i）求
，
，
的值，并证明：当
时，
；
（ii）若
，
，求证：
.
（参考数据：
）
18．（2025·吉林长春·模拟预测）已知
，函数
，记
为
的从小到大的
第
个极值点．
(1)当
时，求
；
(2)证明：
（i）数列
是等比数列；
（ii）若
，则对一切
恒成立．
19．（2025·四川南充·一模）已知函数
．
(1)当
时，求
的极值；
(2)讨论
在区间
上的单调性；
(3)设
，证明：
．
5
概率与数列交汇
20．（2025·贵州黔南·三模）在这个科技飞速发展的时代，机器人和AI 已应用到国防军事方面，在
2024 年的珠海航展上，中国“机器狗”升级成“机器狼”闪耀亮相，具备侦察、战斗和综合保障等功能，
展现中国四足机器人技术进步，引发国内外关注.升级后的“机器狼”相比之前的“机器狗”有一特殊之
处，无论是在平地上还是台阶上，“机器狼”的行进速度都相当之快，动作灵敏.为了展示“机器狼”上
台阶的性能，在一个有
步的台阶上，假设“机器狼”每次只能上一步或两步台阶，且每次上一步或两步
台阶是随机的；记每次上一步台阶的概率为
，上两步台阶的概率为
；且每次上一步台阶
用时
，上两步台阶用时
.
(1)假设
，“机器狼”上完这个台阶用时最少为多少秒?
(2)若“机器狼”走3 次后从地面到达第5 步台阶的概率为
，当
取最大值时，求“机器狼”从
地面上到第7 步台阶用时最少的概率.
(3)若
，记“机器狼”从地面上到第
步台阶的概率为
，其中
，证明：数列
是等比
数列，并求
.
21．（2025·江苏南通·模拟预测）某机器人挑战任务规则如下：挑战按阶段依次进行，若连续两个阶段
任务都执行失败，则挑战结束；每一个阶段系统随机分配一个简单任务或复杂任务，分配到简单任务的概
率为
，分配到复杂任务的概率为
.已知该机器人成功完成简单任务与复杂任务的概率分别为
，且
各阶段任务完成情况相互独立.
(1)求该机器人在一个阶段中成功完成任务的概率；
(2)记
为该机器人在完成第
个阶段任务后，整个挑战还未结束的概率.
①求
；
②证明：数列
单调递减.若对系统分配任务进行设置，使得当
时，系统停止分配任务，求该机
器人最多能挑战多少个阶段的任务.
6
22．（2025·湖南长沙·模拟预测）某中学国学小组共有
个同学，分别编号为
．
在一次小组活动中，指导老师设计了两道问答题，并给出如下两个答题规则．
规则一：①第1 号同学首先答第一题．②若第
号同学答对第一题，则该生继续答第二题；
若第号同学答错或不会答第一题，则由第
号同学接替答第一题．③若第号同学答对第二题，则答题
活动结束；若第号同学答错或不会答第二题，则由第
号同学接替答第二题．④若答题轮到第
号同
学，则当该生遇到答错或不会答的情况时，答题活动也结束．
规则二：①，②同规则一．③若第号同学答对第二题，则答题活动结束；若第号同学答错或不会答第二
题，则由第
号同学接替答题，且重新从第一题开始作答．④同规则一．
假设每个同学答对第一题的概率都为
，答对第二题的概率都为
，且各同学的答题相互独立．
(1)若
，且按规则一答题，当答题活动结束时，求答题人数不超过2 人的概率；
(2)若
，为使第3 号同学答题后答题活动结束的概率较大，应选择哪个规则答题；
(3)若按规则二答题，记答题活动结束时参与答题的总人数为
，证明：数列
为等比数
列．
23．（2025·河南信阳·模拟预测）已知数列
满足
．
(1)求证：数列
为等比数列，并求数列
的通项公式；
(2)为庆祝“五一”国际劳动节，立德中学各班将要举办“致敬劳动者，礼赞新时代”的主题活动，要求
有一些含学科元素的游戏或节目．某班想用（1）中的数列
组织如下游戏：让参与的同学在数列
中随机抽取10 项，如果在这10 项中，至少有k 项的值能被2025 整除，则这个同学中奖．
（ⅰ）设随机变量X 表示抽取项中能被2025 整除的项的个数，求
；
（ⅱ）本着开心迎五一的原则，若要求中奖概率大于90%，那么规定
是否符合要求，若符合，请说明
理由；若不符合，请给出一个符合要求的k 值．
24．（2025·四川南充·一模）某图书馆对学生借阅图书是否按时归还的情况开展调查，经过一段时间的
统计发现：学生第一次借阅图书，按时归还的概率为
；从第二次借阅开始，若前一次按时归还，则本次
7
按时归还的概率为
；若前一次未按时归还，则本次按时归还的概率为
．记学生第
次借阅按时归还的
概率为
．
(1)求
；
(2)求数列
的通项公式；
(3)记前
次借阅中按时归还的次数为
，求随机变量
的数学期望
．
参考公式：若
为离散型随机变量，则
．
25．（2025·河北沧州·模拟预测）已知正项数列
的前
项和为
.
(1)证明：数列
是等比数列；
(2)从数列
前5 项中任取2 项相加，所得和组成集合
，从
中任取3 个元素，记取到的能被4 整除
的元素个数为
，求
的分布列与期望；
(3)证明：当
时，
.
26．（2025·青海海南·模拟预测）在一个人工智能研发团队中，
三个小组进行了一种算法模型的
优化传递，每次传递由小组长根据模型的特点随机安排.由于A 小组中人数较多，故当模型在A 小组时，优
化一次后，有
的概率在本小组互传，
的概率传给B 小组；当模型在B 小组时，优化一次后，有
的概
率传给A 小组，
的概率传给C 小组；当模型在C 小组时，优化一次后，传给
小组的概率均为
．假
设每次传递都是独立事件，且项目开始时，模型在A 小组．
(1)求两次传递后模型在B 小组的概率，以及三次传递后模型在C 小组的概率；
(2)记
次传递后，模型在A 小组的概率为
，在B 小组的概率为
．
8
（i）证明：数列
是等比数列．
（ii）求
．
27．（24-25 高三下·福建龙岩·月考）对
，通过抛掷一枚均匀硬币
次后生成有序数对
，具
体生成规则如下：①规定
；②当第
次抛掷硬币时：如果出现硬币正面朝上，若
，则
，否则
；如果出现硬币反面朝上，若
，
则
，否则
.抛掷
次硬币后，记
的概率为
.
(1)写出
的所有可能结果，并求
；
(2)证明：数列
是等比数列，并求
；
(3)若
，则抛掷几次硬币后使得
的概率最大？请给出证明过程.
28．（2025·湖北·模拟预测）一电动玩具汽车需放入电池才能启动.现抽屉中备有6 块规格相同的电池，
其中3 块为一次性电池，另外3 块为可反复使用的充电电池.每次使用时随机取一块电池，若取出的是一次
性电池，则使用后作废品回收，若取出的是可充电电池，则使用后充满电再放回抽屉.
(1)在已知第2 次取出一次性电池的条件下，求第1 次取出的是可充电电池的概率；
(2)设X，Y 是离散型随机变量，X 在给定事件
条件下的期望定义为
，其中
为X 的所有可能取值的集合，
表示事件“
”与“
”均发生的概率.设X 表示玩具汽车前4 次使用中取出一次
性电池的块数，Y 表示前2 次使用中取出可充电电池的块数，求
；
9
(3)若已用完一块一次性电池后，记剩下电池再使用
次后，所有一次性电池恰好全部用完的
概率为
，求数列
的通项公式.
29．（2025·湖南长沙·二模）“你好！我是DeepSeek，很高兴见到你！我可以帮你写代码，读文件，写
作各种创意内容，请把你的任务交给我吧”，DeepSeek 从横空出世到与我们日常相伴，成为我们解决问题
的“好参谋，好助手”，AI 大模型正在改变着我们的工作和生活的方式.为了解不同学历人群对DeepSeek
的使用情况，随机调查了200 人，得到如下数据：
单位：人
学历
使用情况
合计
经常使用
不经常使用
本科及以上
65
35
100
本科以下
50
50
100
合计
115
85
200
(1)依据小概率值
的独立性检验，能否认为DeepSeek 的使用情况与学历有关？
(2)某公司组织“AI 模型”知识应用竞赛，将参与活动的员工分成了
、
、
三组进行，其规则：竞赛
发起权在哪一组，该组都可向另外两组发起竞赛，则下一次竞赛发起权移交给被挑战的那组.首先由
组
先发起竞赛，
组挑战
组、
组的概率均为
，若
组挑战
组，则下次竞赛发起权在
组，若
组挑
战
组，则下次竞赛发起权在
组；若竞赛发起权在
组，则挑战
组、
组的概率分别为
和
；若竞
赛发起权在
组，则挑战
组、
组的概率分别为
和
.
①经过3 次挑战赛后，求竞赛发起权在
组的次数
的分布列与数学期望；
②定义：已知数列
，若对于任意给定的正数
（不论它多么小），总存在正整数
，使得当
时，
（
是一个确定的实数），则称数列
为“聚点数列”，
称为数列
的聚点.经过
次竞
赛后，竞赛发起权在
组的概率为
，证明数列
为“聚点数列”，并求出聚点
的值.
10
附：
，
.
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
30．（2025·四川·模拟预测）在高三年级排球联赛中，
两支队进入到了比赛决胜局．该局比赛规则
如下：上一球得分的队发球，赢球方获得1 分，直到有一方得分达到或超过15 分，且此时分数超过对方2
分时，该队获得决胜局的胜利．假定该局比分已经达到了
，此后每球比赛记为第
球，
队在第
球
比赛中得分的概率为
，且
；从第2 球起，若
队发球，则此球
队得分的概率为
，若
队发球，
则此球
队得分的概率为
．
(1)若
，求
队以
的比分赢得比赛的概率；
(2)若
，数列
满足
，记数列
的前
项和为
，求证：
；
(3)当
时，若
，有
，求
的取值范围．
31．（2025·四川德阳·模拟预测）某商场拟在年末进行促销活动，为吸引消费者，特别推出“玩游戏，
送礼券”的活动，游戏规则如下：每轮游戏都抛掷一枚质地均匀的骰子（形状为正方体，六个面的点数分
别为1，2，3，4，5，6），若向上点数不超过2 点，获得1 分，否则获得2 分，进行若干轮游戏，若累计
得分为19 分，则游戏结束，可得礼券
，若累计得分为20 分，则游戏结束，可得到礼券
，最多进行19
轮游戏.
(1)当进行完3 轮游戏时，总分为
，求
的期望；
(2)若累计得分为的概率为
，（初始得分为0 分，
）.
①证明数列
，
，
，
，
是等比数列；
②求活动参与者得到礼券
的概率.
11
32．（2025·湖南·一模）张明在暑假为了锻炼身体，制定了一项坚持晨跑的计划：30 天晨跑训练．规则
如下：张明从第1 天开始晨跑，若第天晨跑，则他第
天晨跑的概率为
，且他不能连续两天没有晨
跑．设他第
天晨跑的概率为
．
(1)求
的值；
(2)求数列
的通项公式；
(3)若
都是离散型随机变量，则
，记张明前
天晨跑的天数为
，求
．
概率与导数交汇
33．（2025·河北石家庄·一模）在一个温馨的周末，甲同学一家人齐聚在宽敞明亮的客厅里进行掷游戏
币活动，假设每次掷游戏币出现正面的概率为
，且
，每次掷游戏币的结果相互独立.
(1)当
时，若甲连续投掷了两次，求至少出现一次正面向上的概率；
(2)若规定每轮游戏只要连续不断的出现三次正面向上，则游戏结束，每轮最多连续投掷6 次.
①甲在一轮游戏中恰好投掷了5 次游戏结束的概率为
，求
的表达式；
②设甲在一轮游戏中投掷次数为
，求
的最大值.
34．（2025·广东广州·三模）现有一种不断分裂的细胞，每个时间周期
内分裂一次，一个细胞每次分
裂能生成一个或两个新的细胞，每次分裂后原细胞消失，设每次分裂成一个新细胞的概率为
，分裂成两
个新细胞的概率为
；新细胞在下一个周期
内可以继续分裂，每个细胞的分裂相互独立. 设有一个初
始的细胞，在第一个周期
内开始分裂，记
个周期结束后，细胞的数量为
，其中
.
(1)若
，求
的分布列和数学期望；
(2)求
；
12
(3)求证：
.
35．（2025·吉林·模拟预测）在n 重伯努利试验中，用X 表示事件A 发生的次数，则称随机变量X 服从
二项分布，它关注试验成功的总次数；用Y 表示事件A 第一次发生时已经进行的试验次数，则称随机变量
Y 服从几何分布，它关注的是首次成功发生的时机.在某篮球训练的投篮环节中，运动员甲每次投篮均相互
独立，每次投篮命中的概率为p.
(1)当
时，求运动员甲进行4 次投篮，命中次数不少于2 次的概率；
(2)设
表示运动员甲首次命中时的投篮次数.
（i）求
及此概率取得最大值时
的值；
（ii）若甲最多投篮n 次，第n 次未命中也结束投篮，利用（i）中的p 值，求Z 的数学期望
.
36．（2025·海南省直辖县级单位·模拟预测）蝗虫能对农作物造成严重伤害，每只蝗虫的平均产卵数
（单位：个）和平均温度
（单位：
）有关.现收集到一只蝗虫的产卵数
（个）和温度
的8 组观
测数据，制成图1 所示的散点图.现用两种模型①
，②
分别进行拟合，由此得到相应的
回归方程并进行残差分析，进一步得到图2 所示的残差图.
根据收集到的数据，计算得到如下值：
24
2.9
646
168
422688
50.4
70308
表中
，
，
，
；
13
(1)根据残差图，比较模型①、②的拟合效果，模型_____比较合适？根据所选择的模型，利用上表中的参
考数据，求出
关于
的回归方程.
(2)根据以往统计，该地每年平均温度达到
以上时蝗虫会对农作物造成严重伤害，需要人工防治，其
他情况均不需要人工防治.设该地每年平均温度达到
以上的概率为
，该地今后
年恰好需要2 次人工防治的概率为
.
①求
取得最大值时对应的概率
；
②当
取最大值时，设该地今后5 年需要人工防治的次数为
，求
的均值和方差.
附：对于一组数据
，其回归直线
的斜率和截距的最小二乘估计分别为：
，
.
37．（2025·广东广州·模拟预测）某检测中心在化验血液时有两种化验方法：
①逐份化验法：将血液样本逐份进行化验，则
份血液样本共需要化验
次.
②混合化验法：将
份血液样本分别取样混合在一起化验.若化验结果呈阴性，则这
份血液
均为阴性，此时共化验1 次；若化验结果呈阳性，为了确定阳性血液，就需要再采取逐份化验，故此时共
需要化验
次.
(1)现有5 份血液样本，其中有2 份为阳性血液，现采取逐份化验法进行化验，求恰好化验2 次就把全部阳
性样本检测出来的概率；
(2)现有10 份血液样本，每份呈阳性的概率为
，采用5 份为一组的混合化验法进行化验，记这10 份血液
样本需要化验的总次数为
，求随机变量
的分布列；.
(3)现有
份血液样本，每份呈阳性的概率为
，记采用逐份化验法时需要化验的次数为
，采用
份为一组的混合化验法时需要化验的总次数为
，当
时，求
的最大值.
14
（参考数据：
）
38．（2025·广东广州·模拟预测）为了弘扬中国优秀的传统文化，某校将举办一次剪纸比赛，共进行7
轮比赛，每轮比赛结果互不影响.比赛规则如下：每一轮比赛中，参赛者在30 分钟内完成规定作品2 幅和
创意作品1 幅，若有不少于2 幅作品入选，将获得“巧手奖”.7 轮比赛中，至少获得6 次“巧手奖”的同
学将进入决赛.某同学经历多次模拟训练，指导老师从训练作品中随机抽取规定作品和创意作品各4 幅，
其中有3 幅规定作品和2 幅创意作品符合入选标准.
(1)从这8 幅训练作品中，随机抽取规定作品2 幅和创意作品1 幅，记抽出的3 幅作品中符合入选标准的幅
数为X，求X 的分布列和数学期望；
(2)以上述两类作品各自入选的频率作为该同学参赛时每幅作品入选的概率，经指导老师对该同学进行赛
前强化训练，规定作品和创意作品入选的概率不减小且共增加了
，以获得“巧手奖”的次数期望为参考，
试预测该同学能否进入决赛.
39．（2025·云南昆明·模拟预测）某地区为选拔运动员举行了一次运动会（采用积分制），运动员通过
参加各项比赛获得积分．现有甲、乙两名运动员争夺某项比赛的积分，规定两名运动员谁先赢
局，谁就能获得该项比赛的全部积分，根据以往经验，每局比赛甲赢的概率为p，乙赢的概
率为
，每局比赛相互独立．
(1)若
，
，在乙先赢了第一局的条件下，求甲最终赢得全部积分的概率；
(2)在甲赢了m 局，乙赢了n 局时，比赛意外终止．对于积分应该如何分配，评委给出的方案是：根据以
往经验数据，甲、乙按照若比赛继续进行下去各自赢得全部积分的概率之比
分配积分．
（ⅰ）若
，
，
，
，求
；
（ⅱ）若
，
，
，求比赛继续进行下去甲赢得全部积分的概率
，并判断当
时，
若比赛继续进行下去乙赢得全部积分的概率是否小于5％．
40．（2025·云南楚雄·模拟预测）在一次旅游中，导游为增加旅游乐趣，组织游客到甘蔗园里选甘蔗，
要求游客只能在排成一列的
棵粗细不同的甘蔗中选一棵最粗的甘蔗，期间只能选一次，且只能向前走，
不能回头.在某处若游客选到最粗的甘蔗，则该游客活动结束，回到旅游车中，否则继续向前走，以此类
15
推，直至看到第
棵甘蔗结束.游客甲认为最粗的甘蔗一定是最后一棵，决定始终选择最后一棵甘蔗.游客
乙采用了如下策略：不取前
棵甘蔗，自第
棵甘蔗开始，只要发现比他前面见过的每一棵甘
蔗都粗的甘蔗，就选择这棵甘蔗，否则就取最后一棵甘蔗.设甲选到最粗的甘蔗的概率为
，乙选到最粗
的甘蔗的概率为
.
(1)若
，求
和
；
(2)若最粗的甘蔗是第
棵
，求
；
(3)当
趋向于无穷大时，从理论的角度（即
），求
的最大值及
取最大值时
的值.（取
）
立体几何与解析几何交汇
41．（2025·广东·一模）如图1，已知抛物线
的焦点为
，准线交
轴于点
，过点
作倾斜角为
的直线交抛物线于
两点（点
在第一象限）．当
时，
．
(1)求抛物线
的方程；
(2)如图2，把
沿
翻折为
，使得二面角
的大小为
．
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①若
，求直线
与平面
所成角的正弦值；
②证明：三棱锥
的体积为定值．
42．（2025·青海西宁·二模）如图1，已知抛物线
，O 为坐标原点，点A，B 是E 上异于点O
的两点（其中点A 在第一象限），直线AB 交x 轴于点C，且
，将平面AOC 沿着x 轴翻折得到
三棱锥
，如图2 所示，且
．
(1)求点C 的坐标；
(2)求证：平面
平面
；
(3)若
，求直线
与平面
所成角的正弦值．
43．（2025·重庆沙坪坝·模拟预测）如图，已知抛物线
的焦点为
为坐标原点．过
作两条直线
，这两条直线与抛物线
分别交于
和
两点．当
垂直于
轴时，
．
(1)求抛物线
的方程；
(2)若
，求四边形
面积的取值范围；
(3)将
绕
轴旋转一周得到一个旋转体，求该旋转体体积的最小值．
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44．（24-25 高二上·山东日照·期中）在平面直角坐标系
中，点
，
，若以
轴为
折痕，将直角坐标平面折叠成互相垂直的两个半平面（如图所示），则称此时点
，
在空间中的距离为
“点
，
关于
轴的折叠空间距离”，记为
.
(1)若点
，
，
在平面直角坐标系
中的坐标分别为
，
，
，求
，
的值；
(2)若点
，
在平面直角坐标系
中的坐标分别为
，
，已知点
满足
，求
点
在平面直角坐标系
中的轨迹方程；
(3)若在平面直角坐标系
中，点
是椭圆
上的点，过点
的两条直线
，
分别
交椭圆于
，
两点，其斜率满足
.
证明：当
时，
为定值，并求出该定值.
45．（2025·山东日照·一模）已知在四面体
中，
分别为所在棱的中点，如图
所示．
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(1)证明：
平面
；
(2)若
两两垂直，则称四面体
为“斜垂四面体”．
①在斜垂四面体
中，若
，求直线
与平面
所成角的正弦值；
②在空间直角坐标系
中，
平面内有椭圆
，直线
与
交于
两点．
为
空间中一点，若
为斜垂四面体，求其外接球表面积的最小值，并求出此时的直线方程．
46．（2025·河南郑州·二模）若一个四面体三组对棱分别相等，我们称它为“等腰四面体”．已知在等
腰四面体
中，
分别为所在棱的中点，如图所示．
(1)求证：
平面
；
(2)若
，
，求二面角
的大小；
(3)在空间直角坐标系
中，
平面内有椭圆
，直线
与
交于
，
两点．
为空间中一点，若四面体
为等腰四面体，求其外接球表面积的最小值．
47．（2025·湖北·三模）把底面为椭圆且母线与底面垂直的柱体称为“椭圆柱”.如图，椭圆柱
中
底面长轴
，短轴长
为下底面椭圆的左右焦点，
为上底面椭圆的右焦点，
为
上的中点，
为线段
上的动点，
为过点
的下底面的一条动弦（不与
重合）.
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(1)求证：
平面
.
(2)若点
是下底面椭圆上的动点，
是点
在上底面的投影，且
与下底面所成的角分别为
，
试求出
的最小值.
(3)求三棱锥
的体积的取值范围.
48．（2025·山东聊城·二模）如图，柱体上下底面是椭圆面，
、
分别是上下底面椭圆的长轴，
、
分别是上下底面椭圆的短轴，四边形
和
为矩形，
、
分别为上下底面椭圆的
长短轴的交点，
．
、
是下底面椭圆上两动点，
不与
平行或重合．
(1)证明：
平面
；
(2)若
面积为定值，求
的长度；
(3)在（2）的条件下，当平面
平面
时，求点
到直线
的距离的取值范围．
49．（2025·河南·模拟预测）平面直角坐标系
中，已知椭圆
的左、右焦点
分别为
，离心率为
，经过
且倾斜角为
的直线与
交于A，B 两点（其中点
在
轴上方），
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且
的周长为8，现将平面
沿
轴向上折叠，折叠后A，B 两点在新图形中对应的点分别记为
，且二面角
为直二面角，如图所示.
(1)求折叠前
的标准方程；
(2)若
，求
；
(3)当
时，折叠后，求平面
与平面
的夹角的余弦值.
50．（2025·陕西·模拟预测）把底面为椭圆且母线与底面垂直的柱体称为“椭圆柱”．如图，椭圆柱
中底面长轴
，短轴长为
，
，
分别为下底面椭圆的左、右焦点，
为上底面椭
圆的右焦点，
，
为下底面上过点
的一条动弦（与
不重合），点
在下底面椭圆上（与点
，
不重合），
是
在上底面的投影．
(1)证明：
平面
；
(2)求四面体
的体积的取值范围；
(3)设平面
与平面
的夹角为
，求
的最小值．
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