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专题17 解三角形（七大题型+模拟精练）
目录：
01 余弦定理、正弦定理
02 判断三角形的形状
03 解三角形与平面向量
04 解三角形几何的应用
05 取值范围、最值问题
06 解三角形的实际应用
07 解三角形解答题
01 余弦定理、正弦定理
1．（2024·浙江金华·三模）在
中，角
的对边分别为
，
，.若
，
，
，
则为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．1 或3
2．（21-22 高一下·江苏连云港·期中）△ABC 的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，已知
，
，
，则
（ ）
A．
B．
C．3
D．
3．（2022·河南·模拟预测）已知
的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，面积为
，
，
，则
（ ）
1
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A．
B．5
C．8
D．
4．（2022·山西晋城·三模）
的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，已知
，
则
的面积为（ ）
A．
B．
C．1
D．2
5．（2023·四川南充·三模）在
中，角
的对边分别是
，若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
02 判断三角形的形状
6．（21-22 高二上·广西桂林·期末）
内角A，B，C 的对边分别为a，b，c．若
，则
一定是（ ）
A．等腰三角形
B．等边三角形
C．直角三角形
D．等腰直角三角形
7．（2023·上海嘉定·一模）已知
，那么“
”是“
为钝角三角形”的
（ ）
A．充分条件但非必要条件
B．必要条件但非充分条件
C．充要条件
D．以上皆非
8．（2023·贵州·一模）在
中，
分别为角
的对边，且满足
，则
的形
状为（ ）
A．直角三角形
B．等边三角形
C．直角三角形或等腰三角形
D．等腰直角三角形
03 解三角形与平面向量
9．（2024·江苏盐城·模拟预测）
中，若
，则
（ ）
A．54
B．27
C．9
D．
2
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10．（2024·安徽六安·模拟预测）已知平面向量
，
，
满足
，
，
，
，则
的最大值等于（ ）
A．
B．
C．
D．
11．（2024·广东东莞·模拟预测）已知在同一平面内的三个点A，B，C 满足
，
，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
04 解三角形几何的应用
12．（2024·北京·三模）在四棱锥
中，底面
为正方形，
，
，
，则
的周长为（ ）
A．10
B．11
C．
D．12
13．（2024·广东广州·模拟预测）在
中，角
、
、
的对边分别为
、
、，若
，
，
的平分线
的长为
，则
边上的中线
的长等于（ ）
A．
B．
C．
D．
14．（2023·四川南充·二模）在
中，a，b，c 分别是角A，B，C 的对边，若
，则
的值为（ ）
A．2021
B．2022
C．2023
D．2024
05 取值范围、最值问题
15．（2024·江苏连云港·模拟预测）在
中，角A，B，C 的对边分别为a，b，c，若
，
3
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，则边b 的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
16．（2024·四川成都·模拟预测）设锐角
的三个内角
的对边分别为
，且
，
则
的取值范围为 （ ）
A．
B．
C．
D．
17．（2024·河南·三模）在
中，角A，B，C 所对的边分别为a，b，c．若
，则
的最小值是（ ）
A．
B．
C．
D．4
18．（2023·陕西榆林·一模）
的内角
所对的边分别为
，若
，
则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
06 解三角形的实际应用
19．（2024·陕西西安·模拟预测）在
高的楼顶
处，测得正西方向地面上
两点
与楼底在
同一水平面上）的俯角分别是
和
，则
两点之间的距离为（ ）．
A．
B．
C．
D．
20．（2024·广东·二模）在一堂数学实践探究课中，同学们用镜而反射法测量学校钟楼的高度.如图所示，
将小镜子放在操场的水平地面上，人退后至从镜中能看到钟楼顶部的位置，此时测量人和小镜子的距离为
，之后将小镜子前移
，重复之前的操作，再次测量人与小镜子的距离为
，
4
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已知人的眼睛距离地面的高度为
，则钟楼的高度大约是（ ）
A．
B．
C．
D．
21．（2024·上海嘉定·二模）嘉定某学习小组开展测量太阳高度角的数学活动．太阳高度角是指某时刻太
阳光线和地平面所成的角．测量时，假设太阳光线均为平行的直线，地面为水平平面．如图，两竖直墙面
所成的二面角为120°，墙的高度均为3 米．在时刻，实地测量得在太阳光线照射下的两面墙在地面的阴
影宽度分别为1 米、1.5 米．在线查阅嘉定的天文资料，当天的太阳高度角和对应时间的部分数据如表所示，
则时刻最可能为（ ）
太阳高度角
时间
太阳高度角
时间
43.13°
08:30
68.53°
10:30
49.53°
09:00
74.49°
11:00
55.93°
09:30
79.60°
11:30
62.29°
10:00
82.00°
12:00
A．
B．
C．
D．
22．（2024·云南昆明·一模）早期天文学家常采用“三角法”测量行星的轨道半径．假设一种理想状态：
地球E 和某小行星M 绕太阳S 在同一平面上的运动轨道均为圆，三个星体的位置如图所示．地球在
位置
时，测出
；行星M 绕太阳运动一周回到原来位置，地球运动到了
位置，测出
，
．若地球的轨道半径为R，则下列选项中与行星M 的轨道半径最接近的是（参考数据：
5
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）（ ）
A．
B．
C．
D．
07 解三角形解答题
23．（2024·内蒙古·三模）在
中，内角
的对边分别为
，且
.
(1)求
的值；
(2)若
，证明：
为直角三角形.
24．（2024·四川绵阳·模拟预测）三角形三内角
，
，
的对边分别为
，
，.已知
.
(1)求角
的大小；
(2)若
的面积等于
，
为
边的中点，当中线
的长最短时，求
边的长.
25．（2024·重庆渝中·模拟预测）已知
的内角
的对边分别为
，且满足
.
(1)求角
的大小；
(2)若
为锐角三角形且
，求
面积的取值范围.
26．（2024·江西·模拟预测）在
中，角
，
，
所对的边分别记为
，
，，且
6
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．
(1)若
，求
的大小．
(2)若
，求
的取值范围．
27．（2023·全国·模拟预测）记△ABC 的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，已知
．
(1)若
，求A；
(2)若△ABC 为锐角三角形，求
的取值范围．
一、单选题
1．（2024·湖南·模拟预测）在
中，
，
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2024·吉林·模拟预测）在
中，角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，“
”是“
”（ ）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
3．（2024·江西九江·三模）在
中，角
所对的边分别为
，已知
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（2024·陕西安康·模拟预测）在
中，三个内角
，
，
所对的边分别为
，
，，且
，若
，
，则
（ ）
A．1
B．2
C．
D．4
5．（2024·浙江绍兴·三模）在
中，内角A，B，C 所对的边分别为a，b，c．若
7
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，则A 等于（ ）
A．
B．
C．
D．
6．（2024·重庆·模拟预测）记
的内角
的对边分别为
，若
，则
的面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
7．（2024·湖北武汉·模拟预测）在三角形
中，角
，
，
的对边分别为
，
，且满足
，
，则
面积取最大值时，
（ ）
A．
B．
C．
D．
8．（2024·全国·模拟预测）在锐角
中，若
，且
，则
能取到的值有（ ）
A．5
B．4
C．
D．3
二、多选题
9．（2023·安徽·模拟预测）在
中，
，若满足条件的三角形有两个，则
边的取值
可能是（ ）
A．1.5
B．1.6
C．1.7
D．1.8
10．（2024·江苏南京·二模）已知
内角
，
，
的对边分别为
，
，，
为
的重心，
，
，则（ ）
A．
B．
8
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C．
的面积的最大值为
D．
的最小值为
11．（2024·贵州黔南·二模）已知锐角
的三个内角
，
，
的对边分别是
，
，，且
的
面积为
.则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
的取值范围为
C．若
，则
的外接圆的半径为2
D．若
，则
的面积的取值范围为
三、填空题
12．（2024·湖南长沙·二模）在
中，若
，
，
，则
.
13．（2024·湖北襄阳·模拟预测）在
中，
，点D 在线段
上，
，
，
，
点M 是
外接圆上任意一点，则
最大值为 .
14．（2024·江苏·模拟预测）在
中，角
所对的边分别为
，若
分别在边
和
上，且
把
的面积分成相等的两部分，则
的最
小值为 .
四、解答题
15．（2024·河北秦皇岛·三模）在
中，内角
，
，
所对的边分别为
，
，，
且
，
的外接圆半径为
.
(1)求
的面积；
9
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(2)求
边
上的高.
16．（2024·四川南充·模拟预测）在
中，
.
(1)求
；
(2)若
，求
周长的最大值.
17．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，在平面四边形
中，
，
，
的角平分线与
相交于点
，且
.
(1)求
的大小；
(2)求
的值.
18．（2022·河南濮阳·模拟预测）在
中,内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,已知
．
(1)求
;
(2)若
,D 为边AC 上一点,且
．求
的值．
19．（2024·河北·二模）若
内一点
满足
，则称点
为
的布洛卡点，
为
的布洛卡角．如图，已知
中，
，
，
，点
为的布洛卡点，
为
的布洛卡角．
(1)若
，且满足
，求
的大小．
10
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(2)若
为锐角三角形．
（ⅰ）证明：
．
（ⅱ）若
平分
，证明：
．
11
