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第二十三章过关自测卷
（100 分,45 分钟）
一、选择题（每题3 分，共24 分）
1．已知下列命题：①关于一点对称的两个图形一定不全等；②关于一
点对称的两个图形一定是全等图形；③两个全等的图形一定关于一点
对称.其中真命题的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
2．〈江苏泰州〉下列标志图(图1)中，既是轴对称图形，又是中心对称
图形的是（ ）
图1
3．如图2，在正方形ABCD 中，E 为DC 边上的点，连接BE，将△BCE
绕点C 顺时针方向旋转90°得到△DCF，连接EF，若∠BEC＝60°，则
∠EFD 的度数为（ ）
图2
A.10° B.15° C.20° D.25°
4．如图3 ①，将正方形纸片两次对折，并剪出一个菱形小洞后铺平，
得到的图形是图3 ②中的（ ）
图3
5．如图4 所示的图案中，绕自身的某一点旋转180°后还能与自身重合
的图形的个数是（ ）
图4
A.1 B.2 C.3 D.4
6.已知a＜0，则点P（－a2，－a+1）关于原点的对称点P′在（ ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
7.将正方体骰子（相对面上的点数分别为1 和6、2 和5、3 和4）放置于
水平桌面上，如图5 ①．在图5 ②中，将骰子向右翻滚90°，然后在桌
面上按逆时针方向旋转90°，则完成一次变换．若骰子的初始位置为
图5 ①所示的状态，那么按上述规则连续完成10 次变换后，骰子朝上
一面的点数是（ ）
图5
A．6 B．5 C．3 D．2
8．如图6，在Rt△ABC 中，∠ACB=90°，∠A=30°，BC=2，将△ABC 绕
点C 按顺时针方向旋转n 度后，得到△EDC，此时，点D 在AB 边上，
斜边DE 交AC 边于点F，则n 的大小和图中阴影部分的面积分别为（
）
A. 30，2 B.60，2 C.60，
D.60，
图6
二、填空题（每题4 分，共24 分）
9．如图7，E、F 分别是正方形ABCD 的边BC、CD 上的点，BE=CF，连
接AE、BF．将△ABE 绕正方形的中心按逆时针方向旋转到△BCF，旋
转角为α（ 0°＜α＜180°），则α=_______．
图7
10.如图8，△ABC 的顶点坐标分别为A（4，6）、B（5，2）、C（2，1），如
果将△ABC 绕点C 按逆时针方向旋转90°，得到△A′B′C，那么点A
的对应点
A′的坐标是_______．
图8
11.如图9，△ABC 的3 个顶点都在5×5 的网格（每个小正方形的边长
均为1 个单位长度）的格点上，将△ABC 绕点B 顺时针旋转到
△A′BC′的位置，且点
A′、C′仍落在格点上，则线段AB 扫过的图形的面积是_______平方
单位（结果保留π）．
图9 图10
12.直线y=x+3 上有一点P(3,n)，则点P 关于原点的对称点P′为
_______.
13.如图10，△ABC 是直角三角形，BC 是斜边，将△ABP 绕点A 逆时
针旋转后，能与△ACP′重合，若AP=3，则PP′的长是_______．
14.如图11 ①，在△AOB 中，∠AOB=90°，OA=3，OB=4．将△AOB 沿x
轴依次以点A、B、O 为旋转中心顺时针旋转，分别得到图11 ②、图
11 ③、…，则旋转得到的图11 ⑩的直角顶点的坐标为_______．
图11
三、解答题（17 题10 分，18 题12 分，19 题14 分，其余每题8 分，共52
分）
15.如图12，在平面直角坐标系中，三角形②③是由三角形①依次旋转
后所得的图形．
图12
（1）在图中标出旋转中心P 的位置，并写出它的坐标；
（2）在图中画出再次旋转后的三角形④．
16．如图13 所示，（1）观察图①～④中阴影部分构成的图案，请写出
这四个图案都具有的两个共同特征：
图13
（2）借助图⑤的网格，请设计一个新的图案，使该图案同时具有你在
解答（1）中所给出的两个共同特征．（注意：①新图案与图①～④的图
案不能重合；②只答第(2)问而没有答第（1）问的解答不得分）
17.如图14，矩形ABCD 和矩形AEFG 关于点A 中心对称，
（1）四边形BDEG 是菱形吗？请说明理由；
图14
（2）若矩形ABCD 面积为2，求四边形BDEG 的面积．
18.如图15，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，每个小方格的边长
为1 个单位长度．正方形ABCD 顶点都在格点上，其中，点A 的坐标
为（1，1）．
（1）若将正方形ABCD 绕点A 顺时针方向旋转90°，点B 到达点B1，点
C 到达点C1，点D 到达点D1，求点B1、C1、D1的坐标;
图15
（2）若线段AC1 的长度与点D1 的横坐标的差恰好是一元二次方程
x2+ax+1=0 的一个根，求a 的值．
19.〈潍坊〉如图16 ①所示，将一个边长为2 的正方形ABCD 和一个长
为2、宽为1 的长方形CEFD 拼在一起，构成一个大的长方形ABEF．
现将小长方形CEFD 绕点C 顺时针旋转至长方形CE′F′ D′，
旋转角为α．
图16
（1）当点D′恰好落在EF 边上时，求旋转角α 的值；
（2）如图16 ②，G 为BC 中点，且0°＜α＜90°，求证：GD′= E′D；
（3）小长方形CEFD 绕点C 顺时针旋转一周的过程中，△DCD′与
△CBD′能否全等？若能，直接写出旋转角α 的值；若不能，说明理
由．
参考答案及点拨
一、1．B 2.B
3．B 点拨：由旋转性质得△BCE≌△DCF，所以∠DFC=∠BEC=
60°，CE=CF，又∠ECF=90°，所以∠EFC=45°，所以∠EFD= ∠DFC
－∠EFC=60°－45°=15°.
4. C
5. D 点拨：四个图形都是中心对称图形，所以绕自身的某一点旋转
180°后都与自身重合.
6. D
7. B 点拨：先向右翻滚，然后再逆时针旋转叫做一次变换，那么连续
3 次变换是一个循环．本题先要找出3 次变换是一个循环，然后再求
10 被3 整除后余数是1，从而确定第10 次变换的结果与第1 次变换
相同．
8. C
二、9. 90°
10.（－3，3） 点拨：△A′B′C 的位置如答图1．
答图1
11.
点拨：在Rt△ABC 中，由勾股定理，得AB=
=
=
，由图形可知，线段AB 扫过的图形为扇形ABA′，旋转
角为90°，∴线段AB 扫过的图形的面积为
=
．
12.（－3，－6） 点拨：把x=3 代入y=x+3 得y=6,所以P（3,6），
P′（－3，－6）.
13. 3
点拨:∵△ABP 绕点A 逆时针旋转后，能与△ACP′重合，
∴
AP′
=AP
，
∠
CAP′
=∠
BAP
，
∴∠PAP′ =∠PAC+∠CAP′ =∠PAC+∠BAP=∠BAC=90° ，
∴△PAP′为等腰直角三角形，PP′为斜边，∴PP′=
AP=3
.
14.（36，0） 点拨：在△AOB 中，∠AOB=90°，OA=3，OB=4，则AB=5，
每旋转3 次为一循环，则图③④的直角顶点坐标为（12，0），图⑥⑦的
直角顶点坐标为（24，0），所以，图⑨⑩的直角顶点坐标为（36，0）．
三、15. 解:（1）旋转中心点P 位置如答图2 所示，点P 的坐标为(0，1)；
（2）旋转后的三角形④如答图2 所示．
答图2
16．解：
（1）①都是轴对称图形；②面积都等于四个小正方形的面积之
和．
（2）答案不唯一，只要设计的图案同时具有所给出的两个共同特征，
均正确，例如：同时具备特征①②的部分图案如答图3 所示：
答图3
17. 解：（1）四边形BDEG 是菱形.
理由：因为矩形ABCD 和矩形AEFG 关于点A 中心对称，所以BE 和
DG 互相平分，四边形BDEG 是平行四边形；又因为∠DAB=90°，所以
四边形BDEG 是菱形.
（2） 因为矩形ABCD 面积为2，所以△DAB 的面积为1，所以菱形
BDEG 的面积为4.
18. 解：
（1）如答图4，B1、C1、D1的坐标分别为：B1（2，－1），C1（4，0），
D1（3，2）；
（2）连接AC1，根据勾股定理，AC1=
=
，∴线段AC1的长度与
点D1的横坐标的差是
－3，∴（
－3)2+（10－3)a+1=0,
整理得（
－3)a=－20+6
,
解得a=－2
.
答图4
19. (1) 解：∵长方形CEFD 绕点C 顺时针旋转至长方形CE′F′
D′，
∴CD′=CD=2，在Rt△CED′中，CD′=2，CE=1，
∴∠CD′E=30°，∵CD∥EF，∴α=30°；
(2)证明：∵G 为BC 中点，∴CG=1，∴CG=CE，
∵长方形CEFD 绕点C 顺时针旋转至长方形CE′F′D′，
∴∠D′CE′=∠DCE=90°，CE=CE′.
∴∠GCD′=∠DCE′=90°+α.
在△GCD′和△E′CD 中，
∴△GCD′≌△E′CD，∴GD′=E′D；
(3) 解：能．旋转角α 为135°或315°.
