《第二十七章 相似》测试卷（A 卷）
（测试时间：120 分钟 满分：120 分）
一、选择题（每小题3 分，共30 分）
1．已知：线段a、b，且
,则下列说法错误的是( )
A． a＝2cm，b＝3cm B． a＝2k，b＝3k(k≠0) C． 3a＝2b D．
2．下列命题正确的是（ ）
A． 有一个角对应相等的平行四边形都相似
B． 对应边成比例的两个平行四边形相似
C． 有一个角对应相等的两个等腰梯形相似
D． 有一个角对应相等的菱形是相似多边形
3．如果
（其中顶点、、依次与顶点、、对应），那么下列等式中不一定成立的是（ ）
A．
B． ∠B=∠E C．
D．
4．在比例尺为1∶8 000 的某学校地图上，矩形运动场的图上尺寸是1 cm×2 cm，那么矩形运动场的实际尺寸
应为( )
A． 80 m×160 m B． 8 m×16 m C． 800 m×160 m D． 80 m×800 m
5．如图，在平面直角坐标系中，已知点
，
，以原点为位似中心，相似比为，把
缩小，
则点的对应点
的坐标是（ ）
A． (-1, 2) B． (-9, 18) C． (-9, 18)或(9, -18) D． (-1, 2)或(1, -2)
6．如图，点O 是△ABC 内任一点，点D，E，F 分别为OA，OB，OC 的中点，则图中相似三角形有( )
A． 1 对 B． 2 对 C． 3 对 D． 4 对
7．已知：如图，在
中，
，则下列等式成立的是（ ）
A．
B．
C．
D．
8．如图，在平行四边形中，是
上的一点，直线
与
的延长线交于点，
并与
交于点，下列式
子中错误的是（ ）
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A．
B．
C．
D．
9．如图，在
中，是边
上一点，连接
，给出下列条件：①
；②
；③
；④
．其中单独能够判定
的个数是（ ）
A． 1 个 B． 2 个 C． 3 个 D． 4 个
10
．
点
是
线
段
的
黄
金
分
割
点
，
且
，
下
列
命
题
：
，中正确的有（ ）
A． 1 个 B． 2 个 C． 3 个 D． 4 个
[来源:学+科+网]
二、填空题（每小题3 分，共30 分）
11．如图，在△ABC 中，DE∥BC，
2
3
AD
DB
，则DE
BC = ．
12． 如图，直角三角形ABC 中，
90
ACB
，
10
AB
，
6
BC
，在线段AB 上取一点D ，作
AB
DF
交AC 于点F .现将ADF
沿DF 折叠，使点A 落在线段DB 上，对应点 记为H；AD 的中点E 的对应点记
为G. 若GFH
∽GBF
，则AD =______ ____.
13．如图，等边
ABC
△
的边长为3，P 为BC 上一点，且
1
BP
，D 为AC 上一点，若
60
APD
° ，则CD
的长为 .
14．如图，D、E 分别是△ABC 的边AB、BC 上的点，且DE∥AC，AE、CD 相交于点O，
若S△DOE：S△COA=1：25，则S△BDE与S△CDE的比=___________．
15．如图，以点O 为位似中心，将五边形ABCDE 放大后得到五边形A′B′C′D′E′，已知OA=10cm，
OA′=20cm，则五边形ABCDE 的周长与五边形A′B′C′D′E′的周长的比值是 ．
16．把一个矩形剪去一个正方形，若剩下的矩形与原矩形相似，则原矩形的长边与短边之比为
17．如图，菱形ABCD 的边长为1，直线l 过点C，交AB 的延长线于M，交AD 的延长线于N，则
AM
1 +
AN
1 =
．
18．如图，在菱形ABCD 中，E 是BC 边上的点，AE 交BD 于点F，若EC=2BE，则BF
FD
的值是 ．
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19．已知女排赛场球网的高度是2.24 米，某排球运动员在一次扣球时，球恰好擦网而过，落在对方场地距离
球网4 米的位置上，此时该运动员距离球网1.5 米，假设此次排球的运行路线是直线，则该运动员击球的高
度是 米．
4
1.5
2.24
20．如图，在矩形ABCD 中，AB=2，AD=
，在边CD 上有一点E，使EB 平分∠AEC．若P 为BC 边上一点，且
BP=2CP，连接EP 并延长交AB 的延长线于F．给出以下五个结论：
①点B 平分线段AF；②PF=
DE；③∠BEF=∠FEC；④S 矩形ABCD=4S△BPF；⑤△AEB 是正三角形．
其中正确结论的序号是．
三、解答题（共60 分）
21．（本题6 分）如图，在△ABC 中，D 是AB 上一点，且∠ACD=∠B，已知AD=8cm，BD=4cm，求AC 的长．
22．（本题6 分）如图，在边长为1 的小正方形组成的网格中，给出了格点△ABC（顶点是网格线的交点）和格
点O，按要求画出格点△A1B1C1和格点△A2B2C2．
（1）将△ABC 绕O 点顺时针旋转90°，得到△A1B1C1；
（2）以A1为一个顶点，在网格内画格点△A1B2C2，使得△A1B 1C1∽△A1B2C2，且相似比为1：2．
23．（本题6 分）如图，Rt△ABC 中，∠C=90°，AB=14，AC=7，D 是BC 上一点，BD=8，DE⊥AB，垂足为E，求线段DE
的长．
24．（本题8 分）如图，在Rt△ABC 中，∠C=90°，△ACD 沿AD 折叠，使得点C 落在斜边AB 上的点E 处．
（1）求证：△BDE∽△BAC；
（2）已知AC=6，BC=8，求线段AD 的长度．
25．
（本题7 分）为了测量校园水平地面上一棵树的高度，数学兴趣小组利用一根标杆、皮尺，设计如图所示的
测量方案.已知测量同学眼睛A、标杆顶端F、树的顶端E 在同一直线上，此同学眼睛距地面1.6 米，标杆高为
3.2 米，且BC=2 米，CD=6 米，求树ED 的高．
26．（本题8 分）如图，正方形A1A2B1C1，A2A3B2C2，…Anan+1BnCn，如图位置依次摆放，已知点C1，C2，C3…，Cn在直线
y=x 上，点A1的坐标为（1，0）．
（1）写出正方形A1A2B1C1，A2A3B2C2，…Anan+1BnCn，的位似中心坐标；
（2）正方形A4A3B4C4四个顶点的坐标．
27．（本题8 分）如图，在△ABC 中，BE 平分∠ABC 交AC 于点E，过点E 作ED∥BC 交AB 于点D．
（1）求证：AE•BC=BD•A C；
（2）如果S△ADE=3，S△BDE=2，DE=6，求BC 的长．
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28．（本题11 分） (1)、问题：如图1，在四边形ABCD 中，点P 为AB 上一点，∠DPC=∠A=∠B=90°．求证：
AD·BC=AP·BP．
(2)、探究：如图2，在四边形ABCD 中，点P 为AB 上一点，当∠DPC=∠A=∠B=θ 时，上述结论是否依然成立？
说明理由．
(3)、应用：请利用（1）（2）获得的经验解决问题：
如图3，在△ABD 中，AB=6，AD=BD=5．点P 以每秒1 个单位长度的速度，由点A 出发，沿边AB 向点B 运动，且满
足∠DPC=∠A．设点P 的运动时间为t（秒），当DC 的长与△ABD 底边上的高相等时，求t 的值．
（测试时间：120 分钟 满分：120 分）
一、选择题（每小题3 分，共30 分）
1．已知：线段a、b，且
,则下列说法错误的是( )
A． a＝2cm，b＝3cm B． a＝2k，b＝3k(k≠0) C． 3a＝2b D．
【答案】A
【解析】
选项A，两条线段的比，没有长度单位，它与所采用的长度单位无关，选项A 错误；
选项B，
，根据等比性质，a=2k，b=3k（k≠0），选项B 正确；
选项C，
，根据比例的基本性质可得3a=2b，选项C 正确；
选项D，
，根据比例的基本性质可得a= b，选项D 正确．
故选A．
2．下列命题正确的是（ ）
A． 有一个角对应相等的平行四边形都相似
B． 对应边成比例的两个平行四边形相似
C． 有一个角对应相等的两个等腰梯形相似
D． 有一个角对应相等的菱形是相似多边形
【答案】D
3．如果
（其中顶点、、依次与顶点、、对应），那么下列等式中不一定成立的是（ ）
A．
B． ∠B=∠E C．
D．
【答案】C
【解析】
△ABC∽△DEF，故：
A．∠A＝∠D 正确，故本选项错误；
B．∠B=∠E 正确，故本选项错误；
C．AB＝DE 不一定成立，故本选项正确；
D．
正确，故本选项错误．
故选C．
4．在比例尺为1∶8 000 的某学校地图上，矩形运动场的图上尺寸是1 cm×2 cm，那么矩形运动场的实际尺寸
应为( )
A． 80 m×160 m B． 8 m×16 m C． 800 m×160 m D． 80 m×800 m
【答案】A
解得
y=16000（cm）=160（m）
∴矩形运动场的实际尺寸是80m×160m.
故选A.
5．如图，在平面直角坐标系中，已知点
，
，以原点为位似中心，相似比为，把
缩小，
则点的对应点
的坐标是（ ）
A． (-1, 2) B． (-9, 18) C． (-9, 18)或(9, -18) D． (-1, 2)或(1, -2)
【答案】D
6．如图，点O 是△ABC 内任一点，点D，E，F 分别为OA，OB，OC 的中点，则图中相似三角形有( )
A． 1 对 B． 2 对 C． 3 对 D． 4 对
【答案】D
【解析】
因为点D,E,F 分别为OA,OB,OC 的中点,
所以DE 是△AOB 的中位线,DF 是△AOC 的中位线,EF 是△BOC 的中位线,
所以DE//AB,DF//AC,EF//BC,
所以△DOE∽△AOD, △DOF∽△AOC, △EOF∽△BOC,
因为DE 是△AOB 的中位线,DF 是△AOC 的中位线,EF 是△BOC 的中位线,
所以
,
,
所以
，
所以△DEF∽△ABC,
因此有四对相似三角形,
故选D.
7．已知：如图，在
中，
，则下列等式成立的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
8．如图，在平行四边形中，是
上的一点，直线
与
的延长线交于点，
并与
交于点，下列式
子中错误的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】
∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴AB∥CD，AD∥BE，
∵CG∥AE，
∴四边形AGCF 是平行四边形，△BCG∽△BEA，△CEF∽△BEA，
∴
，
，CF=AG，
∴DF=BG，
，
∴选项A、B 正确；
∵AD∥BE，
∴
，
∴
，
∴选项C 正确，D 不正确；
故选D．
9．如图，在
中，是边
上一点，连接
，给出下列条件：①
；②
；③
；④
．其中单独能够判定
的个数是（ ）
A． 1 个 B． 2 个 C． 3 个 D． 4 个
【答案】B
10．点是线段
的黄金分割点，且
，下列命题：
，中正确的有（ ）
A． 1 个 B． 2 个 C． 3 个 D． 4 个
【答案】B
二、填空题（每小题3 分，共30 分）
11．如图，在△ABC 中，DE∥BC，
2
3
AD
DB
，则DE
BC = ．
【答案】2
5
【解析】
根据AD:DB=2:3 可得：AD:AB=2:5，∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴
2
5
DE
AD
BC
AB
=
=
.
12． 如图，直角三角形ABC 中，
90
ACB
，
10
AB
，
6
BC
，在线段AB 上取一点D ，作
AB
DF
交AC 于点F .现将ADF
沿DF 折叠，使点A 落在线段DB 上，对应点 记为H；AD 的中点E 的对应点记
为G. 若GFH
∽GBF
，则AD =______ ____.
【答案】3.2
【解析】
利用勾股定理列式求出AC=8，设AD=2x，得到AE=DE=DE1=A1E1=x，然后求出BE1=10-3x，再利用相似三角形对应
边成比例列式求出DF= 3
2 x ，然后利用勾股定理列式求出E1F= 13
2
x ，然后根据相似三角形对应边成比例列
式求解得到x= 8
5
，从而可得AD 的长为2× 8
5
=16
5
=3.2．
13．如图，等边
ABC
△
的边长为3，P 为BC 上一点，且
1
BP
，D 为AC 上一点，若
60
APD
° ，则CD
的长为 .
【答案】2
3
．
14．如图，D、E 分别是△ABC 的边AB、BC 上的点，且DE∥AC，AE、CD 相交于点O，
若S△DO E：S△COA=1：25，则S△BDE与S△CDE的比=___________．
【答案】1：4
【解析】
根据S△DOE：S△COA=1：25 可得：DE:AC=1:5，则BE：BC=1:4，即BE:CE=1:4，△BDE 和△CDE 是登高三角形，则
S△BDE：S△CDE=BE:EC=1:4.
15．如图，以点O 为位似中心，将五边形ABCDE 放大后得到五边形A′B′C′D′E′，已知OA=10cm，
OA′=20cm，则五边形ABCDE 的周长与五边形A′B′C′D′E′的周长的比值是 ．
【答案】1：2
【解析】
由五边形ABCDE 与五边形A′B′C′D′E′位似，可得五边形ABCDE∽五边形A′B′C′D′E′，又由
OA=10cm，OA′=20cm，即可求得其相似比为1:2，根据相似多边形的周长的比等于其相似比，即可求得答案为
五边形ABCDE 的周长与五边形A′B′C′D′E′的周长的比为：OA：OA′=1：2．
16．把一个矩形剪去一个正方形，若剩下的矩形与原矩形相似，则原矩形的长边与短边之比为
【答案】1
5
2
+
[来源:Z&xx&k.Com]
【解析】
设原矩形的长为x，宽为y，则剩下的矩形的长为y，宽为(x－y)，根据矩形相似可求出比值.
17．如图，菱形ABCD 的边长为1，直线l 过点C，交AB 的延长线于M，交AD 的延长线于N，则
AM
1 +
AN
1 = ．
【答案】1．
18．如图，在菱形ABCD 中，E 是BC 边上的点，AE 交BD 于点F，若EC=2BE，则BF
FD
的值是 ．
【答案】1
3
【解析】
根据菱形的性质得出AD=BC，AD∥BC，求出AD=3BE，根据相似三角形的判定得出△AFD∽△EFB，根据相似得出
比例式BF
BE
DF
AD
，代入求出即可求得结果为1
3
．
19．已知女排赛场球网的高度是2.24 米，某排球运动员在一次扣球时，球恰好擦网而过，落在对方场地距离
球网4 米的位置上，此时该运动员距离球网1.5 米，假设此次排球的运行路线是直线，则该运动员击球的高度
是 米．
4
1.5
2.24
【答案】3.08
【解析】
根据三角形相似的性质可得：
x
24
.2
5.1
4
4
，则x=3.08
20．如图，在矩形ABCD 中，AB=2，AD=
，在边CD 上有一点E，使EB 平分∠AEC．若P 为BC 边上一点，且
BP=2CP，连接EP 并延长交AB 的延长线于F．给出以下五个结论：
①点B 平分线段AF；②PF=
DE；③∠BEF=∠FEC；④S 矩形ABCD=4S△BPF；⑤△AEB 是正三角形．
其中正确结论的序号是．
【答案】①②③⑤
在Rt△BPF 中，BF=2，由勾股定理可求得PF=
2
2
BF
BP
=
2
2 3
4
3
= 4 3
3
，
∵DE=1，∴PF= 4 3
3
DE，故②正确；在Rt△BCE 中，EC=1，BC= 3 ，由勾股定理可求得BE=2，∴BE=BF，
∴∠BEF=∠F，又∵AB∥CD，∴∠FEC=∠F，∴∠BEF=∠FEC，
故③正确；∵AB=2，AD= 3 ，∴S 矩形ABCD=AB×AD=2× 3 =2 3 ，
∵BF=2，BP= 4 3
3
，∴S△BPF= 1
2
BF×BP= 1
2
×2× 4 3
3
= 4 3
3
，
∴4S△BPF=16 3
3
，∴S 矩形ABCD=≠4S△BPF，故④不正确；
由上可知AB=AE=BE=2，∴△AEB 为正三角形，故⑤正确；
综上可知正确的结论为：①②③⑤．[来源:Zxxk.Com]
故答案为：①②③⑤．
三、解答题（共60 分）
21．（本题6 分）如图，在△ABC 中，D 是AB 上一点，且∠ACD=∠B，已知AD=8cm，BD=4cm，求AC 的长．
【答案】4 6
22．（本题6 分）如图，在边长为1 的小正方形组成的网格中，给出了格点△ABC（顶点是网格线的交点）和格
点O，按要求画出格点△A1B1C1和格点△A2B2C2．
（1）将△ABC 绕O 点顺时针旋转90°，得到△A1B1C1；
（2）以A1为一个顶点，在网格内画格点△A1B2C2，使得△A1B1C1∽△A1B2C2，且相似比为1：2．
【答案】（1）图形见解析；（2）图形见解析.
【解析】
（1）如图所示：△A1B1C1，即为所求；
（2）如图所示：△A1B2C2，即为所求．
23．（本题6 分）如图，Rt△ABC 中，∠C=90°，AB=14，AC=7，D 是BC 上一点，BD=8，DE⊥AB，垂足为E，求线段DE
的长．
【答案】4．
【解析】
∵DE⊥AB，∴∠BED=90°，又∠C=90°，∴∠BED=∠C．又∠B=∠B，∴△BED∽△BCA，∴BD
DE
AB
AC
，∴DE=
BD AC
AB
= 8 7
14
=4．
24．（本题8 分）如图，在Rt△ABC 中，∠C=90°，△ACD 沿AD 折叠，使得点C 落在斜边AB 上的点E 处．
（1）求证：△BDE∽△BAC；
（2）已知AC=6，BC=8，求线段AD 的长度．
【答案】(1)证明见解析；(2) AD=3 5
25．
（本题7 分）为了测量校园水平地面上一棵树的高度，数学兴趣小组利用一根标杆、皮尺，设计如图所示的
测量方案.已知测量同学眼睛A、标杆顶端F、树的顶端E 在同一直线上，此同学眼睛距地面1.6 米，标杆高为
3.2 米，且BC=2 米，CD=6 米，求树ED 的高．
【答案】8 米
【解析】
如图，过A 作AH 垂直ED，垂足为H，交线段FC 与G,
由题知，FG//EH, △AFG∽△AEH，FG
AG
EH
AH
又因为AG=BC=2,AH=BD=2+6=8,FG=FC-GC=3.2 -1.6=1.6， 所以1.6
2
8
EH
，EH=6.4，
∴ED=EH+HD=6.4+1.6=8 树ED 的高为8 米
26．（本题8 分）如图，正方形A1A2B1C1，A2A3B2C2，…Anan+1BnCn，如图位置依次摆放，已知点C1，C2，C3…，Cn在直线
y=x 上，点A1的坐标为（1，0）．
（1）写出正方形A1A2B1C1，A2A3B2C2，…Anan+1BnCn，的位似中心坐标；
（2）正方形A4A3B4C4四个顶点的坐标．
【答案】（1）（0，0）；（2）A4（8，0），A5（16，0），B4（16，8），C4（8，8）．
27．（本题8 分）如图，在△ABC 中，BE 平分∠ABC 交AC 于点E，过点E 作ED∥BC 交AB 于点D．[来源:学科网ZXXK]
（1）求证：AE•BC=BD•AC；
（2）如果S△ADE=3，S△BDE=2，DE=6，求BC 的长．
【答案】(1)证明见解析；(2) BC=10.
28．（本题11 分） (1)、问题：如图1，在四边形ABCD 中，点P 为AB 上一点，∠DPC=∠A=∠B=90°．求证：
AD·BC=AP·BP．
(2)、探究：如图2，在四边形ABCD 中，点P 为AB 上一点，当∠DPC=∠A=∠B=θ 时，上述结论是否依然成立？
说明理由．
(3)、应用：请利用（1）（2）获得的经验解决问题：
如图3，在△ABD 中，AB=6，AD=BD=5．点P 以每秒1 个单位长度的速度，由点A 出发，沿边AB 向点B 运动，且满
足∠DPC=∠A．设点P 的运动时间为t（秒），当DC 的长与△ABD 底边上的高相等时，求t 的值．
[来源:学。科。网Z。X。X。K][来源:Zxxk.Com]
【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3) t=1 秒或5 秒.
【解析】
(1)、如图1 ∵∠DPC=∠A=∠B=90°，∴∠ADP+∠APD=90°，
∠BPC+∠APD=90°，∴∠ADP =∠BPC ∴△ADP∽△BPC．∴
即AD·BC=AP·BP．
(2)结论AD·BC=AP·BP 仍成立．
理由：如图2，∵∠BPD=∠DPC+∠BPC，又∵∠BPD=∠A+∠ADP，∴∠DPC+∠BPC =∠A+∠ADP，∵∠DPC
=∠A=θ，∴∠BPC =∠ADP ， 又∵∠A=∠B=θ，∴△ADP∽△BPC，∴
，∴AD·BC=AP·BP．
(3)如图3，过点D 作DE⊥AB 于点E，∵AD=BD=5，AB=6，∴AE=BE=3，由勾股定理得DE=4，
∴DC=DE=4，∴BC=5-4=1，又∵AD=BD，∴∠A=∠B，由已知，∠DPC =∠A，∴∠DPC =∠A=∠B，由（1）、（2）可得：
AD·BC=AP·BP， 又AP=t，BP=6-t，∴t（6-t）=5×1，
解得t1=1，t2=5，∴t 的值为1 秒或5 秒．
