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第15 章 分式
一、解答题
1．某市一项民生改造工程，由甲、乙两工程队合作20 天可完成，若单独完成此项工程，甲工
程对所用天数是乙工程队的2 倍．
（1）甲、乙两工程队单独完成此项工程各需要多少天？
（2）甲工程队单独做a 天后，再由甲、乙两工程队合作______（用含a 的代数式表示）可完成
此项工程．已知甲工程队施工费每天1 万元，乙工程队每天施工费2.5 万元，求甲工程队要单
独施工多少天后，再由甲、乙两工程队合作完成剩下的工程，才能使工程费不超过64 万元．
2．某市修通一条与省会城市相连接的高速铁路，动车走高速铁路线到省会城市路程是500
千米，普通列车走原铁路线路程是560 千米．已知普通列车与动车的速度比是2：5，从该市到
省会城市所用时间动车比普通列车少用4.5 小时，求普通列车、动车的速度．
3．市实验学校为创建书香校园，去年进一批图书．经了解，科普书的单价比文学书的单价多4
元，用1500 元购进的科普书与1000 元购进的文学书本数相等．
（1）求去年购进的文学书和科普书的单价各是多少元？
（2）若今年书和科普书的单价与去年相比保持不变，该校打算用1250 元再购进一批文学书
和科普书，问购进科普书65 本后至多还能购进多少本文学书？
4．列分式方程解应用题：
为绿化环境，某校在3 月12 日组织七、八年级学生植树．在植树过程中，八年级学生比七年
级学生每小时多植10 棵树，八年级学生植120 棵树与七年级学生植100 棵树所用时间相等，
七年级学生和八年级学生每小时分别植多少棵树？
5．某工程开准备招标，指挥部现接到甲乙两个工程队的投标书，从投标书中得知：乙队单独
完成这项工程所需天数是甲队单独完成这项工程所需天数的2 倍；该工程若由甲队先做6 天，
剩下的工程再由甲、乙合作16 天可以完成．求甲、乙两队单独完成这项工程各需多少天．
6．（2014•晋江市）某水果店老板用400 元购进一批葡萄，由于葡萄新鲜，很快售完，老板又用
500 元购进第二批葡萄，所购数量与第一批相同，但每千克比第一批多了2 元．
（1）求：第一批葡萄进价每千克多少元？（请列方程求解）
（2）若水果店老板以每千克11 元的价格将两批葡萄全部售出，可以盈利多少元？
7．为了进一步落实“节能减排”措施，冬季供暖来临前，某单位决定对7200 平方米的“外
墙保温”工程进行招标，现有甲、乙两个工程队参与投标，比较这两个工程队的标书发现：乙
队每天完成的工程量是甲队的1.5 倍，这样乙队单独干比甲队单独干能提前15 天完成任务．
问甲队每天完成多少平方米？
8．某超市用3000 元购进某种干果销售，由于销售状况良好，超市又调拨9000 元资金购进该
种干果，但这次的进价比第一次的进价提高了20%，购进干果数量是第一次的2 倍还多300
千克，如果超市按每千克9 元的价格出售，当大部分干果售出后，余下的600 千克按售价的8
折售完．
（1）该种干果的第一次进价是每千克多少元？
（2）超市销售这种干果共盈利多少元？
9．某文具厂计划加工3000 套画图工具，为了尽快完成任务，实际每天加工画图工具的数量
是原计划的1.2 倍，结果提前4 天完成任务，求该文具厂原计划每天加工这种画图工具的数
量．
10．济宁市“五城同创”活动中，一项绿化工程由甲、乙两工程队承担．已知甲工程队单独完
成这项工作需120 天，甲工程队单独工作30 天后，乙工程队参与合做，两队又共同工作了36
天完成．
（1）求乙工程队单独完成这项工作需要多少天？
（2）因工期的需要，将此项工程分成两部分，甲做其中一部分用了x 天完成，乙做另一部分用
了y 天完成，其中x、y 均为正整数，且x＜46，y＜52，求甲、乙两队各做了多少天？
11．某校为美化校园，计划对面积为1800m2的区域进行绿化，安排甲、乙两个工程队完成．已
知甲队每天能完成绿化的面积是乙队每天能完成绿化的面积的2 倍，并且在独立完成面积为
400m2区域的绿化时，甲队比乙队少用4 天．
（1）求甲、乙两工程队每天能完成绿化的面积分别是多少m2？
（2）若学校每天需付给甲队的绿化费用为0.4 万元，乙队为0.25 万元，要使这次的绿化总费
用不超过8 万元，至少应安排甲队工作多少天？
12．荣庆公司计划从商店购买同一品牌的台灯和手电筒，已知购买一个台灯比购买一个手电
筒多用20 元，若用400 元购买台灯和用160 元购买手电筒，则购买台灯的个数是购买手电筒
个数的一半．
（1）求购买该品牌一个台灯、一个手电筒各需要多少元？
（2）经商谈，商店给予荣庆公司购买一个该品牌台灯赠送一个该品牌手电筒的优惠，如果荣
庆公司需要手电筒的个数是台灯个数的2 倍还多8 个，且该公司购买台灯和手电筒的总费用
不超过670 元，那么荣庆公司最多可购买多少个该品牌台灯？
13．某漆器厂接到制作480 件漆器的订单，为了尽快完成任务，该厂实际每天制作的件数比
原来每天多50%，结果提前10 天完成任务．原来每天制作多少件？
14．学校计划选购甲、乙两种图书作为“校园读书节”的奖品．已知甲图书的单价是乙图书
单价的1.5 倍；用600 元单独购买甲种图书比单独购买乙种图书要少10 本．
（1）甲、乙两种图书的单价分别为多少元？
（2）若学校计划购买这两种图书共40 本，且投入的经费不超过1050 元，要使购买的甲种图
书数量不少于乙种图书的数量，则共有几种购买方案？
15．某汽车销售公司经销某品牌A 款汽车，随着汽车的普及，其价格也在不断下降．今年5 月
份A 款汽车的售价比去年同期每辆降价1 万元，如果卖出相同数量的A 款汽车，去年销售额
为100 万元，今年销售额只有90 万元．
（1）今年5 月份A 款汽车每辆售价多少万元？
（2）为了增加收入，汽车销售公司决定再经销同品牌的B 款汽车，已知A 款汽车每辆进价为
7.5 万元，B 款汽车每辆进价为6 万元，公司预计用不多于105 万元且不少于99 万元的资金
购进这两款汽车共15 辆，有几种进货方案？
（3）如果B 款汽车每辆售价为8 万元，为打开B 款汽车的销路，公司决定每售出一辆B 款汽车，
返还顾客现金a 万元，要使（2）中所有的方案获利相同，a 值应是多少？此时，哪种方案对公
司更有利？
16．甲、乙两座城市的中心火车站A，B 两站相距360km．一列动车与一列特快列车分别从A，B
两站同时出发相向而行，动车的平均速度比特快列车快54km/h，当动车到达B 站时，特快列
车恰好到达距离A 站135km 处的C 站．求动车和特快列车的平均速度各是多少？
17．某商场销售的一款空调机每台的标价是1635 元，在一次促销活动中，按标价的八折销售，
仍可盈利9%．
（1）求这款空调每台的进价（利润率=
=
）．
（2）在这次促销活动中，商场销售了这款空调机100 台，问盈利多少元？
18．从广州到某市，可乘坐普通列车或高铁，已知高铁的行驶路程是400 千米，普通列车的行
驶路程是高铁的行驶路程的1.3 倍．
（1）求普通列车的行驶路程；
（2）若高铁的平均速度（千米/时）是普通列车平均速度（千米/时）的2.5 倍，且乘坐高铁所需
时间比乘坐普通列车所需时间缩短3 小时，求高铁的平均速度．
19．马小虎的家距离学校1800 米，一天马小虎从家去上学，出发10 分钟后，爸爸发现他的数
学课本忘记拿了，立即带上课本去追他，在距离学校200 米的地方追上了他，已知爸爸的速
度是马小虎速度的2 倍，求马小虎的速度．
20．几个小伙伴打算去音乐厅观看演出，他们准备用360 元钱购买门票．下面是两个小伙伴
的对话：
根据对话的内容，请你求出小伙伴们的人数．
21．某服装商预测一种应季衬衫能畅销市场，就用8000 元购进一批衬衫，面市后果然供不应
求，服装商又用17600 元购进了第二批这种衬衫，所购数量是第一批购进数量的2 倍，但单价
贵了8 元．商家销售这种衬衫时每件定价都是100 元，最后剩下10 件按8 折销售，很快售完．
在这两笔生意中，商家共盈利多少元？
22．端午节期间，某食堂根据职工食用习惯，用700 元购进甲、乙两种粽子260 个，其中甲粽
子比乙种粽子少用100 元，已知甲种粽子单价比乙种粽子单价高20%，乙种粽子的单价是多
少元？甲、乙两种粽子各购买了多少个？
23．杨梅是漳州的特色时令水果，杨梅一上市，水果店的老板用1200 元购进一批杨梅，很快
售完；老板又用2500 元购进第二批杨梅，所购件数是第一批的2 倍，但进价比第一批每件多
了5 元．
（1）第一批杨梅每件进价多少元？
（2）老板以每件150 元的价格销售第二批杨梅，售出80%后，为了尽快售完，决定打折促销，
要使第二批杨梅的销售利润不少于320 元，剩余的杨梅每件售价至少打几折？（利润=售价
﹣进价）
24．某校枇杷基地的枇杷成熟了，准备请专业摘果队帮忙摘果，现有甲、乙两支专业摘果队，
若由甲队单独摘果，预计6 天才能完成，为了减少枇杷因气候变化等原因带来的损失，现决
定由甲、乙两队同时摘果，则2 天可以完成，请问：
（1）若单独由乙队摘果，需要几天才能完成？
（2）若有三种摘果方案，方案1：单独请甲队；方案2：同时请甲、乙两队；方案3：单独请乙队．
甲队每摘果一天，需支付给甲队1000 元工资，乙队每摘果一天，须支付给乙队1600 元工资，
你认为用哪种方案完成所有摘果任务需支付给摘果队的总工资最低？最低总工资是多少元？
25．某市区一条主要街道的改造工程有甲、乙两个工程队投标．经测算：若由两个工程队合做，
12 天恰好完成；若两个队合做9 天后，剩下的由甲队单独完成，还需5 天时间，现需从这两个
工程队中选出一个队单独完成，从缩短工期角度考虑，你认为应该选择哪个队？为什么？
26．某“爱心义卖”活动中，购进甲、乙两种文具，甲每个进货价高于乙进货价10 元，90 元买
乙的数量与150 元买甲的数量相同．
（1）求甲、乙进货价；
（2）甲、乙共100 件，将进价提高20%进行销售，进货价少于2080 元，销售额要大于2460 元，
求有几种方案？
27．甲、乙两人准备整理一批新到的图书，甲单独整理需要40 分钟完工；若甲、乙共同整理20
分钟后，乙需再单独整理30 分钟才能完工．问乙单独整理这批图书需要多少分钟完工？
28．国家实施高效节能电器的财政补贴政策，某款空调在政策实施后．每购买一台，客户每购
买一台可获得补贴500 元．若同样用11 万元所购买此款空调，补贴后可购买的台数比补贴前
前多20%，则该款空调补贴前的售价为每台多少元？
29．某校选派一部分学生参加“六盘水市马拉松比赛”，要为每位参赛学生购买一顶帽子．
商场规定：凡一次性购买200 顶或200 顶以上，可按批发价付款；购买200 顶以下只能按零售
价付款．如果为每位参赛学生购买1 顶，那么只能按零售价付款，需用900 元；如果多购买45
顶，那么可以按批发价付款，同样需用900 元．问：
（1）参赛学生人数x 在什么范围内？
（2）若按批发价购买15 顶与按零售价购买12 顶的款相同，那么参赛学生人数x 是多少？
30．为了保护环境，某开发区综合治理指挥部决定购买A，B 两种型号的污水处理设备共10 台．
已知用90 万元购买A 型号的污水处理设备的台数与用75 万元购买B 型号的污水处理设备
的台数相同，每台设备价格及月处理污水量如下表所示：
污水处理设备
A 型
B 型
价格（万元/台）
m
m﹣3
月处理污水量（吨/台）
220
180
（1）求m 的值；
（2）由于受资金限制，指挥部用于购买污水处理设备的资金不超过165 万元，问有多少种购
买方案？并求出每月最多处理污水量的吨数．
第15 章 分式
参考答案与试题解析
一、解答题
1．某市一项民生改造工程，由甲、乙两工程队合作20 天可完成，若单独完成此项工程，甲工
程对所用天数是乙工程队的2 倍．
（1）甲、乙两工程队单独完成此项工程各需要多少天？
（2）甲工程队单独做a 天后，再由甲、乙两工程队合作
天 （用含a 的代数式表示）
可完成此项工程．已知甲工程队施工费每天1 万元，乙工程队每天施工费2.5 万元，求甲工程
队要单独施工多少天后，再由甲、乙两工程队合作完成剩下的工程，才能使工程费不超过64
万元．
【解答】解：（1）设乙工程队单独完成此项工程需要x 天，
由题意得：
+
=
，
解得：x=30，
经检验：x=30 是原分式方程的解，
2x=60．
答：甲、乙两工程队单独完成此项工程各需要60 天，30 天；
（2）甲工程队单独做a 天后，再由甲、乙两工程队合作：（1﹣a×
）÷（
+
）=
（天），
由题意可得：1•a+（1+2.5）•
≤64，
解得：a≥36，
答：甲工程队要单独施工36 天后，再由甲、乙两工程队合作完成剩下的工程，才能使工程费
不超过64 万元．
故答案为：
天．
2．某市修通一条与省会城市相连接的高速铁路，动车走高速铁路线到省会城市路程是500
千米，普通列车走原铁路线路程是560 千米．已知普通列车与动车的速度比是2：5，从该市到
省会城市所用时间动车比普通列车少用4.5 小时，求普通列车、动车的速度．
【解答】解：设普通列车的速度2x 千米/小时，则动车的速度是5x 千米/小时，
由题意有：
解得：x=40，
经检验：x=40 是分式方程的解，
∴2x=80，5x=200．
答：普通列车的速度80 千米/小时，动车的速度是200 千米/小时．
3．市实验学校为创建书香校园，去年进一批图书．经了解，科普书的单价比文学书的单价多4
元，用1500 元购进的科普书与1000 元购进的文学书本数相等．
（1）求去年购进的文学书和科普书的单价各是多少元？
（2）若今年书和科普书的单价与去年相比保持不变，该校打算用1250 元再购进一批文学书
和科普书，问购进科普书65 本后至多还能购进多少本文学书？
【解答】解：（1）设文学书的单价是x 元，则科普书的单价是（x+4）元，
根据题意，得
=
，
解得x=8．
经检验：x=8 是原分式方程的解，
x+4=12．
答：文学书的单价是8 元，则科普书的单价是12 元．
（2）设购进科普书65 本后还能购进y 本文学书，则
12×65+8y≤1250，
解得：y≤58.75，
∵y 为整数，
∴y 最大是58，
答：购进科普书65 本后至多还能购进58 本文学书．
4．（2014•西藏）列分式方程解应用题：
为绿化环境，某校在3 月12 日组织七、八年级学生植树．在植树过程中，八年级学生比七年
级学生每小时多植10 棵树，八年级学生植120 棵树与七年级学生植100 棵树所用时间相等，
七年级学生和八年级学生每小时分别植多少棵树？
【解答】解：设七年级学生每小时植x 棵，则八年级每小时植（x+10）棵，由题意得：
=
，
解得：x=50，
经检验：x=50 是原分式方程的解，
则x+10=50+10=60，
答：七年级学生每小时植50 棵，则八年级每小时植60 棵．
5．某工程开准备招标，指挥部现接到甲乙两个工程队的投标书，从投标书中得知：乙队单独
完成这项工程所需天数是甲队单独完成这项工程所需天数的2 倍；该工程若由甲队先做6 天，
剩下的工程再由甲、乙合作16 天可以完成．求甲、乙两队单独完成这项工程各需多少天．
【解答】解：设甲队单独完成这项工程需x 天，由题意得：
×6+（
+
）×16=1，
解得：x=30，
经检验：x=30 是原分式方程的解，
2x=60，
答：甲队单独完成这项工程需30 天，乙队单独完成这项工程需60 天．
6．某水果店老板用400 元购进一批葡萄，由于葡萄新鲜，很快售完，老板又用500 元购进第
二批葡萄，所购数量与第一批相同，但每千克比第一批多了2 元．
（1）求：第一批葡萄进价每千克多少元？（请列方程求解）
（2）若水果店老板以每千克11 元的价格将两批葡萄全部售出，可以盈利多少元？
【解答】解：（1）设第一批葡萄进价每千克x 元，则第二批葡萄的进价为（x+2）元，依题意得，
，
解得：x=8，
经检验，x=8 是原方程的解，且符合题意．
答：第一批葡萄进价每千克8 元．
（2）由题意，得
第一批的数量为：
，
50×2×11﹣（400+500）=200
答：可盈利200 元．
7．为了进一步落实“节能减排”措施，冬季供暖来临前，某单位决定对7200 平方米的“外
墙保温”工程进行招标，现有甲、乙两个工程队参与投标，比较这两个工程队的标书发现：乙
队每天完成的工程量是甲队的1.5 倍，这样乙队单独干比甲队单独干能提前15 天完成任务．
问甲队每天完成多少平方米？
【解答】解：设甲队每天完成x 米2，乙队每天完成1.5 x 米2，根据题意得．
﹣
=15，
解得x=160，
经检验，x=160，是所列方程的解．
答：甲队每天完成160 米2．
8．某超市用3000 元购进某种干果销售，由于销售状况良好，超市又调拨9000 元资金购进该
种干果，但这次的进价比第一次的进价提高了20%，购进干果数量是第一次的2 倍还多300
千克，如果超市按每千克9 元的价格出售，当大部分干果售出后，余下的600 千克按售价的8
折售完．
（1）该种干果的第一次进价是每千克多少元？
（2）超市销售这种干果共盈利多少元？
【解答】解：（1）设该种干果的第一次进价是每千克x 元，则第二次进价是每千克（1+20%）x 元，
由题意，得
=2×
+300，
解得x=5，
经检验x=5 是方程的解．
答：该种干果的第一次进价是每千克5 元；
（2）[
+
﹣600]×9+600×9×80%﹣（3000+9000）
=（600+1500﹣600）×9+4320﹣12000
=1500×9+4320﹣12000
=13500+4320﹣12000
=5820（元）．
答：超市销售这种干果共盈利5820 元．
9．某文具厂计划加工3000 套画图工具，为了尽快完成任务，实际每天加工画图工具的数量
是原计划的1.2 倍，结果提前4 天完成任务，求该文具厂原计划每天加工这种画图工具的数
量．
【解答】解：设文具厂原计划每天加工x 套这种画图工具．
根据题意，得
﹣
=4．
解得 x=125．
经检验，x=125 是原方程的解，且符合题意．
答：文具厂原计划每天加工125 套这种画图工具．
10．济宁市“五城同创”活动中，一项绿化工程由甲、乙两工程队承担．已知甲工程队单独完
成这项工作需120 天，甲工程队单独工作30 天后，乙工程队参与合做，两队又共同工作了36
天完成．
（1）求乙工程队单独完成这项工作需要多少天？
（2）因工期的需要，将此项工程分成两部分，甲做其中一部分用了x 天完成，乙做另一部分用
了y 天完成，其中x、y 均为正整数，且x＜46，y＜52，求甲、乙两队各做了多少天？
【解答】解：（1）设乙工程队单独完成这项工作需要a 天，由题意得
+36（
）=1，
解之得a=80，
经检验a=80 是原方程的解．
答：乙工程队单独做需要80 天完成；
（2）∵甲队做其中一部分用了x 天，乙队做另一部分用了y 天，
∴
=1
即y=80﹣
x，
又∵x＜46，y＜52，
∴
，
解得42＜x＜46，
∵x、y 均为正整数，
∴x=45，y=50，
答：甲队做了45 天，乙队做了50 天．
11．某校为美化校园，计划对面积为1800m2的区域进行绿化，安排甲、乙两个工程队完成．已
知甲队每天能完成绿化的面积是乙队每天能完成绿化的面积的2 倍，并且在独立完成面积为
400m2区域的绿化时，甲队比乙队少用4 天．
（1）求甲、乙两工程队每天能完成绿化的面积分别是多少m2？
（2）若学校每天需付给甲队的绿化费用为0.4 万元，乙队为0.25 万元，要使这次的绿化总费
用不超过8 万元，至少应安排甲队工作多少天？
【解答】解：（1）设乙工程队每天能完成绿化的面积是x（m2），根据题意得：
﹣
=4，
解得：x=50，
经检验x=50 是原方程的解，
则甲工程队每天能完成绿化的面积是50×2=100（m2），
答：甲、乙两工程队每天能完成绿化的面积分别是100m2、50m2；
（2）设应安排甲队工作y 天，根据题意得：
0.4y+
×0.25≤8，
解得：y≥10，
答：至少应安排甲队工作10 天．
12．荣庆公司计划从商店购买同一品牌的台灯和手电筒，已知购买一个台灯比购买一个手电
筒多用20 元，若用400 元购买台灯和用160 元购买手电筒，则购买台灯的个数是购买手电筒
个数的一半．
（1）求购买该品牌一个台灯、一个手电筒各需要多少元？
（2）经商谈，商店给予荣庆公司购买一个该品牌台灯赠送一个该品牌手电筒的优惠，如果荣
庆公司需要手电筒的个数是台灯个数的2 倍还多8 个，且该公司购买台灯和手电筒的总费用
不超过670 元，那么荣庆公司最多可购买多少个该品牌台灯？
【解答】解：（1）设购买该品牌一个手电筒需要x 元，则购买一个台灯需要（x+20）元．
根据题意 得
=
×
解得 x=5
经检验，x=5 是原方程的解．
所以 x+20=25．
答：购买一个台灯需要25 元，购买一个手电筒需要5 元；
（2）设公司购买台灯的个数为a，则还需要购买手电筒的个数是（2a+8﹣a）
由题意得 25a+5（2a+8﹣a）≤670
解得 a≤21
∴荣庆公司最多可购买21 个该品牌的台灯．
13．某漆器厂接到制作480 件漆器的订单，为了尽快完成任务，该厂实际每天制作的件数比
原来每天多50%，结果提前10 天完成任务．原来每天制作多少件？
【解答】解：设原来每天制作x 件，根据题意得：
﹣
=10，
解得：x=16，
经检验x=16 是原方程的解，
答：原来每天制作16 件．
14．学校计划选购甲、乙两种图书作为“校园读书节”的奖品．已知甲图书的单价是乙图书
单价的1.5 倍；用600 元单独购买甲种图书比单独购买乙种图书要少10 本．
（1）甲、乙两种图书的单价分别为多少元？
（2）若学校计划购买这两种图书共40 本，且投入的经费不超过1050 元，要使购买的甲种图
书数量不少于乙种图书的数量，则共有几种购买方案？
【解答】解：（1）设乙种图书的单价为x 元，则甲种图书的单价为1.5x 元，由题意得
﹣
=10
解得：x=20
则1.5x=30，
经检验得出：x=20 是原方程的根，
答：甲种图书的单价为30 元，乙种图书的单价为20 元；
（2）设购进甲种图书a 本，则购进乙种图书（40﹣a）本，根据题意得
解得：20≤a≤25，
所以a=20、21、22、23、24、25，则40﹣a=20、19、18、17、16、15
∴共有6 种方案．
15．某汽车销售公司经销某品牌A 款汽车，随着汽车的普及，其价格也在不断下降．今年5 月
份A 款汽车的售价比去年同期每辆降价1 万元，如果卖出相同数量的A 款汽车，去年销售额
为100 万元，今年销售额只有90 万元．
（1）今年5 月份A 款汽车每辆售价多少万元？
（2）为了增加收入，汽车销售公司决定再经销同品牌的B 款汽车，已知A 款汽车每辆进价为
7.5 万元，B 款汽车每辆进价为6 万元，公司预计用不多于105 万元且不少于99 万元的资金
购进这两款汽车共15 辆，有几种进货方案？
（3）如果B 款汽车每辆售价为8 万元，为打开B 款汽车的销路，公司决定每售出一辆B 款汽车，
返还顾客现金a 万元，要使（2）中所有的方案获利相同，a 值应是多少？此时，哪种方案对公
司更有利？
【解答】解：（1）设今年5 月份A 款汽车每辆售价m 万元．则：
，
解得：m=9．
经检验，m=9 是原方程的根且符合题意．
答：今年5 月份A 款汽车每辆售价9 万元；
（2）设购进A 款汽车x 辆．则：
99≤7.5x+6（15﹣x）≤105．
解得：6≤x≤10．
∵x 的正整数解为6，7，8，9，10，
∴共有5 种进货方案；
（3）设总获利为W 万元，购进A 款汽车x 辆，则：
W=（9﹣7.5）x+（8﹣6﹣a）（15﹣x）=（a﹣0.5）x+30﹣15a．
当a=0.5 时，（2）中所有方案获利相同．
此时，购买A 款汽车6 辆，B 款汽车9 辆时对公司更有利．
16．甲、乙两座城市的中心火车站A，B 两站相距360km．一列动车与一列特快列车分别从A，B
两站同时出发相向而行，动车的平均速度比特快列车快54km/h，当动车到达B 站时，特快列
车恰好到达距离A 站135km 处的C 站．求动车和特快列车的平均速度各是多少？
【解答】解：设特快列车的平均速度为xkm/h，则动车的速度为（x+54）km/h，
由题意，得：
=
，
解得：x=90，
经检验得：x=90 是这个分式方程的解．
x+54=144．
答：特快列车的平均速度为90km/h，动车的速度为144km/h．
17．某商场销售的一款空调机每台的标价是1635 元，在一次促销活动中，按标价的八折销售，
仍可盈利9%．
（1）求这款空调每台的进价（利润率=
=
）．
（2）在这次促销活动中，商场销售了这款空调机100 台，问盈利多少元？
【解答】解：（1）设这款空调每台的进价为x 元，根据题意得：
=9%，
解得：x=1200，
经检验：x=1200 是原方程的解．
答：这款空调每台的进价为1200 元；
（2）商场销售这款空调机100 台的盈利为：100×1200×9%=10800 元．
18．从广州到某市，可乘坐普通列车或高铁，已知高铁的行驶路程是400 千米，普通列车的行
驶路程是高铁的行驶路程的1.3 倍．
（1）求普通列车的行驶路程；
（2）若高铁的平均速度（千米/时）是普通列车平均速度（千米/时）的2.5 倍，且乘坐高铁所需
时间比乘坐普通列车所需时间缩短3 小时，求高铁的平均速度．
【解答】解：（1）根据题意得：
400×1.3=520（千米），
答：普通列车的行驶路程是520 千米；
（2）设普通列车平均速度是x 千米/时，则高铁平均速度是2.5x 千米/时，根据题意得：
﹣
=3，
解得：x=120，
经检验x=120 是原方程的解，
则高铁的平均速度是120×2.5=300（千米/时），
答：高铁的平均速度是300 千米/时．
19．马小虎的家距离学校1800 米，一天马小虎从家去上学，出发10 分钟后，爸爸发现他的数
学课本忘记拿了，立即带上课本去追他，在距离学校200 米的地方追上了他，已知爸爸的速
度是马小虎速度的2 倍，求马小虎的速度．
【解答】解：设马小虎的速度为x 米/分，则爸爸的速度是2x 米/分，依题意得
=
+10，
解得 x=80．
经检验，x=80 是原方程的根．
答：马小虎的速度是80 米/分．
20．几个小伙伴打算去音乐厅观看演出，他们准备用360 元钱购买门票．下面是两个小伙伴
的对话：
根据对话的内容，请你求出小伙伴们的人数．
【解答】解：设票价为x 元，
由题意得，
=
+2，
解得：x=60，
经检验，x=60 是原分式方程的解．
则小伙伴的人数为：
=8．
答：小伙伴们的人数为8 人．
21．某服装商预测一种应季衬衫能畅销市场，就用8000 元购进一批衬衫，面市后果然供不应
求，服装商又用17600 元购进了第二批这种衬衫，所购数量是第一批购进数量的2 倍，但单价
贵了8 元．商家销售这种衬衫时每件定价都是100 元，最后剩下10 件按8 折销售，很快售完．
在这两笔生意中，商家共盈利多少元？
【解答】解：设第一批进货的单价为x 元，则第二批进货的单价为（x+8）元，
由题意得，
×2=
，
解得：x=80，
经检验；x=80 是原分式方程的解，且符合题意，
则第一次进货100 件，
第二次进货的单价为88 元，第二次进货200 件，
总盈利为：（100﹣80）×100+（100﹣88）×（200﹣10）+10×（100×0.8﹣88）=4200（元）．
答：在这两笔生意中，商家共盈利4200 元．
22．端午节期间，某食堂根据职工食用习惯，用700 元购进甲、乙两种粽子260 个，其中甲粽
子比乙种粽子少用100 元，已知甲种粽子单价比乙种粽子单价高20%，乙种粽子的单价是多
少元？甲、乙两种粽子各购买了多少个？
【解答】解：设乙种粽子的单价是x 元，则甲种粽子的单价为（1+20%）x 元，
由题意得，
+
=260，
解得：x=2.5，
经检验：x=2.5 是原分式方程的解，
（1+20%）x=3，
则买甲粽子为：
=100 个，
乙粽子为：
=160 个．
答：乙种粽子的单价是2.5 元，甲、乙两种粽子各购买100 个、160 个．
23．（2014•漳州）杨梅是漳州的特色时令水果，杨梅一上市，水果店的老板用1200 元购进一
批杨梅，很快售完；老板又用2500 元购进第二批杨梅，所购件数是第一批的2 倍，但进价比
第一批每件多了5 元．
（1）第一批杨梅每件进价多少元？
（2）老板以每件150 元的价格销售第二批杨梅，售出80%后，为了尽快售完，决定打折促销，
要使第二批杨梅的销售利润不少于320 元，剩余的杨梅每件售价至少打几折？（利润=售价
﹣进价）
【解答】解：（1）设第一批杨梅每件进价x 元，则
×2=
，
解得 x=120．
经检验，x=120 是原方程的根．
答：第一批杨梅每件进价为120 元；
（2）设剩余的杨梅每件售价打y 折．
则：
×150×80%+
×150×（1﹣80%）×0.1y﹣2500≥320，
解得 y≥7．
答：剩余的杨梅每件售价至少打7 折．
24．某校枇杷基地的枇杷成熟了，准备请专业摘果队帮忙摘果，现有甲、乙两支专业摘果队，
若由甲队单独摘果，预计6 天才能完成，为了减少枇杷因气候变化等原因带来的损失，现决
定由甲、乙两队同时摘果，则2 天可以完成，请问：
（1）若单独由乙队摘果，需要几天才能完成？
（2）若有三种摘果方案，方案1：单独请甲队；方案2：同时请甲、乙两队；方案3：单独请乙队．
甲队每摘果一天，需支付给甲队1000 元工资，乙队每摘果一天，须支付给乙队1600 元工资，
你认为用哪种方案完成所有摘果任务需支付给摘果队的总工资最低？最低总工资是多少元？
【解答】解：（1）设单独由乙队摘果，需要x 天才能完成，
根据题意得：2（
+
）=1，
解得：x=3，
经检验x=3 是分式方程的解，且符合题意，
则单独由乙队完成需要3 天才能完成；
（2）方案1：总工资为6000 元；
方案2：总工资为5200 元；
方案3：总工资为4800 元，
则方案3 总工资最低，最低总工资为4800 元．
25．某市区一条主要街道的改造工程有甲、乙两个工程队投标．经测算：若由两个工程队合做，
12 天恰好完成；若两个队合做9 天后，剩下的由甲队单独完成，还需5 天时间，现需从这两个
工程队中选出一个队单独完成，从缩短工期角度考虑，你认为应该选择哪个队？为什么？
【解答】解：设甲队单独完成工程需x 天，
由题意，得：
×9+
×5=1，
解得：x=20，
经检验得：x=20 是方程的解，
∵
﹣
=
，
∴乙单独完成工程需30 天，
∵20＜30，
∴从缩短工期角度考虑，应该选择甲队．
26．某“爱心义卖”活动中，购进甲、乙两种文具，甲每个进货价高于乙进货价10 元，90 元买
乙的数量与150 元买甲的数量相同．
（1）求甲、乙进货价；
（2）甲、乙共100 件，将进价提高20%进行销售，进货价少于2080 元，销售额要大于2460 元，
求有几种方案？
【解答】解：（1）设乙进货价x 元，则甲进货价为（x+10）元，由题意得
=
解得x=15，
经检验x=15 是原方程的根，
则x+10=25，
答：甲进货价为25 元，乙进货价15 元．
（2）设进甲种文具m 件，则乙种文具（100﹣m）件，由题意得
解得55＜m＜58
所以m=56，57
则100﹣m=44，43．
有两种方案：进甲种文具56 件，则乙种文具44 件；或进甲种文具57 件，则乙种文具43 件．
27．甲、乙两人准备整理一批新到的图书，甲单独整理需要40 分钟完工；若甲、乙共同整理20
分钟后，乙需再单独整理30 分钟才能完工．问乙单独整理这批图书需要多少分钟完工？
【解答】解：设乙单独整理x 分钟完工，根据题意得：
=1，
解得x=100，
经检验x=100 是原分式方程的解．
答：乙单独整理100 分钟完工．
28．国家实施高效节能电器的财政补贴政策，某款空调在政策实施后．每购买一台，客户每购
买一台可获得补贴500 元．若同样用11 万元所购买此款空调，补贴后可购买的台数比补贴前
前多20%，则该款空调补贴前的售价为每台多少元？
【解答】解：设该款空调补贴前的售价为每台x 元，
由题意，得：
×（1+20%）=
，
解得：x=3000．
经检验得：x=3000 是原方程的根．
答：该款空调补贴前的售价为每台3000 元．
29．某校选派一部分学生参加“六盘水市马拉松比赛”，要为每位参赛学生购买一顶帽子．
商场规定：凡一次性购买200 顶或200 顶以上，可按批发价付款；购买200 顶以下只能按零售
价付款．如果为每位参赛学生购买1 顶，那么只能按零售价付款，需用900 元；如果多购买45
顶，那么可以按批发价付款，同样需用900 元．问：
（1）参赛学生人数x 在什么范围内？
（2）若按批发价购买15 顶与按零售价购买12 顶的款相同，那么参赛学生人数x 是多少？
【解答】解：（1）设参赛学生人数有x 人，
由题意得，x＜200 且x+45≥200，
解得：155≤x＜200；
答：参赛学生人数在155≤x＜200 范围内；
（2）根据题意得：
×12=
×15，
解得：x=180，
经检验x=180 是原方程的解．
答：参赛学生人数是180 人．
30．为了保护环境，某开发区综合治理指挥部决定购买A，B 两种型号的污水处理设备共10 台．
已知用90 万元购买A 型号的污水处理设备的台数与用75 万元购买B 型号的污水处理设备
的台数相同，每台设备价格及月处理污水量如下表所示：
污水处理设备
A 型
B 型
价格（万元/台）
m
m﹣3
月处理污水量（吨/台）
220
180
（1）求m 的值；
（2）由于受资金限制，指挥部用于购买污水处理设备的资金不超过165 万元，问有多少种购
买方案？并求出每月最多处理污水量的吨数．
【解答】解：（1）由90 万元购买A 型号的污水处理设备的台数与用75 万元购买B 型号的污水
处理设备的台数相同，
即可得：
，
解得m=18，
经检验m=18 是原方程的解，即m=18；
（2）设买A 型污水处理设备x 台，则B 型（10﹣x）台，
根据题意得：18x+15（10﹣x）≤165，
解得x≤5，由于x 是整数，则有6 种方案，
当x=0 时，10﹣x=10，月处理污水量为1800 吨，
当x=1 时，10﹣x=9，月处理污水量为220+180×9=1840 吨，
当x=2 时，10﹣x=8，月处理污水量为220×2+180×8=1880 吨，
当x=3 时，10﹣x=7，月处理污水量为220×3+180×7=1920 吨，
当x=4 时，10﹣x=6，月处理污水量为220×4+180×6=1960 吨，
当x=5 时，10﹣x=5，月处理污水量为220×5+180×5=2000 吨，
答：有6 种购买方案，每月最多处理污水量的吨数为2000 吨．
