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第12 章 全等三角形
一、选择题
1．如图，在△ABC 中，∠ABC=45°，AC=8cm，F 是高AD 和BE 的交点，则BF 的长是（ ）
A．4cm
B．6cm
C．8cm
D．9cm
2．如图，将正方形OABC 放在平面直角坐标系中，O 是原点，A 的坐标为（1，
），则点C 的坐
标为（ ）
A．
（﹣
，1）B．
（﹣1，
）C．（
，1）D．（﹣
，﹣1）
3．在连接A 地与B 地的线段上有四个不同的点D、G、K、Q，下列四幅图中的实线分别表示某人
从A 地到B 地的不同行进路线（箭头表示行进的方向），则路程最长的行进路线图是（ ）
A．
B．
C．
D．
4．如图，坐标平面上，△ABC 与△DEF 全等，其中A、B、C 的对应顶点分别为D、E、F，且
AB=BC=5．若A 点的坐标为（﹣3，1），B、C 两点在方程式y=﹣3 的图形上，D、E 两点在y 轴上，
则F 点到y 轴的距离为何？（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
5．平面上有△ACD 与△BCE，其中AD 与BE 相交于P 点，如图．若AC=BC，AD=BE，CD=CE，
∠ACE=55°，∠BCD=155°，则∠BPD 的度数为（ ）
A．110° B．125° C．130° D．155°
6．如图，在△ABC 和△BDE 中，点C 在边BD 上，边AC 交边BE 于点F．若AC=BD，AB=ED，BC=BE，
则∠ACB 等于（ ）
A．∠EDB B．∠BED C．
∠AFB
D．2∠ABF
7．如图，AB=4，射线BM 和AB 互相垂直，点D 是AB 上的一个动点，点E 在射线BM 上，BE=
DB，
作EF⊥DE 并截取EF=DE，连结AF 并延长交射线BM 于点C．设BE=x，BC=y，则y 关于x 的函数
解析式是（ ）
A．y=﹣
B．y=﹣
C．y=﹣
D．y=﹣
8．如图，在四边形ABCD 中，AB=AD=6，AB⊥BC，AD⊥CD，∠BAD=60°，点M、N 分别在AB、AD 边上，
若AM：MB=AN：ND=1：2，则tan∠MCN=（ ）
A．
B．
C．
D．
﹣2
9．如图，点E 在正方形ABCD 的对角线AC 上，且EC=2AE，直角三角形FEG 的两直角边EF、EG
分别交BC、DC 于点M、N．若正方形ABCD 的边长为a，则重叠部分四边形EMCN 的面积为
（ ）
A．
a2 B．
a2 C．
a2 D．
a2
二、解答题（共21 小题）
10．如图，已知AB∥DE，AB=DE，AF=CD，∠CEF=90°．
（1）若∠ECF=30°，CF=8，求CE 的长；
（2）求证：△ABF≌△DEC；
（3）求证：四边形BCEF 是矩形．
11．已知△ABC 为等边三角形，D 为AB 边所在的直线上的动点，连接DC，以DC 为边在DC 两侧
作等边△DCE 和等边△DCF（点E 在DC 的右侧或上侧，点F 在DC 左侧或下侧），连接AE、BF
（1）如图1，若点D 在AB 边上，请你通过观察，测量，猜想线段AE、BF 和AB 有怎样的数量关系？
并证明你的结论；
（2）如图2，若点D 在AB 的延长线上，其他条件不变，线段AE、BF 和AB 有怎样的数量关系？
请直接写出结论（不需要证明）；
（3）若点D 在AB 的反向延长线上，其他条件不变，请在图3 中画出图形，探究线段AE、BF 和
AB 有怎样的数量关系，并直接写出结论（不需要证明）
12．如图，△ABC 与△DCB 中，AC 与BD 交于点E，且∠A=∠D，AB=DC．
（1）求证：△ABE≌DCE；
（2）当∠AEB=50°，求∠EBC 的度数？
13．如图，在△ABC 中，∠C=90°，AD 平分∠CAB，交CB 于点D，过点D 作DE⊥AB 于点E．
（1）求证：△ACD≌△AED；
（2）若∠B=30°，CD=1，求BD 的长．
14．如图，点D，E 在△ABC 的边BC 上，AB=AC，BD=CE．求证：AD=AE．
15．已知：如图，AD，BC 相交于点O，OA=OD，AB∥CD．
求证：AB=CD．
16．如图，把一个直角三角形ACB（∠ACB=90°）绕着顶点B 顺时针旋转60°，使得点C 旋转
到AB 边上的一点D，点A 旋转到点E 的位置．F，G 分别是BD，BE 上的点，BF=BG，延长CF 与DG
交于点H．
（1）求证：CF=DG；
（2）求出∠FHG 的度数．
17．如图，点B、F、C、E 在一条直线上，FB=CE，AB∥ED，AC∥FD，求证：AC=DF．
18．如图，△ABC 和△ADE 都是等腰三角形，且∠BAC=90°，∠DAE=90°，B，C，D 在同一条直线
上．求证：BD=CE．
19．如图，已知点B、E、C、F 在同一条直线上，BE=CF，AB∥DE，∠A=∠D．求证：AB=DE．
20．已知△ABC 为等腰直角三角形，∠ACB=90°，点P 在BC 边上（P 不与B、C 重合）或点P 在
△ABC 内部，连接CP、BP，将CP 绕点C 逆时针旋转90°，得到线段CE；将BP 绕点B 顺时针旋
转90°，得到线段BD，连接ED 交AB 于点O．
（1）如图a，当点P 在BC 边上时，求证：OA=OB；
（2）如图b，当点P 在△ABC 内部时，
①OA=OB 是否成立？请说明理由；
②直接写出∠BPC 为多少度时，AB=DE．
21．
（1）如图1，在△ABC 和△DCE 中，AB∥DC，AB=DC，BC=CE，且点B，C，E 在一条直线上．求证：
∠A=∠D．
（2）如图2，在矩形ABCD 中，对角线AC，BD 相交于点O，AB=4，∠AOD=120°，求AC 的长．
22．（1）如图，AB 平分∠CAD，AC=AD，求证：BC=BD；
（2）列方程解应用题
把一些图书分给某班学生阅读，如果每人分3 本，则剩余20 本；如果每人分4 本，则还缺25
本，这个班有多少学生？
23．已知：如图，D 是AC 上一点，AB=DA，DE∥AB，∠B=∠DAE．求证：BC=AE．
24．【问题提出】
学习了三角形全等的判定方法（即“SAS”、“ASA”、“AAS”、“SSS”）和直角三角形全等
的判定方法（即“HL”）后，我们继续对“两个三角形满足两边和其中一边的对角对应相
等”的情形进行研究．
【初步思考】
我们不妨将问题用符号语言表示为：在△ABC 和△DEF 中，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，然后，对
∠B 进行分类，可分为“∠B 是直角、钝角、锐角”三种情况进行探究．
【深入探究】
第一种情况：当∠B 是直角时，△ABC≌△DEF．
（1）如图①，在△ABC 和△DEF，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E=90°，根据______，可以知道
Rt△ABC≌Rt△DEF．
第二种情况：当∠B 是钝角时，△ABC≌△DEF．
（2）如图②，在△ABC 和△DEF，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，且∠B、∠E 都是钝角，求证：
△ABC≌△DEF．
第三种情况：当∠B 是锐角时，△ABC 和△DEF 不一定全等．
（3）在△ABC 和△DEF，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，且∠B、∠E 都是锐角，请你用尺规在图③中作
出△DEF，使△DEF 和△ABC 不全等．（不写作法，保留作图痕迹）
（4）∠B 还要满足什么条件，就可以使△ABC≌△DEF？请直接写出结论：在△ABC 和△DEF 中，
AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，且∠B、∠E 都是锐角，若______，则△ABC≌△DEF．
25．问题背景：
如图1：在四边形ABCD 中，AB=AD，∠BAD=120°，∠B=∠ADC=90°．E，F 分别是BC，CD 上的点．
且∠EAF=60°．探究图中线段BE，EF，FD 之间的数量关系．
小王同学探究此问题的方法是，延长FD 到点G．使DG=BE．连结AG，先证明△ABE≌△ADG，再
证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是______；
探索延伸：
如图2，若在四边形ABCD 中，AB=AD，∠B+∠D=180°．E，F 分别是BC，CD 上的点，且∠EAF=
∠BAD，上述结论是否仍然成立，并说明理由；
实际应用：
如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O 处）北偏西30°的A 处，舰艇乙在指挥中心
南偏东70°的B 处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方
向以60 海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东50°的方向以80 海里/小时的速度前
进.1.5 小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E，F 处，且两舰艇之间的夹角为
70°，试求此时两舰艇之间的距离．
26．如图，在四边形ABCD 中，AB=AD，CB=CD，AC 与BD 相交于O 点，OC=OA，若E 是CD 上任意一
点，连接BE 交AC 于点F，连接DF．
（1）证明：△CBF≌△CDF；
（2）若AC=2
，BD=2，求四边形ABCD 的周长；
（3）请你添加一个条件，使得∠EFD=∠BAD，并予以证明．
27．如图，已知四边形ABCD 是平行四边形，点E、B、D、F 在同一直线上，且BE=DF．求证：
AE=CF．
28．（1）如图1，正方形ABCD 中，点E，F 分别在边BC，CD 上，∠EAF=45°，延长CD 到点G，使
DG=BE，连结EF，AG．求证：EF=FG．
（2）如图，等腰直角三角形ABC 中，∠BAC=90°，AB=AC，点M，N 在边BC 上，且∠MAN=45°，若
BM=1，CN=3，求MN 的长．
29．如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，AC=BC，E 为AC 边的中点，过点A 作AD⊥AB 交BE 的延长线
于点D，CG 平分∠ACB 交BD 于点G，F 为AB 边上一点，连接CF，且∠ACF=∠CBG．求证：
（1）AF=CG；
（2）CF=2DE．
30．如图，在△ABC 和△ADE 中，AB=AC，AD=AE，∠BAC+∠EAD=180°，△ABC 不动，△ADE 绕点A
旋转，连接BE、CD，F 为BE 的中点，连接AF．
（1）如图①，当∠BAE=90°时，求证：CD=2AF；
（2）当∠BAE≠90°时，（1）的结论是否成立？请结合图②说明理由．
第12 章 全等三角形
参考答案
一、选择题（共9 小题）
1．如图，在△ABC 中，∠ABC=45°，AC=8cm，F 是高AD 和BE 的交点，则BF 的长是（ ）
A．4cm
B．6cm
C．8cm
D．9cm
【解答】解：∵F 是高AD 和BE 的交点，
∴∠ADC=∠ADB=∠AEF=90°，
∴∠CAD+∠AFE=90°，∠DBF+∠BFD=90°，
∵∠AFE=∠BFD，
∴∠CAD=∠FBD，
∵∠ADB=90°，∠ABC=45°，
∴∠BAD=45°=∠ABD，
∴AD=BD，
在△DBF 和△DAC 中
∴△DBF≌△DAC（ASA），
∴BF=AC=8cm，
故选C．
2．如图，将正方形OABC 放在平面直角坐标系中，O 是原点，A 的坐标为（1，
），则点C 的坐
标为（ ）
A．
（﹣
，1）B．
（﹣1，
）C．（
，1）D．（﹣
，﹣1）
【解答】解：如图，过点A 作AD⊥x 轴于D，过点C 作CE⊥x 轴于E，
∵四边形OABC 是正方形，
∴OA=OC，∠AOC=90°，
∴∠COE+∠AOD=90°，
又∵∠OAD+∠AOD=90°，
∴∠OAD=∠COE，
在△AOD 和△OCE 中，
，
∴△AOD≌△OCE（AAS），
∴OE=AD=
，CE=OD=1，
∵点C 在第二象限，
∴点C 的坐标为（﹣
，1）．
故选：A．
3．（2014•湖州）在连接A 地与B 地的线段上有四个不同的点D、G、K、Q，下列四幅图中的实线
分别表示某人从A 地到B 地的不同行进路线（箭头表示行进的方向），则路程最长的行进路线
图是（ ）
A．
B．
C．
D．
【解答】
解：A、延长AC、BE 交于S，
∵∠CAB=∠EDB=45°，
∴AS∥ED，则SC∥DE．
同理SE∥CD，
∴四边形SCDE 是平行四边形，
∴SE=CD，DE=CS，
即走的路线长是：AC+CD+DE+EB=AC+CS+SE+EB=AS+BS；
B、延长AF、BH 交于S1，作FK∥GH 与BH 的延长线交于点K，
∵∠SAB=∠S1AB=45°，∠SBA=∠S1BA=70°，AB=AB，
∴△SAB≌△S1AB，
∴AS=AS1，BS=BS1，
∵∠FGH=180°﹣70°﹣43°=67°=∠GHB，
∴FG∥KH，
∵FK∥GH，
∴四边形FGHK 是平行四边形，
∴FK=GH，FG=KH，
∴AF+FG+GH+HB=AF+FK+KH+HB，
∵FS1+S1K＞FK，
∴AS+BS＞AF+FK+KH+HB，
即AC+CD+DE+EB＞AF+FG+GH+HB，
C、D、同理可证得AI+IK+KM+MB＜AS2+BS2＜AN+NQ+QP+PB．
综上所述，D 选项的所走的线路最长．
故选：D．
4．如图，坐标平面上，△ABC 与△DEF 全等，其中A、B、C 的对应顶点分别为D、E、F，且
AB=BC=5．若A 点的坐标为（﹣3，1），B、C 两点在方程式y=﹣3 的图形上，D、E 两点在y 轴上，
则F 点到y 轴的距离为何？（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【解答】解：如图，作AH、CK、FP 分别垂直BC、AB、DE 于H、K、P．
∴∠DPF=∠AKC=∠CHA=90°．
∵AB=BC，
∴∠BAC=∠BCA．
在△AKC 和△CHA 中
，
∴△AKC≌△CHA（ASA），
∴KC=HA．
∵B、C 两点在方程式y=﹣3 的图形上，且A 点的坐标为（﹣3，1），
∴AH=4．
∴KC=4．
∵△ABC≌△DEF，
∴∠BAC=∠EDF，AC=DF．
在△AKC 和△DPF 中，
，
∴△AKC≌△DPF（AAS），
∴KC=PF=4．
故选：C．
5．平面上有△ACD 与△BCE，其中AD 与BE 相交于P 点，如图．若AC=BC，AD=BE，CD=CE，
∠ACE=55°，∠BCD=155°，则∠BPD 的度数为（ ）
A．110° B．125° C．130° D．155°
【解答】解：在△ACD 和△BCE 中，
，
∴△ACD≌△BCE（SSS），
∴∠A=∠B，∠BCE=∠ACD，
∴∠BCA=∠ECD，
∵∠ACE=55°，∠BCD=155°，
∴∠BCA+∠ECD=100°，
∴∠BCA=∠ECD=50°，
∵∠ACE=55°，
∴∠ACD=105°
∴∠A+∠D=75°，
∴∠B+∠D=75°，
∵∠BCD=155°，
∴∠BPD=360°﹣75°﹣155°=130°，
故选：C．
6．如图，在△ABC 和△BDE 中，点C 在边BD 上，边AC 交边BE 于点F．若AC=BD，AB=ED，BC=BE，
则∠ACB 等于（ ）
A．∠EDB B．∠BED C．
∠AFB
D．2∠ABF
【解答】解：在△ABC 和△DEB 中，
，
∴△ABC≌△DEB （SSS），
∴∠ACB=∠DBE．
∵∠AFB 是△BFC 的外角，
∴∠ACB+∠DBE=∠AFB，
∠ACB=
∠AFB，
故选：C．
7．如图，AB=4，射线BM 和AB 互相垂直，点D 是AB 上的一个动点，点E 在射线BM 上，BE=
DB，
作EF⊥DE 并截取EF=DE，连结AF 并延长交射线BM 于点C．设BE=x，BC=y，则y 关于x 的函数
解析式是（ ）
A．y=﹣
B．y=﹣
C．y=﹣
D．y=﹣
【解答】解：作FG⊥BC 于G，
∵∠DEB+∠FEC=90°，∠DEB+∠BDE=90°；
∴∠BDE=∠FEG，
在△DBE 与△EGF 中
∴△DBE≌△EGF，
∴EG=DB，FG=BE=x，
∴EG=DB=2BE=2x，
∴GC=y﹣3x，
∵FG⊥BC，AB⊥BC，
∴FG∥AB，
CG：BC=FG：AB，
即
=
，
∴y=﹣
．
故选：A．
8．如图，在四边形ABCD 中，AB=AD=6，AB⊥BC，AD⊥CD，∠BAD=60°，点M、N 分别在AB、AD 边上，
若AM：MB=AN：ND=1：2，则tan∠MCN=（ ）
A．
B．
C．
D．
﹣2
【解答】解：∵AB=AD=6，AM：MB=AN：ND=1：2，
∴AM=AN=2，BM=DN=4，
连接MN，连接AC，
∵AB⊥BC，AD⊥CD，∠BAD=60°
在Rt△ABC 与Rt△ADC 中，
，
∴Rt△ABC≌Rt△ADC（HL）
∴∠BAC=∠DAC=
∠BAD=30°，MC=NC，
∴BC=
AC，
∴AC2=BC2+AB2，即（2BC）2=BC2+AB2，
3BC2=AB2，
∴BC=2
，
在Rt△BMC 中，CM=
=
=2
．
∵AN=AM，∠MAN=60°，
∴△MAN 是等边三角形，
∴MN=AM=AN=2，
过M 点作ME⊥CN 于E，设NE=x，则CE=2
﹣x，
∴MN2﹣NE2=MC2﹣EC2，即4﹣x2=（2
）2﹣（2
﹣x）2，
解得：x=
，
∴EC=2
﹣
=
，
∴ME=
=
，
∴tan∠MCN=
=
故选：A．
9．如图，点E 在正方形ABCD 的对角线AC 上，且EC=2AE，直角三角形FEG 的两直角边EF、EG
分别交BC、DC 于点M、N．若正方形ABCD 的边长为a，则重叠部分四边形EMCN 的面积为
（ ）
A．
a2 B．
a2 C．
a2 D．
a2
【解答】解：过E 作EP⊥BC 于点P，EQ⊥CD 于点Q，
∵四边形ABCD 是正方形，
∴∠BCD=90°，
又∵∠EPM=∠EQN=90°，
∴∠PEQ=90°，
∴∠PEM+∠MEQ=90°，
∵三角形FEG 是直角三角形，
∴∠NEF=∠NEQ+∠MEQ=90°，
∴∠PEM=∠NEQ，
∵AC 是∠BCD 的角平分线，∠EPC=∠EQC=90°，
∴EP=EQ，四边形PCQE 是正方形，
在△EPM 和△EQN 中，
，
∴△EPM≌△EQN（ASA）
∴S△EQN=S△EPM，
∴四边形EMCN 的面积等于正方形PCQE 的面积，
∵正方形ABCD 的边长为a，
∴AC=
a，
∵EC=2AE，
∴EC=
a，
∴EP=PC=
a，
∴正方形PCQE 的面积=
a×
a=
a2，
∴四边形EMCN 的面积=
a2，
故选：D．
二、解答题（共21 小题）
10．如图，已知AB∥DE，AB=DE，AF=CD，∠CEF=90°．
（1）若∠ECF=30°，CF=8，求CE 的长；
（2）求证：△ABF≌△DEC；
（3）求证：四边形BCEF 是矩形．
【解答】（1）解：∵∠CEF=90°．
∴cos∠ECF=
．
∵∠ECF=30°，CF=8．
∴CF=CF•cos30°=8×
=4
；
（2）证明：∵AB∥DE，
∴∠A=∠D，
∵在△ABF 和△DEC 中
∴△ABF≌△DEC （SAS）；
（3）证明：由（2）可知：△ABF≌△DEC，
∴BF=CE，∠AFB=∠DCE，
∵∠AFB+∠BFC=180°，∠DCE+∠ECF=180°，
∴∠BFC=∠ECF，
∴BF∥EC，
∴四边形BCEF 是平行四边形，
∵∠CEF=90°，
∴四边形BCEF 是矩形．
11．已知△ABC 为等边三角形，D 为AB 边所在的直线上的动点，连接DC，以DC 为边在DC 两侧
作等边△DCE 和等边△DCF（点E 在DC 的右侧或上侧，点F 在DC 左侧或下侧），连接AE、BF
（1）如图1，若点D 在AB 边上，请你通过观察，测量，猜想线段AE、BF 和AB 有怎样的数量关系？
并证明你的结论；
（2）如图2，若点D 在AB 的延长线上，其他条件不变，线段AE、BF 和AB 有怎样的数量关系？
请直接写出结论（不需要证明）；
（3）若点D 在AB 的反向延长线上，其他条件不变，请在图3 中画出图形，探究线段AE、BF 和
AB 有怎样的数量关系，并直接写出结论（不需要证明）
【解答】解：（1）AE+BF=AB，如图1，
∵△ABC 和△DCF 是等边三角形，
∴CA=CB，CD=CF，∠ACB=∠DCF=60°．
∴∠ACD=∠BCF，
在△ACD 和△BCF 中
∴△ACD≌△BCF（SAS）
∴AD=BF
同理：△CBD≌△CAE（SAS）
∴BD=AE
∴AE+BF=BD+AD=AB；
（2）BF﹣AE=AB，
如图2，易证△CBF≌△CAD 和△CBD≌△CAE，
∴AD=BF，BD=AE，
∴BF﹣AE=AD﹣BD=AB；
（3）AE﹣BF=AB，
如图3，易证△CBF≌△CAD 和△CBD≌△CAE，
∴AD=BF，BD=AE，
∴BF﹣AE=AD﹣BD=AB．
12．（2013•舟山）如图，△ABC 与△DCB 中，AC 与BD 交于点E，且∠A=∠D，AB=DC．
（1）求证：△ABE≌DCE；
（2）当∠AEB=50°，求∠EBC 的度数？
【解答】（1）证明：∵在△ABE 和△DCE 中
∴△ABE≌△DCE（AAS）；
（2）解：∵△ABE≌△DCE，
∴BE=EC，
∴∠EBC=∠ECB，
∵∠EBC+∠ECB=∠AEB=50°，
∴∠EBC=25°．
13．如图，在△ABC 中，∠C=90°，AD 平分∠CAB，交CB 于点D，过点D 作DE⊥AB 于点E．
（1）求证：△ACD≌△AED；
（2）若∠B=30°，CD=1，求BD 的长．
【解答】（1）证明：∵AD 平分∠CAB，DE⊥AB，∠C=90°，
∴CD=ED，∠DEA=∠C=90°，
∵在Rt△ACD 和Rt△AED 中
∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL）；
（2）解：∵DC=DE=1，DE⊥AB，
∴∠DEB=90°，
∵∠B=30°，
∴BD=2DE=2．
14．如图，点D，E 在△ABC 的边BC 上，AB=AC，BD=CE．求证：AD=AE．
【解答】证明：∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
在△ABD 与△ACE 中，
∵
，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴AD=AE．
15．已知：如图，AD，BC 相交于点O，OA=OD，AB∥CD．
求证：AB=CD．
【解答】证明：∵AB∥CD，
∴∠B=∠C，∠A=∠D，
∵在△AOB 和△DOC 中，
，
∴△AOB≌△DOC（AAS），
∴AB=CD．
16．如图，把一个直角三角形ACB（∠ACB=90°）绕着顶点B 顺时针旋转60°，使得点C 旋转
到AB 边上的一点D，点A 旋转到点E 的位置．F，G 分别是BD，BE 上的点，BF=BG，延长CF 与DG
交于点H．
（1）求证：CF=DG；
（2）求出∠FHG 的度数．
【解答】（1）证明：∵在△CBF 和△DBG 中，
，
∴△CBF≌△DBG（SAS），
∴CF=DG；
（2）解：∵△CBF≌△DBG，
∴∠BCF=∠BDG，
又∵∠CFB=∠DFH，
又∵△BCF 中，∠CBF=180°﹣∠BCF﹣∠CFB，
△DHF 中，∠DHF=180°﹣∠BDG﹣∠DFH，
∴∠DHF=∠CBF=60°，
∴∠FHG=180°﹣∠DHF=180°﹣60°=120°．
17．如图，点B、F、C、E 在一条直线上，FB=CE，AB∥ED，AC∥FD，求证：AC=DF．
【解答】证明：∵FB=CE，
∴FB+FC=CE+FC，
∴BC=EF，
∵AB∥ED，AC∥FD，
∴∠B=∠E，∠ACB=∠DFE，
∵在△ABC 和△DEF 中，
，
∴△ABC≌△DEF（ASA），
∴AC=DF．
18．如图，△ABC 和△ADE 都是等腰三角形，且∠BAC=90°，∠DAE=90°，B，C，D 在同一条直线
上．求证：BD=CE．
【解答】证明：∵△ABC 和△ADE 都是等腰直角三角形
∴AD=AE，AB=AC，
又∵∠EAC=90°+∠CAD，∠DAB=90°+∠CAD，
∴∠DAB=∠EAC，
∵在△ADB 和△AEC 中
∴△ADB≌△AEC（SAS），
∴BD=CE．
19．如图，已知点B、E、C、F 在同一条直线上，BE=CF，AB∥DE，∠A=∠D．求证：AB=DE．
【解答】证明：∵BE=CF，∴BC=EF．
∵AB∥DE，∴∠B=∠DEF．
在△ABC 与△DEF 中，
，
∴△ABC≌△DEF（AAS），
∴AB=DE．
20．已知△ABC 为等腰直角三角形，∠ACB=90°，点P 在BC 边上（P 不与B、C 重合）或点P 在
△ABC 内部，连接CP、BP，将CP 绕点C 逆时针旋转90°，得到线段CE；将BP 绕点B 顺时针旋
转90°，得到线段BD，连接ED 交AB 于点O．
（1）如图a，当点P 在BC 边上时，求证：OA=OB；
（2）如图b，当点P 在△ABC 内部时，
①OA=OB 是否成立？请说明理由；
②直接写出∠BPC 为多少度时，AB=DE．
【解答】（1）证明：∵△ABC 为等腰直角三角形，
∴CA=CB，∠A=∠ABC=45°，
由旋转可知：CP=CE，BP=BD，
∴CA﹣CE=CB﹣CP，
即AE=BP，
∴AE=BD．
又∵∠CBD=90°，∴∠OBD=45°，
在△AEO 和△BDO 中，
，
∴△AEO≌△BDO（AAS），
∴OA=OB；
（2）成立，理由如下：
连接AE，则△AEC≌△BCP，
∴AE=BP，∠CAE=∠BPC，
∵BP=BD，
∴BD=AE，
∵∠OAE=45°+∠CAE，∠OBD=90°﹣∠OBP=90°﹣（45°﹣∠BPC）=45°+∠PBC，
∴∠OAE=∠OBD，
在△AEO 和△BDO 中，
，
∴△AEO≌△BDO（AAS），
∴OA=OB，
②当∠BPC=135°时，AB=DE．理由如下：
解法一：
当AB=DE 时，由①知OA=OB，∴OA=OB=OE=OD．
设∠PCB=α，由旋转可知，∠ACE=α．
连接OC，则OC=OA=OB，∴OC=OE，
∴∠DEC=∠OCE=45°+α．
设∠PBC=β，则∠ABP=45°﹣β，∠OBD=90°﹣∠ABP=45°+β．
∵OB=OD，∴∠D=∠OBD=45°+β．
在四边形BCED 中，∠DEC+∠D+∠DBC+∠BCE=360°，
即：（45°+α）+（45°+β）+（90°+β）+（90°+α）=360°，
解得：α+β=45°，
∴∠BPC=180°﹣（α+β）=135°．
解法二（本溪赵老师提供，更为简洁）：
当AB=DE 时，四边形AEBD 为矩形
则∠DBE=90°=∠DBP，
∴点P 落在线段BE 上．
∵△ECP 为等腰直角三角形，
∴∠EPC=45°，
∴∠BPC=180°﹣∠EPC=135°．
21．
（1）如图1，在△ABC 和△DCE 中，AB∥DC，AB=DC，BC=CE，且点B，C，E 在一条直线上．求证：
∠A=∠D．
（2）如图2，在矩形ABCD 中，对角线AC，BD 相交于点O，AB=4，∠AOD=120°，求AC 的长．
【解答】（1）证明：∵AB∥DC，
∴∠B=∠DCE，
在△ABC 和△DCE 中
，
∴△ABC≌△DCE（SAS），
∴∠A=∠D；
（2）解：∵四边形ABCD 是矩形，
∴AO=BO=CO=DO，
∵∠AOD=120°，
∴∠AOB=60°，
∴△AOB 是等边三角形，
∴AO=AB=4，
∴AC=2AO=8．
22．（1）如图，AB 平分∠CAD，AC=AD，求证：BC=BD；
（2）列方程解应用题
把一些图书分给某班学生阅读，如果每人分3 本，则剩余20 本；如果每人分4 本，则还缺25
本，这个班有多少学生？
【解答】（1）证明：∵AB 平分∠CAD，
∴∠CAB=∠DAB，
在△ABC 和△ABD 中
∴△ABC≌△ABD（SAS），
∴BC=BD．
（2）解：设这个班有x 名学生，根据题意得：3x+20=4x﹣25，
解得：x=45，
答：这个班有45 名学生．
23．已知：如图，D 是AC 上一点，AB=DA，DE∥AB，∠B=∠DAE．求证：BC=AE．
【解答】证明：∵DE∥AB，
∴∠CAB=∠ADE，
∵在△ABC 和△DAE 中，
，
∴△ABC≌△DAE（ASA），
∴BC=AE．
24．【问题提出】
学习了三角形全等的判定方法（即“SAS”、“ASA”、“AAS”、“SSS”）和直角三角形全等
的判定方法（即“HL”）后，我们继续对“两个三角形满足两边和其中一边的对角对应相
等”的情形进行研究．
【初步思考】
我们不妨将问题用符号语言表示为：在△ABC 和△DEF 中，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，然后，对
∠B 进行分类，可分为“∠B 是直角、钝角、锐角”三种情况进行探究．
【深入探究】
第一种情况：当∠B 是直角时，△ABC≌△DEF．
（1）如图①，在△ABC 和△DEF，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E=90°，根据
HL
，可以知道
Rt△ABC≌Rt△DEF．
第二种情况：当∠B 是钝角时，△ABC≌△DEF．
（2）如图②，在△ABC 和△DEF，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，且∠B、∠E 都是钝角，求证：
△ABC≌△DEF．
第三种情况：当∠B 是锐角时，△ABC 和△DEF 不一定全等．
（3）在△ABC 和△DEF，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，且∠B、∠E 都是锐角，请你用尺规在图③中作
出△DEF，使△DEF 和△ABC 不全等．（不写作法，保留作图痕迹）
（4）∠B 还要满足什么条件，就可以使△ABC≌△DEF？请直接写出结论：在△ABC 和△DEF 中，
AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，且∠B、∠E 都是锐角，若
∠
B ≥∠
A
，则△ABC≌△DEF．
【解答】（1）解：HL；
（2）证明：如图，过点C 作CG⊥AB 交AB 的延长线于G，过点F 作FH⊥DE 交DE 的延长线于H，
∵∠ABC=∠DEF，且∠ABC、∠DEF 都是钝角，
∴180°﹣∠ABC=180°﹣∠DEF，
即∠CBG=∠FEH，
在△CBG 和△FEH 中，
，
∴△CBG≌△FEH（AAS），
∴CG=FH，
在Rt△ACG 和Rt△DFH 中，
，
∴Rt△ACG≌Rt△DFH（HL），
∴∠A=∠D，
在△ABC 和△DEF 中，
，
∴△ABC≌△DEF（AAS）；
（3）解：如图，△DEF 和△ABC 不全等；
（4）解：若∠B≥∠A，则△ABC≌△DEF．
故答案为：（1）HL；（4）∠B≥∠A．
25．（2014•德州）问题背景：
如图1：在四边形ABCD 中，AB=AD，∠BAD=120°，∠B=∠ADC=90°．E，F 分别是BC，CD 上的点．
且∠EAF=60°．探究图中线段BE，EF，FD 之间的数量关系．
小王同学探究此问题的方法是，延长FD 到点G．使DG=BE．连结AG，先证明△ABE≌△ADG，再
证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是
EF=BE
+ DF
；
探索延伸：
如图2，若在四边形ABCD 中，AB=AD，∠B+∠D=180°．E，F 分别是BC，CD 上的点，且∠EAF=
∠BAD，上述结论是否仍然成立，并说明理由；
实际应用：
如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O 处）北偏西30°的A 处，舰艇乙在指挥中心
南偏东70°的B 处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方
向以60 海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东50°的方向以80 海里/小时的速度前
进.1.5 小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E，F 处，且两舰艇之间的夹角为
70°，试求此时两舰艇之间的距离．
【解答】解：问题背景：EF=BE+DF；
探索延伸：EF=BE+DF 仍然成立．
证明如下：如图，延长FD 到G，使DG=BE，连接AG，
∵∠B+∠ADC=180°，∠ADC+∠ADG=180°，
∴∠B=∠ADG，
在△ABE 和△ADG 中，
，
∴△ABE≌△ADG（SAS），
∴AE=AG，∠BAE=∠DAG，
∵∠EAF=
∠BAD，
∴∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF=∠BAD﹣∠EAF=∠EAF，
∴∠EAF=∠GAF，
在△AEF 和△GAF 中，
，
∴△AEF≌△GAF（SAS），
∴EF=FG，
∵FG=DG+DF=BE+DF，
∴EF=BE+DF；
实际应用：如图，连接EF，延长AE、BF 相交于点C，
∵∠AOB=30°+90°+（90°﹣70°）=140°，
∠EOF=70°，
∴∠EOF=
∠AOB，
又∵OA=OB，
∠OAC+∠OBC=（90°﹣30°）+（70°+50°）=180°，
∴符合探索延伸中的条件，
∴结论EF=AE+BF 成立，
即EF=1.5×（60+80）=210 海里．
答：此时两舰艇之间的距离是210 海里．
26．如图，在四边形ABCD 中，AB=AD，CB=CD，AC 与BD 相交于O 点，OC=OA，若E 是CD 上任意一
点，连接BE 交AC 于点F，连接DF．
（1）证明：△CBF≌△CDF；
（2）若AC=2
，BD=2，求四边形ABCD 的周长；
（3）请你添加一个条件，使得∠EFD=∠BAD，并予以证明．
【解答】（1）证明：在△ABC 和△ADC 中，
，
∴△ABC≌△ADC（SSS），
∴∠BCA=∠DCA，
在△CBF 和△CDF 中，
，
∴△CBF≌△CDF（SAS），
（2）解：∵△ABC≌△ADC，
∴△ABC 和△ADC 是轴对称图形，
∴OB=OD，BD⊥AC，
∵OA=OC，
∴四边形ABCD 是菱形，
∴AB=BC=CD=DA，
∵AC=2
，BD=2，
∴OA=
，OB=1，
∴AB=
=
=2，
∴四边形ABCD 的周长=4AB=4×2=8．
（3）当EB⊥CD 时，即E 为过B 且和CD 垂直时垂线的垂足，∠EFD=∠BCD，
理由：∵四边形ABCD 为菱形，
∴BC=CD，∠BCF=∠DCF，∠BCD=∠BAD，
∵△BCF≌△DCF，
∴∠CBF=∠CDF，
∵BE⊥CD，
∴∠BEC=∠DEF=90°，
∴∠BCD+∠CBF=90°，∠EFD+∠CDF=90°，
∴∠EFD=∠BAD．
27．如图，已知四边形ABCD 是平行四边形，点E、B、D、F 在同一直线上，且BE=DF．求证：
AE=CF．
【解答】证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴AB=CD，AB∥CD，
∴∠ABD=∠CDB，
∴180°﹣∠ABD=180°﹣∠CDB，
即∠ABE=∠CDF，
在△ABE 和△CDF 中，
，
∴△ABE≌△CDF（SAS），
∴AE=CF．
28．（1）如图1，正方形ABCD 中，点E，F 分别在边BC，CD 上，∠EAF=45°，延长CD 到点G，使
DG=BE，连结EF，AG．求证：EF=FG．
（2）如图，等腰直角三角形ABC 中，∠BAC=90°，AB=AC，点M，N 在边BC 上，且∠MAN=45°，若
BM=1，CN=3，求MN 的长．
【解答】（1）证明：在正方形ABCD 中，
∠ABE=∠ADG，AD=AB，
在△ABE 和△ADG 中，
∴△ABE≌△ADG（SAS），
∴∠BAE=∠DAG，AE=AG，
∴∠EAG=90°，
在△FAE 和△GAF 中，
，
∴△FAE≌△GAF（SAS），
∴EF=FG；
（2）解：如图，过点C 作CE⊥BC，垂足为点C，截取CE，使CE=BM．连接AE、EN．
∵AB=AC，∠BAC=90°，∴∠B=∠ACB=45°．
∵CE⊥BC，∴∠ACE=∠B=45°．
在△ABM 和△ACE 中，
∴△ABM≌△ACE（SAS）．
∴AM=AE，∠BAM=∠CAE．
∵∠BAC=90°，∠MAN=45°，∴∠BAM+∠CAN=45°．
于是，由∠BAM=∠CAE，得∠MAN=∠EAN=45°．
在△MAN 和△EAN 中，
∴△MAN≌△EAN（SAS）．
∴MN=EN．
在Rt△ENC 中，由勾股定理，得EN2=EC2+NC2．
∴MN2=BM2+NC2．
∵BM=1，CN=3，
∴MN2=12+32，
∴MN=
29．如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，AC=BC，E 为AC 边的中点，过点A 作AD⊥AB 交BE 的延长线
于点D，CG 平分∠ACB 交BD 于点G，F 为AB 边上一点，连接CF，且∠ACF=∠CBG．求证：
（1）AF=CG；
（2）CF=2DE．
【解答】证明：（1）∵∠ACB=90°，CG 平分∠ACB，
∴∠ACG=∠BCG=45°，
又∵∠ACB=90°，AC=BC，
∴∠CAF=∠CBF=45°，
∴∠CAF=∠BCG，
在△AFC 与△CGB 中，
，
∴△AFC≌△CBG（ASA），
∴AF=CG；
（2）延长CG 交AB 于H，
∵CG 平分∠ACB，AC=BC，
∴CH⊥AB，CH 平分AB，
∵AD⊥AB，
∴AD∥CG，
∴∠D=∠EGC，
在△ADE 与△CGE 中，
，
∴△ADE≌△CGE（AAS），
∴DE=GE，
即DG=2DE，
∵AD∥CG，CH 平分AB，
∴DG=BG，
∵△AFC≌△CBG，
∴CF=BG，
∴CF=2DE．
30．如图，在△ABC 和△ADE 中，AB=AC，AD=AE，∠BAC+∠EAD=180°，△ABC 不动，△ADE 绕点A
旋转，连接BE、CD，F 为BE 的中点，连接AF．
（1）如图①，当∠BAE=90°时，求证：CD=2AF；
（2）当∠BAE≠90°时，（1）的结论是否成立？请结合图②说明理由．
【解答】（1）证明：如图①，
∵∠BAC+∠EAD=180°，∠BAE=90°，
∴∠DAC=90°，
在△ABE 与△ACD 中
∴△ABE≌△ACD（SAS），
∴CD=BE，
∵在Rt△ABE 中，F 为BE 的中点，
∴BE=2AF，
∴CD=2AF．
（2）成立，
证明：如图②，延长EA 交BC 于G，在AG 上截取AH=AD，
∵∠BAC+∠EAD=180°，
∴∠EAB+∠DAC=180°，
∵∠EAB+∠BAH=180°，
∴∠DAC=∠BAH，
在△ABH 与△ACD 中，
∴△ABH≌△ACD（SAS）
∴BH=DC，
∵AD=AE，AH=AD，
∴AE=AH，
∵EF=FB，
∴BH=2AF，
∴CD=2AF．
