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第二十五章过关自测卷
（100 分,45 分钟）
一、选择题（每题3 分，共24 分）
1.〈大连〉一个不透明的袋子中有3 个红球和2 个黄球，这些球除颜色外完全相同
从袋子中随机摸出一个球，它是黄球的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．
2.〈牡丹江〉小明制作了十张卡片，上面分别标有1～10 这十个数．从这十张卡片
中随机抽取一张恰好能被4 整除的概率是（ ）
A．
B．
C．
D．
3.〈贵阳〉一个不透明的盒子里有n 个除颜色外其他完全相同的小球，其中有6 个
黄球．每次摸球前先将盒子里的球摇匀，任意摸出一个球记下颜色后再放回盒子
通过大量重复摸球试验后发现，摸到黄球的频率稳定在30%，那么可以推算出n
大约是（ ）
A．6 B．10 C．18 D．20
4.一纸箱内有红、黄、蓝、绿四种颜色的纸牌，且图1 所示为各颜色纸牌数量的统
计图．若小华自箱内抽出一张牌，且每张牌被抽出的机会相等，则他抽出红色牌
或黄色牌的机（概）率为（ ）
A．
B．
C．
D．
图1
5.小江玩投掷飞镖的游戏，他设计了一个如图2 所示的靶子，点E、F 分别是矩形
ABCD 的两边AD、BC 上的点，EF∥AB，点M、N 是EF 上任意两点，则投掷一次，
飞镖落在阴影部分的概率是（ ）
A.
B.
C.
D.
图2
6.〈临沂〉如图3，在平面直角坐标系中，点A1，A2在x 轴上，点B1，B2在y 轴上，其
坐标分别为A1（1，0），A2（2，0），B1（0，1），B2（0，2），分别以A1、A2、B1、B2其中的
任意两点与点O 为顶点作三角形，所作三角形是等腰三角形的概率是（ ）
A.
B.
C.
D.
图3 图4
7.在学习概率时，老师说：“掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上的概率是
”，小
明做了下列三个模拟试验来验证．
①取一枚新硬币，在桌面上进行抛掷，计算正面朝上的次数与总次数的比值；
②把一个质地均匀的圆形转盘平均分成偶数份，并依次标上奇数和偶数，转动转
盘，计算指针落在奇数区域的次数与总次数的比值；
③将一个圆形纸板放在水平的桌面上，纸板正中间放一个圆锥（如图4），从圆锥
的正上方往下撒米粒，计算其中一半纸板上的米粒数与纸板上总米粒数的比值．
上面的试验中，不科学的有（ ）
A．0 个 B．1 个 C．2 个 D．3 个
8.小强、小亮、小文三位同学玩投硬币游戏．三人同时各投出一枚均匀硬币，若出
现三个正面向上或三个反面向上，则小强赢；若出现两个正面向上一个反面向上
则小亮赢；若出现一个正面向上两个反面向上，则小文赢．下面说法正确的是（
）
A．小强赢的概率最小 B．小文赢的概率最小
C．小亮赢的概率最小 D．三人赢的概率相等
二、填空题（每题3 分，共18 分）
9.〈长沙〉在一个不透明的盒子中装有n 个小球，它们只有颜色上的区别，其中有
2 个红球，每次摸球前先将盒中的球摇匀，随机摸出一个球记下颜色后再放回盒
中，通过大量重复试验后发现，摸到红球的频率稳定于0.2，那么可以推算出n 大
约是_______．
10.一只昆虫在如图5 所示的树枝上爬行，假定昆虫在每个岔路口都会随机地选
择一条路径，则它停留在 A 叶面的概率是_______.
图5 图6
11.如图6，电路图上有编号为①②③④⑤⑥共6 个开关和一个小灯泡，闭合开关
①或同时闭合开关②③或同时闭合开关④⑤⑥都可使这个小灯泡发光，问任意闭
合电路上其中的两个开关，小灯泡发光的概率为_______．
12.王红和刘芳两人在玩转盘游戏，如图7，把转盘甲、乙分别分成3 等份，并在每
一份内标上数字，游戏规则是：转动两个转盘，停止后，指针所指的两个数字之和
为7 时，王红胜；数字之和为8 时，刘芳胜．那么这二人中获胜可能性较大的是
_______．
图7
13.〈重庆〉在平面直角坐标系xOy 中,直线y=－x+3 与两坐标轴围成一个△AOB.
现将背面完全相同,正面分别标有数1、2、3、、的5 张卡片洗匀后，背面朝上，
从中任取一张，将该卡片上的数作为点P 的横坐标，将该数的倒数作为点P 的纵
坐标，则点P 落在△AOB 内的概率为_______.
14.〈济宁〉甲、乙、丙三人站成一排合影留念，则甲、乙二人相邻的概率是_______.
三、解答题（18 题10 分，19，20 题每题12 分，其余每题8 分，共58 分）
15.已知口袋内装有黑球和白球共 120 个，请你设计一个方案估计一下口袋内有
多少个黑球，多少个白球？
16.在一个口袋中有4 个完全相同的小球，把它们分别标号为1、2、3、4，随机地摸
出一个小球然后放回，再随机地摸出一个小球，求下列事件的概率：
（1）两次摸出的小球的标号相同；
（2）两次摸出的小球标号的和等于4．
17.〈扬州〉端午节期间，扬州某商场为了吸引顾客，开展有奖促销活动，设立了一
个可以自由转动的转盘，转盘被分成4 个面积相等的扇形，四个扇形区域里分别
标有“10 元”、“20 元”、“30 元”、“40 元”的字样（如图8）．规定：同一日内
顾客在本商场每消费满100 元就可以转转盘一次，商场根据转盘指针指向区域所
标金额返还相应数额的购物券，某顾客当天消费240 元，转了两次转盘．
（1）该顾客最少可得_______元购物券，最多可得______元购物券；
（2）请用画树状图或列表的方法，求该顾客所获购物券金额不低于50 元的概率．
图8
18.〈包头〉甲、乙两人在玩转盘游戏时，把两个可以自由转动的转盘A、B 分成4
等份、3 等份的扇形区域，并在每一小区域内标上数字（如图9 所示），指针的位置
固定．游戏规则：同时转动两个转盘，当转盘停止后，若指针所指两个区域的数字
之和为3 的倍数，则甲胜；若指针所指两个区域的数字之和为4 的倍数，则乙胜．
如果指针落在分割线上，则需要重新转动转盘．
（1）试用列表或画树状图的方法，求甲获胜的概率；
（2）请问这个游戏规则对甲、乙双方公平吗？试说明理由．
图9
19.有三张正面分别写有数－2 ,－1，1 的卡片，它们的背面完全相同，将这三张卡
片背面朝上洗匀后随机抽取一张，以其正面的数作为x 的值，放回卡片洗匀，再从
三张卡片中随机抽取一张，以其正面的数作为y 的值，两次结果记为（x，y）.
（1）用画树状图法或列表法表示（x，y）所有可能出现的结果；
（2）求使代数式
有意义的（x，y）出现的概率；
（3）化简代数式
，并求使代数式的值为整数的（x，y）出现的概率.
20.〈潍坊〉 随着我国汽车产业的发展，城市道路拥堵问题日益严峻，某部门对15
个城市的交通状况进行了调查，得到的数据如下表所示．
城市
项目
北
京
太
原
杭
州
沈
阳
广
州
深
圳
上
海
桂
林
南
通
海
口
南
京
温
州
威
海
兰
州
中
山
上班花费时
间（分钟）
52
33
34
34
48
46
47
23
24
24
37
25
24
25
18
上班堵车时
间（分钟）
14
12
12
12
12
11
11
7
7
6
6
5
5
5
0
（1）根据上班花费时间，将下面的频数分布直方图（如图10）补充完整；
（2）求15 个城市的平均上班堵车时间（计算结果保留一位小数）；
（3）规定：城市的堵车率=
×100%，比如，北京的堵
车率=
×100%≈36.8%；沈阳的堵车率=
×100%≈54.5%，某人欲从北
京，沈阳，上海，温州四个城市中任意选取两个作为出发目的地，求选取的两个城
市的堵车率都超过30%的概率．
图10
参考答案及点拨
一、1. B 点拨：袋子中球的总数为2+3=5，∴取到黄球的概率为
.故选B.
2. C 点拨：1~10 中能被4 整除的数有4、8，总共有10 张卡片，2÷10=
.
所以从中随机抽取一张恰好能被4 整除的概率是
.故选C.
3. D 点拨：由题意可得，
×100%=30%，解得n=20.故估计n 大约是20.故选D.
4. B 方法规律：解答本题运用了数形结合思想，图中共有各色纸牌3+3+5+4=15
（张），其中，红色纸牌3 张，黄色纸牌3 张，所以抽出红色纸牌或黄色纸牌的机率
=
=
,故选B.
5. C 方法规律：解答本题运用了数形结合思想及分割法，将图形分为四边形
ABFE 和四边形DCFE 两部分，概率等于相应的面积与总面积之比.
∵四边形ABFE 内阴影部分的面积=
×四边形ABFE 的面积，
四边形DCFE 内阴影部分的面积=
×四边形DCFE 的面积，
∴阴影部分的面积=
×矩形ABCD 的面积，
∴飞镖落在阴影部分的概率是
.故选C.
6. D 点拨：∵以A1、A2、B1、B2其中的任意两点与点O 为顶点作三角形，共可以作
4 个三角形.所作三角形是等腰三角形只有： △OA1B1，△OA2B2，∴所作三
角形是等腰三角形的概率是
=
.故选D.
7. A 点拨：①由于一枚质地均匀的硬币只有正反两面，因此正面朝上的概率是
②把一个质地均匀的圆形转盘平均分成偶数份，并依次标上奇数和偶数，则标奇
数和偶数的部分各占一半，指针落在奇数区域的次数与总次数的比值为
；
③由于圆锥是均匀的，因此落在圆形纸板上的米粒的个数也是均匀地分布的，与
纸板面积成正比，可验证其中一半纸板上的米粒数与纸板上总米粒数的比值为
∴三个试验均科学，故选A.
8. A 点拨：设有A、B、C 三枚硬币，
共有以下8 种情况：（用1 表示正，0 表示反）
1，1，1；0，0，0；1，1，0；1，0，0；1，0，1；0，1，1；0，1，0；0，0，1.于是
P（小强赢）=
=
,P（小亮赢）=
,
P（小文赢）=
，∴小强赢的概率最小.故选A.
二、9. 10 点拨：由题意，得
=0.2.解得n=10.故估计n 大约是10.故答案为10.
10.
点拨：根据题意可得，昆虫共有 6 种等可能的选择结果.而停留在 A 叶
面的只有 1 种结果，所以它停留在A 叶面的概率是
.
11.
点拨：本题应注意物理知识的应用，即不要搞错灯泡的发光情况.列表得：
1
2
3
4
5
6
6
（1，6）
（2，6）
（3，6）
（4，6）
（5，6）
—
5
（1，5）
（2，5）
（3，5）
(4，5)
—
（6，5）
4
（1，4）
（2，4）
（3，4）
—
（5，4）
（6，4）
3
（1，3）
（2，3）
—
（4，3）
（5，3）
（6，3）
2
（1，2）
—
（3，2）
（4，2）
（5，2）
（6，2）
1
—
（2，1）
（3，1）
（4，1）
（5，1）
（6，1）
∴一共有30 种情况，任意闭合电路上其中的两个开关，小灯泡发光的有12 种情
况，∴任意闭合电路上其中的两个开关，小灯泡发光的概率为
=
.
12. 王红 方法规律：解答本题运用了比较法，即列举出所有情况，分别求得两
人获胜的概率，比较即可.如答图1 所示.
答图1
∴共9 种情况，和为7 的情况有3 种，王红获胜的概率为
=
.和为8 的情况有2
种，刘芳获胜的概率为
.∴王红获胜的可能性较大.故答案为王红.
13.
14.
点拨：画树状图如答图2 所示.
∵共有6 种等可能的结果，甲、乙二人相邻的有4 种情况，∴甲、乙二人相邻的概
率是
=
.故答案为
.
答图2
三、15. 解：设口袋内有x 个黑球，则有白球（120－x)个，从袋中任意摸出一球，记
下其颜色，再把它放回去混合均匀，不断重复上述过程，若共摸了a 次，其中黑球
b 个，则有
=
,解得x=
,即口袋内有
个黑球，有(120－
)个白球.
方法规律：本题通过设元，利用概率相等将已知与未知联系起来，构造方程求解.
解答本题体现了方程思想.
16. 解：（1）树状图如答图3.
答图3
两次摸出的小球的标号相同的情况有4 种，
概率P=
=
.
（2）树状图如答图4.
答图4
共有16 种等可能的结果，其中两次摸出的小球标号的和等于4 的有3 种，
∴两次摸出的小球标号的和等于4 的概率P=
.
17. 解：（1）如答图5 所示，画树状图得：
答图5
则该顾客最少可得20 元购物券，最多可得80 元购物券.
故答案为：20；80；
（2）树状图如答图5 所示，∵共有16 种等可能的结果，该顾客所获购物券金额不
低于50 元的有10 种情况，
∴该顾客所获购物券金额不低于50 元的概率为
=
.
点拨：本题考查的是用列表法或画树状图法求概率.列表法或画树状图法可以不
重复不遗漏地列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适
合于两步或两步以上完成的事件.注意概率等于所求情况数与总情况数之比.
18. 解：（1）列表如下：
转盘A
转盘B
1
2
3
4
3
（1，3）
（2，3）
（3，3）
（4，3）
4
（1，4）
（2，4）
（3，4）
（4，4）
5
（1，5）
（2，5）
（3，5）
（4，5）
∵数字之和共有12 种等可能的结果，其中和是3 的倍数的结果有4 种，∴P（甲）
=
=
.
（2）∵和是4 的倍数的结果有3 种，
∴P（乙）=
=
.∵
≠
,
即P（甲）≠P（乙），
∴这个游戏规则对甲、乙双方不公平.
方法规律：判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就
不公平.
19. 解：（1）用列表法表示（ｘ，y）所有可能出现的结果如下：
第一次
第二次
－2
－1
1
－2
（－2，－2）
（－1，－2）
（1，－2）
－1
（－2，－1）
（－1，－1）
（1，－1）
1
（－2，1）
（－1，1）
（1，1）
（2）∵（ｘ，y）所有可能出现的结果共有9 个，使代数式
+
有意义的
（x,y)有（－1,－2)，
（1，－2），
（－2，－1），
（－2，1）4 个结果.∴使代数式
+
有意义的（ｘ，y）出现的概率是
.
（3）
+
=
+
=
=
=
.
∵在使代数式
+
有意义的4 个结果中，使代数式的值为整数的（ｘ
y）有（1，－2），
（－2,1）2 个结果，∴使代数式
+
的值为整数的（ｘ，
y）出现的概率是
.
考点：列表法或画树状图法，概率,代数式有意义的条件，代数式的化简求值.
点拨：
（1）根据题意列出表格或画树状图，即可表示出（ｘ，y）所有可能出现的结
果.
（2）根据（1）中的表格或树状图找出使代数式
+
有意义的结果数，
再除以所有结果数即可.
（3）先化简，再在使代数式
+
有意义的4 个结果中找出使代数式的
值为整数的（ｘ，y）的结果数，再除以所有结果数即可.
20. 解：
（1）上班花费时间在30 分钟到40 分钟之间的城市有4 个，40 分钟到50 分
钟之间的城市有3 个，补充频数分布直方图，如答图6 所示.
答图6
（2）平均上班堵车时间=
（14+12×4+11×2+7×2+6×2+5×3+0）=
≈8.3（分钟）.
（3）上海的堵车率：
×100%≈30.6%，温州的堵车率：
×100%=25%，
堵车率超过30%的城市有北京、上海、沈阳；从四个城市中选两个的所有情况有6
种：
（北京，沈阳），
（北京，上海），
（北京，温州），
（沈阳，上海），
（沈阳，温州），
（上海，温州）.其中两个城市的堵车率均超过30%的情况有3 种：
（北京，沈阳），
（北京，上海），（沈阳，上海）.∴选取的两个城市的堵车率都超过30%的概率P=
.
方法规律：解答本题运用了数形结合思想，解题的关键是仔细地读图表，并从统
计图表中得到进一步解题的有关信息.此类考题是中考的高频考点.（1）根据数据
表分别得出上班花费时间在30 分钟到40 分钟之间和40 分钟到50 分钟之间的城
市个数，进而补充直方图；
（2）根据各城市堵车时间求出平均数即可；（3）根据表中数据分别求出各城市堵
车率，进而利用概率公式求解即可.
