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《第二十八章 锐角三角函数》测试卷（B 卷）
（测试时间：120 分钟 满分：120 分）
一、选择题（每小题3 分，共30 分）
1．sin30°=（ ）
A．
2
2
B．1
2 C．
3
2
D．
3
3
2．
0)
30
(tan
o
的值是( )
A．3
3 B．0 C．1 D．3
3．在正方形网格中，∠α 的位置如图所示，则tanα 的值是（ ）
A．
3
3
B．
5
3
C．1
2 D．2
4．如图，在某监测点B 处望见一艘正在作业的渔船在南偏西15°方向的A 处，若渔船沿北偏西75°方向以
40 海里/小时的速度航行，航行半小时后到达C 处，在C 处观测到B 在C 的北偏东60°方向上，则B、C 之间的
距离为（ ）.
A．20 海里 B．10 3 海里 C．20
2 海里 D．30 海里
5．如图，在综合实践活动中，小明在学校门口的点C 处测得树的顶端A 仰角为37°，同时测得BC=20 米，则树
的高AB（单位：米）为（ ）
A．
0
20
sin37
B．20tan37° C．
0
20
tan37
D．20sin37°
6．如图，在8×4 的矩形网格中，每格小正方形的边长都是1，若△ABC 的三个顶点在图中相应的格点上，则
tan∠ACB 的值为（ ）[来源:学科网][来源:Z§xx§k.Com]
A．1
3
B．1
2
C．
2
2
D．3
7．在Rt△ABC 中，∠C=90°，sinA= 5
13
，则tanB 的值为（ ）
A．12
13
B．5
12
C．13
12
D. 12
5
8．一辆汽车沿倾斜角α 的斜坡前进800 米，则它上升的高度是（ ）
A．800•sinα 米 B．
米 C．800•cosα 米 D．
米
9．在平面直角坐标系中，以原点O 为圆心的⊙O 交x 轴正半轴为M，P 为圆上一点，坐标为（3 ，1），则
cos∠POM=（ ）
A．
3
2
B．1
2
C．
3
3
D．
2
2
10．在平面直角坐标系中，正方形A1B1C1D1、D1E1E2B2、A2B2C2D2、D2E3E4B3、A3B3C3D3…按如图所示的方式放置，其中
点B1在y 轴上，点C1、E1、E2、C2、E 3、E4、C3…在x 轴上，已知正方形A1B1C1D1的边长为1，∠B1C1O=60°，
B1C1∥B2C2∥B3C3…则正方形A2015B2015C2015D2015的边长是（ ）
A．（1
2
）2014 B．（1
2
）2015 C．（
3
3
）2015 D．（
3
3
）2014
二、填空题（每小题3 分，共30 分）
11．已知∠A 是锐角，且tanA=
，则∠A=_____．
12．在
中，
，当已知
和时，求，则
________．
13．如图，AB 是伸缩式的遮阳棚，CD 是窗户，要想在夏至的正午时刻阳光刚好不能射入窗户，则AB 的长度
是____m(假设夏至的正午时刻阳光与地平面的夹角为60°)．
14．如图，在平行四边形ABCD 中，∠B＝30°，AB＝AC，O 是两条对角线的交点，过点O 作AC 的垂线分别交
边AD，BC 于点E，F；点M 是边AB 的一个三等分点。则△AOE 与△BMF 的面积比为_________．
15．求值：sin60°-tan30°= ______ ．
16．计算：
﹣tan45°的值是_____．
[来源:学科网]
17．如图，若
，则
________．
18．如图是某品牌太阳能热水器的实物图和横断面示意图，已知真空集热管AB 与支架CD 所在直线相交于水
箱横截面⊙O 的圆心，支架CD 与水平面AE 垂直，AB=150 厘米，∠BAC=30°，另一根辅助支架DE=76 厘米，
∠CED=60°．则垂直支架CD 的长度为________厘米（结果保留根号）．
19．为加强防汛工作，某市对一拦水坝进行加固，如图，加固前拦水坝的横断面是梯形ABCD．已知迎水坡面
AB=12 米，背水坡面CD=
米，∠B=60°，加固后拦水坝的横断面为梯形ABED，tanE=
，则CE 的长为
______米．
20．如图，在四边形ABCD 中，连接AC，BD，AC 和BD 相交于点E.若AD∥BC，BD⊥AD，2DE＝BE， 3
AD＝BD，则∠BAC＋∠BCA 的度数为_______．
三、解答题（共60 分）
21．（本题5 分）tan 45 sin 45
4sin30 cos45
6
60
sin
．
22．（本题6 分）在中俄“海上联合﹣2014”反潜演习中，我军舰A 测得潜艇C 的俯角为30°，位于军舰A 正
上方1000 米的反潜直升机B 测得潜艇C 的俯角为68°，试根据以上数据求出潜艇C 离开海平面的下潜深度．
（结果保留整数，参考数据：sin68°≈0.9，cos68°≈0.4，tan68°≈2.5，
1.7）
[来源:Z。xx。k.Com]
23．（本题6 分）一人自地平面上测得塔顶的仰角为60°，于原地登高50 米后，又测得塔顶的仰角为30°，求
塔高和此人在地面时到塔底的距离．
[来源:学科网]
24．（本题6 分）如图，某市对位于笔直公路AC 上两个小区A、B 的供水路线进行优化改造．供水站M 在笔直公
路AD 上，测得供水站M 在小区A 的南偏东60°方向，在小区B 的西南方向，小区A、B 之间的距离为300（3
+l）米，求供水站M 分别到小区A、B 的距离．（结果可保留根号）
25．（本题8 分）如图，在大楼AB 的正前方有一斜坡CD，CD=4 米，坡角∠DCE=30°，小红在斜坡下的点C 处测
得楼顶B 的仰角为60°，在斜坡上的点D 处测得楼顶B 的仰角为45°，其中点A、C、E 在同一直线上．
（1）求斜坡CD 的高度DE；
（2）求大楼AB 的高度（结果保留根号）
26．（本题9 分）小敏家对面新建了一幢图书大厦，小敏在自家窗口测得大厦顶部的仰角为45°，大厦底部的
仰角为30°，如图所示，量得两幢楼之间的距离为20 3 米．
（1）求出大厦的高度BD；
（2）求出小敏家的高度AE．
27．（本题9 分）已知：如图，AB 与⊙O相切于点C，OA=OB，⊙O 的直径为4，AB=8．
（1）求OB 的长；
（2）求sinA 的值．
28．（本题10 分）已知：等边△ABC 的边长为a．
探究（1）：如图1，过等边△ABC 的顶点A、B、C 依次作AB、BC、CA 的垂线围成△MNG，求证：△MNG 是等边三角形
且MN= 3 a；
探究（2）：在等边△ABC 内取一点O，过点O 分别作OD⊥AB、OE⊥BC、OF⊥CA，垂足分别为点D、E、F．
①如图2，若点O 是△ABC 的重心，我们可利用三角形面积公式及等边三角形性质得到两个正确结论（不必证
明）：结论1．OD+OE+OF=
3
2
a；结论2．AD+BE+CF= 3
2
a；
②如图3，若点O 是等边△ABC 内任意一点，则上述结论1，2 是否仍然成立？如果成立，请给予证明；如果不
成立，请说明理由．
（测试时间：120 分钟 满分：120 分）
一、选择题（每小题3 分，共30 分）
1．sin30°=（ ）
A．
2
2
B．1
2
C．
3
2
D．
3
3
【答案】B
【解析】
根据特殊角的三角函数值进行解答即可[来源:学科网]
2．
0)
30
(tan
o
的值是( )
A．
3
3 B．0 C．1 D．3
【答案】C
【解析】
任何非零实数的零次幂都为1.故选C.
3．在正方形网格中，∠α 的位置如图所示，则tanα 的值是（ ）
A．
3
3
B．
5
3
C．1
2
D．2
【答案】D
【解析】
由图可得，tanα=2÷1=2．
故选D．
4．如图，在某监测点B 处望见一艘正在作业的渔船在南偏西15°方向的A 处，若渔船沿北偏西75°方向以
40 海里/小时的速度航行，航行半小时后到达C 处，在C 处观测到B 在C 的北偏东60°方向上，则B、C 之间的
距离为（ ）.
A．20 海里 B．10 3 海里 C．20
2 海里 D．30 海里
【答案】C．
5．如图，在综合实践活动中，小明在学校门口的点C 处测得树的顶端A 仰角为37°，同时测得BC=20 米，则树
的高AB（单位：米）为（ ）
A．
0
20
sin37
B．20tan37° C．
0
20
tan37
D．20sin37°
【答案】B．
【解析】
如图，在直角△ABC 中，∠B=90°，∠C=37°，BC=20m，可得tanC= AB
BC
，则AB=BC•tanC=20tan37°．故选B．
6．如图，在8×4 的矩形网格中，每格小正方形的边长都是1，若△ABC 的三个顶点在图中相应的格点上，则
tan∠ACB 的值为（ ）
A．1
3
B．1
2
C．
2
2
D．3
【答案】A
7．在Rt△ABC 中，∠C=90°，sinA= 5
13
，则tanB 的值为（ ）
A．12
13
B．5
12
C．13
12
D. 12
5
【答案】D
【解析】
∵sinA= 5
13
，∴设BC=5x，AB=13x，则AC=
2
2
AB
BC
=12x，
故tan∠B= AC
BC
=12
5
．故选D．
8．一辆汽车沿倾斜角α 的斜坡前进800 米，则它上升的高度是（ ）
A．800•sinα 米 B．
米 C．800•cosα 米 D．
米
【答案】A
9．在平面直角坐标系中，以原点O 为圆心的⊙O 交x 轴正半轴为M，P 为圆上一点，坐标为（3 ，1），则
cos∠POM=（ ）
A．
3
2
B．1
2
C．
3
3
D．
2
2
【答案】A
【解析】
作PA⊥x 轴于A，
∵点P 的坐标为（3 ，1），
∴OA= 3 ，PA=1，
由勾股定理得，OP=2 ，
cos∠POM= OA
OP
=
3
2
，
故选A．
10．在平面直角坐标系中，正方形A1B1C1D1、D1E1E2B2、A2B2C2D2、D2E3E4B3、A3B3C3D3…按如图所示的方式放置，其中
点B1在y 轴上，点C1、E1、E2、C2、E3、E4、C3…在x 轴上，已知正方形A1B1C1D1的边长为1，∠B1C1O=60°，
B1C1∥B2C2∥B3C3…则正方形A2015B2015C2015D2015的边长是（ ）
A．（1
2
）2014 B．（1
2
）2015 C．（
3
3
）2015 D．（
3
3
）2014
【答案】D．
二、填空题（每小题3 分，共30 分）
11．已知∠A 是锐角，且tanA=
，则∠A=_____．
【答案】30°
【解析】
∵∠A 是锐角，tanA=
，∴∠A=30°．故答案为：30°．
12．在
中，
，当已知
和时，求，则
________．
[来源:学科网]
【答案】
【解析】
如图，
∵已知∠A 和a，求c，
∴sinA= ，
∴c=
．
故选：A．
13．如图，AB 是伸缩式的遮阳棚，CD 是窗户，要想在夏至的正午时刻阳光刚好不能射入窗户，则AB 的长度
是____m(假设夏至的正午时刻阳光与地平面的夹角为60°)．
【答案】
∴
，解得：AB=
.
故答案为：
.
14．如图，在平行四边形ABCD 中，∠B＝30°，AB＝AC，O 是两条对角线的交点，过点O 作AC 的垂线分别交
边AD，BC 于点E，F；点M 是边AB 的一个三等分点。则△AOE 与△BMF 的面积比为_________．
【答案】
【解析】连接MF，作AG⊥BC 交BC 于点G，作MH⊥BC 交BC 于点H，
∴∠EAO=∠ACB=30°，∴OE=OA·tan30°=
x，AE=
=2
x，
∴S△AOE= OA·OE=
x2，
∵在△AOE 和△COF 中，
，
∴△AOE≌△COF，
∴AE=CF=2
x，
∴BF=6
x－2
x=4
x，
∴S△BMF= BF·MH=2
x2，
∴S△AOE∶S△BMF=(
x2)∶(2
x2)=3∶4.
故答案为3∶4.
15．求值：sin60°-tan30°= ______ ．
【答案】
【解析】
原式=
-
=
.
16．计算：
﹣tan45°的值是_____．
【答案】0
17．如图，若
，则
________．
【答案】
【解析】
∵+ =90°，
∴
.
故答案为：.
18．如图是某品牌太阳能热水器的实物图和横断面示意图，已知真空集热管AB 与支架CD 所在直线相交于水
箱横截面⊙O 的圆心，支架CD 与水平面AE 垂直，AB=150 厘米，∠BAC=30°，另一根辅助支架DE=76 厘米，
∠CED=60°．则垂直支架CD 的长度为________厘米（结果保留根号）．
【答案】38
19．为加强防汛工作，某市对一拦水坝进行加固，如图，加固前拦水坝的横断面是梯形ABCD．已知迎水坡面
AB=12 米，背水坡面CD=
米，∠B=60°，加固后拦水坝的横断面为梯形ABED，tanE=
，则CE 的长为
______米．
【答案】8．
[来源:学科网]
【解析】
分别过A、D 作AF⊥BC 于点F，DG⊥BC 于点G．
在Rt△ABF 中，AB=12 米，∠B=60°，∴sin∠B=
，∴AF=12×
=6
.
易知四边形AFGD 是矩形，∴DG=AF=6
.
在Rt△DGC 中，CD=12
，DG=6
，∴GC=
=18.
在Rt△DEG 中，tanE＝
=
，∴EG=26，
∴CE=GE-CG=26-18=8．
故答案为8．
20．如图，在四边形ABCD 中，连接AC，BD，AC 和BD 相交于点E.若AD∥BC，BD⊥AD，2DE＝BE， 3
AD＝BD，则∠BAC＋∠BCA 的度数为_______．
[来源:学科网]
【答案】60°
三、解答题（共60 分）
21．（本题5 分）tan 45 sin 45
4sin30 cos45
6
60
sin
．
【答案】
2 .
【解析】
2
1
2
3
1
4
6
2
2
2
2
=
2
3 2
2
2
2
=
2 .
22．（本题6 分）在中俄“海上联合﹣2014”反潜演习中，我军舰A 测得潜艇C 的俯角为30°，位于军舰A 正
上方1000 米的反潜直升机B 测得潜艇C 的俯角为68°，试根据以上数据求出潜艇C 离开海平面的下潜深度．
（结果保留整数，参考数据：sin68°≈0.9，cos68°≈0.4，tan68°≈2.5，
1.7）
【答案】308 米
解得：x=
1000
3 tan 68
1
≈
1000
1.7 2.5 1
≈308 米，
∴潜艇C 离开海平面的下潜深度为308 米．
23．（本题6 分）一人自地平面上测得塔顶的仰角为60°，于原地登高50 米后，又测得塔顶的仰角为30°，求
塔高和此人在地面时到塔底的距离．
【答案】塔高是75 米，此人在地面时到塔底的距离是25 3 米．
【解析】
设BC=x 米，则DE=BC=x 米．
∵直角△ADE 中，tan∠ADE= AD
DE
，
∴AE=DEtan30°=xtan30°=
3
3
x（米）．
同理，直角△ABC 中，AC=BCtan60°= 3 x（米），
根据题意得：3 x﹣
3
3
x=50，
解得：x=25 3 ，
则AC= 3 x=75（米）．
答：塔高是75 米，此人在地面时到塔底的距离是25 3 米．
24．（本题6 分）如图，某市对位于笔直公路AC 上两个小区A、B 的供水路线进行优化改造．供水站M 在笔直公
路AD 上，测得供水站M 在小区A 的南偏东60°方向，在小区B 的西南方向，小区A、B 之间的距离为300（3
+l）米，求供水站M 分别到小区A、B 的距离．（结果可保留根号）
【答案】供水站M 到小区A 的距离是600 米，到小区B 的距离是300
2 米．
25．（本题8 分）如图，在大楼AB 的正前方有一斜坡CD，CD=4 米，坡角∠DCE=30°，小红在斜坡下的点C 处测
得楼顶B 的仰角为60°，在斜坡上的点D 处测得楼顶B 的仰角为45°，其中点A、C、E 在同一直线上．
（1）求斜坡CD 的高度DE；
（2）求大楼AB 的高度（结果保留根号）
【答案】（1）2 米；（2）（6+）或（6-）米.
26．（本题9 分）小敏家对面新建了一幢图书大厦，小敏在自家窗口测得大厦顶部的仰角为45°，大厦底部的
仰角为30°，如图所示，量得两幢楼之间的距离为20 3 米．
（1）求出大厦的高度BD；
（2）求出小敏家的高度AE．
【答案】（1）（20 3 +20）（2）20
在Rt△ACD 中，tan30°= CD
AC
，
∴CD=AC•tan30°=20 3 ×
3
3
=20（米），
∴BD=BC+CD=20 3 +20（米）；
∴大厦的高度BD 为：（20 3 +20）米；[来源:学_科_网Z_X_X_K]
（2）∵四边形AEDC 是矩形，
∴AE=CD=20 米．
∴小敏家的高度AE 为20 米．
27．（本题9 分）已知：如图，AB 与⊙O 相切于点C，OA=OB，⊙O 的直径为4，AB=8．
（1）求OB 的长；
（2）求sinA 的值．
【答案】（1）2 5 （2）
5
5
28．（本题10 分）已知：等边△ABC 的边长为a．
探究（1）：如图1，过等边△ABC 的顶点A、B、C 依次作AB、BC、CA 的垂线围成△MNG，求证：△MNG 是等边三角形
且MN= 3 a；
探究（2）：在等边△ABC 内取一点O，过点O 分别作OD⊥AB、OE⊥BC、OF⊥CA，垂足分别为点D、E、F．
①如图2，若点O 是△ABC 的重心，我们可利用三角形面积公式及等边三角形性质得到两个正确结论（不必证
明）：结论1．OD+OE+OF=
3
2
a；结论2．AD+BE+CF= 3
2
a；
②如图3，若点O 是等边△ABC 内任意一点，则上述结论1，2 是否仍然成立？如果成立，请给予证明；如果不
成立，请说明理由．
【答案】(1)证明见解析；（2）①：结论1 成立．证明见解析；②：结论2 成立．
∴△MNG 为等边三角形．
在Rt△ABM 中，BM=
2 3
sin
sin 60
3
AB
a
a
M
，
在Rt△BCN 中，BN=
3
tan
tan 60
3
BC
a
a
N
，
∴MN=BM+BN= 3 a．
（2）①：结论1 成立．
证明：如图3，过点O 作GH∥BC，分别交AB、AC 于点G、H，过点H 作HM⊥BC 于点M，
∴∠DGO=∠B=60°，∠OHF=∠C=60°，
∴△A GH 是等边三角形，
∴GH=AH．
∵OE⊥BC，
∴OE∥HM，
∴四边形OEMH 是矩形，
∴HM=OE．
∴OD+OE+OF=OD+HM+OF=
3
2
OG+
3
2
HC+
3
2
OH=
3
2
（GH+HC）=
3
2
AC=
3
2
a．
（2）②：结论2 成立．
证明：如图4，连接OA、OB、OC，
根据勾股定理得：
BE2+OE2=OB2=BD2+OD2①，
CF2+OF2=OC2=CE2+OE2②，
AD2+OD2=AO2=AF2+OF2③，
①+②+③得：BE2+CF2+AD2=BD2+CE2+AF2，
∴BE2+CF2+AD2=（a-AD）2+（a-BE）2+（a-CF）2=a2-2AD•a+AD2+a2-2BE•a+BE2+a2-2CF•a+CF2
整理得：2a（AD+BE+CF）=3a2∴AD+BE+CF= 3
2
a．
