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锐角三角函数—巩固练习
【巩固练习】
一、选择题
1. 在△ABC 中，∠C＝90°，sinA＝
，则tanB＝ ( )
A．
B．
C．
D．
2．若∠A 是锐角，且cosA＝
，则( )
A．0°＜∠A＜30° B．30°＜∠A＜45°
C．45°＜∠A＜60° D．60°＜∠A＜90°
3. 已知锐角α 满足sin25°＝cosα，则α＝( )
A．25° B．55° C．65° D．75°
4．如图所示，直径为10 的⊙A 经过点C(0，5)和点O(0，0)，B 是y 轴右侧⊙A 优弧上一点，则∠OBC 的余弦值
为 ( )
A．
B．
C．
D．
第4 题 第5 题
5．如图，在△ABC 中，∠A＝120°，AB＝4，AC＝2，则sinB 的值是( )
A．
B．
C．
D．
6．在Rt△ABC 中，∠C＝90°，若将各边长度都扩大为原来的2 倍，则∠A 的正弦值( )
A．扩大2 倍 B．缩小2 倍 C．扩大4 倍 D．不变
7．如图所示是教学用具直角三角板，边AC＝30cm，∠C＝90°，tan∠BAC＝
，则边BC 的长为( )
A．
cm B．
cm C．
cm D．
cm
第7 题 第8 题
8. 如图所示，在Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，若AC＝
，BC＝2，则sin∠ACD 的值为(
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)
A．
B．
C．
D．
二、填空题
9． (1)锐角∠A 满足2sin(∠A-15°)＝
，则∠A＝________；
(2)已知
为锐角，
，则
________．
10. 用不等号连接下面的式子．
(1)cos50°________cos20° (2)tan18°________tan21°
11．在△ABC 中，若
，∠A、∠B 都是锐角，则∠C 的度数为 .
12．如图所示，△ABC 的顶点都在方格纸的格点上，则sinA＝________．
13．已知：正方形ABCD 的边长为2，点P 是直线CD 上一点，若DP＝1，则tan∠BPC 的值是________．
第12 题 第15 题
14．如果方程
的两个根分别是Rt△ABC 的两条边，△ABC 的最小角为A，那么tanA 的值为
________．
15．如图所示，△ABC 的内心在y 轴上，点C 的坐标为(2，0)，点B 的坐标是(0，2)，直线AC 的解析式为
，则tanA 的值是________．
16. 已知a＝3-tan60°，则代数式
________．
三、解答题
17．如图所示，△ABC 中，D 为AB 的中点，DC⊥AC，且∠BCD＝30°，
求∠CDA 的正弦值、余弦值和正切值．
18. 计算下列各式的值．
(1) sin30°·cos30°-tan30°(结果保留根号)；
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(2)
19．如图所示，在矩形ABCD 中，E 是BC 边上的点，AE＝BC，DF⊥AE，垂足为F，连接DE．
(1)求证：AB＝DF；
(2)若AD＝10，AB＝6，求tan∠EDF 的值．
20. 如图所示，已知⊙O 的半径为2，弦BC 的长为
，点A 为弦BC 所对优弧上任意一点(B、C 两点除外)．
(1)求∠BAC 的度数；
(2)求△ABC 面积的最大值．
(参考数据：
，
，
．
【答案与解析】
一、选择题
1.【答案】B；
【解析】如图所示．
，可设BC＝4k，AB＝5k，用勾股定理可求
．
∴
．
2.【答案】B；
【解析】 ∵
，
，且
．∴ cos45°＜cosA＜cos30°．
又∵ 在锐角的范围内余弦值大的角反而较小．∴ 30°＜∠A＜45°，故应选B．
3. 【答案】C；
【解析】由互余角的三角函数关系，
，∴ sin25°-sin(90°-α)，
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即90°-α＝25°，∴ α＝65°．
4.【答案】C；
【解析】设⊙A 交x 轴于另一点D，连接CD，根据已知可以得到OC＝5，CD＝10，
∴
，∵ ∠OBC＝∠ODC，
∴
．
5.【答案】D；
【解析】如图所示，过点C 作CD⊥AB 于D，∵ ∠BAC＝120°，∴ ∠CAD＝60°，
又∵ AC＝2，∴ AD＝1，CD＝
，
∴ BD＝BA+AD＝5，在Rt△BCD 中，
，
∴
．
6.【答案】D；
【解析】根据锐角三角函数的定义，锐角三角函数值等于相应边的比，与边的长度无关，而只与边的比值
或角的大小有关．
7.【答案】C；
【解析】由
，∴
8. 【答案】A；
【解析】 ∵
，∴
二、填空题
9．【答案】 (1)75°；(2)30°；
【解析】(1)将∠A-15°当作一个角来看待，由已知可得
，
故锐角
，∴ ∠A＝75°．
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(2)将90°-α 口当作一个角来看待，由tan(90°-α)＝
，∴ 90°-α＝60°，∴ α＝
30°．
10.【答案】(1)＜； (2)＜；
【解析】当α 为锐角时，其余弦值随角度的增大而减小，∴ cos50°＜cos20°；
当α 为锐角时，其正切值随角度的增大而增大，∴ tan18°＜tan21°．
11．【答案】105°；
【解析】∵
，
∴
，
即
，
．
又∵ ∠A、∠B 均为锐角，∴ ∠A＝45°，∠B＝30°，
在△ABC 中，∠A+∠B+∠C＝180°，∴ ∠C＝105°．
12．【答案】
；
【解析】假设每一个小正方形的边长为1，利用网格，从C 点向AB 所在直线作垂线CH．垂足为H，
则∠A 在直角△ACH 中，利用勾股定理得
，∴
．
13．【答案】2 或
【解析】此题为无图题，应根据题意画出图形，如图所示，由于点P 是直线CD 上一点，所以点P 既可以在
边CD 上，也可以在CD 的延长线上，
当P 在边CD 上时，
；当P 在CD 延长线上时，
．
14．【答案】
或
；
【解析】由
得
，
，①当3 为直角边时，最小角A 的正切值为
；②当3
为斜边时，另一直角边为
，∴ 最小角A 的正切值为
.
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故应填
或
．
15．【答案】
；
【解析】由△ABC 的内心在y 轴上可知OB 是∠ABC 的角平分线，则∠OBA＝45°，
易求AB 与x 轴的交点为(-2，0)，所以直线AB 的解析式为：
，
联立
可求A 点的坐标为(-6，-4)，
∴
，又OC＝OB＝2，
∴ BC＝
．在Rt△ABC 中，
．
16.【答案】
；
【解析】原式
，将
代入得原式
.
三、解答题
17.【答案与解析】
过D 作DE∥AC，交BC 于点E．
∵ AD＝BD，∴ CE＝EB，∴ AC＝2DE．
又∵ DC⊥ AC，DE∥AC，
∴ DC⊥DE，即∠CDE＝90°．
又∵ ∠BCD＝30°，∴ EC＝2DE，DC＝
DE．
设DE＝k，则CD＝
，AC＝2k．
在Rt△ACD 中，
．
∴
，
．
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．
18.【答案与解析】
(1)sin30°·cos30°-tan30°＝
．
(2)
．
19.【答案与解析】
(1)证明：∵ 四边形ABCD 是矩形，
∴ AD∥BC，AD＝BC
∴ ∠DAF＝∠AEB
又∵ AE＝BC，
∴ AE＝AD
又∵ ∠B=∠DFA＝90°，
∴ △EAB≌△ADF．
∴ AB＝DF．
(2)解：在Rt△ABE 中，
∵ △EAB≌△ADF，
∴ DF＝AB＝6，AF＝EB＝8，
∴ EF＝AE-AF＝10-8＝2．
∴
．
20.【答案与解析】
(1)连接BO 并延长，交⊙O 于点D，连接CD．
∵ BD 是直径，∴ BD＝4，∠DCB＝90°．
在Rt△DBC 中，
，
∴ ∠BDC＝60°，∴ ∠BAC＝∠BDC＝60°．
(2)因为△ABC 的边BC 的长不变，所以当BC 边上的高最大时，△ABC 的面积最大，此时点A 应落在优弧
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BC 的中点处．
过O 作OE⊥BC 于点E，延长EO 交⊙O 于点A，则A 为优孤BC 的中点．连结AB，AC，
则AB＝AC，∠BAE
∠BAC＝30°．
在Rt△ABE 中，∵ BE
，∠BAE＝30°，
∴
，
∴
．
答：△ABC 面积的最大值是
．
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