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锐角三角函数—巩固练习
【巩固练习】
一、选择题
1. （2016•乐山）如图，在Rt△ABC 中，∠BAC=90°，AD⊥BC 于点D，则下列结论不正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
2.（2015•山西）如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A，B，C 都在格点上，则∠ABC 的正切值是（ ）
A．2
B．
C．
D．
3. 已知锐角α 满足sin25°＝cosα，则α＝( )
A．25° B．55° C．65° D．75°
4．如图所示，直径为10 的⊙A 经过点C(0，5)和点O(0，0)，B 是y 轴右侧⊙A 优弧上一点，则∠OBC 的余弦值
为 ( )
A．
B．
C．
D．
第4 题 第5 题
5．如图，在△ABC 中，∠A＝120°，AB＝4，AC＝2，则sinB 的值是( )
A．
B．
C．
D．
6．在Rt△ABC 中，∠C＝90°，若将各边长度都扩大为原来的2 倍，则∠A 的正弦值( )
A．扩大2 倍 B．缩小2 倍 C．扩大4 倍 D．不变
7．如图所示是教学用具直角三角板，边AC＝30cm，∠C＝90°，tan∠BAC＝
，则边BC 的长为( )
A．
cm B．
cm C．
cm D．
cm
第7 题 第8 题
8. 如图所示，在Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，若AC＝
，BC＝2，则sin∠ACD 的值为(
)
A．
B．
C．
D．
二、填空题
9．（2016•临夏州）如图，点A（3，t）在第一象限，OA 与x 轴所夹的锐角为α，tanα=
，则t 的值是
．
10. 用不等号连接下面的式子．
(1)cos50°________cos20° (2)tan18°________tan21°
11．在△ABC 中，若
，∠A、∠B 都是锐角，则∠C 的度数为 .
12．如图所示，△ABC 的顶点都在方格纸的格点上，则sinA＝________．
13．已知：正方形ABCD 的边长为2，点P 是直线CD 上一点，若DP＝1，则tan∠BPC 的值是________．
第12 题 第15 题
14．如果方程
的两个根分别是Rt△ABC 的两条边，△ABC 的最小角为A，那么tanA 的值为
________．
15．如图所示，△ABC 的内心在y 轴上，点C 的坐标为(2，0)，点B 的坐标是(0，2)，直线AC 的解析式为
，则tanA 的值是________．
16.（2014•高港区二模）若α 为锐角，且
，则m 的取值范围是 ．
三、解答题
17．如图所示，△ABC 中，D 为AB 的中点，DC⊥AC，且∠BCD＝30°，
求∠CDA 的正弦值、余弦值和正切值．
18. 计算下列各式的值．
(1) （2015•普陀区一模）
；
(2) （2015•常州模拟）
sin45°+tan45°﹣2cos60°．
(3) （2015•奉贤区一模）
﹣cos60°．
19．如图所示，在矩形ABCD 中，E 是BC 边上的点，AE＝BC，DF⊥AE，垂足为F，连接DE．
(1)求证：AB＝DF；
(2)若AD＝10，AB＝6，求tan∠EDF 的值．
20. 如图所示，已知⊙O 的半径为2，弦BC 的长为
，点A 为弦BC 所对优弧上任意一点(B、C 两点除外)．
(1)求∠BAC 的度数；
(2)求△ABC 面积的最大值．
(参考数据：
，
，
．
【答案与解析】
一、选择题
1.【答案】C.
【解析】在Rt△ABC 中，∠BAC=90°，sinB=
，
∵AD⊥BC，
∴sinB=
，
sinB=sin∠DAC=
，
综上，只有C 不正确
故选：C．
2.【答案】D；
【解析】如图：由勾股定理得，
AC=
，AB=2
，BC=
，
∴△ABC 为直角三角形，
∴tan∠B=
= ，
故选：D．
3. 【答案】C；
【解析】由互余角的三角函数关系，
，∴ sin25°-sin(90°-α)，
即90°-α＝25°，∴ α＝65°．
4.【答案】C；
【解析】设⊙A 交x 轴于另一点D，连接CD，根据已知可以得到OC＝5，CD＝10，
∴
，∵ ∠OBC＝∠ODC，
∴
．
5.【答案】D；
【解析】如图所示，过点C 作CD⊥AB 于D，∵ ∠BAC＝120°，∴ ∠CAD＝60°，
又∵ AC＝2，∴ AD＝1，CD＝
，
∴ BD＝BA+AD＝5，在Rt△BCD 中，
，
∴
．
6.【答案】D；
【解析】根据锐角三角函数的定义，锐角三角函数值等于相应边的比，与边的长度无关，而只与边的比值
或角的大小有关．
7.【答案】C；
【解析】由
，∴
8. 【答案】A；
【解析】 ∵
，∴
二、填空题
9.【答案】
．
【解析】过点A 作AB⊥x 轴于B，
∵点A（3，t）在第一象限，
∴AB=t，OB=3，
又∵tanα=
=
=
，
∴t=
．
故答案为：
．
10.【答案】(1)＜； (2)＜；
【解析】当α 为锐角时，其余弦值随角度的增大而减小，∴ cos50°＜cos20°；
当α 为锐角时，其正切值随角度的增大而增大，∴ tan18°＜tan21°．
11．【答案】105°；
【解析】∵
，
∴
，
即
，
．
又∵ ∠A、∠B 均为锐角，∴ ∠A＝45°，∠B＝30°，
在△ABC 中，∠A+∠B+∠C＝180°，∴ ∠C＝105°．
12．【答案】
；
【解析】假设每一个小正方形的边长为1，利用网格，从C 点向AB 所在直线作垂线CH．垂足为H，
则∠A 在直角△ACH 中，利用勾股定理得
，∴
．
13．【答案】2 或
【解析】此题为无图题，应根据题意画出图形，如图所示，由于点P 是直线CD 上一点，所以点P 既可以在
边CD 上，也可以在CD 的延长线上，
当P 在边CD 上时，
；当P 在CD 延长线上时，
．
14．【答案】
或
；
【解析】由
得
，
，①当3 为直角边时，最小角A 的正切值为
；②当3
为斜边时，另一直角边为
，∴ 最小角A 的正切值为
.
故应填
或
．
15．【答案】
；
【解析】由△ABC 的内心在y 轴上可知OB 是∠ABC 的角平分线，则∠OBA＝45°，
易求AB 与x 轴的交点为(-2，0)，所以直线AB 的解析式为：
，
联立
可求A 点的坐标为(-6，-4)，
∴
，又OC＝OB＝2，
∴ BC＝
．在Rt△ABC 中，
．
16.【答案】
；
【解析】∵0＜cosα＜1，
∴0＜
＜1，
解得
.
三、解答题
17.【答案与解析】
过D 作DE∥AC，交BC 于点E．
∵ AD＝BD，∴ CE＝EB，∴ AC＝2DE．
又∵ DC⊥ AC，DE∥AC，
∴ DC⊥DE，即∠CDE＝90°．
又∵ ∠BCD＝30°，∴ EC＝2DE，DC＝
DE．
设DE＝k，则CD＝
，AC＝2k．
在Rt△ACD 中，
．
∴
，
．
．
18.【答案与解析】
解：（1）原式=4× ﹣
×
+
×
=1+3
．
(2) 原式=
×
+1﹣2×
=1+1﹣1
=1．
(3) 原式=
﹣×
=
﹣
=
．
19.【答案与解析】
(1)证明：∵ 四边形ABCD 是矩形，
∴ AD∥BC，AD＝BC
∴ ∠DAF＝∠AEB
又∵ AE＝BC，
∴ AE＝AD
又∵ ∠B=∠DFA＝90°，
∴ △EAB≌△ADF．
∴ AB＝DF．
(2)解：在Rt△ABE 中，
∵ △EAB≌△ADF，
∴ DF＝AB＝6，AF＝EB＝8，
∴ EF＝AE-AF＝10-8＝2．
∴
．
20.【答案与解析】
(1)连接BO 并延长，交⊙O 于点D，连接CD．
∵ BD 是直径，∴ BD＝4，∠DCB＝90°．
在Rt△DBC 中，
，
∴ ∠BDC＝60°，∴ ∠BAC＝∠BDC＝60°．
(2)因为△ABC 的边BC 的长不变，所以当BC 边上的高最大时，△ABC 的面积最大，此时点A 应落在优弧
BC 的中点处．
过O 作OE⊥BC 于点E，延长EO 交⊙O 于点A，则A 为优孤BC 的中点．连结AB，AC，
则AB＝AC，∠BAE
∠BAC＝30°．
在Rt△ABE 中，∵ BE
，∠BAE＝30°，
∴
，
∴
．
答：△ABC 面积的最大值是
．
