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考点综合专题：锐角三角函数与其他知识的综合
——代几结合，掌握中考风向标
类型一 锐角三角函数与四边形的综合
1．如图，在矩形ABCD 中，DE⊥AC 于E，设∠ADE＝α，且cosα＝，AB＝4，则AD 的长为(
)
A．3 B. C. D.
第1 题图 第2 题图 第3 题图
2．(2016·宝山区一模)如图，菱形ABCD 的边长为10，sin∠BAC＝，则对角线AC 的长为
________．
3．(2016·福州中考)如图，6 个形状、大小完全相同的菱形组成网格，菱形的顶点称为格点．
已知菱形的一个角(∠O)为60°，A，B，C 都在格点上，则tan∠ABC 的值是________．
4．如图，在四边形ABCD 中，∠B＝∠D＝90°，AB＝3，BC＝2，tanA＝，则CD＝
________．
第4 题图 第5 题图 第6 题图
5．(2016·菏泽中考)如图，在正方形ABCD 外作等腰直角△CDE，DE＝CE，连接BE，则
tan∠EBC＝________．
6．(2016·东营中考)如图，折叠矩形ABCD 的一边AD，使点D 落在BC 边的点F 处，已知
折痕AE＝5cm，且tan∠EFC＝，那么矩形ABCD 的周长为________cm.
7．如图，矩形ABCD 中，M 为BC 上一点，F 是AM 的中点，EF⊥AM，垂足为F，交AD 于
点E.
(1)求证：∠BAM＝∠AEF；
(2)若AB＝4，AD＝6，cos∠BAM＝，求DE 的长．
8．(2016·杭州中考)如图，已知四边形ABCD 和四边形DEFG 为正方形，点E 在线段DC
上，点A，D，G 在同一直线上，且AD＝3，DE＝1，连接AC，CG，AE，并延长AE 交CG 于点H.
(1)求sin∠EAC 的值；
(2)求线段AH 的长．
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类型二 锐角三角函数与其他函数的综合
9．如图，直线y＝x＋3 与x、y 轴分别交于A、B 两点，则cos∠BAO 的值是( )
A. B. C. D.
第9 题图 第10 题图
10．(2016·海曙区一模)如图，P(12，a)在反比例函数y＝图象上，PH⊥x 轴于H，则
tan∠POH 的值为________．
类型三 锐角三角函数与圆的综合
11．(2016·衢州中考)如图，AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上的点，过点C 作⊙O 的切线交
AB 的延长线于点E，若∠A＝30°，则sinE 的值为( )
A. B. C. D.
第11 题图 第12 题图 第13 题图
12．(2016·颍泉区二模)如图，四边形BDCE 内接于以BC 为直径的⊙A，若BC＝10，
cos∠BCD＝，∠BCE＝30°，则线段DE 的长是( )
A. B．7 C．4＋3 D．3＋4
13．(2016·贵阳中考)如图，已知⊙O 的半径为6cm，弦AB 的长为8cm，P 是AB 延长线上
一点，BP＝2cm，则tan∠OPA 的值是________．
14．如图，圆O 的直径AB＝8，AC＝3CB，过C 作AB 的垂线交圆O 于M，N 两点，连接
MB，则∠MBA 的余弦值为________．
第14 题图 第15 题图
15．如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，AD 是⊙O 的直径，若⊙O 的半径是4，sinB＝，则线段
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AC 的长为________．
16．(2016·温州中考)如图，在△ABC 中，∠C＝90°，D 是BC 边上一点，以DB 为直径的
⊙O 经过AB 的中点E，交AD 的延长线于点F，连接EF.
(1)求证：∠1＝∠F；
(2)若sinB＝，EF＝2，求CD 的长．
17．如图，AB 为⊙O 的直径，CO⊥AB 于O，D 在⊙O 上，连接BD，CD，延长CD 与AB 的
延长线交于E，F 在BE 上，且FD＝FE.
(1)求证：FD 是⊙O 的切线；
(2)若AF＝8，tan∠BDF＝，求EF 的长．
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参考答案与解析
1．B 解析：由题意可得AB＝CD＝4，∠ADE＝∠ACD＝α.在Rt△ADC 中，cos∠ACD＝
cosα＝＝，即＝，∴AC＝.根据勾股定理得AD＝＝.
2．16
3. 解析：如图，连接EA，EC，设菱形的边长为a，由题意得∠AEF＝30°，∠BEF＝60°，
AE＝a，EB＝2a，∴∠AEB＝90°，∴tan∠ABC＝＝＝.
4. 解析：延长AD 和BC 交于点E.∵在Rt△ABE 中，tanA＝＝，AB＝3，∴BE＝4，∴EC
＝BE－BC＝4－2＝2.∵在△ABE 和△CDE 中，∠B＝∠EDC＝90°，∠E＝∠E，∴∠DCE＝
∠A，∴Rt△CDE 中，tan∠DCE＝tanA＝＝，∴设DE＝4x，则DC＝3x.在Rt△CDE 中，EC2＝
DE2＋DC2，∴4＝16x2＋9x2，解得x＝，则CD＝.
5. 解析：作EF⊥BC 于F，设DE＝CE＝a.∵△CDE 为等腰直角三角形，∴CD＝CE＝
a，∠DCE＝45°.∵四边形ABCD 为正方形，∴CB＝CD＝a，∠BCD＝90°，∴∠ECF＝45°，
∴△CEF 为等腰直角三角形，∴CF＝EF＝CE＝a.∴BF＝BC＋CF＝a.在Rt△BEF 中，
tan∠EBF＝＝，即tan∠EBC＝.
6．36 解析：∵tan∠EFC＝，∴设CE＝3k，则CF＝4k，由勾股定理得EF＝DE＝5k，
∴DC＝AB＝8k.由题意可得∠B＝∠AFE＝90°，∴∠AFB＋∠BAF＝90°，∠AFB＋∠EFC＝
90°，∴∠BAF＝∠EFC，∴tan∠BAF＝tan∠EFC＝，∴BF＝6k，AF＝BC＝AD＝10k.在
Rt△AFE 中，由勾股定理得AE2＝AF2＋EF2，即(5)2＝(10k)2＋(5k)2，解得k＝1，故矩形ABCD
的周长为2(AB＋BC)＝2(8k＋10k)＝36k＝36×1＝36(cm)．
7．(1)证明：∵四边形ABCD 是矩形，∴∠B＝∠BAC＝90°.∵EF⊥AM，∴∠AFE＝90°，
∴∠EAF＋∠BAM＝∠EAF＋∠AEF＝90°，∴∠BAM＝∠AEF；
(2)解：在Rt△ABM 中，∵∠B＝90°，AB＝4，cos∠BAM＝，∴AM＝5.∵F 为AM 的中点，
∴AF＝.∵∠BAM＝∠AEF，∴cos∠BAM＝cos∠AEF＝.∴sin∠AEF＝.在Rt△AEF 中，
∵∠AFE＝90°，AF＝，sin∠AEF＝，∴AE＝.∴DE＝AD－AE＝6－＝.
8．解：(1)作EM⊥AC 于M.∵四边形ABCD 是正方形，∴∠ADC＝90°，AD＝DC＝3，
∠DCA＝45°.在Rt△ADE 中，∵∠ADE＝90°，AD＝3，DE＝1，∴AE＝＝.在Rt△EMC 中，
∵∠EMC＝90°，∠ECM＝45°，EC＝2，∴EM＝CM＝.∴在Rt△AEM 中，sin∠EAM＝＝＝；
(2)在△GDC 和△EDA 中，∴△GDC≌△EDA，∴∠GCD＝∠EAD，GC＝AE＝.又
∵∠AED＝∠CEH，∴∠EHC＝∠EDA＝90°，∴AH⊥GC.∵S△AGC＝AG·DC＝GC·AH，
∴×4×3＝××AH，∴AH＝.
9．A 10. 11.A
12．D 解析：过B 作BF⊥DE 于F.在Rt△CBD 中，∵BC＝10，cos∠BCD＝，∴BD＝8.在
Rt△BCE 中，∵BC＝10，∠BCE＝30°，∴BE＝5.在Rt△BDF 中，∵∠BDF＝∠BCE＝30°，BD
＝8，∴DF＝BD·cos30°＝4.在Rt△BEF 中，∵∠BEF＝∠BCD，即cos∠BEF＝cos∠BCD＝，
BE＝5，∴EF＝BE·cos∠BEF＝3.∴DE＝EF＋DF＝3＋4.
13.
14. 解析：连接OM.∵AB＝8，AC＝3CB，∴OC＝AB＝2，∴在Rt△OCM 中，OC＝OM，
∴∠MOC＝60°，∴△MOB 为等边三角形，∴∠MBA＝60°，∴cos∠MBA＝.
15．2 解析：连接CD.∵AD 是⊙O 的直径，∴∠ACD＝90°.∵∠D＝∠B，∴sinD＝sinB
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＝.在Rt△ACD 中，∵sinD＝＝，∴AC＝AD＝×8＝2.
16．(1)证明：连接DE.∵BD 是⊙O 的直径，∴∠DEB＝90°.又∵E 是AB 的中点，∴DE 垂
直平分AB，∴DA＝DB，∴∠1＝∠B.∵∠B＝∠F，∴∠1＝∠F；
(2)解：∵∠1＝∠F，∴AE＝EF＝2，∴AB＝2AE＝4.在Rt△ABC 中，∵AC＝AB·sinB＝4，
∴BC＝＝8.设CD＝x，则AD＝BD＝8－x.在Rt△ACD 中，∵AC2＋CD2＝AD2，即42＋x2＝(8－
x)2，∴x＝3，即CD＝3.
17．(1)证明：连接OD.∵CO⊥AB，∴∠E＋∠C＝90°.∵FE＝FD，OD＝OC，∴∠E＝
∠FDE，∠C＝∠ODC，∴∠FDE＋∠ODC＝90°，∴∠ODF＝90°，∴OD⊥DF，∴FD 是⊙O
的切线；
(2)解：连接AD.∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ADB＝90°，∴∠A＋∠ABD＝90°.∵OB＝OD，
∴∠OBD＝∠ODB，∴∠A＋∠ODB＝90°.∵∠BDF＋∠ODB＝90°，∴∠A＝∠BDF.而∠DFB
＝∠AFD，∴△FBD∽△FDA，∴＝.在Rt△ABD 中，tanA＝tan∠BDF＝＝，∴＝，∴DF＝2，
∴EF＝2.
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