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第二十二章检测卷
时间：120 分钟 满分：150 分
班级：__________ 姓名：__________ 得分：__________
一、选择题(本题共12 小题，每小题3 分，共36 分)
1．下列各式中，y 是x 的二次函数的是（ ）
A．y＝ B．y＝2x＋1
C．y＝x2＋x－2 D．y2＝x2＋3x
2．抛物线y＝2x2＋1 的顶点坐标是（ ）
A．(2，1) B．(0，1)
C．(1，0) D．(1，2)
3．二次函数y＝ax2＋bx－1(a≠0)的图象经过点(1，1)，则a＋b＋1 的值是（ ）
A．－3 B．－1
C．2 D．3
4．抛物线y＝x2－2x－3 与x 轴的交点个数是（ ）
A．0 个 B．1 个
C．2 个 D．3 个
5．下列函数中，当x>0 时，y 随x 值的增大而先增大后减小的是（ ）
A．y＝x2＋1 B．y＝x2－1
C．y＝(x＋1)2 D．y＝－(x－1)2
6．二次函数y＝ax2＋bx＋c 的部分对应值如下表：
x
…
－2
－1
0
1
2
3
…
y
…
5
0
－3
－4
－3
0
…
二次函数图象的对称轴是（ ）
A．直线x＝1 B．y 轴
C．直线x＝ D．直线x＝－
7．如图，二次函数y＝ax2＋bx＋c 的图象与x 轴相交于(－2，0)和(4，0)两点，当函数值y
＞0 时，自变量x 的取值范围是（ ）
A．x＜－2
B．－2＜x＜4
C．x＞0
D．x＞4
8．二次函数y＝ax2＋bx＋c 的图象如图所示，那么一次函数y＝ax＋b 的图象大致是
（ ）
9．某种品牌的服装进价为每件150 元，当售价为每件210 元时，每天可卖出20 件，现需
降价处理，且经市场调查：每件服装每降价2 元，每天可多卖出1 件．在确保盈利的前提下，
若设每件服装降价x 元，每天售出服装的利润为y 元，则y 与x 的函数关系式为（ ）
A．y＝－x2＋10x＋1200(0＜x＜60)
B．y＝－x2－10x＋1200(0＜x＜60)
C．y＝－x2＋10x＋1250(0＜x＜60)
D．y＝－x2－10x＋1250(x≤60)
10．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2经过平移得到抛物线y＝x2－2x，其对称轴
与两段抛物线弧所围成的阴影部分的面积为（ ）
A．2 B．4 C．8 D．16
第10 题图
11．抛物线y＝－x2＋6x－9 的顶点为A，与y 轴的交点为B，如果在抛物线上取点C，在x
轴上取点D，使得四边形ABCD 为平行四边形，那么点D 的坐标是（ ）
A．(－6，0) B．(6，0) C．(－9，0) D．(9，0)
12．如图是抛物线y1＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象的一部分，抛物线的顶点坐标是A(1，3)，与
x 轴的一个交点为B(4，0)，直线y2＝mx＋n(m≠0)与抛物线交于A，B 两点，下列结论：①2a＋b
＝0；②abc＞0；③方程ax2＋bx＋c＝3 有两个相等的实数根；④抛物线与x 轴的另一个交点
是(－1，0)；⑤当1＜x＜4 时，有y2＜y1，其中正确的是（ ）
A．①②③ B．①③④ C．①③⑤ D．②④⑤
第12 题图
二、填空题(本大题共6 小题，每小题4 分，共24 分)
13．当a＝ 时，函数y＝(a－1)xa2＋1＋x－3 是二次函数．
14．把二次函数y＝x2－12x 化为形如y＝a(x－h)2＋k 的形式为 .
15．已知A(4，y1)，B(－4，y2)是抛物线y＝(x＋3)2－2 的图象上两点，则y1 y2.
16．若抛物线y＝x2－2x＋3 不动，将平面直角坐标系xOy 先沿水平方向向右平移1 个单
位，再沿铅直方向向上平移3 个单位，则原抛物线图象的解析式应变为 .
17．教练对小明推铅球的录像进行技术分析，发现铅球行进高度y(m)与水平距离x(m)之
间的关系为y＝－(x－4)2＋3，由此可知铅球推出的距离是 m.
18．若函数y＝(a－1)x2－4x＋2a 的图象与x 轴有且只有一个交点，则a 的值为 .
三、解答题(本题共8 小题，共90 分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步
骤)
19．(10 分)二次函数的图象如图所示，求这条抛物线的解析式(结果化成一般式)．
20．(10 分)已知△ABC 中，边BC 的长与BC 边上的高的和为20.写出△ABC 的面积y 与
BC 的长x 之间的函数关系式，并求出面积为48 时BC 的长．
21．(10 分)已知二次函数y＝x2－6x＋8.
(1)将y＝x2－6x＋8 化成y＝a(x－h)2＋k 的形式；
(2)当0≤x≤4 时，y 的最小值是 ，最大值是 ；
(3)当y<0 时，根据函数草图直接写出x 的取值范围．
22．(10 分)已知在平面直角坐标系内，抛物线y＝x2＋bx＋6 经过x 轴上两点A，B，点B 的
坐标为(3，0)，与y 轴相交于点C.
(1)求抛物线的表达式；
(2)求△ABC 的面积．
23．(12 分)某宾馆有50 个房间供游客居住，当每个房间定价120 元时，房间会全部住满，
当每个房间每天的定价每增加10 元时，就会有一个房间空闲，如果游客居住房间，宾馆需对
每个房间每天支出20 元的各种费用．设每个房间定价增加10x 元(x 为整数)．
(1)直接写出每天游客居住的房间数量y 与x 的函数关系式；
(2)设宾馆每天的利润为w 元，当每间房价定价为多少元时，宾馆每天所获利润最大？最
大利润是多少？
24．(12 分)已知抛物线y＝x2－px＋－.
(1)若抛物线与y 轴交点的坐标为(0，1)，求抛物线与x 轴交点的坐标；
(2)证明：无论p 为何值，抛物线与x 轴必有交点．
25．(12 分)某中学课外兴趣活动小组准备围建一个矩形苗圃园，其中一边靠墙，另外三
边用长为30 米的篱笆围成，已知墙长为18 米(如图所示)，设这个苗圃园垂直于墙的一边的
长为x 米．
(1)若苗圃园的面积为72 平方米，求x 的值；
(2)若平行于墙的一边长不小于8 米，这个苗圃园的面积有最大值和最小值吗？如果有，
求出最大值和最小值；如果没有，请说明理由．
26．(14 分)如图，在直角坐标系中，抛物线经过点A(0，4)，B(1，0)，C(5，0)，其对称轴与x
轴相交于点M.
(1)求抛物线的解析式和对称轴；
(2)在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使△PAB 的周长最小？若存在，请求出点P 的
坐标；若不存在，请说明理由；
(3)连接AC，在直线AC 的下方的抛物线上，是否存在一点N，使△NAC 的面积最大？若
存在，请求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．
答案：
1．C 2.B 3.D 4.C 5.D 6.A 7.B 8.A 9.A
10．B 11.D
12．C 解析：对于抛物线y1＝ax2＋bx＋c(a≠0)，对称轴为直线x＝－＝1，∴2a＋b＝0，①
正确；由抛物线图象可知a＜0，c＞0，x＝－＞0，∴b＞0，∴abc＜0，②错误；由抛物线y1＝ax2
＋bx＋c(a≠0)图象与y＝3 只有一个交点，∴方程ax2＋bx＋c＝3 有两个相等的实数根，③正
确；设抛物线与x 轴的另一个交点是(x2，0)，由抛物线的对称性可知＝1，∴x2＝－2，即抛物线
与x 轴的另一个交点是(－2，0)，④错误；通过函数图象可直接得到当1＜x＜4 时，有y2＜y1，
⑤正确．故选C.
13．－1 14.y＝(x－6)2－36 15.> 16.y＝x2－1
17．10 18.－1 或2 或1
19．解：由图象可知抛物线的顶点坐标为(1，4)，(1 分)设此二次函数的解析式为y＝a(x－
1)2＋4.(3 分)把点(3，0)代入解析式，得4a＋4＝0，即a＝－1.(7 分)所以此函数的解析式为y＝
－(x－1)2＋4＝－x2＋2x＋3.(10 分)
20．解：y＝x(20－x)＝－x2＋10x.(4 分)解方程48＝－x2＋10x，得x1＝12，x2＝8，(9
分)∴△ABC 的面积为48 时，BC 的长为12 或8.(10 分)
21．解：(1)y＝(x－3)2－1；(3 分)
(2)－1(5 分) 8(7 分)
(3)2<x<4.(10 分)
22．解：(1)把点B 的坐标(3，0)代入抛物线y＝x2＋bx＋6 得0＝9＋3b＋6，解得b＝－5，(3
分)∴抛物线的表达式为y＝x2－5x＋6；(4 分)
(2)∵抛物线的表达式y＝x2－5x＋6，令y＝0，即x2－5x＋6＝0，解得x1＝2，x2＝3.令x＝
0，则y＝6.∴A(2，0)，B(3，0)，C(0，6)．(8 分)∴AB＝1，OC＝6，S△ABC＝×1×6＝3.(10 分)
23．解：(1)y＝50－x(0≤x≤50，x 为整数)；(4 分)
(2)w＝(120＋10x－20)(50－x)＝－10x2＋400x＋5000＝－10(x－20)2＋9000.(8 分)∵a＝－
10＜0，∴当x＝20 时，w 取得最大值，最大值为9000.此时每个房间定价为120＋10x＝
320(元)．(11 分)
答：当每间房价定价为320 元时，宾馆每天所获利润最大，最大利润是9000 元．(12 分)
24．(1)解：对于抛物线y＝x2－px＋－，将x＝0，y＝1 代入得－＝1，解得p＝，∴抛物线的
解析式为y＝x2－x＋1.(2 分)令y＝0，得x2－x＋1＝0，解得x1＝，x2＝2.(5 分)则抛物线与x 轴
交点的坐标为与(2，0)；(6 分)
(2)证明：∵Δ＝p2－4＝p2－2p＋1＝(p－1)2≥0，∴无论p 为何值，抛物线与x 轴必有交点．
(12 分)
25．解：(1)根据题意，得(30－2x)x＝72，解得x1＝3，x2＝12. 30
∵
－2x≤18，∴x≥6，∴x＝12；
(4 分)
(2)设苗圃园的面积为y，则y＝x(30－2x)＝－2x2＋30x.由题意得30－2x≥8，∴x≤11.由(1)
可知x≥6，∴x 的取值范围是6≤x≤11.(6 分)∵a＝－2＜0，对称轴为直线x＝－＝－＝，∴当x＝
时，y 取最大值，最大值为－2×＋30×＝112.5；(9 分)当x＝11 时，y 取最小值，最小值为－2×112
＋30×11＝88.(11 分)
答：当平行于墙的一边长不小于8 米时，这个苗圃园的面积的最大值为112.5 平方米，最
小值为88 平方米．(12 分)
26．解：(1)根据已知条件可设抛物线的解析式为y＝a(x－1)(x－5)，(1 分)把点A(0，4)代
入上式，得a＝，∴y＝(x－1)(x－5)＝x2－x＋4＝(x－3)2－，(3 分)∴抛物线的对称轴是直线x＝
3；(4 分)
(2)存在．(5 分)理由如下：∵点A(0，4)，抛物线的对称轴是直线x＝3，∴点A 关于对称轴
的对称点A′的坐标为(6，4)．(6 分)如图①，连接BA′交对称轴于点P，连接AP，此时△PAB 的
周长最小．(7 分)设直线BA′的解析式为y＝kx＋b，把A′(6，4)，B(1，0)代入得解得∴y＝x－.(8
分)∵点P 的横坐标为3，∴y＝×3－＝，∴P；(9 分)
(3)在直线AC 的下方的抛物线上存在点N，使△NAC 面积最大．(10 分)设N 点的横坐标为t，
此时点N(t，t2－t＋4)(0＜t＜5)．如图②，过点N 作NG∥y 轴交AC 于G，作AD⊥NG 于D.(11
分)由点A(0，4)和点C(5，0)可求出直线AC 的解析式为y＝－x＋4.则G(t，－t＋4)，此时NG＝
－t＋4－＝－t2＋4t.∵AD＋CF＝CO＝5，∴S△ACN＝S△ANG＋S△CGN＝AD·NG＋NG·CF＝NG·OC
＝××5＝－2t2＋10t＝－2＋.∴当t＝时，△CAN 面积的最大值为.(13 分)当t＝时，y＝t2－t＋4＝
－3，∴N.(14 分)
