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第二十四章过关自测卷
（100 分,45 分钟）
一、选择题（每题4 分，共32 分）
1.〈重庆〉如图1，AB 是⊙O 的切线，B 为切点，AO 与⊙O 交于点C，若
∠BAO=40°，则∠OCB 的度数为（ ）
A．40° B．50° C．65° D．75°
图1 图2
2.〈甘肃兰州〉如图2 是一圆柱形输水管的横截面，阴影部分为有水部
分，如果水面AB 宽为8 cm，水面最深地方的高度为2 cm，则该输水
管的半径为（ ）
A．3 cm B．4 cm C．5 cm D．6 cm
3.〈甘肃兰州〉圆锥底面圆的半径为3 cm，其侧面展开图是半圆，则圆
锥母线长为（ ）
A．3 cm B．6 cm C．9 cm D．12 cm
图3 图4
4.如图3，边长为a 的六角螺帽在桌面上滚动（没有滑动）一周，则它
的中心O 点所经过的路径长为（ ）
A．6a B．5a C．2aπ D．
aπ
5.〈山东泰安〉如图4，已知AB 是⊙O 的直径，AD 切⊙O 于点A，点C
是
Com
b i n的中点，则下列结论不成立的是（ ）
A．OC//AE B．EC=BC
C．∠DAE=∠ABE D．AC⊥OE
6.〈2013,晋江市质检〉如图5，动点M，N 分别在直线AB 与CD 上，且
AB//CD，∠BMN 与∠MND 的平分线相交于点P，若以MN 为直径作
⊙O，则点P 与⊙O 的位置关系是（ ）
图5
A．点P 在⊙O 外 B．点P 在⊙O 内
C．点P 在⊙O 上 D．以上都有可能
7.△ABC 中，AB=AC，∠A 为锐角，CD 为AB 边上的高，I 为△ACD 的
内切圆圆心，则∠AIB 的度数是（ ）
A．120° B．125° C．135° D．150°
8.〈贵州遵义〉如图6，将边长为1 cm 的等边三角形ABC 沿直线l 向右
翻动（不滑动），点B 从开始到结束，所经过路径的长度为（ ）
图6
A．
π cm B．
cm C．
π cm D．3 cm
二、填空题（每题4 分，共24 分）
9.〈四川巴中〉如图7，已知⊙O 是△ABD 的外接圆，AB 是⊙O 的直径，
CD 是⊙O 的弦，∠ABD=58°，则∠BCD 等于________.
图7 图8
10.〈重庆〉如图8，一个圆心角为90°的扇形，半径OA=2，那么图中阴
影部分的面积为________（结果保留π）．
11.〈贵州遵义〉如图9，在Rt△ABC 中，∠ACB=90°，AC=BC=1，E 为
BC 边上的一点，以A 为圆心，AE 为半径的圆弧交AB 于点D，交AC
的延长于点F，若图中两个阴影部分的面积相等，则AF 的长为
________（结果保留根号）．
图9 图10
12.如图10，△ABC 为等边三角形，AB=6，动点O 在△ABC 的边上从
点A 出发沿着A→C→B→A 的路线匀速运动一周，速度为每秒1 个单
位长度，以O 为圆心、
为半径的圆在运动过程中与△ABC 的边第二
次相切时是出发后第________秒．
13.如图11,正六边形ABCDEF 中,AB=2,P 是ED 的中点,连接AP,则AP
的长为________.
图11 图12
14.如图12，AB 为半圆O 的直径，C 为半圆的三等分点，过B，C 两点
的半圆O 的切线交于点P，若AB 的长是2a，则PA 的长是________．
三、解答题（15 题9 分，16 题10 分，17 题11 分，18 题14 分，共44 分）
15. 如图13 所示，△ABC 中，∠ACB=90°，AC=2 cm，BC=4 cm，CM 是
AB 边上的中线，以C 为圆心，以
cm 长为半径画圆，则点A，B，M 与
⊙C 的位置关系如何？
图13
16. 如图14，已知CD 是⊙O 的直径，点A 为CD 延长线上一点，
BC=AB，∠CAB=30°.
（1）求证：AB 是⊙O 的切线；
图14
（2）若⊙O 的半径为2，求
Com
b i n的长．
17.如图15，从一个直径为4 的圆形铁片中剪下一个圆心角为90°的扇
形ABC．
（1）求这个扇形的面积；
图15
（2）在剩下的材料中，能否从③中剪出一个圆作为底面，与扇形ABC
围成一个圆锥？若不能，请说明理由；若能，请求出剪的圆的半径是
多少．
18. 如图16，在平面直角坐标系中，以坐标原点O 为圆心，2 为半径画
⊙O，P 是⊙O 上一动点，且P 在第一象限内，过点P 作⊙O 的切线与
x 轴相交于点A，与y 轴相交于点B．
（1）点P 在运动时，线段AB 的长度也在发生变化，请写出线段AB 长
度的最小值，并说明理由；
图16
（2）在⊙O 上是否存在一点Q，使得以Q，O，A，P 为顶点的四边形是
平行四边形？若存在，请求出Q 点的坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案及点拨
一、1. C 点拨：∵AB 是⊙O 的切线，B 为切点，
∴OB⊥AB，即∠OBA=90°，
∵∠BAO=40°，∴∠O=50°，∵OB=OC，
∴∠OCB=
（180°－∠O）=65°．故选C．
2. C 点拨：如答图1 所示，过圆心O 作OD⊥AB 于点D，连接OA.
答图1
∵OD⊥AB，
∴AD=
AB=
×8=4 (cm).
设OA=r cm，则OD=(r－2 )cm，
在Rt△AOD 中，OA2=OD2+AD2，即r2=（r－2）2+42，
解得r=5．
故选C．
3. B 点拨：解答本题运用了方程思想.由题意得圆锥的底面周长是
6πcm，设母线长是l cm，则lπ=6π，解得：l=6．故选B．
4. C 点拨：分析可知，六角螺帽在桌面上滚动（没有滑动）一周，它的
中心O 点所经过的路径长为
×6=2aπ．故选C．
5. D 点拨：A.∵点C 是
Com
b i n的中点，
∴OC⊥BE，∵AB 为圆O 的直径，
∴AE⊥BE，∴OC∥AE，本选项正确；
B.∵
Com
b i n=
Com
b i n，∴EC=BC，本选项正确；
C.∵AD 为圆O 的切线，∴AD⊥OA，
∴∠DAE+∠EAB=90°，∵∠ABE+∠EAB=90°，
∴∠DAE=∠ABE，本选项正确；
D.AC 不一定垂直于OE，本选项错误.故选D.
6. C 点拨：∵AB∥CD，
∴∠BMN+∠MND=180°，
∵∠BMN 与∠MND 的平分线相交于点P，
∴∠PMN= ∠BMN，∠PNM= ∠MND，
∴∠PMN+∠PNM=90°.
∴∠MPN=180°－（∠PMN+∠PNM）=180°－90°=90°.
∴以MN 为直径作⊙O 时，OP= MN=⊙O 的半径，
∴点P 在⊙O 上．故选C．
7. C 点拨：如答图2，连接IC．
答图2
∵CD 为AB 边上的高，∴∠ADC=90°，
∴∠BAC+∠ACD=90°.
∵I 为△ACD 的内切圆圆心，
∴AI，CI 分别是∠BAC 和∠ACD 的平分线，
∴∠IAC+∠ICA= （∠BAC+∠ACD）= ×90°=45°，
∴∠AIC=135°.又∵AB=AC，∠BAI=∠CAI，AI=AI,
∴△AIB≌△AIC，∴∠AIB=∠AIC=135°．故选C．
8. C 点拨：结合题图和已知条件，易知点B 经过的路径长
=2×
(cm)．故选C．
二、9. 32° 点拨：∵AB 是⊙O 的直径，
∴∠ADB=90°，∵∠ABD=58°，
∴∠A=90°－∠ABD=32°，
∴∠BCD=∠A=32°．
10.π－2 点拨：S 扇形OAB=
=π，
S△AOB= ×2×2=2，
则S 阴影=S 扇形OAB－S△AOB=π－2．
11.
点拨：解答本题运用了方程思想.∵图中两个阴影部分的面
积相等，∴S 扇形ADF=S△ABC，即
= ·AC·BC，
又∵AC=BC=1，∴AF2= ，∴AF=
．
12. 4 点拨：如答图3 所示,根据题意，作O′D⊥BC 于D，则O′D=
．在Rt△O′CD 中，∠C=60°，O′D=
，
∴O′C=2，∴O′A=6－2=4.
∴以O 为圆心、
为半径的圆在运动过程中与△ABC 的边第二次相
切时是出发后第4 秒．
答图3 答图4
13.
点拨： 连接AE，如答图4,由题意易得AE=2
,EP=1,
∠AEP=90°.∴在Rt△AEP 中，
AP=
=
=
.
14.
a 点拨：连接OC,OP，如答图5 所示.
∵C 为半圆的三等分点，
答图5
∴∠BOC=120°,
已知PC，PB 都是半圆O 的切线，
由切线长定理可得：∠POB= ∠BOC=60°.在Rt△POB 中，OB=a，
∠POB=60°，则PB=
a；在Rt△ABP 中，由勾股定理得：AP
=
=
a.
三、15. 解：∵CA=2cm＜
cm，∴点A 在⊙C 内;
∵BC=4cm＞
cm，∴点B 在⊙C 外；
在△ABC 中，∠ACB=90°,
∴由勾股定理，得AB=
=2
（cm）.∵ CM 是AB 边
上的中线，∴ CM= AB=
cm，∴ CM=⊙C 的半径，∴点M 在⊙C 上．
16.（1）证明：连接OB，如答图6 所示：
答图6
∵BC=AB，∠CAB=30°，
∴∠ACB=∠CAB=30°，
又∵OC=OB，
∴∠CBO=∠ACB=30°，
∴∠AOB=∠CBO+∠ACB=60°.
在△ABO 中，∠CAB=30°，∠AOB=60°，
可得∠ABO=90°，即AB⊥OB，
∴AB 是⊙O 的切线.
（2）解：∵OB=2，∠BOD=60°，
∴
Com
b i n的长度l=
π．
点拨：此题考查了切线的判定，等腰三角形的性质，三角形的外角性
质以及弧长公式的运用.切线的判定方法有两种：有切点连半径，证明
垂直；无切点作垂线，证明垂线段等于半径．
17. 解：（1）如答图7 所示，连接BC．
由∠BAC=90°得BC 为⊙O 的直径，
∴BC=4.
在Rt△ABC 中，由勾股定理可得：AB=AC=2
，
∴S 扇形ABC=
=2π.
答图7
（2）不能．
如答图7 所示，连接AO 并延长交
Com
b i n于点D，交⊙O 于点E，则
DE=4－2
．
而l
Com
b i n=
=
π，
设能与扇形ABC 围成圆锥的底面圆的直径为d，
则dπ=
π，
∴d=
．
又∵DE=4－2
＜d=
，即围成圆锥的底面圆的直径大于DE，
∴不能围成圆锥．
点拨：（1）由勾股定理求出扇形的半径，再根据扇形面积公式求值．
（2）题需要求出③中最大圆的直径以及圆锥底面圆的直径（圆锥底面
圆的周长即为弧BC 的长）,然后进行比较即可．
18. 解：（1）线段AB 长度的最小值为4.
理由如下：
连接OP，如答图8 所示.
答图8
∵AB 切⊙O 于P，
∴OP⊥AB.
取AB 的中点C，
则AB=2OC；
当OC=OP 时，OC 最短，
即AB 最短，
此时AB=4.
（2）设存在符合条件的点Q.
答图9
如答图9,设四边形APOQ 为平行四边形,
∵∠APO=90°，
∴四边形APOQ 为矩形，
又∵OP=OQ，
∴四边形APOQ 为正方形，
∴OQ=QA，∠QOA=45°.
在Rt△OQA 中，
根据OQ=2，∠AOQ=45°，
得Q 点坐标为（
，－
）；
如答图10，设四边形APQO 为平行四边形,
答图10
∵OQ∥PA，∠APO=90°，
∴∠POQ=90°，
又∵OP=OQ，
∴∠PQO=45°，
∵PQ∥OA，
∴PQ⊥y 轴.
设PQ⊥y 轴于点H，
在Rt△OHQ 中，根据OQ=2，∠HQO=45°，
得Q 点坐标为（－
，
）．
∴符合条件的点Q 的坐标为（－
，
）或（
，－
）．
方法规律：解答本题运用了分类讨论思想.（1）如答图8，设AB 的中
点为C，连接OP，由于AB 是⊙O 的切线，故△OPC 是直角三角形，所
以当OC 与OP 重合时，OC 最短,即AB 最短.（2）分两种情况：如答图
9，当四边形APOQ 是正方形时，△OPA，△OAQ 都是等腰直角三角形，
可求得点Q 的坐标为（
，－
）; 如答图10 ，可求得
∠QOP=∠OPA=90°，由于OP=OQ，故△OPQ 是等腰直角三角形，可
求得点Q 的坐标为（－
，
）．
