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第一章集合、常用逻辑用语、不等式
§1.1 集 合
【考情分析·探规律】
考点 三年考情（2020-2024） 命题趋势
考点1 集合间
的基本关系 2023·全国新Ⅱ卷、2020全国新Ⅰ卷
（4年2考）
2024·全国新Ⅰ卷、2024年全国甲卷、2023·北京卷、
2023全国新Ⅰ卷、2022·全国新Ⅱ卷、2022年全国乙
一般给两个集合，要求通
考点2 交集
卷、2022年全国甲卷、2022全国新Ⅰ卷、2021年全
过解不等式求出集合，然
（4年10考）
国乙卷、2021年全国甲卷、2021年全国甲卷、2021 后通过集合的运算得出答
全国新Ⅰ卷 案。
考点3 并集 2024·北京卷、2022·浙江卷、2021·北京卷、2020·山
（4年4考） 东卷
2024年全国甲卷、2023年全国乙卷、2023年全国乙
考点4 补集
卷、2022·全国乙卷、2022·北京卷、2021全国新Ⅱ
（4年8考）
卷、2020全国新Ⅰ卷
【知识梳理】
1.元素与集合
(1)集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性.
(2)元素与集合的关系是属于或不属于，表示符号分别为∈和∉.
(3)集合的三种表示方法：列举法、描述法、图示法.
(4)常用数集及记法
名称 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集
记法 N N * 或 N Z Q R
＋
2.集合间的基本关系
(1)子集：一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，就称集合A为集合B
的子集.记作A ⊆B(或B ⊇A).
(2)真子集：如果集合A⊆B，但存在元素x∈B，且x∉A，就称集合A是集合B的真子集，记作AB(或BA).
(3)相等：若A⊆B，且 B ⊆ A ，则A＝B.
(4)空集的性质：∅是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.
3.集合的基本运算集合的并集 集合的交集 集合的补集
若全集为U，则集合A
符号表示 A∪B A∩B
的补集为 ∁U A
图形表示
集合表示 {x|x∈A，或x∈B} { x | x ∈ A ，且 x ∈ B } {x|x∈U，且x∉A}
4.集合的运算性质
(1)A∩A＝A，A∩∅＝∅，A∩B＝B∩A.
(2)A∪A＝A，A∪∅＝A，A∪B＝B∪A.
(3)A∩(∁U A)＝∅，A∪(∁U A)＝U， ∁U (∁U A)＝A.
【名师点拨】
1.若有限集A中有n个元素，则A的子集有2n个，真子集有2n－1个，非空子集有2n－1个，非空真子集有2n－
2个.
2.A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B⇔∁U A⊇∁U B.
3.∁U (A∩B)＝(∁U A)∪(∁U B)， ∁U (A∪B)＝(∁U A)∩(∁U B).
【随堂训练】
1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)任何一个集合都至少有两个子集.( )
(2){x|y＝x2＋1}＝{y|y＝x2＋1}＝{(x，y)|y＝x2＋1}.( )
(3)若1∈{x2，x}，则x＝－1或1.( )
(4)对于任意两个集合A，B，(A∩B)⊆(A∪B)恒成立.( )
2.(2025·榆林模拟)设集合A={-2，-1，0，1，2}，B={x|(x+1)(x-3)≥0}，则A∩(∁R B)等于( )
A.{-2，-1，0} B.{-1，-2}
C.{0，1，2} D.{1，2}
3.已知集合A={-1，0，1}，B={x|-1≤x≤1}，则( )
A.A=B B.A∩B=∅
C.B⊆A D.A B
4.已知集合M={x|-1<x<3}，N={x|x≥a，a∈R}，若M∩N=M，则实数a的取值范围是 .
【名师点拨】
1.掌握有限集子集个数的结论若有限集A中有n个元素，则A的子集有2n个，真子集有(2n-1)个，非空子集有(2n-1)个，非空真子集有(2n-2)个.
2.灵活应用两个常用性质
(1)∁U (A∩B)=(∁U A)∪(∁U B).
(2)∁U (A∪B)=(∁U A)∩(∁U B).
3.牢记两个注意点
(1)在应用条件A∪B=B⇔A∩B=A⇔A⊆B时要树立分类讨论的思想，将集合A是空集的情况优先进行讨论.
(2)在解答集合问题时，要注意集合元素的特性，特别是互异性对集合元素的限制.
【必练核心题型】
题型一 集合的含义与表示
例1.(多选)下列各组中M，P表示不同集合的是( )
A.M={3，-1}，P={(3，-1)}
B.M={(3，1)}，P={(1，3)}
C.M={y|y=x2+1，x∈R}，P={x|x=t2+1，t∈R}
D.M={y|y=x2-1，x∈R}，P={(x，y)|y=x2-1，x∈R}
例2.已知集合M={1，a+3，a2+2}，且6∈M，则a的值为 .
【变式训练】
变式1.(2025·遵义模拟)已知集合A={0，1，2}，B={1，2，3}，若集合C={xy|x∈A，y∈B}，则C的元素之
和为( )
A.9 B.12 C.16 D.18
{ n }
变式2.已知m∈R，n∈R，若集合 m， ，1 ={m2，m+n，0}，则m2 025+n2 025的值为( )
m
A.-2 B.-1 C.1 D.2
题型二 集合间的基本关系
例1.(2025·青岛模拟)已知全集U=R，集合A，B满足A⊆(A∩B)，则下列关系一定正确的是( )
A.A=B B.B⊆A
C.A∩(∁U B)=∅ D.(∁U A)∩B=∅
例2.(2025·扬州模拟)已知集合A={x|x2−3x≤10}，B={x|m+1≤x≤2m−1}.若A∪B=A，则实数m的取值范
围为( )
A.[3，+∞) B.[2，3]
C.(-∞，3] D.[2，+∞)【变式训练】
变式1.(多选)已知I为全集，若A∪B=A，则( )
A.A⊆B B.B⊆A
C.∁I A⊆∁I B D.∁I B⊆∁I A
变式2.(2025·洛阳模拟)已知全集为R，集合A={x|2<x<6}，B={x|a-4≤x≤a+4}，且A⊆∁R B，则实数a的取值范
围是 .
题型三 集合的基本运算
命题点1 集合的运算
例1.(2024·新课标全国Ⅰ)已知集合A={x|-5<x3<5}，B={-3，-1，0，2，3}，则A∩B等于( )
A.{-1，0} B.{2，3}
C.{-3，-1，0} D.{-1，0，2}
例2.(2023·全国甲卷)设全集U=Z，集合M={x|x=3k+1，k∈Z}，N={x|x=3k+2，k∈Z}，则
∁U
(M∪N)等于(
)
A.{x|x=3k，k∈Z}
B.{x|x=3k-1，k∈Z}
C.{x|x=3k-2，k∈Z}
D.∅
命题点2 利用集合的运算求参数的值(范围)
例1.(2024·佛山模拟)已知集合A={x|3≤x<7}，B={x|x>m}，若(∁ A)∪B=R，则m的取值范围是( )
R
A.(-∞，3) B.(3，+∞)
C.(-∞，7) D.(7，+∞)
【变式训练】
变式1.(多选)已知集合A={x|x2-3x+2≤0}，B={x|1<x≤3}，则下列判断正确的是( )
A.A∪B=B
B.(∁R B)∪A=R
C.A∩B={x|1<x≤2}
D.(∁R B)∪(∁R A)={x|x≤1或x>2}
变式2.设集合A={x|x<2或x≥4}，B={x|a≤x≤a+1}，若(∁R A)∩B=∅，则a的取值范围是( )
A.a≤1或a>4 B.a<1或a≥4
C.a<1 D.a>4
