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第 14 讲：拓展七：极值点偏移问题
目录
类型一：不含参数的极值点偏移问题.................................................1
类型二：含参数的极值点偏移问题.....................................................9
类型三：与对数均值不等式有关的极值点偏移问题.........................18
类型四：与指数均值不等式有关的极值点偏移问题.........................24
高频考点类型
类型一：不含参数的极值点偏移问题
典型例题
1．（23-24高三上·北京房山·期中）已知函数
(1)求函数 单调区间；
(2)设函数 ，若 是函数 的两个零点，
①求 的取值范围；
②求证： ．
【答案】(1)单调递增区间为 ；单调递减区间为
(2)① ；②证明见解析
【分析】（1）求导后，根据 正负即可得到 的单调区间；
（2）①将问题转化为 与 在 上有两个不同的交点，采用数形结合的方式可
求得结果；
②由①可得 ，设 ，利用导数可求得
，进而得到 ，即 ，根据 的范围和 单调性可得结论.
【详解】（1） 定义域为 ， ，
当 时， ；当 时， ；
的单调递增区间为 ；单调递减区间为 .
（2）①若 是 的两个不同零点，则 与 在 上有两个不同交点；
由（1）知： ，又 ，
在 的图象如下图所示，
由图象可知： ， ，即 的取值范围为 .
②不妨设 ，由①知： ，
， ，
在 上单调递增，在 上单调递减；
设 ，则
，
在 上单调递减， ， ，
又 ， ，又 ， ；
， ， 在 上单调递增，
，则 .
【点睛】方法点睛：处理极值点偏移问题中的类似于 （ ）的问题的基
本步骤如下：
①求导确定 的单调性，得到 的范围；
②构造函数 ，求导后可得 恒正或恒负；③得到 与 的大小关系后，将 置换为 ；
④根据 与 所处的范围，结合 的单调性，可得到 与 的大小关系，由此证得结
论.
2．（23-24高三上·山东临沂·开学考试）已知函数 .
(1)证明： .
(2)若函数 ，若存在 使 ，证明： .
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）构造 ，求导后判断函数最大值，得到
，即 得证；
（2）根据题意判断 ， ，将原题转化为证明 ，构造函数
后求导证明即可.
【详解】（1）令 ， ， ，
令 ，解得： ；令 ，解得： ，
∴ 在 递增，在 递减，则 ，
∴ 恒成立，即 .
（2）∵ ， ，∴ ，
令 ，解得： ；令 ，解得： ；
∴ 在 递增，在 递减.
又∵ ， ， ， ，且 ， .
要证 ，即证 .
∵ ，∴ ，又∵ ，∴只证 即可.
令 ， ，
恒成立，
∴ 在 单调递增.
又∵ ，∴ ，∴ ，
即 ，∴ .
【点睛】极值点偏移的题目常用的手法就是对称构造，本题可先判断 ，
，再转化为证明 ，根据 的单调性可以将其转化为证明 ，构造
函数后利用导数证明不等式即可.
3．（23-24高三下·广东深圳·阶段练习）已知函数
(1)若对任意的 ，都有 恒成立，求实数 的取值范围；
(2)设 是两个不相等的实数，且 ．求证：
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）先判断 不成立，当 时，求出函数的导数，结合最值可得参数的取
值范围；
（2）设 ，可得 恒成立，从而可证不等式.
【详解】（1）当 时， ，
因为 ，所以 ，即 ，不符合题意；
当 时， ，
当 时， ，当 时， ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减．所以 ．
由 恒成立可知 ，所以 ．
又因为 ，所以 的取值范围为 ．
（2）因为 ，所以 ，即 ．
令 ，由题意可知，存在不相等的两个实数 ， ，使得 ．
由（1）可知 在区间 上单调递增，在区间 上单调递减．
不妨设 ，则 ．
设 ，
则 ，
所以 在 上单调递增，
所以 ，即 在区间 上恒成立．
因为 ，所以 ．
因为 ，所以 ．
又因为 ， ，且 在区间 上单调递增，
所以 ，即 ．
【点睛】思路点睛：不等式恒成立问题，可转化函数的最值问题，而极值点偏移问题，通
过可构建新函数，并利用原函数的单调性进行转化.
练透核心考点
1．（23-24·河南平顶山·模拟预测）已知函数 有两个零点．
(1)求a的取值范围；
(2)设 是 的两个零点，证明： ．
【答案】(1) ；
(2)证明见解析.
【分析】（1）等价于 有两个零点，设 ，求出函数的最
小值利用零点存在性定理分析即得解；
（2）不妨设 ，等价于证明 ，再利用极值点偏移的方法证明.
【详解】（1）解：由 ，得 ，设 ，则 ， ，
因为 ，所以当 时， ，当 时， ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增．
又因为 ，所以 ，
，
，
所以a的取值范围是 ．
（2）证明：不妨设 ，
由（1）知 ，则 ， ， ，
又 在 上单调递增，
所以 等价于 ，即 ．
设 ，
则 ．
设 ，则 ，
设 ，则 ，当 时， ， 单调递减，
当 时， ， 单调递增，又因为 ， ， ，
所以存在 ，使得 ，当 时， ，即 ，
当 时， ，即 ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增．
又因为 ， ，
所以当 时， ，当 时， ，
所以当 时， ， 单调递减，
因为 ，所以 ，所以 ，即原命题得证．
【点睛】关键点睛：解答本题的关键是掌握极值点偏移的解题方法，对于这些典型题型，
学生要理解并灵活掌握.
2．（23-24高三上·广东清远·期末）已知函数 ．
(1)讨论 的零点个数．
(2)若 有两个不同的零点 ，证明： ．
【答案】(1)答案见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）先通过求导得到函数的单调区间，再运用数形结合思想分类讨论即可求解；
（2）将问题转化为研究函数的单调性后再求解即可.
【详解】（1）因为 ，所以1不是 的零点．
当 ，可变形为 ，
令 ，则 的零点个数即直线 与 图象的交点个数．
因为 ， ，得 ，又 ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增．
因为 ，且当 时， ，
所以当 时， 没有零点；
当 时， 有一个零点；
当 时， 有两个零点．
（2）证明：由（1）知，当 时， 有两个零点．
设 ，则 ，
由 得 ，
所以 ，即 ．
令 ，则 ，
易得 在 上单调递减，在 上单调递增．
要证 ，即证 ．
因为 ，且 在 上单调递增，所以只需证 ．
因为 ，所以即证 ．令
，
则 ，
所以 在 上单调递减．
因为 ，所以 ．
因为 ，所以 ，故 ．
3．（23-24高三·全国·专题练习）已知函数 ，其中 为常数，且
．
(1)当 时，若 在 ， 上的最大值为1，求实数 的值；
(2)若 ，且函数 有两个不相等的零点 ， ，证明： ．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）由题知 ，进而分 ， ， ， 四种
情况讨论求解即可得答案；
（2）根据题意，不妨设 ，则 ， ，再构造函数
，结合函数的单调性证明即可.
【详解】（1）解：（1）函数 的定义域为 ，
①当 ，即 时，函数 在 ， 上单调递增，其最大值为
，不符合题意；
②当 ，即 时，函数 在 ， ， 上单调递增，在 单调递
减，
， ，所以 ，不符合题意；
③当 ，即 时，函数 在 ， ，在 ， 单调递减，其最大值为
，不符合题意；
④当 ，即 时，函数 在 ， ， 上单调递增，在 ， 单调递减，
， ，所以 ，符合题意；
综上所述，实数 的值为 ；
（2）证明： ，
令 ，得 ，
当 时，函数 在 ， 递减，在 单调递增，
函数 有两个不相等的零点 ， ，
不妨设 ，则 ， ，
构造函数 ， ，则 ，
，
在 单调递减， ，
， 恒成立．
， 恒成立．
即 ，
， ，且函数 在 单调递增，
， ．
【点睛】本题考查利用导数研究函数的的最值，极值点偏移问题，考查运算求解能力，逻
辑推理能力，分类讨论思想等，是难题.本题第一问解题的关键在于求导得
，进而分类讨论求解；第二问解题的关键在于结合函数的性质得
， ，进而构造函数 ， ，结合函数的单调性
求解.
类型二：含参数的极值点偏移问题
典型例题
1．（23-24高二下·四川南充·期末）设函数 ．
(1)当 时，讨论函数 的单调性；(2)设 ，记 ，当 时，若方程
有两个不相等的实根 ，求证： ．
【答案】(1)答案见解析；
(2)证明见解析.
【分析】（1）求导后转化为含参的函数，讨论单调性的实质就是解含参的不等式，借助分
子函数的图像，完成讨论．
（2）本问题为极值点偏移问题，可转换为单变量的不等式证明，构造函数利用导数证明即
可．
【详解】（1） 的定义域为 ，
.
令 ，则得到导函数的两个零点， 或 ，由于分母为正，
故我们只关注分子函数 ，其为二次函数，借助其图像，
以两个零点的大小关系为分类标准得到如下：
①当 时，即 时，当 时， ， 单调递减，
当 时， ， 单调递增；
②当 时，即 时， 恒成立，即 恒成立，故 在 上单调递
增；
综上所述，当 时， 的单减区间为 ，单增区间为 ；
当 时， 只有单增区间 ；
（2）由题可知， ，
设 是方程 的两个不等实根，不妨设为 ，
则 ，两式相减整理得到
，从而得到 ，
要证 ，故只需要证明 ，
由于 ，
转化为 ，即 ，即 ，
令 ，则上述式子转化为
设 ，则 ，
当且仅当 时等号成立，故 在 上单调递增，故有 ，
故 得证，
即 .
2．（2023·辽宁丹东·模拟预测）已知函数 ．
(1)若 ，证明： ；
(2)若 有两个不同的零点 ，求a的取值范围，并证明： ．
【答案】(1)证明见详解；
(2)证明见详解．
【分析】（1）令 ，利用导数分析其单调性求出最大值即可证明；
（2）令 ，通过求导分析单调性，结合 的单调性从而证明结结
论．
【详解】（1）当 时， ，定义域为
令 ，则
当 时， ；当 时， ；
所以函数 在 上单调递增，在 上单调递减，
故 ，所以 ，得 ；
（2）因为 有两个不同的零点 ，则 在定义域内不单调；
由
当 时， 在 恒成立，则 在 上单调递减，不符合题意；
当 时，在 上有 ，在 上有 ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减．不妨设
令则
当 时， ，则 在 上单调递增
所以
故 ，因为
所以 ，又 ，
则 ，又 在 上单调递减，
所以 ，则 ．
3．（2024·全国·模拟预测）已知函数 ．
(1)求 的单调区间；
(2)若 有两个零点 ， ，且 ，求证： ．
【答案】(1)答案见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）先求出函数 的导数，然后分类讨论 的取值情况，从而可求解.
（2）结合（1）中结论可知 ，从而求出 ， ，然后设
并构造函数 ，然后利用导数求解 ，然后再构造函数
证明 ，从而求解.
【详解】（1）因为函数 的定义域是 ， ，
当 时， ，所以 在 上单调递减；
当 时，令 ，解得 ，
当 时， ， 单调递增；当 时， ， 单调递
减．
综上所述，当 时， 的减区间为 ，无增区间；
当 时， 的增区间为 ，减区间为 ．
（2）因为 是函 的两个零点，由（1）知 ，
因为 ，设 ，则 ，当 ， ，当 ， ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减， ．
又因为 ，且 ，
所以 ， ．
首先证明： ．
由题意，得 ，设 ，则
两式相除，得 ．
要证 ，只要证 ，即证 ．
只要证 ，即证 ．
设 ， ．
因为 ，所以 在 上单调递增．
所以 ，即证得 ①．
其次证明： ．设 ， ．
因为 ，所以 在 上单调递减．
所以 ，
即 ．
所以 ②．
由①②可证得 ．
【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要
的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：
（1）考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系．
（2）利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数．
（3）利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题．
（4）利用导数研究函数的零点问题．
练透核心考点
1．（23-24高二下·吉林长春·期末）已知函数 ， ．（
为自然对数的底数）(1)当 时，求函数 的极大值；
(2)已知 ， ，且满足 ，求证： ．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）运用导数研究 的单调性，进而求得其最大值.
（2）同构函数 ，转化为 ，结合换元法 ，分别讨
论 与 ，当 时运用不等式性质即可证得结果，当 时运用极值点偏
移即可证得结果.
【详解】（1）当 时， ，定义域为 ，
则 ， ， ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
故 的极大值为 ；
（2）由题意知， ，由 可得 ，
所以 ，令 ，
由（1）可知， 在 上单调递增，在 上单调递减，则 ，
令 ， ，又 ， ，所以 ， ，则 ，
①若 ，则 ，即 ，所以 ；
②若 ，设 ，且满足 ，如图所示，
则 ，所以 ，下证： ．
令 ， ，则 ，
所以 在 上单调递增，所以 ，
所以 ，即 ，
又因为 ，所以 ， ， ，
所以 ，即 ，
又因为 ，所以 ，即 ．
由①②可知， 得证.
【点睛】方法点睛：极值点偏移问题的一般题设形式：
1.若函数 存在两个零点 且 ，求证： （ 为函数 的极值
点）；
2.若函数 中存在 且 满足 ，求证： （ 为函数
的极值点）；
3.若函数 存在两个零点 且 ，令 ，求证： ；
4.若函数 中存在 且 满足 ，令 ，求证： .
2．（23-24高二上·福建福州·期末）已知函数 （ ）．
(1)试讨论函数 的单调性；
(2)若函数 有两个零点 ， （ ），求证： ．
【答案】(1)当 时， 在区间 上单调递增；
当 时， 在区间 上单调递增，在区间 上单调递减.
(2)证明见解析
【分析】（1）求导后，根据 的不同取值范围，对 的符号进行讨论即可；
（2）由已知及（1）中单调性，可知 ， 且 ，故只需证明 ，再借
助不等式性质和放缩，即可证出 .
【详解】（1）由已知， 的定义域为 ， ，
①当 时， ， 恒成立，∴此时 在区间 上单调递增；
②当 时，令 ，解得 ，
当 时， ， 在区间 上单调递增，
当 时， ， 在区间 上单调递减，
综上所述，当 时， 在区间 上单调递增；
当 时， 在区间 上单调递增，在区间 上单调递减.
（2）若函数 有两个零点 ， （ ），
则由（1）知， ， 在区间 上单调递增，在区间 上单调递减，
且 ， ， ，
当 时， ，当 时， ，（*）
∵ ，∴ ，∴ ，
又∵ ，∴ ，
∴只需证明 ，即有 .
下面证明 ，
设
， ，
设 ，则 ，
令 ，解得 ，
当 时， ， 在区间 单调递减，
当 时， ， 在区间 单调递增，∴ ， 在区间 上单调递增，
又∵ ，∴ ，
即 ，
∴由（*）知， ，∴ ，即 .
又∵ ， ，
∴ ，原命题得证.
【点睛】本题第（2）问为极值点偏移的变式，首先需要通过 和 ，确认只需证
，再通过构造关于其中一个零点的一元差函数，利用导数研究该函数的单调
性，证出 ，最后使用不等式性质和放缩得到 .
3．（23-24高三上·山西·阶段练习）已知函数 .
(1)讨论 的单调性；
(2)若 有两个零点 ，证明： .
【答案】(1)答案见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）函数求导，分类讨论通过判断导函数符号，确定函数单调性.
（2）对 分类讨论，求得 有两个零点时 的范围，及 的范围，构造函数 ，
研究在 上的单调性，可得 ，又 ，及 的单调
性可得结论.
【详解】（1）函数 的定义域为 ，
时， 恒成立，所以 在 上单调递减；
时，令 得 ，
当 时， ；当 时， ，所以 在 上单调递减，在 上单调递增.
（2）证明： 时，由（1）知 至多有一个零点.
时，由（1）知当 时， 取得最小值，最小值为 .
①当 时，由于 ，故 只有一个零点；
②当 时， 即 ，故 没有零点；
③当 时， 即 ，
又 ，
由（1）知 在 上有一个零点.
又 ，
由（1）知 在 有一个零点，
所以 在 上有两个零点， 的取值范围为
不妨设 ，则 ，且 ，
令
，
则 ，
由于（且仅当 等号成立 ，
所以当 时， 在 单调递减，又 ，
所以 ，即 ，
又 ，所以 ，
又由于 ，且 在 上单调递增，
所以 即 .
【点睛】极值点偏移问题是根据极值点的偏移情况，即极值点两侧函数增长速度的差异构
造关于其中一个极值点的一元差函数（或比函数），然后通过探究该函数的单调性解决问
题。
类型三：与对数均值不等式有关的极值点偏移问题
典型例题
1．（23-24高三上·辽宁大连·阶段练习）已知函数 .
(1)当 时，试比较 与 的大小；
(2)若斜率为 的直线与 的图象交于不同两点 ， ，线段 的中点
的横坐标为 ，证明： .
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）利用作差得 ，通过构造函数
，证明当 时，函数 小于0恒成立，即可比
较 与 的大小；（2）通过题干条件求出 和 ，利用分析法得出只需证 成立，通过构
造函数 ，通过求导结合函数的单调性证明式子成立.
【详解】（1）因为 ，
所以 ，
，
所以 ，
令 ， ，
所以 ，
又因为 ，所以 ，所以 在区间 上单调递减，
所以 ，
所以 ，即 .
（2）因为斜率为 的直线与 的图象交于不同两点 ， ，
所以 ，
，
所以 ，
因为 ，
所以 ，所以 ，
要证 ，即证 ，
又因为线段 的中点的横坐标为 ，所以 ，即证 ，不妨设 ，上式可整理为 ，即 ，
令 ，则 ，所以上式即为 ，
令 ，则 ，
因为 ，所以 ，所以函数 在区间 上单调递增，
所以 ，即 ，
故 得证.
【点睛】关键点睛：题干中涉及到含两个变量的不等式时，都是要把双变量问题转化成一
元变量问题求解，途径都是构造一元函数.
2．（23-24高二下·上海浦东新·期末）已知 ，函数 .
(1)若 ，求曲线 在 处的切线方程；
(2)若 有零点，求实数 的取值范围；
(3)若 有两个相异零点 ，求证： .
【答案】(1)
(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）根据导数几何意义得切线斜率为 ，再根据点斜式求切线方程；
（2）对 分 三种情况讨论得解；
（3）利用分析法证不等式，要证 ，只要证 ，根据零点解得
，化简欲证不等式，再令 ，构造关于t的函数，利用导数法求得范围证
不等式.
【详解】（1）函数 的定义域为 ， ，
当 时， ，则切线方程为 ，
即切线方程为 .
（2）①若 时，则 ， 是区间 上的增函数，因为 ， ，
所以 ，则函数 在区间 有唯一零点；
②若 ， 有唯一零点 ；
③若 ，令 ，得 ，
在区间 上， ，函数 是增函数；
在区间 上， ，函数 是减函数；
故在区间 上， 的极大值为 ，
由于 有零点，须使 ，解得 ，
故所求实数 的取值范围是 .
综上，所求实数 的取值范围是 .
（3）要证 ，两边同时取自然对数得 .
由 得 ，得 .
所以原命题等价于证明 .
不妨取 ，故只需证 ，即 .
令 ，则 ，设 （ ），只需证 .
而 ，故 在 单调递增，所以 .
综上得 .
【点睛】关键点点睛：解答本题的难点在第3小问，解答有两个关键，其一是要会利用分
析法等价转化命题；其二是能够利用代换化双变量问题为单变量问题解答.
练透核心考点1．（2023·安徽六安·模拟预测）已知函数 为函数 的导函数．
(1)讨论函数 的单调性；
(2)已知函数 ，存在 ，证明： ．
【答案】(1)函数 在区间 上单调递减，在区间 上单调递增
(2)证明见解析
【分析】（1）运用导数研究函数单调性即可.
（2）由 可得 ，结合（1）可得
，联立两者可得 ，运用比值代换法，设 ，转
化为求证 , 即可证明.
【详解】（1） 的定义域为 ， ，
令 ，则 ，
所以函数 在 单调递增，
又因为 ，
所以 ， ，
即： ， ，
所以函数 在区间 上单调递减，在区间 上单调递增.
（2）由（1），得 ，
又 ，即 ，
所以 ．
不妨设 ，所以 ．
由（1）得当 ，函数 单调递增，所以 ，
故 ，
所以 ，
所以 ，故 ．
下证 ．
即证： ，设 ，
则 ，
所以函数 在区间 上单调递增，
所以 ，
故 ，即 ，
所以 ，即 ，
所以 ，得证．
【点睛】方法点睛：极值点偏移问题
(1)(对称化构造法)构造辅助函数：对结论 型，构造函数
；对结论 型，构造函数 ，通过研究
的单调性获得不等式．
(2)(比值代换法)通过代数变形将所证的双变量不等式通过代换 化为单变量的函数不等
式，利用函数单调性证明．
2．（2023·河南·模拟预测）已知函数 ，其中 为自然对数的底数.
(1)当 时，求 的单调区间；
(2)若函数 有两个零点 ，证明： .
【答案】(1)单调递增区间为 ，单调递减区间为
(2)证明见解析
【分析】（1）将 代入后得 ，对其求导，利用导数与函数的单调性
即可得解；
（2）由题意得 ，从而利用分析法将 变形为 ，构造函数 ，利用导数证得 ，由此得证.
【详解】（1）当 时， 的定义域为 ，
则 ，
因为 ，则 ，所以 ，
当 时， ，则 单调递增；当 时， ，则 单调递减；
所以 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 .
（2）若函数 有两个零点，则 ，
即 ，两式相减，可得 ，两式相加得 ，
要证 ，只要证 ，即证 ，即证 ，
只须证 ，即证 ，即证 ，
令 ，则由 得 ，故须证 ，
令 ，则 ，
当 时， ，所以 在 上单调递增，
所以当 时， ，即 成立，
故原不等式 成立.
【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：
一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结
合思想的应用；
二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极（最）值问题处理．
类型四：与指数均值不等式有关的极值点偏移问题
典型例题1．（23-24高三下·重庆渝中·阶段练习）已知函数 .
(1)若 ，求函数 的极值；
(2)若 ， ，且满足 ，求证： .
【答案】(1)极小值为 ，无极大值.
(2)证明见解析
【分析】（1）求出函数的导函数，即可求出函数的单调区间，从而求出函数的极值；
（2）依题意可得 ，则 ，先证明 ，构造函数利用导
数即可证明，则 ，再构造函数 ，利用导数说明函数的单调
性，即可证明.
【详解】（1）当 时 ，则 ，
当 时 ，当 时 ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以 在 处取得极小值为 ，无极大值.
（2）证明：当 时 ，依题意可得 ，显然 ，
先证明 ，令 ，则 ，
所以当 时 ， 单调递增，所以 ，
当 时 ， 单调递减，所以 ，
所以 ，
又依题意 ，
令 ，则 ，
所以当 时 ，所以 在 上单调递减，
所以 ，也即 ，
当 时利用 在 上单调递减可知 ，
当 时也有 ，所以 ，则 ，综上可得 .
【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的
单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零
点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．
练透核心考点
1．（23-24高三上·江苏南通·期中）已知 ， 是函数 在区间
上的极值点.
(1)若函数 的图象过点 ，求 ；
(2)求证： 在区间 上存在两个零点 ，且 .
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）求导，求出函数 的极值点满足的等式，再加上函数
的图象过点 得到的等式，联立求出 ；
（2）求导，可得一个零点为0，另一个零点所在范围，再利用 的单调性，判断出
，进而可通过单调性去掉 得到答案.
【详解】（1） ，
令 ，
时， ，
在 上单调递增，
∵ ， ，
∴存在唯一的 使 ，
且当 时， ， 单调递减；
当 时， ， 单调递增；
∴ 为 的极小值点且 ，则 ，
∵ 过 ，
∴ ，
，
，
∴ ， ，
;
（2）当 时， ， 在 上单调递增，
由（1）知存在唯一的 使 ，
∴ 在 上单调递减； 上单调递增，
∵ ， ， ，
∴ 在 上有两个零点，不妨设一个零点为 ，另一个零点
∴ 且 ， 在 上单调递增，
，
（利用 放缩）
∴ ，即 命题得证！
证明： ，
设 ， ，
则 ，即 在 上单调递增，
，
即 ；
证明： ，
设 ，
则 ，即 在 上单调递增，，
即 .
【点睛】方法点睛：1：当一次求导不能解决问题的时候，可以再求一次导；
2：针对不等式的证明，有时候可以利用不等式 ， 来帮助进行证明.
