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第 2 讲 函数与方程思想在解析几何中（解答）的应用
函数的思想就是运用运动和变化的观点，分析和研究数学中的数量关系，建立函数关系或构造函数。
运用函数的图像性质去分析问题，转化问题，测试问题，获得解决。函数思想是对函数概念本质认识，用
于指导解题就是善于利用函数知识。或函数观点观察分析解决问题。
方程思想是高中数学重要的思想方法之一，方程的思想是建立方程（组）、或构造方程来分析数学变
量问的等量关系，通过解方程（组），或运用方程的性质去分析、转化问题，使问题得以解决。孰练运用
方程思想解决数学问题是高中阶段重要的数学能力之一，也是历年高考的重点。
函数与方程思想，简单的说，就是学会用函数和变量来思考，学会转化已知与未知的关系。对函数和
方程思想的考察，主要是考察。能不能用函数和方程思想指导解题？一般情况下，凡是涉及到未知数，未
知数问题都可以都可能用到函数与方程的思想。
函数与方程思想方法的考察一直是高考的重点内容之一。也是圆锥曲线中体现最多的一种思想方法。
无论是选填还是解答题都是必考查的问题
【应用一】方程思想在研究圆锥曲线中的应用
一、椭圆的标准方程和几何性质
标准
x2 y2 y2 x2
+ =1(a>b>0) + =1(a>b>0)
方程 a2 b2 a2 b2
图形
范围 -a≤x≤a;-b≤y≤b -b≤x≤b;-a≤y≤a
对称性 对称轴:坐标轴;对称中心:原点
顶点 A (-a,0),A (a,0), A (0,-a),A (0,a),
1 2 1 2
坐标 B (0,-b),B (0,b) B (-b,0),B (b,0)
1 2 1 2
长轴A A 的长为2a;
性 轴 1 2
短轴B B 的长为2b
质 1 2
焦距 |F F |=2c
1 2
c
离心率 e= ∈(0,1)
a
a,b,c
a2=b2+c2
的关系
二、抛物线的定义
抛物线的标准方程与几何性质
y2=2px y2=-2px x2=2py x2=-2py
标准
(p>0) (p>0) (p>0) (p>0)
方程
p的几何意义:焦点F到准线l的距离图形
顶点 O(0,0)
对称轴 直线y=0 直线x=0
p p p p
焦点 F ,0 F - ,0 F 0, F 0,-
2 2 2 2
离心率 e=1
准线 p p p p
x=- x= y=- y=
方程 2 2 2 2
范围 x≥0,y∈R x≤0,y∈R y≥0,x∈R y≤0,x∈R
|PF|= |PF|= |PF|= |PF|=
焦半径(其
p p p p
P(x ,y )) x + -x + y + -y +
0 0 0 2 0 2 0 2 0 2
（1）双曲线点集: .
（2）椭圆点集 .
（3）等轴双曲线
（ ， ）当 时称双曲线为等轴双曲线
① ； ②离心率e=√2； ③两渐近线互相垂直，分别为 ；
④等轴双曲线的方程x2 −y2 =λ， ；
（4）双曲线与渐近线的关系
①若双曲线方程为 渐近线方程：
②若双曲线方程为 （ ， ） 渐近线方程：
③若渐近线方程为 ，则双曲线方程可设为 ，
④若双曲线与 有公共渐近线，则双曲线的方程可设为 （ ，焦点在 轴上，
，焦点在 轴上）
x2 y2
【例1.1】【2022年新高考1卷】已知点A(2,1)在双曲线C: − =1(a>1)上，直线l交C于P，Q
a2 a2−1两点，直线AP,AQ的斜率之和为0．
(1)求l的斜率；
(2)若tan∠PAQ=2❑√2，求△PAQ的面积．
【思维提升】椭圆、双曲线中涉及的基本量为a,b,c;抛物线中涉及到p等基本量。解析几何中经常考查求
圆锥曲线的面积、方程以及与此有关的含参问题。解决此类问题就是建立根据题目所给的条件分别建立方
程或者方程组。由方程组解出参数。
【变式1.1】（2023·云南红河·统考一模）已知P为抛物线E： 上任意一点，过点P作
轴，垂足为O，点 在抛物线上方（如图所示），且 的最小值为9．
(1)求E的方程；
(2)若直线 与抛物线E相交于不同的两点A，B，线段AB的垂直平分线交x轴于点N，且
为等边三角形，求m的值．【变式1.2】（2023·湖南岳阳·统考三模）已知点 在双曲线 的渐近线上，点
在 上，直线 交 于B，C两点，直线AB与直线AC的斜率之和为0．
(1)求直线 的斜率；
(2)若M为双曲线E上任意一点，过点M作双曲线的两条渐近线的平行线，分别与两条渐近线交于点P，
Q，求△MPQ的面积．
【变式1.3】【2020年新课标2卷文科】已知椭圆C ： (a>b>0)的右焦点F与抛物线C 的焦点重
1 2
合，C 的中心与C 的顶点重合．过F且与x轴垂直的直线交C 于A，B两点，交C 于C，D两点，且|CD|=
1 2 1 2
|AB|．
（1）求C 的离心率；
1
（2）若C 的四个顶点到C 的准线距离之和为12，求C 与C 的标准方程．
1 2 1 2【应用二】函数与方程思想在解析几何中定点的应用
解析几何中的定点、定值问题一直是高考的热点问题，在最近几年高考及模拟题中是考查的热点。这
种题型引起重视。
【例2.1】【2020年新高考1卷（山东卷）】已知椭圆C： 的离心率为 ，且过点
．
（1）求 的方程：
（2）点 ， 在 上，且 ， ， 为垂足．证明：存在定点 ，使得 为定值．
【思维提升】
求解直线过定点问题常用的方法：
(1) “特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明；
(2) “一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的
方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点；
(3) 求证直线过定点(x0，y0)，常利用直线的点斜式方程y－y0＝k(x－x0)或截距式y＝kx＋b来证明．
【变式2.1】（2023·江苏南通·统考一模）已知双曲线 的左顶点为 ，过左焦点 的
直线与 交于 两点.当 轴时， ， 的面积为3.
(1)求 的方程；
(2)证明：以 为直径的圆经过定点.【变式2.2】（2022·江苏海安·高三期末）已知双曲线 ： 的两条渐近线互相垂直，
且过点 ．
(1)求双曲线 的方程；
(2)设 为双曲线的左顶点，直线 过坐标原点且斜率不为 ， 与双曲线 交于 ， 两点，直线 过 轴
上一点 （异于点 ），且与直线 的倾斜角互补， 与直线 ， 分别交于 （ 不在坐标轴
上）两点，若直线 ， 的斜率之积为定值，求点 的坐标．
【变式2.3】（2022·广东·铁一中学高三期末）已知椭圆 过点 ，且该椭圆的
一个短轴端点与两焦点 ， 为等腰直角三角形的三个顶点.
（1）求椭圆 的方程；
（2）设直线 不经过 点且与椭圆 相交于 ， 两点.若直线 与直线 的斜率之积为1，证明：直线
过定点.【应用三】函数与方程思想在解析几何中研究最值的应用
解析几何中的最值问题主要涉及到三角形或者多边形的面积、斜率、周长等最值问题，解决问题的关
键是建立关于它们的目标函数，然后运用基本不等式或者函数有关的问题，运用基本不等式或者函数求解。
【例3.1】（2023年高考真题全国甲卷·理科）
已知直线 与抛物线 交于 两点，且 ．
(1)求 ；
(2)设C的焦点为F，M，N为C上两点， ，求 面积的最小值．
【思维提升】圆锥曲线中的最值问题的解决方法：
一是几何法，用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来求最值；
二是代数法，常将圆锥曲线的最值问题转化为二次函数或三角函数的最值问题，然后利用基本不等式、
函数的单调性或三角函数的有界性等求最值．
【变式3.1】【2021年乙卷文科】已知抛物线 的焦点F到准线的距离为2．
（1）求C的方程;
（2）已知O为坐标原点，点P在C上，点Q满足 ，求直线 斜率的最大值.【变式3.2】．（2023·江苏连云港·统考模拟预测）已知椭圆E： 的焦距为 ，且经
过点 ．
(1)求椭圆E的标准方程：
(2)过椭圆E的左焦点 作直线l与椭圆E相交于A，B两点（点A在x轴上方），过点A，B分别作椭圆的
切线，两切线交于点M，求 的最大值．
【变式3.3】（2023·辽宁大连·统考三模）已知圆 ，定点 是圆 上的一动
点，线段 的垂直平分线交半径 于点 .
(1)求 的轨迹 的方程；
(2)若过 的直线 分别交轨迹 与 和 ，且直线 的斜率之积为 ，求四边形 面积
的取值范围.【应用四】函数与方程思想在解析几何中研究探索性问题的应用
解析几何中的探索性问题是圆锥曲线中常见题型，是近几年高考与模拟的热点问题，要注意这种题型
的解法与技巧。
圆锥曲线中的探索性问题在高考中多以解答题的形式呈现,常用假设存在法求解,其解题要点如下:
【例4.1】（2023·黑龙江哈尔滨·哈师大附中统考三模）已知椭圆 .
(1)若 为椭圆上一定点，证明：直线 与椭圆 相切；
(2)若 为椭圆外一点，过 作椭圆 的两条切线，切点分别为 ，直线 分别交直线
于 两点，且 的面积为8.问：在 轴是否存在两个定点 ，使得
为定值.若存在，求 的坐标；若不存在，说明理由.【思维提升】（1）存在性问题通常采用“肯定顺推法”，将不确定性问题明朗化．解题时可先假设满足
条件的元素(点、直线、曲线或参数)存在，用待定系数法设出，列出关于待定系数的方程组，若方程组有
实数解，则元素(点、直线、曲线或参数)存在；否则，元素(点、直线、曲线或参数)不存在；
（2）由于解析几何问题的解答中一般要涉及到大量的计算，因此在解题时要注意运算的合理性和正确性．
【变式4.1】（2023·江苏泰州·泰州中学校考一模）已知椭圆 的左右焦点分别为 ，
，离心率是 ，P为椭圆上的动点.当 取最大值时， 的面积是
（1）求椭圆的方程：
（2）若动直线l与椭圆E交于A，B两点，且恒有 ，是否存在一个以原点O为圆心的定圆C，
使得动直线l始终与定圆C相切？若存在，求圆C的方程，若不存在，请说明理由
【变式4.2】（2023·安徽黄山·统考三模）如图，动双曲线的一个焦点为 ，另一个焦点为 ，若该
动双曲线的两支分别经过点 .
(1)求动点 的轨迹方程；
(2)斜率存在且不为零的直线 过点 ，交（1）中 点的轨迹于 两点，直线 与 轴交于
点 ， 是直线 上异于 的一点，且满足 .试探究是否存在确定的 值，使得直线 恒过线
段 的中点，若存在，求出 值，若不存在，请说明理由.【变式4.3】（2023·山西运城·统考三模）已知抛物线 的焦点为 ， 分别为 上两个
不同的动点， 为坐标原点，当 为等边三角形时， .
(1)求 的标准方程；
(2)抛物线 在第一象限的部分是否存在点 ，使得点 满足 ，且点 到直线 的距离为
2？若存在，求出点 的坐标及直线 的方程；若不存在，请说明理由.
巩固练习
1、【2020年新课标2卷理科】已知椭圆C ： (a>b>0)的右焦点F与抛物线C 的焦点重合，C 的
1 2 1
中心与C 的顶点重合.过F且与x轴垂直的直线交C 于A，B两点，交C 于C，D两点，且|CD|= |AB|.
2 1 2
（1）求C 的离心率；
1
（2）设M是C 与C 的公共点，若|MF|=5，求C 与C 的标准方程.
1 2 1 22、【2020年新课标3卷理科】已知椭圆 的离心率为 ， ， 分别为 的左、右
顶点．
（1）求 的方程；
（2）若点 在 上，点 在直线 上，且 ， ，求 的面积．
3、（2023·江苏徐州·徐州市第七中学校考一模）已知双曲线 的实轴长为4，左､右顶
点分别为 ，经过点 的直线 与 的右支分别交于 两点，其中点 在 轴上方.当 轴
时，
(1)设直线 的斜率分别为 ，求 的值；
(2)若 ，求 的面积.4、（2023·吉林·统考三模）已知点 ，动点M在直线 上，过点M且垂直于x轴的直线与线段
的垂直平分线交于点P，记点P的轨迹为曲线C．
(1)求曲线C的方程；
(2)已知圆 的一条直径为 ，延长 分别交曲线C于 两点，求四边形 面积
的最小值．
5、（2023·安徽蚌埠·统考三模）已知 ， 是双曲线 的左､右顶点， 为双曲线上与 ，
不重合的点.
(1)设直线 ， 的斜率分别为 ， ，求证： 是定值；
(2)设直线 与直线 交于点 ， 与 轴交于点 ，点 满足 ，直线 与双曲线 交于点
（与 ， ， 不重合）.判断直线 是否过定点，若直线 过定点，求出该定点坐标；若直线
不过定点，请说明理由.
6、（2023·重庆·统考三模）已知椭圆 的上、下顶点分别为 ，左顶点为 ，
是面积为 的正三角形．
(1)求椭圆 的方程；
(2)过椭圆 外一点 的直线交椭圆 于 两点，已知点 与点 关于 轴对称，点 与点 关于
轴对称，直线 与 交于点 ，若 是钝角，求 的取值范围．7、（2023·湖南永州·统考三模）已知椭圆 ： ，其右焦点为 ，过点 的直线与椭圆 交于
， 两点，与 轴交于点 ， ， .
(1)求证： 为定值.
(2)若点 不在椭圆 的内部，点 是点 关于原点 的对称点，试求 面积的最小值.
8、（2023·河北石家庄·统考三模）已知 为抛物线 上不同两点， 为坐标原点，
，过 作 于 ，且点 .
(1)求直线 的方程及抛物线 的方程；
(2)若直线 与直线 关于原点对称， 为抛物线 上一动点，求 到直线 的距离最短时， 点的坐标.
