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第2讲 空间几何体运动轨迹与长度问题
一、单选题
1．（2025·高三·安徽芜湖·阶段练习）已知四面体 满足 动点
在四面体 的外接球的球面上，且 则点 的轨迹的长度为（ ）
A． B． C． D．
2．（2025·浙江台州·一模）已知球 的半径为 ， 是球 表面上的定点， 是球 表面上的动点，且满
足 ，则线段 轨迹的面积为（ ）
A． B． C． D．
3．（2025·高三·浙江宁波·期末）已知正四面体 的棱长为2，点 是 的中点，点 在正四面体表
面上运动，并且总保持 ，则动点 的轨迹周长为（ ）
A．4 B． C． D．
4．（2025·高二·北京·期末）在正方体 中，点Q为底面 （含边界）上的动点，满足
平面 平面 ，则点 的轨迹为（ ）
A．一段圆弧 B．一段抛物线
C．一段椭圆 D．一条线段
5．（2025·高二·北京·期中）如图，在直三棱柱 中， 是边长为4的正三角形， ，
N为棱 上的中点，M为棱 上的动点，过N作平面 的垂线段，垂足为点O，当点M从点C运动
到点 时，点O的轨迹长度为（ ）A． B． C． D．π
6．（2025·高二·北京·开学考试）在正方体 中，动点 在正方形 及其边界上运动，
且满足 ，则动点 的轨迹为（ ）
A．拋物线的一部分 B．椭圆的一部分 C．双曲线的一部分 D．以上都不
对
7．（2025·高三·全国·专题练习）如图，八面体 的每一个面都是边长为4的正三角形，且顶点
在同一个平面内．若点 在四边形 内（包含边界）运动， 为 的中点，则下列说法不正确的是
（ ）
A．当 为 的中点时，异面直线 与 所成的角为
B．当 平面 时，点 的轨迹长度为
C．当 时，点 到 的距离可能为
D．存在一个体积为 的圆柱体可整体放入 内
二、多选题
8．（2025·广东肇庆·二模）如图，在棱长为 的正方体 中，点 满足，则下列说法正确的是（ ）
A．若 ，则 平面
B．若 ，则点 的轨迹长度为
C．若 ，则存在 ，使
D．若 ，则存在 ，使 平面
9．（2025·江西上饶·一模）在棱长为2的正方体 中，点 满足 ，
， ，则下列说法正确的是（ ）
A．当 时，
B．当 时，三棱锥 的体积为定值
C．当 时， 的最小值为
D．当 ， 时，若点 为四边形A B C D （含边界）内一动点，且 ，则点 的轨迹长
1 1 1 1
度为
10．（2025·江西·一模）如图，在棱长为2的正方体 中， ， ，，则下列说法正确的有（ ）
A．
B．三棱锥 的体积最大值为1
C．若 ，则点 到直线 的距离为
D．三棱锥 外接球球心轨迹的长度近似为
11．（2025·高三·贵州黔东南·期末）在棱长为2的正方体 中， 是棱 的中点，动点
在正方形 内（包括边界），若 平面 ，则（ ）
A．点 的轨迹长度为 B． 的最小值为
C．存在点 ，使得 D． 与平面 所成角的正切值的最大值为
12．（2025·高三·全国·专题练习）如图，已知棱长为2的正方体 中， 分别是棱 ，
的中点， 为棱 上一点，动点 在线段 上，动点 在正方形 内及其边界上，且
．记点 的轨迹为曲线 ，则（ ）A．曲线 的长度为
B．存在 ，使得 平面
C．
D．当 与 只有一个公共点时，
13．（2025·山西临汾·一模）已知正方体 的棱长为3， 在棱 上，且满足 ，
动点 在 内（包括边界）移动，动点 在正方体内（包括边界）移动，且 ，则（ ）
A． 的最小值为
B．动点 在面 内运动轨迹的长度为
C．动点 的轨迹与动点 的轨迹的交线是椭圆的一部分
D．在正四面体 的内部有一个可以任意转动的正四面体，则此正四面体的棱长可以是1.4
14．（2025·陕西·模拟预测）在棱为 的正方体 中，点 在线段 上运动，点 在正方
体表面上， 为 与 的交点，则（ ）
A．四面体 的体积为定值 B．存在点 ，使
C．当 时，点 的轨迹长度为 D．四面体 外接球的表面积为
15．（2025·高三·甘肃白银·开学考试）正三棱柱 的各棱长相等，且均为 ， 在 内及
其边界上运动，则下列说法正确的是（ ）A．存在点 ，使得 平面
B．三棱锥 的体积的取值范围为
C． 为 中点，若 平面 ，则动点 的轨迹长度为
D． 为 中点，若 ，则动点 到平面 的最大距离为
16．（2025·江西·模拟预测）已知正方体 的棱长为 是空间中的一动点，下列结论正确
的是（ ）
A．若点 在正方形 边及其内部，则点 到直线 距离的最大值为
B．若点 在正方形 边及其内部，且 ，则点 的轨迹长度为
C．若向量 ，则 的最小值为
D．若向量 ，平面 截正方体 所得的截面面积的
最大值为
17．（2025·高三·浙江杭州·阶段练习）如图是一个边长为1的正方体的平面展开图，M为棱 的中点，
点N为正方形 内（包含边界）的动点，若 平面 ，下列结论正确的为（ ）
A．点N的轨迹和正方形 的内切圆相切
B．存在唯一的点N，使得M，N，G，D四点共面
C．无论点N在何位置，总有D． 长度的取值范围为
18．（2025·高三·湖南长沙·阶段练习）在直三棱柱 中， ， ，点
， 分别是 ， 的中点，则下列说法正确的是（ ）
A．异面直线 与 所成的角为45°
B．
C．若点 是 的中点，则平面 截直三棱柱所得截面的周长为
D．点 是底面三角形 内一动点（含边界），若二面角 的余弦值为 ，则动点 的
轨迹长度为
19．（2025·高三·吉林长春·开学考试）如图：已知直三棱柱 ， ，且
， 为线段BC中点， ， 分别为线段AB， 上的动点，且满足 ，点 为线段EF
的中点，则下列说法正确的是（ ）
A．若 为AB的中点，则 平面
B．若 为 的中点，则 平面C．点 到平面ABC的距离为定值
D．点 的轨迹长度为
20．（2025·高三·河北·期末）已知棱长为1的正方体 ，空间内的动点 满足
，其中 ， ， ，且 到棱 的距离和 到平面 的距离相等，则
（ ）
A．当 时， 的轨迹长度为
B．当 时，四面体 的体积为定值
C．存在点 ，使得
D．直线 与平面 所成角的正弦值最大为
21．（2025·高三·江苏南京·学业考试）如图，棱长为2的正方体 中，E，F分别是
的中点，点P为底面ABCD内（包括边界）的动点，则下列说法正确的是（ ）
A．过B，E，F三点的平面截正方体所得截面图形是梯形
B．存在点P，使得 平面
C．若点P到直线BB 与到直线AD的距离相等，则点P的轨迹为抛物线的一部分
1
D．若直线DP与平面BEF无公共点，则点P的轨迹长度为
122．（2025·高三·江苏苏州·期末）已知 是棱长为2的正方体 表面上一动点， 分别
是线段 和 的中点，点 满足 ，且 ，设 的轨迹围成的图形为多边
形 ，则（ ）
A． 为平行四边形
B．存在 ，使得 的面积为
C．存在 ，使得 和底面 的夹角为
D．点 和 形成的多面体的体积不变
23．（2025·高三·重庆·阶段练习）在棱长为2的正方体 中，点 在线段 上运动（包括
端点），点 平面 ，且 与 所成角是 ，则下列正确的选项有（ ）
A．
B．点 的轨迹是双曲线
C． 的最小值为4
D．直线 与平面 所成角的最小值为
24．（2025·河北石家庄·一模）在正方体 中 分别是 的中点.下列说法
正确的是（ ）
A． 平面B．异面直线 与 所成角的余弦值为
C．过 三点的平面截正方体所得截面图形的周长为
D．若点 在正方体 表面上运动，且点 到点 的距离与到点 的距离之比为 ，
则点 的轨迹长度为
25．（2025·山东淄博·一模）如图，棱长为2的正方体 中， 分别是棱 ，棱 的
中点，动点 满足 ，其中 ，则下列结论正确的是（ ）
A．若 ，则
B．若 ，则三棱锥 的体积为定值
C．若 ，则直线 与直线 所成角的最小值为60°
D．若动点 在三棱锥 外接球的表面上，则点 的轨迹长度为
26．（2025·高三·湖南·阶段练习）如图，在棱长为1的正方体 中， ， 分别为线段
， 上的动点（包括端点），点 在底面 内运动（包括边界），则下列说法正确的有（ ）A．存在唯一的 ， ，使得
B．存在唯一的 ， ，使得
C．若 为线段 的中点，且 平面 ，则动点 的轨迹的长度为
D．若 为线段 的中点，则 的最小值为
27．（2025·高三·山东·阶段练习）如图，在三棱锥 中， 两两垂直且 ，
分别为线段 上异于端点的动点，满足 ， ，下列说法正确的是（ ）
A．三棱锥 的外接球的表面积是
B．当 时，线段 的最小值是
C．当 时，三棱锥 的体积是定值
D．若空间中的点 满足 且 ，则满足条件的点 所形成的轨迹长度为
28．（2025·高二·福建三明·阶段练习）在正方体 中， ，，则（ ）
A．若 ，则点 的轨迹为线段
B．若 ，则点 的轨迹为连接棱 的中点和棱 中点的线段
C．若 ，则三棱锥 的体积为定值
D．若 ，则 与平面 所成角的余弦值的最大值为
29．（2025·云南·模拟预测）在棱长为2的正方体 中， 分别为棱 的中点，
为正方形 内一个动点（包括边界），且 平面 ，则下列说法正确的是（ ）
A． 四点共面
B．
C．动点 的轨迹长度为
D．三棱锥 体积的最小值为
30．（2025·高三·江苏苏州·开学考试）如图所示，已知正三棱锥 底面边长为m，侧棱长为n，
分别为 的中点，连接 ，则下列说法正确的
是（ ）
A．四边形EFGH为矩形
B．向量 不共面C．点P在 内，点P到点A距离与到底面BCD距离相等，则点P的轨迹是椭圆的一部分
D．若侧棱长 ，则直线AC与平面CEF所成角的正弦值为
31．（2025·高三·甘肃兰州·开学考试）在正方体 中， 分别为棱 的中
点，动点 平面 ， ，则下列说法正确的是（ ）
A． 的外接球面积为 B．直线 平面
C．正方体被平面 截得的截面为正六边形D．点 的轨迹长度为
三、填空题
32．（2025·高三·全国·专题练习）已知球 是棱长为2的正方体 的内切球， 是 的中
点， 是 的中点， 是球 的球面上任意一点．
①若 ，则动点 的轨迹长度为 ；②三棱锥 的体积的最大值为 ；③ 的
取值范围是 ；④若 ，则 的大小为定值；所有正确结论的序号是 （把
所有正确命题的序号都填在横线上）．
33．（2025·高三·全国·专题练习）如图，正三棱柱 的底面边长是 ，侧棱长是 为
的中点， 是侧面 内的动点，且 平面 ，则点 的轨迹的长度为 ．
34．（2025·福建·模拟预测）如图，已知菱形 中， ， ， 为边 的中点，将沿 翻折成 （点 位于平面 上方），连接 和 ， 为 的中点， 在平面
的射影为 ，则在翻折过程中，点 的轨迹的长度为 ，三棱锥 体积最大
值为 .
35．（2025·吉林·二模）如图，在三棱锥 中，平面 平面 ，
，点E在棱 上，且 ，侧面 内一动点P满足 ，则点P的
轨迹长度为 ；直线 与直线 所成角的余弦值的取值范围为 .
36．（2025·高三·贵州贵阳·阶段练习）如图，在棱长为 的正方体 中， 为面
上的动点， ，则动点 的轨迹长度为 ．
37．（2025·高三·全国·专题练习）已知菱形 的各边长为2， ．如图所示，将 沿
折起，使得点 到达点 的位置，连接 ，得到三棱锥 ，此时 ．则三棱锥 的体积为 ， 是线段 的中点，点 在三棱锥 的外接球上运动，且始终保持 ，则点
的轨迹的周长为 ．
38．（2025·高三·江苏泰州·阶段练习）古希腊数学家阿波罗尼斯发现：平面上到两定点 的距离之比为
常数 的点的轨迹是一个圆心在直线 上的圆，该圆被称为阿氏圆.如图，在长方体
中， ，点 在棱 上， ，动点 满足 ，若点
在平面 内运动，则点 对应的轨迹的面积是 ； 为 的中点，则三棱锥
体积的最小值为 .
39．（2025·高三·河北·期末）如图，在直三棱柱 ，侧棱长为2， ，
点D在上底面 （包含边界）上运动，若三棱锥 外接球的表面积为 ，则动点D的轨迹的
长度为 ．
