01 一元二次函数的图象与性质
1
学习目标
教法备注
目标1
★★☆☆☆☆ 理解
理解二次函数的图像性质
目标2
★★★☆☆☆ 操作
掌握运用一元二次函数函数图
像求值域的方法
目标3
★★★☆☆☆ 操作
掌握一元二次函数的含参数值
域问题的求法
目标1
★★☆☆☆☆ 理解
理解二次函数的图像性质
目标2
★★★☆☆☆ 操作
掌握运用一元二次函数函数图像求值域的方法
目标3
★★★☆☆☆ 操作
掌握一元二次函数的含参数值域问题的求法
知识清单
2
教法备注
1．本讲知识点的考纲要求：掌握一元二次函数的图像和性质，利用一元二次函数图像解决含参值域问题.重
难点：含参问题；
2．本讲知识点在高考中结合考察，较少单独命题；
3．对应教材：新版上教教材的第二章等式与不等式，第二节不等式的求解；
4．本讲知识点属于等式与不等式章节，属于基础内容，与函数及幂指对函数章节联系紧密.
教法备注
引导学生回忆初中学过的有关二次函数的图像及顶点，要求绘制下列函数图像，并回答：
函数(1)y = x2 + x −2(2)y = x2 −x + 1
图像和顶点分别是什么？零点处的函数值有什么特点，铺垫值域的概念.
知识点1——二次函数的图象性质
考点1：二次函数一般式中各参数的几何意义
知识笔记
二次函数一般式中各参数的几何意义
已知二次函数方程为：y = ax2 + bx + c(a ≠0)，其各参数几何意义如下：
3
①二次项系数𝑎——决定函数图像的开口方向与开口大小；
a值的正负————决定了
开口方向
；
当𝑎 > 0时，二次函数图像开口向上；
当𝑎 < 0时，二次函数图像开口向下.
|a|的大小——开口大小：
|a|越大，二次函数图像开口越小；
|a|越小，二次函数图像开口越大.
②常数项c——函数图像与y轴交点纵坐标
即y = ax2 + bx + c(a ≠0)图像，无论a, b的值为多少，必然过定点(0, c) .
③一次项系数b——本身几何意义不明显，但与二次项系数a组合后将具有鲜明的几何意义：x = −b
2a 为
y = ax2 + bx + c(a ≠0)图像的对称轴.
④判别式Δ = b2 −4ac——由a, b, c共同构成，决定函数与x轴交点个数，
当Δ > 0时，二次函数图像与𝑥轴存在两个交点，当Δ = 0时，二次函数图像与x轴存在1个交点，当Δ < 0时，二次
函数图像与x轴没有交点.
注：高中阶段我们习惯用f(x)表示函数值，y = ax2 + bx + c(a ≠0)也可表达为f(x) = ax2 + bx + c(a ≠0)，例如
f(1)就可代表函数x = 1时的函数值f(1) = a + b + c.
典型例题
例1
已知抛物线y＝x －2(m－1)x＋(m －7)与x轴有两个不同的交点．
(1)求m的取值范围；
(2)若抛物线与x轴的两个交点为A，B，且点B的坐标为(3,0)，求出点A的坐标，抛物线的对称轴和顶点坐标．
2
2
4
(1)m<4 (2)A的坐标为(－1,0), 顶点坐标为(1，－4)，对称轴为直线x＝1
（1）抛物线y＝x －2(m－1)x＋(m －7)与x轴有两个不同的交点即相应的二次方程有两个不等的实根；
（2）由抛物线y＝x －2(m－1)x＋(m －7)经过点B(3,0)，可得m值，进而得到A点坐标，从而得到结果.(1)∵抛
物线y＝x －2(m－1)x＋(m －7)与x轴有两个不同的交点，
∴方程x －2(m－1)x＋(m －7)＝0有两个不相等的实数根，
∴Δ＝4(m－1) －4(m －7)＝－8m＋32>0，
∴m<4.
(2)∵抛物线y＝x －2(m－1)x＋(m －7)经过点B(3,0)，
∴9－6(m－1)＋m －7＝0，
m －6m＋8＝0，解得m＝2或m＝4.
由(1)知m<4，∴m＝2.
∴抛物线的解析式为y＝x －2x－3.
令y＝0，得x －2x－3＝0，
解得x ＝－1，x ＝3，
∴点A的坐标为(－1,0)．
又y＝x －2x－3＝(x－1) －4，
∴顶点坐标为(1，－4)，对称轴为直线x＝1.
本题考查二次函数的图像与性质，抛物线与x轴的交点问题常转化为二次方程的根，属于基础题.
答案
解析
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1
2
2
2
变式1-1
若函数f (x) = x2 + (a + 2)x + 3，x ∈[a, b]的图象关于直线x = 1对称，则b =
.
6
根据给定的二次函数，利用二次函数的性质列式计算作答.
函数f (x) = x2 + (a + 2)x + 3的对称轴为：x = −a + 2
2
，
依题意，−a + 2
2
= 1且a + b = 2，解得a = −4，b = 6，
答案
解析
5
所以b = 6.
故答案为：6
变式1-2
若抛物线y = kx2 −2x −1与x轴有两个不同的交点，则k的取值范围为（ ）
A. k > −1
B. k ≥−1
C. k > −1且k ≠0
D. k ≥−1且k ≠0
C
∵二次函数y = kx2 −2x −1的图象与x轴有两个交点，
∴ b2 −4ac = (−2)2 −4 × k × (−1) = 4 + 4k > 0
∴ 解得k > −1，
∵抛物线y = kx2 −2x −1为二次函数，
∴k ≠0，
则k的取值范围为k > −1且k ≠0.
故选：C.
本题考查二次函数的零点问题，是基础题.
答案
解析
变式1-3
已知函数y = −x2 + 2ax + 3在区间(−∞, 4)上是y随x增大而增大，则实数a的取值范围是 .
[4, +∞)
根据二次函数对称轴与单调区间位置关系列不等式，解得结果.
f(x) = −x2 + 2ax + 3对称轴方程为x = a，
f(x)在区间(−∞, 4)上是增函数，所以a ≥4.
故答案为:[4, +∞).
本题考查根据二次函数单调性求参数取值范围，考查数形结合思想方法，属基础题.
答案
解析
变式1-4
6
如图是二次函数y＝ax ＋bx＋c图象的一部分，图象过点A(－3,0)，对称轴为x＝－1.给出下面四个结论：
①b >4ac；②2a－b＝1；③a－b＋c＝0；④5a<b.
其中正确的是( )
A. ②④
B. ①④
C. ②③
D. ①③
B
根据二次函数的图像可以得到图像与x轴有两个不同的交点且开口向下，故判别式为正，a < 0，因对称轴为
x = −1，故图像与x轴的另一交点为(1, 0)且b = 2a，从这些信息可判断出正确结论的序号为①④．因为图象与
x轴交于两点，所以b2 −4ac > 0，即b2 > 4ac，①正确．
对称轴为x = −1, −b
2a = −1, 2a −b = 0，②错误．
结合图象，当x = −1时，y > 0，即a −b + c > 0，③错误．
由对称轴为x = −1知，b = 2a.又函数图象开口向下，所以a < 0，所以5a < 2a，即$5a，④正确．故选B．
一般地，给定了二次函数的图像，我们可以从图像中扑捉下列信息：（1）开口方向；（2）判别式的正负；
（3）对称轴；（4）特殊点的函数值的正负．
2
2
答案
解析
变式1-5
二次函数y = ax2 + bx + c的图象如图所示，下列结论中正确的是（ ）
①abc < 0；②b2 −4ac < 0；③2a > b；④a + c > b.
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个
7
A
根据图象开口方向及与坐标轴交点的情况直接判断.
由图象可知a < 0，c > 0，−1 < −b
2a < 0即2a < b < 0，Δ = b2 −4ac > 0，
所以abc > 0，故①，②，③错误，
f (−1) = a −b + c > 0，则a + c > b，故④正确；
故选：A.
答案
解析
知识点2——一元二次函数的最值与值域
考点2：定轴定区间值域问题
知识笔记
函数值域
一般地，设函数y = f(x)在x0处的函数值是f(x0)，如果存在x0,使得不等式y ≥f(x0)恒成立，那么f(x0)叫做函数
y = f(x)的最小值，同理，不等式y ≤f(x0)都成立，那么f(x0)叫做函数y = f(x)的最大值；
函数y = f(x)的最小值记作f(x)min，最大值记作f(x)max，那么函数的值域就是[f(x)min, f(x)max].
二次函数值域
(1)二次函数y = ax2 + bx + c (a ≠0)的定义域为R，
当a > 0时，值域是[ 4ac −b2
4a
, +∞)，
当a < 0时，值域是(−∞, 4ac −b2
4a
]；
(2)二次函数y = ax2 + bx + c(a ≠0)的定义域不为R时，定义域结合函数图像求最值.
典型例题
例2
8
已知函数y = −x2 + 3x + 4的x取值为[−2, 2]时，y的值域为 ．
[−6, 25
4 ]
试题分析：函数
的对称轴为
，所以在区间
上，函数的最大值为
，函数的最小值为
，所以函数的值域为
[−6, 25
4 ]．
考点：二次函数的性质．
答案
解析
变式2-1
函数y = x2的值域为
（用区间表示）.
[0, +∞)
根据二次函数的性质即可得解.
二次函数y = x2在(−∞, 0)上单调递减，在[0, +∞)上单调递增，
故函数在x = 0时，取得最小值，即ymin = 0，所以函数的值域为[0, +∞)
故答案为：[0, +∞)
答案
解析
变式2-2
函数f (x) = x + 1, x ∈{−1, 1, 2}的值域是
；
函数f(x)= −x2 + 4x −2，x ∈[0, 3)的值域是
.
{0, 2, 3} ; [−2, 2] | {f(x)| −2 ≤f(x) ≤2}
答案
解析
9
将x = −1、1、2代入f (x) = x + 1可得其值域；利用配方法可得y = −(x −2)2 + 2，结合二次函数的单调性和
x ∈[0, 3)即可得出值域.
f (x) = x + 1，x ∈{−1, 1, 2}，
当x = −1时，f (−1) = −1 + 1=0；
当x = 1时，f (1) = 1 + 1 = 2；
当x = 2时，f (2) = 2 + 1 = 3，
∴值域为{0, 2, 3}.
y = −x2 + 4x −2 = −(x −2)2 + 2，
由二次函数的性质知，该函数在(−∞，2)上单调递增，在(2，+ ∞)上单调递减，
∵x ∈[0, 3)，∴当x = 0时，y = −2，当x = 3时，y = 1，
故y = −(x −2)2 + 2 ∈[−2, 2]，
故答案为：{0, 2, 3}；[−2, 2]
变式2-3
设集合A = {x|1 ≤x ≤10, x ∈N}, B = {y|y = x2 −12x + 36, x ∈A}，则集合A ⋂B = .
{1, 4, 9}
解：因为A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}, B = {0, 1, 4, 9, 16, 25}，所以A ⋂B = {1, 4, 9}.
故答案为：{1, 4, 9}.
本题考查集合的交集运算，属于基础题.
答案
解析
变式2-4
已知函数f (x) = x2 −2x + 3，当x ∈[0, 3]时，f (x)的值域是
；若f (x)的值域是[2, 11]，则f (x)的定义域为
．（写出满足条件的一个结论）
[2, 6] ; [−2, 4](答案不唯一)
利用二次函数的单调性与对称性计算即可. 根据题意令f (x) = 2，f (x) = 11，求出对应的x值，结合二次函数
的性质即可求解.
由f (x) = x2 −2x + 3 = (x −1)2 + 2，
答案
解析
10
可知x ∈[0, 1]，函数单调递减，当x ∈[1, 3]时，函数单调递增，
故x = 1时，f(x)min = 2，x = 3时，f(x)max = 6，即f (x) ∈[2, 6].f (x)的值域是[2, 6].
令f (x) = x2 −2x + 3 = 2，解得x = 1；
令f (x) = x2 −2x + 3 = 11, x2 −2x −8 = 0，解得x = −2或x = 4；
由二次函数的图象与性质可得，若要使函数f (x) = x2 −2x + 3的值域是[2, 11]，
则它的定义域是可能是[1, 4]，[−2, 1]，[−2, 4]．
故答案为：[2, 6];[−2, 4](答案不唯一)
教法备注
【考点】二次函数的最值和值域
【教法】结合图像讨论参数，灌输对称轴处取最小（大）值，对称轴两边对称增大（减小）的思想
考点3：R上的恒成立值域问题
典型例题
例3
已知函数y = ax2 + ax + 1图像永远在横轴上方，则实数a的取值范围为 .
[0,4)
首先分a = 0和a ≠0两种情况进行分类讨论;当a ≠0时,易知y = ax2 + ax + 1的图像开口向上,且与x轴无交点,
故由a > 0, Δ < 0即可求得a的取值范围.(1)当a = 0时,y = 1符合题意;
(2)当a ≠0时,
由题意可得,
{
，
即{
,
解得0 < 4,
综上知a的取值范围为0 ≤a < 4.
故答案为0 ≤a < 4
$$
本题考查了一元二次函数图像与一元二次方程根之间的关系,即一元二次函数图像与x轴无交点等价于对应的一
答案
解析
a > 0
Δ < 0
a > 0
a2 −4a < 0
11
元二次方程无实根.分两种情况讨论a的取值是求解本题的关键；a = 0易忽略.
教法备注
【考点】二次函数的图像性质
【教法】恒成立与判别式关系及二次项系数含参讨论讲解
变式3-1
若不等式(a −2)x2 + (a −2)x −1 < 0对任意x ∈R恒成立，则实数a的取值范围是
.
(−2, 2]
先对二次项的系数a −2分类讨论，利用二次函数的性质，即可求出结果．①当a = 2时，不等式化为−1 < 0对
一切x∈R恒成立，因此a = 2满足题意；
②当a ≠2时，要使不等式(a −2)x2 + (a −2)x −1 < 0对一切x ∈R恒成立，
则必有 {
解得$-2<2$ ．
综上①②可知：实数a取值的集合是(−2, 2]．
故答案为：(−2, 2]．
熟练掌握二次函数的性质和分类讨论的思想方法是解题的关键．
教法备注
【考点】二次函数的图像性质
【教法】恒成立与判别式关系及二次项系数含参讨论讲解
答案
解析
a −2 < 0
(a −2)2
+ 4
(a −2)
< 0
变式3-2
若不等式(a −1)x2 + (a −1)x −1 < 0对x ∈R恒成立，则实数a的取值范围是
.
答案
12
–z −
z
1 + i
先对二次项的系数a −1分类讨论，利用二次函数的性质，即可求出结果．
①当a = 1时，不等式化为−1 < 0对一切x∈R恒成立，因此a = 1满足题意；
②当a ≠1时，要使不等式(a −1)x2 + (a −1)x −1 < 0对一切x ∈R恒成立，
则必有$~\left\{
\right.\therefore -3<1$ ．
综上①②可知：实数a取值的集合是(−3, 1]．
故答案为：(−3, 1]．
解析
a −1 < 0
4(a −1) ⋅(−1) −(a −1)2
4(a −1)
< 0
02 集合的概念及表示方法
1
学习目标
目标1
★★☆☆☆☆ 理解
理解集合的概念及其性质
目标2
★★★☆☆☆ 操作
理解集合的表示方法
目标3
★★★★☆☆ 识别
掌握集合与元素间的关系及符号表达
知识清单
教法备注
1．本讲知识点的考纲要求知道集合的意义、认识一些特殊的集合记号，懂得元素及其与集合的关系符号，初
步掌握基本的集合语言，会用“列举法”和“描述法”表示集合，重难点：集合与元素的关系；
2．本讲知识点在高考中通常结合不等式章节，主要以填选基础题形式考察，占高考分值约5%；
3．对应教材：新版上教教材的第一章集合与逻辑，第一节集合初步；
4．本讲知识点属于集合章节，属于基础章节，在高中各个章节中都有集合的思想，要打好基础.
2
教法备注
“集合”是日常生活中的一个常用词，现代汉语解释为：许多的人或物聚在一起，
在现代数学中，集合是一种简洁、高雅的数学语言，我们怎样理解数学中的“集合”?
知识点1——集合的概念与性质
考点1：集合的概念
知识笔记
集合的概念
集合的概念：把一些确定的对象的全体叫做集合，简称集，集合通常用大写字母ABC…等表示；集合所含的各个
对象叫做该集合的
元素
.
应注意集合概念中的“确定的对象”与“全体”两个词.
典型例题
例1
请将下列各组对象能组成集合的序号填在后面的横线上 .
①上海市2025年入学的全体高一年级新生；
②在平面直角坐标系中，到定点(0，0)的距离等于1的所有点；
③影响力比较大的中国数学家；
④不等式3x −10 < 0的所有正整数解.
①②④
根据集合的概念即可判断.
解：对于①，“上海市2025年入学的全体高一年级新生”，研究对象是明确的，符合集合的定义，能构成集合；
对于②，“在平面直角坐标系中，到定点(0，0)的距离等于1的所有点”，研究对象是明确的，符合集合的定
义，能构成集合；
答案
解析
3
对于③，“影响力比较大的中国数学家”，其中影响力比较大的没有明确的定义，故不能构成集合；
对于④，“不等式3x −10 < 0的所有正整数解”，研究对象是明确的，符合集合的定义，能构成集合.
故答案为：①②④.
变式1-1
下列各对象的全体，可以构成集合的是
（填序号）
①高一数学课本中的难题； ②与1非常接近的全体实数；
②高一年级视力比较好的同学； ④高一年级中身高超过1.70米的同学
④
因为①②③所表示的研究对象不能确定，所以不能构成集合，而④符合集合的概念.
故答案为：④
本题考查集合的概念及判断，属于基础题.
答案
解析
考点2：集合的分类
知识笔记
集合的分类
元素个数：有限集、无限集；
不含有任何元素的集合称为空集∅；
元素类型：数集和
点集
；
常用数集：自然数集N，整数集Z，有理数集Q，实数集R.
典型例题
例2
下列集合中哪些是空集？哪些是有限集？哪些是无限集？
(1)
小于10000的素数构成的集合；
(2)
一元二次方程x2 + x + 1 = 0的全体实根之集；
(3)
满足条件x + y = 1和xy > 1的所有实数组(x, y)之集；
(4)
满足条件x2 + y2 = 1和xy < 0的所有实数组(x, y)之集.
4
(1) 有限集
(2) 空集
(3) 空集
(4) 无限集
(1) 由于小于10000的素数存在，如2，3，5，7等，且为有限个，故小于10000的素数构成的集合为有限集
(2) 由于Δ = 1 −4 < 0，故方程无解，故一元二次方程x2 + x + 1 = 0的全体实根之集为空集
(3) 由x + y = 1，可得y = 1 −x，故xy > 1 ⇔x(1 −x) > 1
即x2 −x + 1 < 0，令y = x2 −x + 1
为开口向上的二次函数，且对应的方程Δ = 1 −4 < 0
故x2 −x + 1 < 0无解
即满足条件x + y = 1和xy > 1的所有实数组(x, y)之集为空集
(4) 满足条件x2 + y2 = 1和xy < 0的所有实数组(x, y)之集，即为到原点的距离为1的第二、四象限的点构成的
集合，为无限集
答案
解析
变式2-1
判断下列集合是有限集还是无限集．
（1）年龄超过60岁且户籍所在地为上海的人组成的集合 ;
（2）所有正方形组成的集合 ;
（3）直线y = x −1上的所有点组合的集合 ;
（4）不大于9的所有非负整数组成的集合 .
答案
5
有限集; 无限集; 无限集; 有限集
根据集合的元素一一判断即可；
解：（1）年龄超过60岁且户籍所在地为上海的人只有有限个，故年龄超过60岁且户籍所在地为上海的人组成
的集合为有限集；
（2）正方形有无数多个，故所有正方形组成的集合为无限集；
（3）直线y = x −1上有无数个点，故直线y = x −1上的所有点组合的集合为无限集；
（4）不大于9的所有非负整数组成的集合= {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}，故不大于9的所有非负整数组成的集合为
有限集；
故答案为：有限集；无限集；无限集；有限集；
解析
考点3：集合的性质
知识笔记
集合的性质
集合中元素的性质：①确定性；②
互异性
；③无序性.
典型例题
例3
判断下列说法是否正确，并说明理由.
（1）某个单位里的年轻人组成一个集合；
（2）1，3
2 ，6
4 ，|−1
2 |，1
2 这些数组成的集合有5个元素；
（3）由a、b、c组成的集合与由b、a、c组成的集合是同一个集合.
6
答案见详解.
利用集合中元素的性质：确定性、互异性、无序性；(1)“年轻人”标准不定；(2) |−1
2 |与1
2 相同；(3) a、b、c与b
、a、c分别构成的集合，元素顺序不一样，由此即可判断它们的正误
（1）不正确，因为“年轻人”没有明确的标准，不具有确定性，不能作为元素来组成集合；
（2）不正确，对于一个给定的集合，它的元素必须是互异的，即集合中的任何两个元素都是不同的，故这个
集合是由3个元素组成的；
（3）正确，集合中的元素相同，只是次序不同，它们都表示同一个集合.
本题考查了集合元素的性质，理解并应用集合中元素的确定性、互异性、无序性
答案
解析
变式3-1
如果集合中的元素是三角形的边长，那么这个三角形一定不可能是（ ）
A. 直角三角形
B. 锐角三角形
C. 钝角三角形
D. 等腰三角形
D
由集合元素的互异性可得解.
根据集合元素的互异性可知，该三角形一定不可能是等腰三角形.
故选：D.
答案
解析
变式3-2
由实数x, −x, |x|, √x2, −
5√x5所组成的集合最多含（ ）
A. 3个元素
B. 2个元素
C. 4个元素
D. 5个元素
B
通过分类讨论，对算式进行化简，判断集合中元素的个数.
答案
解析
7
当x = 0时，x = −x = |x| = √x2 = −
5√x5 = 0，集合中只有1个元素0；
当x > 0时，|x| = x, √x2 = x, −
5√x5 = −x，集合中只有2个元素x和−x；
当x < 0时，|x| = −x, √x2 = −x, −
5√x5 = −x，集合中只有2个元素x和−x.
所以实数x, −x, |x|, √x2, −
5√x5所组成的集合最多有2个元素．
故选：B
考点4：方程解与元素个数问题
典型例题
例4
已知A为方程ax2 + 2x + 1 = 0的所有实数解构成的集合，其中a为实数.
(1)
若A是空集，求a的范围；
(2)
若A是单元素集合，求a的范围：
(3)
若A中至多有一个元素，求a的取值范围.
(1) a > 1；
(2) a = 0或 a = 1；
(3) a = 0或 a ≥1.
(1) 若A是空集，则方程ax2 + 2x + 1 = 0无解，
当a = 0时，方程2x + 1 = 0有解，不符合题意；
当a ≠0时，Δ = 4 −4a < 0，得a > 1.
综上所述：a > 1.
(2) 若A是单元素集合，则方程ax2 + 2x + 1 = 0有唯一实根，
答案
解析
8
当a = 0时，方程2x + 1 = 0有唯一解x = −1
2 ，符合题意；
当a ≠0时，Δ = 4 −4a = 0，得a = 1.
综上所述：a = 0或a = 1.
(3) 若A中至多有一个元素，则方程ax2 + 2x + 1 = 0至多有一个解，
当方程ax2 + 2x + 1 = 0无解时，由（1）知，a > 1；
方程ax2 + 2x + 1 = 0有唯一实根时，由（2）知，a = 0或a = 1.
综上所述：a = 0或a ≥1.
变式4-1
已知集合A是方程(a2 −1)x2 + 2 (a + 1)x + 1 = 0的解集．
(1)
若A是空集，求a的取值范围；
(2)
若A是单元素集（集合中只有一个元素），求a的值；
(3)
若A中至多只有一个元素，求a的取值范围．
(1) (−∞, −1]
(2) 1
(3) (−∞, −1] ⋃{1}
(1) 若a2 −1 = 0，则a = 1或a = −1，当a = 1时，方程为4x + 1 = 0，
其解为x = −1
4 ，所以A是单元素集．
当a = −1时，方程为0 ⋅x + 1 = 0，无实数解，所以A为空集．
所以，若A是空集，
则a = −1或{
答案
解析
a2 −1 ≠0,
Δ = 4(a + 1)2 −4 (a2 −1) = 8a + 8 < 0,
9
即a ≤−1，所以a的取值范围为(−∞, −1]；
(2) 由（1）可知，若A是单元素集，则a = 1或{
即a = 1；
(3) 由（1）（2）知，若A中至多只有一个元素，即A为空集或单元素集，则a的取值范围为(−∞, −1] ⋃{1}.
教法备注
【考点】空集的概念、一元二次方程解的个数问题
【教法】含参二次项的零讨论要讲解清楚，确保这个易错点深入人心
a2 −1 ≠0,
Δ = 0,
知识点2——集合的表示方法
考点5：列举法表示集合
知识笔记
列举法
列举法：将集合中的元素一一列举出来.
适用范围：集合内元素较少，或者是无限集但是可以直观的看出集合内元素规律的集合，该方法优点在于简便、直
观.
典型例题
例5
用列举法表示下列集合：
（1）小于10的所有自然数组成的集合； （2）方程x2 = x的所有实数根组成的集合；
（3）由1～20以内的所有素数组成的集合；（4）方程x2 −4 = 0的所有实数根组成的集合；
（1） {0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}；（2） {0，1}；（3） {2，3，5，7，11，13，17，19}；（4）
{−2，2}.
根据各小题中的对集合的元素的描述，确定集合的元素，然后写在大括号内，便得到其列举法表示.
（1）小于10的所有自然数为0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，用列举法表示它们构成的集合为
答案
解析
10
{0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}；
（2）由x2 = x解得x = 0或x = 1,所以方程x2 = x的所有实数根为0和1，用列举法表示所有实数根组成的集合
为{0, 1}；
（3）1～20以内的所有素数为2，3，5，7，11，13，17，19，用列举法表示它们组成的集合为
{2，3，5，7，11，13，17，19}；
（4）方程x2 −4 = 0的所有实数根为-2，2，用列举法表示它们组成的集合为{−2，2}.
变式5-1
已知集合A = {x |x (x −1) (x −2) = 0}，B = {x |x = a + b, a、b是集合A中的元素, a ≠b}，试用列举法表示集合
B = ．
{1, 2, 3}
求解出集合A后，根据a, b的取值可确定a + b所有可能的值，进而得到集合B.
A = {x|x (x −1) (x −2) = 0} = {0, 1, 2}
∵a, b ∈A且a ≠b ∴a + b = 0 + 1 = 1或a + b = 0 + 2 = 2或a + b = 1 + 2 = 3
∴B = {1, 2, 3}
本题正确结果：{1, 2, 3}
本题考查集合的求解，关键是能够明确集合B表示的含义，属于基础题.
答案
解析
考点6：描述法表示集合
知识笔记
描述法
描述法：将集合中元素所具有的共同性质描述出来，其形式为{x |x满足的性质P}，其中x为元素的一般形式，P为
元素的
公共属性
.
适用范围：常用于集合内元素是无限个，且这些元素具有共同特征（如果这些元素是有限个或者无限个，但是无法
找出其中的规律就不可用描述法了）.
典型例题
例6
11
用描述法表示下列集合．
（1）小于5的正有理数组成的集合：
；
（2）平面直角坐标系中第一、三象限角平分线上的所有点组成的集合：
；
（3）偶数集：
；
（4）抛物线y = x2 −3x + 2上的所有点组成的集合：
．
$\left\{ \left. x\in Q \right|0<5 \right\}$ ; {(x, y)|y = x} ; {x|x = 2n, n ∈Z} ; {(x, y)|y = x2 −3x + 2}
根据各项集合的自然语言描述，直接应用描述法写出集合即可.
（1）由描述可得：集合为$\left\{ \left. x\in Q \right|0<5 \right\}$.
（2）第一、三象限角平分线上的所有点都在y = x上，故集合为{(x, y)|y = x}.
（3）由偶数可表示为x = 2n, n ∈Z，故集合为{x|x = 2n, n ∈Z}.
（4）由描述知：集合为{(x, y)|y = x2 −3x + 2}.
故答案为：$\left\{ \left. x\in Q \right|0<5 \right\}$，{(x, y)|y = x}，{x|x = 2n, n ∈Z}，{(x, y)|y = x2 −3x + 2}
.
答案
解析
变式6-1
用描述法表示下图中的阴影部分可以是
．
{(x, y)|0 ≤x ≤2, 0 ≤y ≤1}
首先注意是点集，利用x与y的范围来限定.
可以用{(x, y)|0 ≤x ≤2, 0 ≤y ≤1}来表示图中阴影部分.
故答案为：{(x, y)|0 ≤x ≤2, 0 ≤y ≤1}
答案
解析
12
考点7：区间法表示集合
知识笔记
区间法
当a，b ∈R且a < b时，规定：
满足不等式a ≤x ≤b的全体实数x组成的集合称为一个闭区间，记作[a, b]；
满足不等式a < x < b的全体实数x组成的集合称为一个开区间，记作(a, b)；
满足不等式a ≤x < b的全体实数x组成的集合为一个半开半闭区间，记作[a, b)；
满足不等式a < x ≤b的全体实数x组成的集合为一个半开半闭区间，记作(a, b];
满足不等式x < a(x ≤a)的全体实数x组成的集合，记作(−∞, a)((−∞, a]);
满足不等式x > a(x ≥a)的全体实数x组成的集合，记作(a, +∞)([a, +∞)).
典型例题
例7
集合A={x|x≥0且x≠1}用区间表示
．
[0，1）∪（1，+∞）
按照区间的定义以及书写方式进行转换即可.集合A={x|x≥0且x≠1}用区间表示为：[0，1）∪（1，+∞），
故答案为[0，1）∪（1，+∞）．
本题考查了区间和集合的转化，（1）用区间表示数集的原则有：①数集是连续的；②左小右大；③区间的一
端是开或闭不能弄错；（2）用区间表示数集的方法：区间符号里面的两个数字(或字母)之间用“，”隔开；
（3）用数轴表示区间时，要特别注意实心点与空心点的区别．
答案
解析
变式7-1
把不等式|x −1| < 2的解集用区间表示：
.
(−1, 3)．
答案
13
由绝对值性质解出不等式，然后写出结果．
|x −1| < 2 ⇔−2 < x −1 < 2 ⇒−1 < x < 3，解集为(−1, 3)．
故答案为：(−1, 3)．
教法备注
1.注意要用初中方法（分段讨论）来求解不等式
解析
知识点3——集合与元素的关系
考点8：符号运用
知识笔记
集合的属于关系
集合常用大写字母A, B, C…表示，集合中的元素用小写字母a, b, c…表示.
(1) 如果a是集合A的元素，就记作a ∈A，读作“a
属于
A”；
(2) 如果a不是集合A的元素，就记作a ∉A，读作“a
不属于
A”.
典型例题
例8
用符号“∈”或“∉”填空：
（1）设集合B是小于√11的所有实数的集合，则2√3
B，1＋√2
B；
（2）设集合C是满足方程x＝n ＋1(其中n为正整数)的实数x的集合，则3
C，5
C；
（3）设集合D是满足方程y＝x 的有序实数对(x，y)组成的集合，则－1
D，(－1，1)
D．
∉; ∈; ∉; ∈; ∉; ∈
根据元素和集合的关系，逐项分析判断即可得解.
（1）∵2√3 = √12 > √11 ∴2√3∉B；
2
2
答案
解析
14
∵(1＋√2) ＝3＋2√2<3＋2×4＝11，
∴1＋√2<√11 ，∴1＋√2∈B．
（2）∵n是正整数，∴n ＋1≠3，∴3∉C；
当n＝2时，n ＋1＝5，∴5∈C．
（3）∵集合D中的元素是有序实数对(x，y)，则－1是数，
∴－1∉D；又(－1) ＝1，∴(－1，1)∈D．
故答案为：∉，∈，∉，∈，∉，∈.
2
2
2
2
变式8-1
下列结论中，不正确的是（ ）
A. 若a ∈N，则−a ∉N
B. 若a ∈Z，则a2 ∈Z
C. 若a ∈Q，则|a| ∈Q
D. 若a ∈R，则a3 ∈R
A
根据元素与集合的关系一一判定即可.
对于B、C、D项，当a ∈Z，其平方数仍为整数；当a ∈Q，其绝对值仍为有理数；当a ∈R，其立方仍为实
数，均正确.
在A中，当a = 0时，显然不成立．
故选：A
答案
解析
考点9：元素与集合的关系问题
典型例题
例9
设集合A = {x, xy, xy −1}，其中x ∈Z，y ∈Z且y ≠0. 若0 ∈A，则用列举法表示集合A =
{−1, 0, 1}
根据y ≠0且0 ∈A,结合集合的互异性原则可知xy −1 = 0,进而求得x和y的值,即可表示集合A.集合
A = {x, xy, xy −1},其中x ∈Z,y ∈Z且y ≠0.
答案
解析
15
若0 ∈A,则当x = 0时, x = xy = 0由集合的互异性可知不符合要求
所以xy −1 = 0,即xy = 1
则{
或{
当{
时,x = xy = 1, 由集合的互异性可知不符合要求
因而{
,此时x = −1, xy = 1, xy −1 = 0
所以A = {−1, 0, 1}
故答案为: {−1, 0, 1}
本题考查了元素与集合的关系,集合的互异性原则的应用,属于基础题.
x = 1
y = 1
x = −1
y = −1
x = 1
y = 1
x = −1
y = −1
变式9-1
已知集合A = {2, a2 + 3a + 3}，且3 ∈A，则实数a的值为
.
0或 −3
根据元素与集合关系得到方程，解出即可.
因为3 ∈A，则a2 + 3a + 3 = 3，解得a = 0或−3.
故答案为：0或−3.
答案
解析
变式9-2
已知集合A = {2, a2 + 1, a2 −a}，B = {0,7，a2 −a −5，2 −a}，且5 ∈A，求集合B．
16
B = {0,1，4， 7}
由5 ∈A，得到a2 + 1 = 5或a2 −a = 5(舍)，从而得a = ±2，分别代入集合A和B，利用集合中元素的互异性能
求出集合B．∵集合A = {2, a2 + 1, a2 −a}，
B = {0,7，a2 −a −5，2 −a}，且5 ∈A，
∴a2 + 1 = 5或a2 −a = 5(舍)，
解得a = ±2，
当a = 2时，A = {2,5，2}，不成立；
当a = −2时，A = {2,5，6}，B = {0,7，1，4}，成立．
∴集合B = {0,1，4，7}．
本题考查集合的求法，考查元素与集合的关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是基础
题．
答案
解析
03 集合和集合的关系
1
学习目标
目标1
★☆☆☆☆☆ 识记
理解子集和真子集的概念及集合间的关系
目标2
★★☆☆☆☆ 理解
掌握子集个数的计算方法
目标3
★★★☆☆☆ 操作
掌握解决含参集合问题的方法
知识清单
教法备注
1．本讲知识点的考纲要求：理解集合之间的包含关系并掌握子集的概念，知道有关的基本运算性质，重难
点：子集的概念及集合中的含参问题；
2．本讲知识点在高考中通常结合不等式章节，主要以填选基础题形式考察，占高考分值约5%；
3．对应教材：新版上教教材的第一章集合与逻辑，第一节集合初步；
4．本讲知识点属于集合章节，属于基础章节，在高中各个章节中都有集合的思想，要打好基础.
2
教法备注
观察下列几组集合，集合A与集合有什么关系呢？
A = {1, 2, 3} B = {1, 2, 3, 4, 5}
A = {x |x > 3} B = {x |3x −6 > 0}
A = {正方形} B = {四边形}
A = {高一年级的女生} B = {高一年级的学生}
知识点1——子集、真子集的概念及集合间的关系
考点1：子集、真子集的概念
知识笔记
子集的概念
子集：对于两个集合A与B，若集合A中任何一个元素都属于集合B，则集合A叫做集合B的子集，记作A ⊆B(或
B ⊇A) ，读作A包含于B（或B包含A）.
(1)空集是任何集合的子集，即∅⊆A.
(2)集合A是其自身的子集，即A ⊆A .
(3)子集的传递性：若A ⊆B, B ⊆C, 则A ⊆C.
真子集
对于集合A和B，若A ⊆B，且B中至少有一个元素不属于A，则集合A叫做集合B的真子集，记作A ⊂B或B ⊃A，
读作“A真包含于B”.
(1)空集是任何非空集合的真子集；
(2)N ⊂Z ⊂Q ⊂R；
(3)连接元素与集合的符号有：∈和∉ ；
(4)连接集合与集合的符号有：⊆, ⊂, ≠, =等；
(5)若A ⊆B，则A ⊂B或A = B.
典型例题
例1
3
下列命题中正确的是（ ）
A. 空集没有子集
B. 空集是任何一个集合的真子集
C. 任何一个集合必有两个或两个以上的子集
D. 设集合B ⊆A，那么，若x ∉A，则x ∉B
D
A选项，空集是其本身的子集，A错；
B选项，空集是任一非空集合的真子集，B错；
C选项，空集只有一个子集，即是空集本身；C错；
D选项，若B ⊆A，则B中元素都在A中，A中没有的元素，则B中也没有；故D正确.
故选：D.
答案
解析
变式1-1
已知集合A = {x|0 ≤x < 6, x ∈N}，B = {1, 2, 3, 4, 5}，则集合A，B间的关系为（ ）
A. A ∈B
B. B ∈A
C. A = B
D. B ⊆A
D
用列举法表示集合A，结合集合B判断集合A, B间的关系.
由题设，A = {0, 1, 2, 3, 4, 5}，而B = {1, 2, 3, 4, 5}，∴B ⊆A，
而A,B的连接符号错误，C选项A ≠B，故ABC错误，D正确.
故选：D.
答案
解析
变式1-2
设A = {1, 2, 3, 4}，B = {1, 2}，请写出一个满足B⊂C⊂A的集合C = .
{1, 2, 3}或者 {1, 2, 4}.
答案
4
解：A = {1, 2, 3, 4}，B = {1, 2}，BCA，所以集合C是集合A的真子集，且必须包含元素1, 2，所以集合C
可以为{1, 2, 3}或{1, 2, 4}.
故答案为：{1, 2, 3}或者{1, 2, 4}.
方法点睛：（1）集合C中包含集合B中的所有元素；
（2）集合A中找包含集合B的所有子集，最后剔除掉集合A即可.
解析
变式1-3
已知集合A = {−1, 3, 2m −1}，集合B = {3, m2}.若B ⊆A，则实数m =
.
1
根据集合子集的概念求解.
因为B ⊆A，
所以m2 = 2m −1，即(m −1)2 = 0，
所以m = 1，
此时A = {−1, 3, 1}, B = {3, 1}，满足题意.
故答案为：1
答案
解析
考点2：符号运用
典型例题
例2
设集合T = {∅, {∅}}，则下列命题：①∅∈T，②∅⊆T，②{∅} ∈T，④{∅} ⊆T中正确的是
（写出所有正
确命题对应的序号）.
①②③④.
根据集合T元素的特征，对四个命题逐一分析，由此确定正确命题的序号.集合T = {∅, {∅}}，也即集合T的元
答案
解析
5
素为两个集合，一个是∅，另一个是{∅}.
对于①，空集是集合T的元素，故①正确.
对于②，空集是任何集合的子集，故②正确.
对于③，{∅}是集合T的元素，故③正确.
对于④，{∅}中含有元素∅，故④正确.
故答案为①②③④.
本小题主要考查元素与集合的关系，考查集合与集合的关系，属于基础题.
变式2-1
下列六个关系式：①{a, b} ⊆{b, a}；②{a, b} = {b, a}；③{0} ≠∅；④0 ∈{0}；⑤∅∈{0}；⑥∅⊆{0}，其中正确的
个数为（ ）
A. 3个
B. 4个
C. 5个
D. 6个
C
①根据子集的定义判断；②根据集合中的元素的特征判断；③根据集合{0}中有一个元素0判断；④根据元素与
集合的关系判断；⑤根据集合与集合的关系判断；⑥根据空集是任意集合的子集判断.
依据子集定义，任何集合都是自身的子集，①正确；
集合中的元素具有无序性，②正确；
集合{0}中有一个元素0，不是空集∅，③正确；
0是集合{0}中的元素，所以0 ∈{0}，④正确；
空集∅和集合{0}两个集合的关系为包含关系不是属于关系，⑤错误；
由于空集是任意集合的子集，则∅⊆{0}，⑥正确；
故选：C
答案
解析
考点3：集合相等
知识笔记
相等的集合
对于两个集合A和B，若A ⊆B且B ⊆A，则叫做集合A与集合B 相等，记作A = B.相等的集合中的所含元素完全相
同.
典型例题
6
例3
含有三个实数的集合可表示为{a, b
a , 1}，也可以示为{a2, a + b, 0}，则a2013 + a2014的值为
.
0
结合已知条件，利用集合元素的互异性，即可求得本题答案.
因为{a, b
a , 1} = {a2, a + b, 0}，且a ≠0，所以b = 0，
则有{a, 0, 1} = {a2, a, 0}，
所以a2 = 1，且a ≠1，得a = −1，
所以，a2013 + a2014 = (−1)2013 + (−1)2014 = −1 + 1 = 0
故答案为：0
答案
解析
变式3-1
设集合A = {0, a}, B = {a −2, 3a −4}，若B = A，则a =（ ）
A. 2
B. 1
C. 4
3
D. −2
A
利用集合相等列式求值并验证得解.
集合A = {0, a}, B = {a −2, 3a −4}，由B = A，得a −2 = 0或3a −4 = 0，解得a = 2或a = 4
3 ，
当a = 2时，B = {0, 2} = A，符合题意；
当a = 4
3 时，B = {0, −2
3 } ≠A，不符合题意，
所以a = 2.
故选：A
答案
解析
考点4：集合包含关系的运用
典型例题
7
例4
已知非空集合M满足：对任意x ∈M，总有x2 ∉M且√x ∉M，若M ⊆{0, 1, 2, 3, 4, 5}，则满足条件的M的个数是
.
11
根据集合M的元素特征以及有限集的子集个数即可解出．
因为非空集合M至少含有一个元素，而且根据题意可知，集合M中不能含有0, 1，且2, 4不能同时存在于集合，
所以由集合{2, 3, 4, 5}的非空子集个数为24 −1 = 15， 再排除不符合题意的{2, 4}, {2, 3, 4}, {2, 4, 5}, {2, 3, 4, 5}
，故满足题意的M的个数是15 −4 = 11．
故答案为：11．
答案
解析
变式4-1
已知一个有四个数字元素的集合S，S的所有子集的元素和（空集的元素和认为是零）的总和等于16192，则S的元
素之和等于
.
2024
利用集合的非空子集个数先求出含每个元素的集合个数，在进行求和即可．
解：设集合S = {a1, a2, a3, a4}，
由一个集合中有n个元素，则它有2n个子集，非空子集有（2n−1）个可得：
含有元素a1的集合有23 = 8个，
含有元素a2的集合有23 = 8个，
含有元素a3的集合有23 = 8个，
含有元素a4的集合有23 = 8个，
若集合S的所有非空子集的元素之和是16192，
则集合S的所有元素和为8 (a1 + a2 + a3 + a4) = 16192，
则a1 + a2 + a3 + a4 = 2024；
故答案为：2024．
答案
解析
8
教法备注
【考点】子集的概念
【教法】分析元素和问题的分数位解题逻辑
知识点2——子集个数问题
考点5：子集个数的求算
知识笔记
集合的子集个数问题
思考：
1. 空集有多少个子集？1个
2. 集合{a, b, c}有多少个子集？集合{a, b, c, d}有多少个子集？8个、16个
3. 含n个元素的集合的子集个数为2n；非空子集个数为2n −1；真子集个数为2n −1；非空真子集个数为2n −2.
典型例题
例5
集合A = {x ∈N
x = 16
n , n ∈N}的非空真子集个数为
.
30
计算出集合A后，结合A中元素个数，及元素个数与非空真子集个数关系即可得解.
由16 = 1 × 16 = 2 × 8 = 4 × 4，故A = {1, 2, 4, 8, 16}，共5个元素，
故其非空真子集个数为25 −2 = 32 −2 = 30.
故答案为：30.
答案
解析
变式5-1
9
已知集合A = {x|x < 4, x ∈N}，则集合A的非空真子集的个数为
．
14
先得到集合A共有4个元素，从而利用公式求出A的非空真子集的个数.
A = {x|x < 4, x ∈N} = {0, 1, 2, 3}，共有4个元素，
故集合A的非空真子集的个数为24 −2 = 14.
故答案为：14
答案
解析
考点6：子集个数的应用
典型例题
例6
满足{1, 2} ⊆A ⊂{1, 2, 3, 4, 5}的集合A有
个．
7
根据非空子集的定义求解.
由题意可知A = {1, 2}与{3, 4, 5}的非空子集的并集，
而{3, 4, 5}的非空子集有有23 −1 = 7个，
所以满足条件的A有7个，
故答案为：7.
答案
解析
变式6-1
集合A满足{a, b} ⊆A ⊆{a, b, c, d}的集合A有（ ）个.
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
答案
10
D
由集合A与两集合的关系可将其可能性一一列出，即可求得其个数.由集合A与两集合的关系将其一一列出：
{a, b}, {a, b, c}, {a, b, d}, {a, b, c, d}，共四个.
故选D.
本题考查集合间的关系，由集合间的关系确定其可能含有的元素，求出集合，注意集合也是集合本身的子集.
解析
考点7：子集个数与参数求值
典型例题
例7
已知集合A = {x
(m −1)x2 + 3x −2 = 0}有且仅有两个子集，则实数m =
.
−1
8 或1
根据集合的子集个数得到集合A为单元素集.然后在二次项系数为0时直接检验；在二次项系数不为零时，利用
判别式等于零求得m的值.
解：集合A = {x
(m −1)x2 + 3x −2 = 0}有且仅有两个子集，则集合A为单元素集.
当m = 1时，A = { 2
3 }，符合题意；
当m ≠1时，Δ = 9 + 8 (m −1) = 0，解得m = −1
8 ，符合题意；
故答案为：−1
8 或1.
答案
解析
变式7-1
若集合A = {x
ax2 + x −1 = 0}有且仅有两个子集，则实数a的值为
.
0或 −1
4
答案
解析
11
首先结合已知条件，求出集合A中元素个数，然后对ax2 + x −1 = 0中的参数分类讨论即可求解.
由题意可知，A中只有一个元素，
若a = 0，则A = {x|x −1 = 0} = {1}，满足题意；
若a ≠0，则ax2 + x −1 = 0只有一个解，
则Δ = 1 + 4a = 0，解得a = −1
4 ，
综上所述，实数a的值为0或−1
4 .
故答案为：0或−1
4 .
变式7-2
已知集合A = {x
x2 + ax + 3 = 0}，且满足1 ∈A，则集合A的子集个数为
．
4
根据给定条件求出a值，进而求出集合A即可得解.
集合A = {x
x2 + ax + 3 = 0}，而1 ∈A，则1 + a + 3 = 0，解得a = −4，
因此，A = {x
x2 −4x + 3 = 0} = {1, 3}，则A的子集有22 = 4(个)，
所以集合A的子集个数为4.
故答案为：4
答案
解析
知识点3——含参集合问题
考点8：集合关系中参数取值问题
典型例题
例8
已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，若B⊆A，求实数m的取值范围．
12
{m|m≤3}．
由B＝∅和B≠∅分类讨论得不等式（或不等式组）解之可得．
解：A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，且B⊆A.
①若B＝∅，则m＋1>2m－1，解得m<2，
此时有B⊆A；
②若B≠∅，则m＋1≤2m－1，即m≥2，
由B⊆A，得
，解得2≤m≤3.
由①②得m≤3.
∴实数m的取值范围是{m|m≤3}．
答案
解析
⎧
⎨
⎩
m ≥2
m + 1 ≥−2
2m −1 ≤5
变式8-1
已知集合A = {x |1 ≤x < 3}，B = {x |1 ≤x ≤a}.
（1）若A⊂B，求实数a的取值范围；
（2）若B ⊆A，求实数a的取值范围.
（1） [3, +∞)（2） (−∞, 3)
（1）根据A⫋B，结合集合的包含关系，即可求得a的取值范围．
（2）根据B ⊆A，结合集合的包含关系，即可求得a的取值范围．
（1）由题意，集合A = {x |1 ≤x < 3}，B = {x |1 ≤x ≤a}，
又由A⫋B，可得a ≥3，
所以实数a的取值范围是[3, +∞)；
(2) 由集合A = {x |1 ≤x < 3}，B = {x |1 ≤x ≤a}，
答案
解析
13
又由B ⊆A，
当B = ∅时，a < 1，满足题意；
当B ≠∅时，{
，
所以1 ≤a < 3，
综上可知：a < 3，
即实数a的取值范围是(−∞, 3).
教法备注
【考点】子集关系问题
【教法】借助数轴解题，总结数轴使用场景及逻辑
a ≥1
a < 3
04 集合的基本运算
1
学习目标
目标1
★☆☆☆☆☆ 识记
识记“交”“并”“补”的概念
目标2
★★☆☆☆☆ 理解
理解“交”“并”“补”的运算性质
目标3
★★★☆☆☆ 操作
掌握文氏图在集合关系中的运用
知识清单
教法备注
1．本讲知识点的考纲要求：理解集合之间的包含关系并掌握子集的概念，知道有关的基本运算性质，掌握集
合的“交”、“并”、“补”等运算，重难点：“交”、“并”、“补”的运算性质，韦恩图在实际问题中
的应用；重难点：子集的概念及集合中的含参问题；
2．本讲知识点在高考中通常结合不等式章节，主要以填选基础题形式考察，占高考分值约5%；
3．对应教材：新版上教教材的第一章集合与逻辑，第一节集合初步；
2
4．本讲知识点属于集合章节，属于基础章节，在高中各个章节中都有集合的思想，要打好基础.
教法备注
(1)A = {1, 3, 5}, B = {2, 4, 6}, C = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
(2)A = {x |x是有理数}, B = {x是无理数|}, C = {x |x是实数}
问：每组的A, B, C之间是什么关系？
知识点1——“交”“并”“补”集的概念
考点1：“交”“并”“补”集的定义
知识笔记
交集定义
定义：既属于集合A又属于集合B的所有元素组成的集合叫做A与B的交集.交集的表示方法：
A ∩B = {x|x ∈A且x ∈B}；
并集定义
定义：由所有属于集合A和属于集合B的元素组成的集合叫做集合A与B的并集.
(1)“交集”中的“且”有时可省略，而“并集”中的“或”不能省略；
(2)并集的表示方法：A ∪B = {x|x ∈A或x ∈B} ；
3
补集定义
设U为全集，规定全集含有我们所要研究问题的全部可能的元素，A是U的子集，则由U中所有不属于A的元素组成
的集合叫做集合A在全集U中的补集，记作A，读作A补； 有时为了强调全集“U”，补集也可记作“∁UA”
(1)补集的表示方法：A = {x|x ∈U且x ∉A}；
(2)补集是相对于全集而言的，全集不同，相应的补集也不同.
–
–
典型例题
例1
已知集合M = {x|x < 6}，N = {1, 2, 3, 4, 5, 6, , 7, 8, 9}，则M ⋂N=
A. {6, 7, 8, 9}
B. {7, 8, 9}
C. {1, 2, 3, 4, 5}
D. {1, 2, 3, 4, 5, 6}
A
–
答案
4
依题意∁RM = {x|x ≥6}，所以∁RM ∩N ={6, 7, 8, 9}.
故选：A
本小题主要考查集合补集、交集的概念和运算，属于基础题.
解析
变式1-1
已知集合A = {(x, y) |y = 2x + 1}，B = {(x, y) |y = x + 3}，则A ∩B =（ ）
A. (2, 5)
B. {2, 5}
C. {(5, 2)}
D. {(2, 5)}
D
根据集合A, B表示点集以及交集的运算即可求出．
因为{
的解为{
，所以A ∩B = {(2, 5)}.
故选：D.
答案
解析
y = 2x + 1
y = x + 3
x = 2
y = 5
变式1-2
设全集U = R，A = {x| −5 < x < 5}，B = {x|0 ⩽x < 7}，则A ⋃B ，A ⋃B ．
{x|x < 0或 x ⩾5} ; {x|x ⩽−5或 x ⩾7}
由题意知∁UA = {x|x ≤−5或x ≥5},∁UB = {x|x < 0或x ≥7},
则∁UA ∪∁UB ={x|x < 0或x ⩾5};
由题意知A ∪B = {x| −5 < x < 7},
则∁U(A ∪B) ={x|x ⩽−5或x ⩾7}
故答案为：{x|x < 0或x ⩾5} {x|x ⩽−5或x ⩾7}
本题考查集合的并集与补集运算,属于基础题.关于范围的交并补一般利用数轴法解.
–
–
答案
解析
考点2：已知“交”“并”“补”集求参数取值问题
5
典型例题
例2
已知集合A = {x| −2 ≤x ≤4}，B = {x|x > a}．
（1）若A ∩B ≠∅，实数a的取值范围是
．
（2）若A ∩B ≠A，实数a的取值范围是
．
（3）若A ∪B = B，实数a的取值范围是
．
(−∞, 4) ; [−2, +∞) ; (−∞, −2)
①根据集合间的运算求实数a的取值范围；②利用取反思想，先求A ∩B = A时，实数a的取值范围，再求补集
即可；③利用集合间的关系，即可得出答案.
①若A ∩B ≠∅，得a < 4，所以实数a的取值范围是(−∞, 4)；
②因为A ∩B = A，即A ⊆B，所以a < −2，所以若A ∩B ≠A，则a ≥−2，
则实数a的取值范围是[−2, +∞)；
③若A ∪B = B，即A ⊆B，所以a < −2，
则实数a的取值范围是(−∞, −2).
故答案为：①(−∞, 4)；②[−2, +∞)；③(−∞, −2).
答案
解析
变式2-1
设集合A = {a2, a + 2, −3}，B = {a −3, 2a −1, a2 + 1}，A ∩B = {−3}，求a的值．
答案
6
a = 0
∵A ∩B = {−3}，∴−3 ∈B．∵a2 + 1 > 0，∴a −3 = −3或2a −1 = −3，
∴a = 0或a = −1.
①当a = 0时，A = {0, 2, −3}，B = {−3, −1, 1}满足A ∩B = {−3}；
②当a = −1时，A = {1, 1, −3}与集合元素的互异性矛盾，故舍去．
综上，a = 0．
本题考查集合的运算和集合元素的特征，属于基础题.
解析
变式2-2
已知不等式x2 + ax + b ≥0的解集为A = {x |x ≤−2或x ≥3}，集合B = {x |t < x < t + 1}，
(1)
求实数a，b的值；
(2)
若A ∩B = ∅，求实数t的取值范围.
(1) a = −1， b = −6
(2) −2 ≤t ≤2
(1) 因为不等式x2 + ax + b ≥0的解集为A = {x |x ≤−2或x ≥3}，
所以−2和3是方程x2 + ax + b = 0的两根，由韦达定理知
，
解得a = −1，b = −6.
(2) 因为A = {x |x ≤−2或x ≥3}，B = {x |t < x < t + 1}，且A ∩B = ∅，
所以{
，解得−2 ≤t ≤2，故实数t的取值范围是−2 ≤t ≤2.
答案
解析
⎧
⎨
⎩
Δ = a2 −4b > 0
−2 + 3 = −a
(−2) × 3 = b
t ≥−2
t + 1 ≤3
7
考点3：“交”“并”“补”集与二次方程的根
典型例题
例3
已知方程x2 −(p −1)x + q = 0的解集为A，方程x2 + (q −1)x + p = 0的解集为B，A ∩B = {−2}，则（ ）
A. A ∪B = {−2, −1, 1}
B. A ⋂B={2}
C. A ⋂B=∅
D. A ⋂B={1}
AD
根据题意，得到{
求出{
，分别求出两集合，再由集合的混合运算，即可得出结果.
因为A ∩B = {−2}，将x = −2代入方程，得{
，解得{
，
则方程x2 −(p −1)x + q = 0为x2 + 3x + 2 = 0，解得x = −1或x = −2，所以A = {−1, −2}；
方程x2 + (q −1)x + p = 0为x2 + x −2 = 0，解得x = 1或x = −2，所以B = {1, −2}；
所以A ∪B = {−2, −1, 1}，A ∩(∁RB) = {−1}，(∁RA) ∩B = {1}．
故选：AD．
本题主要考查由集合的交集求参数，以及集合的混合运算，属于常考题型.
–
–
答案
解析
4 + 2p −2 + q = 0
4 −2q + 2 + p = 0
p = −2
q = 2
4 + 2p −2 + q = 0
4 −2q + 2 + p = 0
p = −2
q = 2
变式3-1
已知U = R，集合A = {x|x2 + px + 12 = 0, x ∈R}，集合B = {x|x2 −5x + q = 0, x ∈R}，而且A ⋂B={2}，则
p + q的值等于 .
−1
根据题意可知2 ∈B，从而可以解出q = 6，B = {2, 3}，进而推出3 ∈A，据此可以求出p，得出答案.
∵∁UA ⋂B = {2}，
∴2 ∉A, 2 ∈B,
–
答案
解析
8
即2是方程x2 −5x + q = 0的解，
∴4 −10 + q = 0 ⇒q = 6，
∴B = {x|x2 −5x + 6 = 0, x ∈R} = {2, 3}，
∴3 ∉∁UA ⇒3 ∈A，
∴9 + 3p + 12 = 0 ⇒p = −7，
∴p + q = −1.
故答案为：−1.
本题主要考查集合运算的应用，考查学生的分析计算能力，难度不大.
知识点2——“交”“并”“补”集的运算性质
知识笔记
交集的运算性质
交集的性质：①A ∩B = B ∩A；②A ∩A = A③A ∩∅= ∅；④A ∩B ⊆A；⑤A ∩B ⊆B.特别地，若
A ∩B = A, A ⊆B；若A ⊆B, A ∩B = A.
并集的运算性质
并集的性质：①A ∪B = A ∪B；②A ∪A = A；③A ∪∅= A；④A ⊆A ∪B；特别地，若A ∪B = B, A ⊆B；若
A ⊆B, A ∪B = B.
补集的运算性质
(1)补集的性质：①A ∩A = ∅ ② A ∪A = U③A = A；④若A ∪B = R ⇔B ⊆A
(2)摩根定理：①A ∩B = A ∪B② A ∪B = A ∩B.
–
–
–
–
–
–
–
–
考点4：交集的运算性质
典型例题
例4
已知集合A = {x ∣x2 + x −6 = 0}, B = {x ∣mx + 1 = 0}，若A ∩B = B，则实数m组成的集合为
．
答案
9
{0, −1
2 , 1
3 }
解方程求得集合A；分别在m = 0和m ≠0两种情况下，根据交集结果构造方程，从而求得结果.
解：因为A = {x ∣x2 + x −6 = 0} = {x| (x −2) (x + 3) = 0} = {2, −3}，
当m = 0时，B = ∅，满足A ∩B = B，
当m ≠0时，B = {x ∣mx + 1 = 0} = {−1
m }，
∵A ∩B = B，∴−1
m = 2或−1
m = −3，解得：m = −1
2 或1
3 ，
∴实数m组成的集合为{0, −1
2 , 1
3 }，
故答案为：{0, −1
2 , 1
3 }
解析
变式4-1
已知集合A = {x|ax −2 = 0, a ∈R}，集合B = {x|x2 + x −2 = 0}，且A ⋂B = A，则实数a的所有可能取值组成
的集合为
.
{0, −1, 2}
确定集合B中的元素，由A ⋂B = A得A ⊆B，由子集的定义求解．
由题意B = {x|x2 + x −2 = 0} = {−2, 1}
∵A ⋂B = A，∴A ⊆B，
a = 0时，A = ∅满足题意
a ≠0时，A = { 2
a }，
∴2
a = −2或2
a = 1，
解得a = −1或a = 2.
∴实数a的所有可能的取值组成的集合为{0, −1, 2}．
故答案为：{0, −1, 2}．
答案
解析
考点5：并集的运算性质
典型例题
10
例5
已知A = {2, 5}，B = {x|x2 + px + q = 0}，A ∪B = A，A ⋂B = {5}，求p，q的值．
p = −10， q = 25．
由A ∪B = A得B ⊆A．
∵A = {2, 5}，A ⋂B = {5}，∴5 ∈B，2 ∉B．
∴B = {5}．即方程x2 + px + q = 0有两个相等实根5．
由韦达定理，得−p = 5 + 5，q = 5 × 5．
即p = −10，q = 25．
本题考查了这样的一个等价关系：A ∪B = A等价于B ⊆A，然后通过交集的概念转化成我们所熟悉的方程解
的问题，属于基础题．
答案
解析
变式5-1
已知a为实常数，集合A = {a, a2}，集合B = {2a}，且A ∪B = A，则a的值为
.
a = 2
由题意，A ∪B = A ⇔B ⊆A，分2a = a或2a = a2两种情况讨论，结合集合中元素的互异性，即得解
由题意，A ∪B = A ⇔B ⊆A
∴2a = a或2a = a2
答案
解析
11
若2a = a ∴a = 0，此时a2 = 0，矛盾；
若a2 = 2a，又a ≠0 ∴a = 2，此时A = {2, 4}, B = {4}，成立
故答案为：a = 2
教法备注
【考点】并集运算性质
【教法】注意强调集合的互异性
考点6：补集的运算性质
典型例题
例6
若全集U = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, M = {1, 3, 4}, N = {2, 3, 4}，则集合(M ∩N) =
．
{1, 2, 5, 6}
根据集合的运算求解即可.
因为U = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, M = {1, 3, 4}, N = {2, 3, 4}，
所以M ∩N = {3, 4}，(M ∩N) = {1, 2, 5, 6}
故答案为：{1, 2, 5, 6}
–
答案
解析
–
变式6-1
已知A = {x| −3 ≤x ≤3}，B = {x|x < 2a −1或x > 3a}．设U = R，若A ⋃B=A，求实数a的取值范围 ．
a ≤1
由B = {x|x < 2a −1或x > 3a}，U = R，
则∁UB = {x |2a −1 ≤x ≤3a}，
又∵A ∪∁UB = A，则∁UB ⊆A，
–
答案
解析
12
由A = {x| −3 ≤x ≤3}
当∁UB = ∅时，则2a −1 > 3a，解得a < −1，
当∁UB ≠∅时，则
，解得−1 ≤a ≤1，
综上所述，实数a的取值范围为a ≤1.
故答案为：a ≤1
本题考查了集合的基本运算、集合的包含关系求参数的取值范围，考查了基本运算求解能力，属于基础题.
⎧
⎨
⎩
2a −1 ≤3a
2a −1 ≥−3
3a ≤3
变式6-2
已知全集U = {1, 2, 3, 4, 5}，集合A = {x|x2 −3x + 2 = 0}，B = {x|x = 2a, a ∈A}，则集合A ⋃B= ．
{3, 5}
先求出集合A = {1, 2}、B = {2, 4}，再应用集合的并补运算求出集合∁U (A ∪B)．
A = {x|x2 −3x + 2 = 0} = {1, 2}，B = {x|x = 2a, a ∈A} = {2, 4}，
所以A ∪B = {1, 2, 4}，故∁U (A ∪B) = {3, 5}.
故答案为：{3, 5}
–
答案
解析
变式6-3
已知全集为R，集合A = {x ∣x2 −5x + 6 = 0}；
(1)
若集合B = {x|ax ≤1}，存在x ∈A，使得x ∈B，求实数a的取值范围；
(2)
若集合C = {x|x2 −(m + 3)x + m2 = 0}, A ∪C = R，求实数m的取值范围；
–
13
(1) a ≤1
2 ；
(2) m < −1或 m ≥3.
(1) 由题设A = {2, 3}，
因为存在x ∈A，使得x ∈B，
当2 ∈B时2a ≤1，可得a ≤1
2 ；
当3 ∈B时3a ≤1，可得a ≤1
3 ；
当2, 3 ∈B时，可得a ≤1
3 .
综上，a ≤1
2 .
(2) 由A ∪C = R知：x2 −(m + 3)x + m2 = 0的有一个根或两个根或无解，
当方程有一个根2或3时，Δ = (m + 3)2 −4m2 = 9 + 6m −3m2 = 0，得m = −1或m = 3，
若m = −1时x2 −2x + 1 = (x −1)2 = 0，此时方程根为x = 1，不合要求；
若m = 3时x2 −6x + 9 = (x −3)2 = 0，此时方程根为x = 3，满足；
所以m = 3；
当方程有两根2和3时，{
且Δ > 0，无解；
当方程无解时，Δ = (m + 3)2 −4m2 = 9 + 6m −3m2 < 0，得m < −1或m > 3.
综上，m < −1或m ≥3.
教法备注
【考点】交并补的运算性质
【教法】总结一次不等式的解法
答案
解析
–
m + 3 = 5
m2 = 6
知识点3——文氏图在集合关系中的运用
考点7：利用文氏图解决交并补问题
经典例题
例7
将图中阴影部分可用交、并、补运算表示为
.
14
(A ∪C) ∩(∁UB)
根据韦恩图所表示的阴影部分的意义直接写出结论即可.
由韦恩图知，阴影部分在集合A中有一部分，另一部分在集合C中，即阴影部分在集合A ∪C中，
而阴影部分不在集合B中，则它必在集合B的补集中，
所以，阴影部分表示为(A ∪C) ∩(∁UB).
故答案为：(A ∪C) ∩(∁UB)
答案
解析
变式7-1
如图，I是全集，M、P、S是I的3个子集，则阴影部分所表示的集合是（ ）
A. (M ∩P) ∩S
B. (M ∩P) ∪S
C. (M ∩P) ∩¯S
D. (M ∩P) ∪¯S
C
根据Venn图表示的集合运算作答．
阴影部分在集合M, P的公共部分，但不在集合S内，表示为(M ∩P) ∩¯S，
故选：C．
答案
解析
变式7-2
全集U = {x |x是不大于20的素数}，若A ∩B = {3, 5}，A ∩B = {7, 19}，A ∪B = {2, 17}，则集合A =
.
–
–
–
15
{3, 5, 11, 13}
本题首先可根据素数的定义得出U = {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19}，然后根据题意绘出韦恩图，最后根据韦恩图即
可得出结果.
因为全集U = {x |x是不大于20的素数}，所以U = {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19}，
因为A ∪B = {2, 17}，所以A ∪B = {3, 5, 7, 11, 13, 19}，
因为A ∩B = {3, 5}，A ∩B = {7, 19}，
所以可绘出韦恩图，如图所示：
由韦恩图可知，A = {3, 5, 11, 13}，
故答案为：{3, 5, 11, 13}.
本题考查根据集合运算结果求集合，考查素数的定义，素数是指在大于1的自然数中，只能被1和该数本身整
除的数，考查韦恩图的应用，能否根据题意绘出韦恩图是解决本题的关键，考查数形结合思想，是中档题.
教法备注
【考点】文氏图的应用
【教法】注意强调文氏图法的常用场景
答案
解析
–
–
–
变式7-3
已知全集U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}，若A ∩B = {1, 3}，A ∩B = {5, 7}，A ∪B = {2, 4, 6, 8}，则A ∩B =
．
{9}
由题意作出Venn图，由图即可求得答案.
由题意作出Venn图，如图，
–
–
–
答案
解析
16
填入相应集合中的元素，由图可知A ∩B = {9}，
故答案为：{9}
考点8：文氏图的实际应用
经典例题
例8
某年级有60人，有30人参加合唱团，有45人参加运动队，其中参加合唱团而未参加运动队的有10人，则参加运动队
而未参加合唱团的人数是 .
25
设全年级所有人构成全集U，参加合唱团的构成集合A，参加运动队的构成集合B，
则可用Venn图表示出关系如下：
由题可知集合A中的元素个数为30，
因为参加合唱团而未参加运动队的有10人，
则可得出A ∩B中元素个数为30 −10 = 20，
则可得参加运动队而未参加合唱团的构成的集合的元素个数为45 −20 = 25，
即参加运动队而未参加合唱团的人数为25.
故答案为：25.
答案
解析
变式8-1
17
某班共30人，其中15人喜欢篮球运动，10人喜爱乒乓球运动，8人对这两项运动都不喜爱，则喜欢篮球运动但不喜
爱乒乓球运动的人数为（ ）
A. 5
B. 10
C. 12
D. 13
C
根据条件作出V enn图，设既喜欢篮球也喜欢乒乓球运动的人数为x，根据V enn图列方程即可得x的值，进而
可得喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数.
根据条件作出V enn图：
设既喜欢篮球也喜欢乒乓球运动的人数为x，
则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为15 −x，
喜欢乒乓球运到但不喜欢篮球运动的人数为10 −x，
由题意可得：8 + 15 −x + 10 −x + x = 30，解得：x = 3，
所以喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为15 −3 = 12人，
故选：C.
答案
解析
05 常用逻辑关系
1
学习目标
教法备注
目标1
★☆☆☆☆☆ 识记
识记命题的概念并能判断命题
的真假
目标2
★★☆☆☆☆ 理解
理解条件关系的概念、联系及
证明
目标3
★★★☆☆☆ 操作
掌握“反证法”的步骤及方法
目标1
★☆☆☆☆☆ 识记
识记命题的概念并能判断命题的真假
目标2
★★☆☆☆☆ 理解
理解条件关系的概念、联系及证明
目标3
★★★☆☆☆ 操作
掌握“反证法”的步骤及方法
知识清单
2
教法备注
1．本讲知识点的考纲要求：了解一些基本的逻辑关系及其运用，能够判断命题真假，理解充分条件、必要条
件、充要条件的意义，能在简单的问题情境中判断条件的充分性、必要性及充分必要性.重难点：推出关系的
判断和应用，用反证法的完成证明
2．本讲知识点在高考中通常考察填选题目，亦可与其他章节结合考察，主要以填选基础题形式考察，占高考
分值约5%；
3．对应教材：新版上教教材的第一章集合与逻辑，第二节常用逻辑用语；
4．本讲知识点属于集合章节，属于基础章节，在高中各个章节中都有集合的思想，要打好基础.
教法备注
复习回顾
初中已学习过命题的知识，请同学们回顾：什么叫做命题？
下列语句的表述形式有什么特点？你能判断他们的真假吗？
(1)若直线a ∥b，则直线a与直线b没有公共点.
(2)2 + 4 = 7
(3)垂直于同一条直线的两直线平行
(4)两个全等三角形的面积相等
(5)若x2 = 1.则x = 1
3
知识点1——命题的概念
考点1：命题的概念
知识笔记
命题
用自然语言、符号或式子表达，且可以
判断其真假的语句
叫做命题，命题通常用陈述句表述，其含义判断为真
的命题叫做真命题，判断为假的命题叫做假命题.
真假命题的判断方法：
判断真命题需证明，判断假命题，只要举一个满足命题条件而不满足命题结论的例子（反例）即可.
典型例题
例1
下列语句
①考数学开心吗？
②好好做作业，争取下次数学能及格
③2不是素数
④0是自然数
其中是命题的语句的序号有
.
③④
根据命题的概念即得.
因为可以判断真假的陈述句为命题，
所以①为疑问句，不是命题；
②不能判断真假，不是命题；
③为假命题；
④为真命题；
所以是命题的语句的序号有③④.
故答案为：③④.
答案
解析
4
变式1-1
给出下列语句：①二次函数关于y轴对称吗？②2＞2；③sin30°＝1；④x －4x＋4＝0.其中是命题的有（ ）
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个
B
利用命题的定义判断即可
解：只有②和③是命题，语句①是疑问句，语句④含有变量x，不能判断真假．
故选：B．
2
答案
解析
考点2：命题的判断
典型例题
例2
已知“非空集合M的元素都是集合P的元素”是假命题，给出下列四个命题：
①M的元素不都是P的元素；②M的元素都不是P的元素；
③存在x ∈P且x ∈M；④存在x ∈M且x ∉P；
这四个命题中，真命题的个数为（ ）．
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个
B
【分析】
根据题意，由子集的定义分析M、P元素的关系分析4个命题是否正确，综合即可得答案．
答案
解析
5
【详解】
根据题意，“非空集合M的元素都是集合P的元素”是假命题．则其否定为真，
则非空集合M的元素不都是集合P的元素，
据此分析4个命题：
①M的元素不都是P的元素，正确，
②M的部分元素可以为P的元素，不正确，
③原命题为假命题，故非空集合M的元素不都是P的元素，其中包含非空集合M的元素都不是P的元素，既两
集合可无交集，不正确，
④存在x ∈M且x ∉P，正确，
其中正确的命题有2个，
故选：B．
变式2-1
若“不积跬步，无以至千里”是真命题，则下面的命题一定是真命题的是（ ）
A. 积跬步一定可以至千里
B. 不积跬步也可能至千里
C. 要想至千里一定要积跬步
D. 不想至千里就不用积跬步
C
根据命题与逆否命题的真假关系,即可判断.
命题“不积跬步,无以至千里”
则其逆否命题为“至千里,积跬步”
可知C为正确选项.
故选:C
本题考查了命题与逆否命题的真假关系应用,对抽象问题的分析与理解能力,属于基础题.
答案
解析
变式2-2
判断命题“已知n ∈Z，若n3是奇数，则n是奇数”是真命题还是假命题？
.
真命题
答案
解析
6
分n为奇数和偶数两种情况讨论，分别设n = 2k + 1、n = 2k (k ∈Z)，化简n3，即可得出结论.
若n为奇数，可设n = 2k + 1 (k ∈Z)，
则n3 = (2k + 1)3 = (2k + 1)2 (2k + 1) = (4k2 + 4k + 1) (2k + 1) = 8k3 + 12k2 + 6k + 1，
此时n3为奇数，合乎题意；
若n为偶数，可设n = 2k (k ∈Z)，则n3 = 8k3，此时n3为偶数，不合乎题意.
综上所述，已知n ∈Z，若n3是奇数，则n是奇数，原命题为真命题.
故答案为：真命题.
考点3：命题与推出关系
知识笔记
推出关系
如果命题“若α，则β”是真命题，那么就称α推出β，记作 α ⇒β(或β ⇐α).
因为子集关系满足传递性，所以推出关系也满足传递性:
若α ⇒β, β ⇒γ则α ⇒γ .
典型例题
例3
将命题“面积相等的两个三角形全等”改写成“若α，则β”的形式，并判断“α⇒β”是否成立．
若两个三角形的面积相等，则这两个三角形全等；不成立．
根据命题的条件与结论，将其改写成“若α，则β”的形式，再通过举例子说明“α⇒β”不成立
答案
解析
7
命题“面积相等的两个三角形全等”可改写为：
若两个三角形的面积相等，则这两个三角形全等.
命题“若两个三角形的面积相等，则这两个三角形全等.”不成立，
理由如下：一个直角三角形的两直角边取3和4，则面积为6；
另一个直角三角形的两直角边取2和6，则面积为6.
这两个三角形的面积相等，但这两个三角形不是全等三角形.
变式3-1
把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断命题的真假．
(1)
奇数不能被2整除；
(2)
当(a −1)2 + (b −1)2 = 0时，a = b = 1；
(3)
两个相似三角形是全等三角形．
(1) 若一个数是奇数，则它不能被2整除，是真命题．
(2) 若 (a −1)2 + (b −1)2 = 0，则 a = b = 1，是真命题
(3) 若两个三角形是相似三角形，则这两个三角形是全等三角形，是假命题．
(1) 若一个数是奇数，则它不能被2整除，
根据奇数的定义可知，奇数不能被2整除，为真命题；
(2) 若(a −1)2 + (b −1)2 = 0，则a = b = 1，
要想满足(a −1)2 + (b −1)2 = 0，则{
，解得a = b = 1，是真命题；
(3) 若两个三角形是相似三角形，则这两个三角形是全等三角形，
两个三角形相似，则形状相同，但大小不一定相等，故不一定全等，为假命题.
答案
解析
a −1 = 0
b −1 = 0
8
知识点2——充分条件与必要条件
考点4：充分条件与必要条件
知识笔记
充分条件与必要条件
对于两个陈述句α与β，如果α ⇒β，就称α是β的充分条件，亦称β是α的必要条件.对于两个陈述句α与β，如果既有
α ⇒β，又有β ⇒α，就称α是β的充分必要条件，简称充要条件，记作α ⇔β，读作“α与β 等 价 ”或“α成 立当且仅
当β成立”.
对于事件α,β，“条件”又可具体分为以下四种情况：
①α是β的
充分非必要条件
：α ⇒β且β推不出α ；
②α 是β 的
必要非充分条件
：β ⇒α且 α推不出β ；
③α是β的充要条件：α ⇒β且β ⇒α；
④α既不是β的充分条件又不是β的必要条件：α推不出β 且β推不出α .
典型例题
例4
陈老师说：“不努力是读不好书的”，陈老师的意思是“努力”是“读好书”的（ ）
A. 充分非必要条件
B. 必要非充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
B
首先求出原命题的逆否命题，根据互为逆否命题同真假的性质即可得到答案.因为命题“不努力是读不好书
的”，逆否命题为：“读好书是因为努力”.
所以“努力”是“读好书”的必要不充分条件.
故选：B
本题主要考查四种命题和充分条件及必要条件，互为逆否命题同真假是解题的关键，属于简单题.
答案
解析
9
变式4-1
命题“x ≠1”是命题“x2 + 2x −3 ≠0”的
条件．（可填：充分必要、充分非必要、必要非充分或非充分非必
要）
必要非充分
由于原命题与逆否命题等价,易判断“x=1或x=-3”是“x=1”的必要不充分条件.“x ≠1”则“x2 + 2x −3 ≠0”的逆否命
题是：“若x2 + 2x −3=0”则“x=1”，显然，
“x=1或x=-3”是“x=1”的必要不充分条件，由于原命题与逆否命题等价，
故命题“x ≠1”是命题“x2 + 2x −3 ≠0”的必要非充分条件；
故答案为必要非充分
利用p⇒ q与非q⇒非p， q⇒ p与非p⇒非q， p⇔ q与非q⇔非p的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一
般运用等价法．
答案
解析
变式4-2
已知a、b ∈R,下列四个式子中，甲是乙的必要非充分条件是（ ）
①甲：(a −1)(a + 2) = 0，乙：a = −2； ②甲：a, b不都为偶数，乙：a + b不为偶数
③甲：b2 = ac，乙：a
b = b
c ； ④甲：a > 6，乙：a > 2
A. ①②③
B. ①③④
C. ①④
D. ①②④
A
对于①，由(a −1)(a + 2) = 0可推出a = −2或a = 1，
由a = −2可推出(a −1)(a + 2) = 0，所以甲是乙的必要非充分条件，故①正确；
对于②，当a, b不都为偶数时，a + b可能为偶数，
当a + b不为偶数时，a, b不都为偶数，所以甲是乙的必要非充分条件，故②正确；
对于③，当b2 = ac且b = c = 0时，推不出a
b = b
c ，
当a
b = b
c 时，可推出b2 = ac，所以甲是乙的必要非充分条件，故③正确；
对于④，由a > 6可推出a > 2，但a > 2推不出a > 6，
所以甲是乙的充分非必要条件，故④错误.
答案
解析
10
故选：A.
本题考查了必要非充分条件的判断，考查了逻辑推理能力，属于基础题.
变式4-3
写出“x < 1”的一个必要非充分条件是
．
x < 2（答案不唯一）
根据集合的包含关系可得出结果.
因为{x |x < 1}{x |x < 2}，故“x < 1”的一个必要非充分条件是“x < 2”.
故答案为：x < 2（答案不唯一）.
答案
解析
考点5：已知条件关系求参数取值
典型例题
例5
已知α：x ≥a，β：|x −1| < 1.若α是β的必要非充分条件，则实数a的取值范围是( )
A. a ≥0
B. a ≤0
C. a ≥2
D. a ≤2
B
试题分析：由
得
，由
不能退出
，由
能推出
，故
考点：充分条件必要条件的应用．
答案
解析
变式5-1
11
“a ≤−2”是“函数f(x) = x2 + ax + 1(x ∈R)只有一个零点”的（ ）
A. 充分非必要条件
B. 必要非充分条件
C. 充要条件
D. 既非充分也非必要条件
D
根据函数f(x)零点的个数求出参数a的取值，进而判断命题的条件.由题知函数f(x) = x2 + ax + 1(x ∈R)只有
一个零点,
有Δ = a2 −4 = 0，解得a = 2或a = −2，
所以a ≤−2是函数f(x)只有一个零点的既非充分也非必要条件.
故选：D.
本题考查了命题条件的判断，根据二次函数零点个数求参数，属于基础题.
答案
解析
变式5-2
已知非空集合A = {x |a −1 ≤x ≤2a + 3}，B = {x
x2 −3x −4 ≤0}，全集U = R.
(1)
当a = 1时，求A ∩B；
(2)
若“x ∈B”是“x ∈A”的必要条件，求实数a的取值范围.
(1) {x| −1 ≤x < 0}；
(2) [0, 1
2 ].
–
答案
解析
12
(1) 当a = 1时，A = {x |0 ≤x ≤5}，而B = [−1, 4]，故A = (−∞, 0) ∪(5, +∞)
故A ∩B = [−1, 0).
(2) 因为A非空，故a −1 ≤2a + 3即a ≥−4.
因为“x ∈B”是“x ∈A”的必要条件，故A ⊆B，
故
，故0 ≤a ≤1
2 .
–
–
⎧
⎨
⎩
a ≥−4
a −1 ≥−1
2a + 3 ≤4
知识点3——反证法
考点6：命题反设
知识笔记
反证法
反证法，是指通过
否定结论，推出矛盾
，进而证明结论成立的证明方法.
(1)运用反证法，首先要学会正确反设，即正确写出结论的否定形式.
(2)在反设后得出的条件，与命题的已知条件结合，正确推理，引出矛盾.矛盾的方式是多样的，可以与已知矛盾，
与定义矛盾，与定理、公理矛盾，也可以是引出的两个结论自相矛盾等.
典型例题
例6
用反证法证明命题“三角形的内角至多有一个钝角”时，应假设为
．
三角形的内角至少有两个钝角
反证法证明时，需要假设反面成立，即原条件的否定．故应假设为：三角形的内角至少有两个钝角．
故答案为三角形的内角至少有两个钝角．
答案
解析
变式6-1
用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x2 + ax + b = 0至少有一个实根”时，要做的假设是
.
13
方程 x2 + ax + b = 0没有实根
根据反证法的推理逻辑，即可容易求得.原命题的结论为：方程x2 + ax + b = 0至少有一个实根，
故假设是：方程x2 + ax + b = 0没有实根.
故答案为：x2 + ax + b = 0没有实根.
本题考查反证法的推理逻辑，属基础题.
答案
解析
变式6-2
命题：“对任意的x ∈R，x3 −x2 + 1 ≤0”的否定是（ ）
A. 不存在x ∈R，x3 −x2 + 1 ≤0
B. 存在x ∈R，x3 −x2 + 1 ≥0
C. 存在x ∈R，x3 −x2 + 1 > 0
D. 对任意的x ∈R，x3 −x2 + 1 > 0
C
由全称命题的否定可直接确定结果.
由全称命题的否定知：原命题的否定为：存在x ∈R，x3 −x2 + 1 > 0.
故选：C.
答案
解析
变式6-3
已知a、b、c ∈R，则下列语句能成为“a、b、c都不小于1”的否定形式的个数是（ ）
（1）a、b、c中至少有一个大于1；（2）a、b、c都小于1；（3）a < 1或b < 1或c < 1
A. 0个；
B. 1个；
C. 2个；
D. 3个.
B
根据全称量词的否定，可得“a、b、c都不小于1”否定为“至少有一个小于1”，比照选项即可得解.
若“a、b、c都不小于1”，则a ≥1, b ≥1, c ≥1，
答案
解析
14
否定为“至少有一个小于1”，
故（1），（2）错误，（3）正确.
故选：B.
考点7：反证法在证明中的应用
典型例题
例7
用反证法证明：若a, b, c ∈R，且x = a2 −2b + 1, y = b2 −2c + 1, z = c2 −2a + 1，则x, y, z中至少有一个不小于0.
见解析
假设x，y，z都小于0，即x<0，y<0，z<0，则有x＋y＋z<0.由已知有x＋y＋z＝a －2b＋1＋b －2c＋1＋c －2a
＋1＝a －2a＋1＋b －2b＋1＋c －2c＋1＝(a－1) ＋(b－1) ＋(c－1) ≥0，与由假设推得的结论x＋y＋z<0矛
盾，∴假设不成立，∴x，y，z中至少有一个不小于0.
教法备注
【考点】反证法证明题
【教法】构造分析
答案
解析
2
2
2
2
2
2
2
2
2
变式7-1
15
证明：√2是无理数．（我们知道任意一个有理数都可以写成形如m
n （m，n互质，m ∈z, n ∈z）的形式）
详见解析
利用反证法，即可推得矛盾.
假设√2有理数，则√2 = m
n ，则m2 = 2n2，
m为整数，m2的尾数只能是0,1,4,5,6,9，n2的尾数只能是0,1,4,5,6,9，
则2m2的尾数是0,2,8，由n2 = 2m2得，尾数为0，则n2的尾数是0，而m2的尾数为0或5，
这与m
n 为最简分数，m, n的最大公约数是1，相矛盾，
所以假设不正确，√2是无理数.
教法备注
【考点】反证法证明题
【教法】构造分析
答案
解析
06 等式的性质
1
学习目标
目标1
★★☆☆☆☆ 理解
理解等式的性质
目标2
★★★☆☆☆ 操作
掌握韦达定理的应用
知识清单
教法备注
1．本讲知识点的考纲要求：掌握等式及其性质，方程及方程的解（集），并会用等式性质求解一次方程组.
重难点：韦达定理的应用
2．本讲知识点在高考中结合考察，较少单独命题；
3．对应教材：新版上教教材的第二章等式与不等式，第一节等式与不等式的性质；
4．本讲知识点属于等式与不等式章节，属于基础内容，在高中各个章节中都会运用到等式与不等式的性质，
要打好基础.
教法备注
现实世界和日常生活中，既有相等关系，又存在着大量的不等关系，例如多与少、大与小、长与短、不超过
2
或不少于...，类似这样的问题，反映在数量关系上，就是相等不相等.
知识点1——等式的性质
考点1：等式的性质
知识笔记
等式的性质
等式具有以下性质：
传递性：设a, b, c为实数，如果a = b，且b = c，那么a = c；
加法性质：设a, b, c为实数，如果a = b，那么a + c = b + c；
乘法性质：设a, b, c为实数，如果a = b，那么ac = bc；
倒数性质：如果a = b ≠0，那么1
a = 1
b ；
指数性质：如果a = b，那么an = bn，其中n是正整数.
典型例题
例1
下列运用等式的性质进行的变形中，正确的是（ ）
A. 如果a = b，那么a + c = b −c
B. 如果a2 = 6a，那么a = 6
C. 如果a = b，那么a
c = b
c
D. 如果a
c = b
c ，那么a = b
D
取c ≠0，可判断A；a2 = 6a ⇔a = 6或a = 0，可判断B；取c = 0，可判断C；利用等式的性质，可判断D
选项A，当c ≠0时，显然不成立；
选项B，如果a2 = 6a，那么a = 6或a = 0，显然不成立；
选项C，当c = 0时，a
c = b
c 无意义，不成立；
选项D，如果a
c = b
c ，则c ≠0，故a
c × c = b
c × c，即a = b，成立
答案
解析
3
故选：D
变式1-1
根据等式的性质判断下列变形正确的是（ ）
A. 如果2x = 3，那么2x
a = 3
a
B. 如果x = y，那么x −5 = 5 −y
C. 如果1
2 x = 6，那么x = 3
D. 如果x = y，那么−2x = −2y
D
根据等式的性质对选项逐一分析，由此判断出变形正确的选项.对于A，没有a ≠0的条件，等式的两边不能都
除以a，故选项A不正确；对于B，等式的左边减去5，等式的右边乘以−1后加上5，等式不成立，故选项B不正
确；对于C，等式的左边乘以2，等式的右边除以2，等式不成立，故选项C不正确；对于D，等式的两边都乘
以−2，等式成立，故选项D正确.
故选:D.
本小题主要考查等式的性质，考查等式变形，属于基础题.
答案
解析
考点2：方程及方程的解
知识笔记
含有未知数的等式称为方程，使得方程左右两边相等的未知数的值，称为方程的解，以方程的所有解为元素组成的
集合称为方程的解集.
典型例题
例2
1
已知y＝1是方程2－13(m－y)＝2y的解，则关于x的方程m(x－3)－2＝m(2x－5)的解集为
.
{0}
答案
解析
4
把y＝1代入方程2－13(m－y)＝2y中可求出m的值，再将m的值代入m(x－3)－2＝m(2x－5)中可求得结果
因为y＝1是方程2－13(m－y)＝2y的解，
所以2－13(m－1)＝2，
即m＝1.
所以方程m(x－3)－2＝m(2x－5)⇒(x－3)－2＝2x－5，
解得x＝0.
所以方程的解集为{0}.
故答案为：{0}
此题考查方程的解，属于基础题
2
已知方程x2 + px + 3 = 0的所有解组成的集合A，方程x2 + x + q = 0的所有解组成的集合为B，且A ∩B = {1}
(1)
求实数p，q的值;
(2)
求集合A ∪B.
(1) p = −4， q = −2，
(2) {−2, 1, 3}
(1) ∵A ∩B = {1}，
∴1 ∈A且1 ∈B，
∴{
，解得p = −4，q = −2，
(2) 根据小问一可得：方程x2 −4x + 3 = 0的所有解组成的集合A，方程x2 + x −2 = 0的所有解组成的集合为
B，
x2 −4x + 3 = 0解得x = 1或3，则集合A = {1, 3}，
x2 + x −2 = 0解得x = 1或−2，则集合B = {1, −2}，
答案
解析
1 + p + 3 = 0
1 + 1 + q = 0
5
则集合A ∪B = {−2, 1, 3}.
3
若关于x，y的方程组{
与{
的解集相等，则a、b的值为（ ）
A. a = 4, b = −1
B. a = −4, b = −1
C. a = 4, b = 1
D. a = −4, b = 1
B
由{
解得{
，再把{
代入{
，求解即可.
由题意联立方程为：{
，解得{
，
把{
代入{
得{
，解得{
.
故选：B
2x + y = −1
ax + by = 3
ax −by = 5
x −2y = −3
答案
解析
2x + y = −1
x −2y = −3
x = −1
y = 1
x = −1
y = 1
ax + by = 3
ax −by = 5
2x + y = −1
x −2y = −3
x = −1
y = 1
x = −1
y = 1
ax + by = 3
ax −by = 5
−a + b = 3
−a −b = 5
a = −4
b = −1
变式2-1
1
方程x2 + 2x −3 = 0和方程x2 + x −6 = 0的所有实数解组成的集合为M，则M中的元素个数为（ ）
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
C
根据题意解方程求集合M，即可结果.
对于方程x2 + 2x −3 = 0，解得x = −3或x = 1；
对于方程x2 + x −6 = 0，解得x = 2或x = −3；
所以集合M = {−3, 2, 1}，有3个元素.
故选：C.
答案
解析
2
若关于x, y的二元一次方程组{
有无穷多组解，则m的取值为
．
mx + 4y = m + 2
x + my = m
6
2
关于x, y的二元一次方程组{
有无穷多组解，所以直线mx + 4y = m + 2与直线x + my = m重
合，所以m
1 = 4
m = m + 2
m
，解得m = 2 ，即m的取值为2，故答案为2.
答案
解析
mx + 4y = m + 2
x + my = m
知识点2——一元二次方程及韦达定理
考点3：一元二次方程的解集
知识笔记
方程ax2 + bx + c = 0（a ≠0）的解习惯上叫做方程的根，在实数范围内，当Δ > 0时，ax2 + bx + c = 0有两不等
实根，解集为{ −b + √b2 −4ac
2a
, −b −√b2 −4ac
2a
}，简记为{ −b ± √b2 −4ac
2a
}，当Δ = 0时，ax2 + bx + c = 0
有两相等实根，解集为{−b
2a }，当Δ < 0，方程无实根，解集为∅.
典型例题
例3
“a = −1”是“方程ax2 + 2x −1 = 0只有一个解”的（ ）
A. 充分必要条件
B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件
D. 既不充分也不必要条件
B
答案
解析
7
利用充分性，必要性的定义判定即可.
若a = −1，则方程ax2 + 2x −1 = 0为−x2 + 2x −1 = 0，
即−(x −1)2 = 0 ⇒x = 1，则其只有一个解；
若方程ax2 + 2x −1 = 0只有一个解，则a = 0或Δ = 22 + 4a = 0，所以a = 0或a = −1，
所以“a = −1”是“方程ax2 + 2x −1 = 0只有一个解”的充分不必要条件.
故选：B
教法备注
【考点】一元二次方程根的分布
【教法】利用充分性，必要性的定义判定即可
变式3-1
1
若集合A = {x ∣ax2 + 2x + 1 = 0}中只有一个元素，则a的值（ ）
A. -1
B. 0
C. 1
D. 2
BC
由a = 0，a ≠0讨论即可．
当a = 0，x = −1
2 ，满足条件；
当a ≠0，由Δ = 22 −4a = 0，则得a = 1，此时只有一个元素−1，
所以当a = 0或a = 1时，集合A中只有一个元素.
故选：BC
答案
解析
2
证明：ac<0是关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不同的实数根的充分非必要条件.
8
证明见解析
先证充分性：
若ac<0，则Δ = b2 −4ac > 0，所以方程有两个不同的实数根.
所以ac<0是关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不同的实数根的充分条件；
再证非必要性：
当方程有两个不同的实数根，则Δ = b2 −4ac > 0，则ac < 0不一定成立，
如a = 1, b = −4, c = 3，方程为x2 −4x + 3 = 0两根为1, 3，而ac = 3 > 0，
所以ac<0是关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不同的实数根的非必要条件.
综上，ac<0是关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不同的实数根的充分非必要条件.
本题主要考查充分必要条件的证明，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
答案
解析
考点4：韦达定理的应用
知识笔记
若方程ax2 + bx + c = 0（a ≠0），两个根为x1, x2，则x1 + x2 = −b
a , x1x2 = c
a .
典型例题
例4
1
已知方程 x2 −3x + 2 = 0的两个根为 x1, x2，则(x1 + 1) (x2 + 1) =
6
直接解方程求解答案即可.
由x2 −3x + 2 = (x −1) (x −2) = 0，得x1 = 1, x2 = 2，
答案
解析
9
所以(x1 + 1) (x2 + 1) = 2 × 3 = 6.
故答案为：6
2
法国数学家佛朗索瓦·韦达，在欧洲被尊称为“现代数学之父”，他最重要的贡献是对代数学的推进，他最早系统地引
入代数符号，推进了方程论的发展，由于其最早发现代数方程的跟与系数之间的关系，因此，人们把这个关系称为
韦达定理.韦达定理有着广泛的应用，是高中阶段非常重要的知识内容，为了致敬前辈数学家，请同学们利用韦达
定理完成以下问题.
(1)
关于x的方程x2 −3x + m = 0的一个实数根为2，求另一实数根及实数m的值；
(2)
关于x的方程x2 −(k + 1)x + 1
4 k2 + 1 = 0有两个实数根x1、x2，若x2
1 + x2
2 = 6x1x2 −15，求实数k的值；
(1) 另一个实数根为1， m = 2
(2) 4
(1) 设另外一个根为n，由韦达定理得{
，解得n = 1 ，m = 2 ，
故另一实数根为1，m = 2.
(2) 方程x2 −(k + 1)x + 1
4 k2 + 1 = 0有两个实数根x1、x2，
由韦达定理得
，
由x2
1 + x2
2 = 6x1x2 −15 得(x1 + x2)2 = 8x1x2 −15 ，
代入得(k + 1)2 = 8 ( 1
4 k2 + 1) −15 ，解得k = 4 或k = −2 ，
答案
解析
2 + n = 3
2n = m
⎧
⎨
⎩
x1 + x2 = k + 1
x1x2 = 1
4 k2 + 1
Δ = (k + 1)2 −4 ( 1
4 k2 + 1) ≥0
10
又Δ = (k + 1)2 −4 ( 1
4 k2 + 1) ≥0 ，得k ≥3
2 ，故k = 4.
变式4-1
1
已知方程2x +4x﹣7＝0的两个根为x1、x2，则x2
1 + x2
2 =
．
11
由韦达定理可得答案．
方程2x2 + 4x −7 = 0的两根为x1和x2，则
x1+x2 = −2，x1x2 = −7
2 ，则x2
1 + x2
2 = (x1 + x2)2 −2x1x2 = 4 + 7 = 11．
故答案为：11．
2
答案
解析
2
已知关于x 的一元二次方程ax2 + bx + c = 0(a ≠0) 有两个实数根，通过对该方程配方发现：
x1 + x2 = −b
a , x1 ⋅x2 = c
a ，由于韦达最早发现代数方程的根与系数之间有这种关系，人们把这个关系称为韦达定
理．根据以上结论，回答下列问题：
已知x1, x2为一元二次方程2x2 −3x −1 = 0的两实数根，求下列各式的值：
(1)
1
x1
+ 1
x2
；
(2)
(x2
1 −x2
2)
2；
(3)
2x2
1 + 3x2
11
(1) −3
(2) 153
16
(3) 11
2
(1)
因为x1, x2为一元二次方程2x2 −3x −1 = 0的两实数根，则
，
所以1
x1
+ 1
x2
= x1 + x2
x1x2
=
3
2
−1
2
= −3.
(2) 由（1）可得：
(x2
1 −x2
2)
2 = (x1 + x2)2(x1 −x2)2 = (x1 + x2)2 [(x1 + x2)2 −4x1x2] = ( 3
2 )
2
[( 3
2 )
2
−4 (−1
2 )] =
153
16
.
(3) 因为x1为一元二次方程2x2 −3x −1 = 0的实数根，
则2x2
1 −3x1 −1 = 0，即2x2
1 = 3x1 + 1，
所以2x2
1 + 3x2 = 3x1 + 1 + 3x2 = 3 (x1 + x2) + 1 = 3 × 3
2 + 1 = 11
2 .
答案
解析
⎧
⎨
⎩
x1 + x2 = 3
2
x1x2 = −1
2
3
法国数学家佛郎索瓦·韦达于1615年在著作《论方程的识别与订正》中建立了方程根与系数的关系，由于韦达最早
发现代数方程的根与系数之间的这种关系，人们把这个关系称为韦达定理，它的内容为：“对于一元二次方程
ax2 + bx + c = 0（a ≠0），它的两根α、β有如下关系：α + β = −b
a ，αβ = c
a ．”
韦达定理还有逆定理，它的内容为：“如果两数α和β满足如下关系：α + β = −b
α ，αβ = c
a ，那么这两个数α和β是
方程ax2 + bx + c = 0（a ≠0）的根．”通过韦达定理的逆定理，我们就可以利用两数的和与积的关系构造一元二次
方程，例如：m + n = −3，mn = 2，那么m和n是方程x2 + 3x + 2 = 0的两根．请应用上述材料解决以下问题：
(1)
已知m、n是两个不相等的实数，且满足m2 −2m = 4，n2 −2n = 4，求1
m + 1
n 的值；
(2)
已知实数x、y满足xy + (x + y) = 13，x2y + xy2 = 42，求x2 + y2的值；
(3)
已知 x1, x2是关于x的一元二次方程4kx2 −4kx + k + 1 = 0的两个实根，且k ∈Z，求使x1
x2 + x2
x1
的值为整数
的所有k的值．
12
(1) −1
2
(2) 22或37
(3) k的所有取值为 −5， −3， −2
(1) 由m2 −2m = 4，n2 −2n = 4，m ≠n，
可将m, n可看作方程x2 −2x −4 = 0的两个不相等的实数根，
由韦达定理，m + n = 2，mn = −4，
所以1
m + 1
n = m + n
mn
=
2
−4 = −1
2 ；
(2) 由xy + (x + y) = 13，x2y + xy2 = xy (x + y) = 42，
可将xy, x + y可看作方程a2 −13a + 42 = 0的两个实数根，
由a2 −13a + 42 = 0解得a = 6或a = 7，
则有xy = 6，x + y = 7或xy = 7，x + y = 6，
① 当xy = 6，x + y = 7时，x2 + y2 = (x + y)2 −2xy = 49 −12 = 37；
② 当xy = 7，x + y = 6时，x2 + y2 = (x + y)2 −2xy = 36 −14 = 22．
所以x2 + y2的值为22或37．
(3) 由题意和韦达定理，可得k ≠0， x1 + x2 = 1，x1x2 = k + 1
4k
，
且Δ = (4k)2 −4 × 4k (k + 1) = −16k > 0，解得k < 0,
故x1
x2 + x2
x1 = x2
1 + x2
2
x1x2
= (x1 + x2)2 −2x1x2
x1x2
= (x1 + x2)2
x1x2
−2 =
4k
k + 1 −2
= 4k + 4 −4
k + 1
−2 = 2 −
4
k + 1 ，
因x1
x2
+ x2
x1
= 2 −
4
k + 1 ∈Z，又k ∈Z，故k + 1必为−4的因数，
则k + 1的值可能为−4，−2，−1，1，2，4，
则实数k的值可能为−5，−3，−2，0，1，3，又k < 0，
故k的所有取值为−5，−3，−2．
教法备注
【考点】等式的性质及其应用
答案
解析
13
【教法】利用韦达定理及等式性质求解即可
07 不等式的性质
1
学习目标
目标1
★★☆☆☆☆ 理解
实数大小的比较
目标2
★★★☆☆☆ 操作
掌握不等式的应用
知识清单
教法备注
1．本讲知识点的考纲要求：掌握等式及其性质，方程及方程的解（集），并会用等式性质求解一次方程组.
重难点：韦达定理的应用
2．本讲知识点在高考中结合考察，较少单独命题；
3．对应教材：新版上教教材的第二章等式与不等式，第一节等式与不等式的性质；
4．本讲知识点属于等式与不等式章节，属于基础内容，在高中各个章节中都会运用到等式与不等式的性质，
要打好基础.
教法备注
现实世界和日常生活中，既有相等关系，又存在着大量的不等关系，例如多与少、大与小、长与短、不超过
或不少于...，类似这样的问题，反映在数量关系上，就是相等不相等.
2
问题：你能用不等式或不等式组表示下列问题中的不等关系吗?
知识点1——两个实数大小的比较
考点1：两个实数大小的比较
知识笔记
不等式的概念
(1)不等式的概念：用不等号将两个表达式连接起来，就得到一个不等式.
(2)作差法比较大小：
设a, b ∈R, 则a > b⇔a −b > 0;a < b⇔a −b < 0.
典型例题
例1
比较x2 + 3与3x的大小，其中x ∈R.
x2 + 3 > 3x
∵(x2 + 3) −3x = x2 −3x + 3 = (x −3
2 )
2
+ 3
4 ≥3
4 > 0，
∴x2 + 3 > 3x.
教法备注
【考点】本题考查作差法比较大小，比较简单
答案
解析
3
变式1-1
比较下列各组中两数的大小：
(1)
已知a, b为正数，且a ≠b，比较a3 + b3与a2b + ab2的大小；
(2)
已知x < 1，比较x3 −1与2x2 −2x的大小；
(3)
已知x, y均为正数，设m = 1
x + 1
y ，n =
4
x + y ，比较m和n的大小.
(1) a3 + b3 > a2b + ab2；
(2) x3 −1 < 2x2 −2x；
(3) m ≥n（当 x = y时，等号成立）；
(1) 易知a3 + b3 −(a2b + ab2) = a3 + b3 −a2b −ab2 = a2 (a −b) −b2 (a −b)
= (a −b) (a2 −b2) = (a −b)2 (a + b)；
又因为a, b为正数，且a ≠b，所以(a −b)2 > 0，a + b > 0；
即可得a3 + b3 −(a2b + ab2) > 0，
即a3 + b3 > a2b + ab2；
(2) 易得x3 −1 −(2x2 −2x) = x3 −2x2 + 2x −1 = x3 −x2 −(x2 −2x + 1) = x2 (x −1) −(x −1)2
= (x −1) (x2 −x + 1) = (x −1) [(x −1
2 )
2
+ 3
4 ]；
又因为x < 1，所以x −1 < 0，显然(x −1
2 )
2
+ 3
4 > 0；
所以(x −1) [(x −1
2 )
2
+ 3
4 ] < 0，即x3 −1 < 2x2 −2x；
(3) 因为m −n = 1
x + 1
y −
4
x + y = x + y
xy
−
4
x + y = (x + y)2 −4xy
xy (x + y)
=
(x −y)2
xy (x + y) ；
又x, y均为正数，所以x > 0, y > 0, xy > 0, x + y > 0, (x −y)2 ≥0，
所以m −n ≥0，
即m ≥n，当且仅当x = y时，等号成立；
教法备注
答案
解析
4
【考点】本题考查作差法的应用、不等式的概念
【教法】让学生利用作差法，通过和0进行比较，判断大小关系，注意最终化简为乘积的形式
知识点2——不等式的基本性质
考点2：不等式的基本性质
知识笔记
不等式的基本性质
性质1： a > b ⇔b < a （对称性）；
性质2： a > b, b > c ⇔a > c （传递性）；
性质3： a > b ⇒a + c > b + c （可加性）；
性质4： a > b, c > 0 ⇒ac > bc; a > b, c < 0 ⇒ac < bc（可乘性）；
性质5： a > b, c > d ⇒a + c > b + d （叠加性）；
性质6： a > b > 0, c > d > 0 ⇒ac > bd （叠乘性）；
性质7： a > b > 0, n ∈N ∗⇒an > bn (可乘方性)；
性质8: a > b, ab > 0 ⇒1
a < 1
b (可倒性,注意a, b要同号).
典型例题
例2
若a, b, c ∈R，a > b则下列不等式成立的是（ ）
A.
1
a < 1
b
B. a2 < b2
C. a |c| > b |c|
D.
a
c2 + 1 >
b
c2 + 1
D
通过反例a = 1，b = −1，c = 0可排除ABC；利用不等式的性质可证得D正确.
若a = 1，b = −1，则1 = 1
a > 1
b = −1，a2 = b2 = 1，则A、B错误；
若a > b，c = 0，则a |c| = b |c| = 0，则C错误；
∵c2 + 1 ≥1，∴0 <
1
c2 + 1 ≤1，又a > b，∴
a
c2 + 1 >
b
c2 + 1 ，则D正确.
答案
解析
5
故选：D.
教法备注
【考点】本题考察不等式的概念与性质
变式2-1
已知a, b, c ∈R，有以下命题：
①若a > b，则ac2 > bc2；②若ac2 > bc2，则a > b；③若1
a < 1
b < 0，则ab < b2；④若c > a > b > 0，则
a
c −a >
b
c −b ；⑤若a > b且1
a > 1
b ，则a > 0, b < 0.
其中正确的是
.(填上所有正确命题的序号)
②③④⑤
根据已知条件，结合不等式的基本性质，即可容易判断.
①错误，当c = 0时ac2 = bc2；
②正确，由ac2 > bc2知c ≠0，所以c2 > 0, ac2 > bc2 ⇒a > b；
③正确，若1
a < 1
b < 0，则a, b < 0, ab > 0，同乘以ab得$b<0$，
∵ab −b2 = b (a −b) < 0，∴ab < b2；
④正确，∵c > a > b > 0，
a
c −a −
b
c −b = a (c −b) −b (c −a)
(c −a) (c −b)
=
c (a −b)
(c −a) (c −b) > 0，
∴
a
c −a >
b
c −b ；
⑤正确，∵a > b且1
a > 1
b ，∴1
a −1
b = b −a
ab
> 0，∴ab < 0，
结合a > b可知a > 0, b < 0.
综上所述，正确的有：②③④⑤.
故答案为：②③④⑤.
本题考查根据已知条件结合不等式性质判断大小，属简单题.
教法备注
【考点】本题考查根据已知条件结合不等式性质判断大小，属简单题.
答案
解析
变式2-2
6
若 a < b < 0 ，则下列不成立的是（ ）
A. a2 > b2
B. a3 < b3
C.
1
a > 1
b
D.
1
a −b > 1
a
D
【分析】作差，根据不等式的性质，即可判断得出答案.
【详解】对于A项，
a2 −b2 = (a + b)(a −b),
因为 a < b < 0, 所以 a + b < 0, a −b < 0 ，
所以， a2 −b2 < 0 ，所以 a2 < b2 ，故A项成立；对于B项，
a3 −b3 = (a −b) [(a + b
2 )
2
+ 3b2
4 ],
因为 a < b < 0, 所以 a −b < 0 ，
所以， a3 −b3 < 0 ，所以 a3 < b3 ，故B项成立；
对于C项，
1
a −1
b = b −a
ab
因为 a < b < 0 ，所以 b −a > 0, ab > 0 ，
所以， 1
a −1
b > 0 ，所以 1
a > 1
b ，故C项成立；对于D项，
1
a −b −1
a =
b
a(a −b) ,
因为 a < b < 0 ，所以 a −b < 0, a < 0, b < 0 ，
所以，
1
a −b −1
a < 0 ，所以
1
a −b < 1
a ，故D项不成立.
故选: D.
教法备注
【考点】本题考查根据已知条件结合不等式性质判断大小，属简单题.
答案
解析
变式2-3
设 a > 0，b > 0 ，则" a > b "是" 1
a < 1
b "的（ ）
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
7
C
因为 a > 0，b > 0 ，由 1
a < 1
b 可得 1
b −1
a = a −b
ab
> 0, 则 a −b > 0, 即 a > b ，
因此，若 a > 0，b > 0, 则 " a > b "是 " 1
a < 1
b "的充要条件.
故选: C.
教法备注
【考点】本题考查根据已知条件结合不等式性质判断大小，属简单题.
【教法】引导学生利用不等式的性质解题.
答案
解析
考点3：叠加性的应用
知识笔记
a > b, c > d ⇒a + c > b + d （叠加性）
典型例题
例3
已知1 < x < 3，−4 < y < 2，若z = 1
2 x + y，则z的取值范围是
．
(−7
2 , 7
2 )
应用不等式的性质求解即可.
因为1 < x < 3，所以1
2 < 1
2 x < 3
2 ，
又因为−4 < y < 2，所以−7
2 < 1
2 x + y < 7
2 ，
即−7
2 < z < 7
2 .
答案
解析
8
故答案为：(−7
2 , 7
2 )
教法备注
【考点】应用不等式的性质求解，同向不等式与待定系数法
变式3-1
已知−1 ≤x + y ≤4，且2 ≤x −y ≤3，则z = 2x −3y的取值范围是
．
[3, 8]
先将z = 2x −3y用x + y和x −y线性表示，再运用不等式的性质求其范围即得.
设z = 2x −3y = m(x + y) + n(x −y) = (m + n)x + (m −n)y，
则{
,解得
，
即z = −1
2 (x + y) + 5
2 (x −y).
又−1 ≤x + y ≤4，2 ≤x −y ≤3，
故−2 ≤−1
2 (x + y) ≤1
2 ，5 ≤5
2 (x −y) ≤15
2 ，
则3 ≤−1
2 (x + y) + 5
2 (x −y) ≤8，
即z = 2x −3y的取值范围是[3, 8]．
故答案为：[3, 8].
教法备注
【考点】不等式性质：叠加性的应用
【教法】先将z用线性表示，再运用不等式的性质求其范围即得，讲解时可引导学生思考为什么不能先分别求
出x、y各自取值再求z的取值范围
答案
解析
m + n = 2
m −n = −3
⎧
⎨
⎩
m = −1
2
n = 5
2
变式3-2
已知−3 ≤a + b ≤−2，1 ≤a −b ≤4，则3a + b的取值范围是（ ）
9
A. [−3, 0]
B. [−5, 3]
C. [−5, 0]
D. [−2, 5]
C
根据不等式的性质求解．
因为3a + b = 2(a + b) + (a −b)，又−3 ≤a + b ≤−2，1 ≤a −b ≤4，所以3a + b的取值范围是[−5, 0]．
故选：C．
教法备注
【考点】不等式性质：叠加性的应用
【教法】待定系数法，利用叠加性解题
答案
解析
考点4：不等式性质的综合应用
典型例题
例4
对于四个正数x，y，z，w，如果xw < yz，那么称(x, y)是(z, w)的“下位序列”.
(1)
对于2，3，7，11，试问(2, 7)是否为(3, 11)的“下位序列”；
(2)
设a，b，c，d均为正数，且(a, b)是(c, d)的“下位序列”，试判断c
d ，a
b ，a + c
b + d 之间的大小关系；
(3)
设正整数n满足条件对集合{m |0 < m < 2022}内的每个m ∈N∗，总存在k ∈N∗，使得(m, 2022)是(k, n)的“下
位序列”，且(k, n)是(m + 1, 2023)的“下位序列”，求正整数n的最小值
10
(1) 不是
(2) c
d > a + c
b + d > a
b
(3) 4045
(1) 由2 × 11 = 22，3 × 7 = 21，22 > 21，不满足“下位序列”的概念，
所以不是“下位序列”；
(2) 由(a, b)是(c, d)的“下位序列”，得ad < bc，
则c
d −a + c
b + d = bc −cd −ad −cd
d (b + d)
= bc −ad
d (b + d) > 0，即c
d > a + c
b + d ，
同理a
b −a + c
b + d = ab + ad −ab −bc
b (b + c)
= ad −bc
b (b + c) < 0，即a + c
b + d > a
b ，
所以c
d > a + c
b + d > a
b ；
(3) 由已知得{
，
又m，n，k均为正整数，
则{
，即2023 (mn + 1) ≤2022 (mn + n −1)，
则n ≥
4045
2022 −m ，
又对集合{m |0 < m < 2022}内的每个m ∈N∗均成立，
则n ≥
4045
2022 −2021 = 4045，
所以正整数n的最小值为4045.
教法备注
【考点】新定义 、 作差法的应用 、 不等式的概念与性质
【教法】引导学生理解题干信息，利用作差法比较大小
答案
解析
mn < 2022k
(m + 1)n > 2023k
mn + 1 ≤2022k
mn + n −1 ≥2023k
变式4-1
甲、乙两人沿同一公路由A地到达B地，甲走一半路程后跑步前进，乙走一半时间后也跑步前进，设甲、乙两人走
的速度相同，跑的速度也相同，请比较甲、乙两人从A到B的时间t甲、t乙的大小关系．
11
t甲> t乙
先表示出v甲=
2v1v2
v1 + v2
，v乙= v1 + v2
2
，通过作差法比较它们的大小，进一步可得t甲、t乙的大小关系.
依题意，设总路程为x，乙所花时间为t，两人跑的速度和走的速度分别为v1，v2，
所以v甲= x
t =
x
x
2
v1
+
x
2
v2
=
2v1v2
v1 + v2 ，
所以v乙= x
t =
v1 ⋅t
2 + v2 ⋅t
2
t
= v1 + v2
2
，
因为v乙−v甲= v1 + v2
2
−
2v1v2
v1 + v2
= (v1 −v2)2
2(v1 + v2) > 0，
所以v乙> v甲，
由t = x
v 得，乙花费的时间短，
所以t甲> t乙.
教法备注
【考点】作差法的应用
【教法】引导学生理解题干信息，先表示出甲、乙的速度，利用作差法比较大小
答案
解析
–
–
–
–
–
–
–
–
变式4-2
已知b g糖水中有a g糖（b > a > 0），往糖水中加入m g糖（m > 0），（假设全部溶解）糖水更甜了.
(1)
请将这个事实表示为一个不等式，证明这个不等式；
(2)
利用（1）的结论比较M = 20192019
20232023 , N = 20192016
20232020 的大小；
(3)
证明命题：设x > 0, y > 0, z > 0，证明：1 <
x
x + y +
y
y + z +
z
z + x < 2.
12
(1) a
b < a + m
b + m , (m > 0)
(2) M > N
(3) 证明见解析
(1) 解：由题意，可得不等式a
b < a + m
b + m , (m > 0).
证明：由a
b −a + m
b + m = ab + am −ab −bm
b(b + m)
= (a −b)m
b(b + m) ，
因为b > a > 0, m > 0，可得a −b < 0, b + m > 0，
所以a
b −a + m
b + m < 0，即a
b < a + m
b + m .
(2) 解：由M = 20192019
20232023 = 20192016 + 3
20232020 + 3 , N = 20192016
20232020 ，
由（1）中的结论，可得20192016 + 3
20232020 + 3 > 20192016
20232020 ，即M > N.
(3) 证明：因为x > 0, y > 0, z > 0，
由（1）中的结论，可得
x
x + y <
x + z
x + y + z ,
y
y + z <
y + x
y + z + x ,
z
z + x <
z + y
z + x + y ，
所以
x
x + y +
y
y + z +
z
z + x <
x + z
x + y + z +
y + x
y + z + x +
z + y
z + x + y = 2，
又由
x
x + y = x + y −y
x + y
= 1 −
y
x + y ，同理可得
y
y + z = 1 −
z
y + z ,
z
z + x = 1 −
x
z + x ，
则
x
x + y +
y
y + z +
z
z + x = 3 −(
y
x + y +
z
y + z +
x
z + x )，
由上述结论，可得
y
x + y +
z
y + z +
x
z + x < 2，所以
x
x + y +
y
y + z +
z
z + x > 1，
综上可得1 <
x
x + y +
y
y + z +
z
z + x < 2.
教法备注
【考点】不等式的概念与性质 、 作差法的应用
【教法】引导学生理解题干信息，利用作差法比较大小
答案
解析
08 不等式的解法（一）
1
学习目标
目标1
★★☆☆☆☆ 理解
理解一元一次、一元二次不等式的解法
目标2
★★★☆☆☆ 操作
掌握含参一元二次不等式的解法
目标3
★★★☆☆☆ 操作
掌握含参不等式的讨论方法
知识清单
教法备注
1．本讲知识点的考纲要求：理解不等式、方程和函数之间的联系，初步会用不等式解决 一些实际应用问
题，掌握一元二次不等式的解法.重难点：一元二次函数、方程、不等式间的关系与应用；
2．本讲知识点在高考中常常结合集合等章节考察，分值占比3%；
3．对应教材：新版上教教材的第二章等式与不等式，第二节不等式的求解；
4．本讲知识点属于等式与不等式章节，属于基础内容，在高中各个章节中都会运用到不等式的求解，要打好
基础.
2
教法备注
引导学生回忆一元一次不等式的解法，同时思考一元二次不等式的解法
知识点1——一元一次、一元二次不等式的解法
考点1：一元一次不等式的解法
知识笔记
一元一次不等式的解法
一元一次不等式
x为自变量，ax > b，讨论a > 0, x > b
a ；a < 0, x < b
a .
典型例题
例1
不等式组{
无实数解，则m的取值范围是
.
[5, +∞)
分类讨论m的取值范围，利用不等式组无实数解即可得解.
对于{
，
当m < 5时，解得m < x < 5，不满足题意；
当m ≥5时，x > m ≥5与x < 5矛盾，即不等式组无实数解，
综上，m ≥5.
故答案为：[5, +∞)
x < 5
x > m
答案
解析
x < 5
x > m
变式1-1
3
关于x的不等式ax + 1 < 0 (a > 0)的解集为
．
(−∞, −1
a )
利用不等式的性质可求解.
由ax + 1 < 0 (a > 0)，可得x < −1
a ，
所以不等式ax + 1 < 0 (a > 0)的解集为(−∞, −1
a ).
故答案为：(−∞, −1
a ).
答案
解析
变式1-2
已知a ∈R，若关于x的不等式ax < x + 2的解集为R，则a =
.
1
由题意知不等式(a −1)x −2 < 0的解集为R，则a −1 = 0，解之即可求解.
原不等式可化为(a −1)x −2 < 0，
又不等式的解集为R，
所以一次函数y = (a −1)x −2的图象都在x轴的下方，
则a −1 = 0，解得a = 1，
故答案为：1
答案
解析
考点2：一元二次不等式的解法
知识笔记
一元二次不等式的一般形式：ax2 + bx + c > 0 (a ≠0)或ax2 + bx + c < 0 (a ≠0) ； ax2 + bx + c ≥0 (a ≠0)或
ax2 + bx + c ≤0 (a ≠0)
一元二次不等式的基本解法：
4
一般地，设关于x的一元二次不等式为ax2 + bx + c > 0或ax2 + bx + c < 0 (a > 0)，其对应的一元二次方程
ax2 + bx + c = 0的根的判别式是Δ = b2 −4ac, x1, x2 (x1 < x2)是一元二次方程ax2 + bx + c = 0的两个实根.
(1)当Δ > 0时，不等式ax2 + bx + c > 0的解集为(−∞, −b −√Δ
2a
) ⋃( −b + √Δ
2a
, +∞)；
不等式ax2 + bx + c < 0的解集为( −b −√Δ
2a
, −b + √Δ
2a
)；
(2)当Δ < 0时，不等式ax2 + bx + c > 0的解集为R，不等式ax2 + bx + c < 0的解集为∅；
(3)当Δ = 0时，不等式ax2 + bx + c > 0的解集为x ≠−b
2a ，不等式ax2 + bx + c < 0的解集为∅.
典型例题
例2
已知集合A = {1, 2, 3}，B = {x ∣x2 < 8}，则A ∩B =
.
{1, 2}
解一元二次不等式求出集合B，再根据交集的定义计算可得.
由x2 < 8，即(x −2√2) (x + 2√2) < 0，解得−2√2 < x < 2√2，
所以B = {x|x2 < 8} = {x| −2√2 < x < 2√2}，
又A = {1, 2, 3}，所以A ∩B = {1, 2}.
故答案为：{1, 2}
答案
解析
变式2-1
设集合A = {x ∣x2 −3 > 0}, B = {1, 2, 3, 4}，则A ∩B =
．
{2, 3, 4}
解二次不等式求出集合A，再根据集合的交集运算法则可得答案.
集合A = {x ∣x2 −3 > 0} = (−∞, −√3) ∪(√3, +∞)，
答案
解析
5
所以A ∩B = {2, 3, 4}．
故答案为：{2, 3, 4}.
知识点2——含参一元二次不等式的解法
考点3：根据不等式的解集求参数
知识笔记
根据不等式的解集求参数
根据根的分布区间，结合二次函数的图像问题，确定参数的取值范围.
典型例题
例3
关于x的不等式ax2 + bx + 2 > 0的解集为{x| −2 < x < 3}，则a + b =
．
0
根据一元二次不等式的解集求得a, b，进而求得a + b.
由于不等式ax2 + bx + 2 > 0的解集为{x| −2 < x < 3}，
所以
，解得a = −1
3 , b = 1
3 ，
所以a + b = 0.
故答案为：0
答案
解析
⎧
⎨
⎩
−2 + 3 = 1 = −b
a
−2 × 3 = −6 = 2
a
变式3-1
关于x的不等式x2 −(a + 1)x + a < 0的解集中恰有两个正整数，则实数a的取值范围是
.
(3, 4]
答案
6
分类讨论两根大小解不等式，结合题意分析求解即可.
对于不等式x2 −(a + 1)x + a < 0，可得不等式(x −1) (x −a) < 0，
若a < 1，解得a < x < 1，无正整数解，不合题意；
若a = 1，不等式无解，不合题意；
若a > 1，解得1 < x < a，由题意可得3 < a ≤4；
综上所述：实数a的取值范围是(3, 4].
故答案为：(3, 4].
解析
考点4：含参一元二次不等式的解法
知识笔记
解含参数一元二次不等式，通常都能够通过因式分解求解，若不能因式分解，可考虑用求根公式，涉及讨论思想
时，注意讨论顺序，先确认二次项系数是否为零，再讨论开口方向，最后讨论根的大小.
典型例题
例4
若0 < a < 1，则关于x的不等式(x −a) (x −1
a ) > 0的解集为
．
{x
x < a或x > 1
a }
根据一元二次不等式的解法计算即可.
方程(x −a) (x −1
a ) = 0的解为x = a或1
a ，
因为0 < a < 1，所以a < 1
a ，
所以关于x的不等式(x −a) (x −1
a ) > 0的解集为{x
x < a或x > 1
a }.
故答案为：{x
x < a或x > 1
a }.
答案
解析
变式4-1
7
当0 < a < 1时，关于x的不等式(x −3) [(1 −a)x + (a −3)] < 0的解集为（ ）
A. (−∞, a −3
a −1 ) ∪(3, +∞)
B. (−∞, 3) ∪( a −3
a −1 , +∞)
C. (3, a −3
a −1 )
D. ( a −3
a −1 , 3)
C
将原不等式转换为(x −3) [x −a −3
a −1 ] < 0，在0 < a < 1的前提下，比较3, a −3
a −1 的大小即可得解.
0 < a < 1时，1 −a > 0，不等式(x −3) [(1 −a)x + (a −3)] < 0可化为(x −3) [x −a −3
a −1 ] < 0，
因为a −3
a −1 −3 = a −3 −3a + 3
a −1
= −2a
a −1 ，且0 < a < 1，
所以−2a
a −1 > 0，a −3
a −1 > 3，
解原不等式，得3 < x < a −3
a −1 ，
所以原不等式的解集为{x|3 < x < a −3
a −1 }.
故选：C.
答案
解析
变式4-2
若方程ax2 + bx + c = 0有唯一的实数根2，则不等式ax2 + bx + c ≥0的解集为
.
{2}或 R或 (−∞, 2]或 [2, +∞)
首先根据方程的类型分类讨论，再根据一次函数和二次函数的图象求解即可.
①a = 0时，由题意知方程bx + c = 0有唯一的实数根2，此时b ≠0，且2b + c = 0，
得不等式bx −2b ≥0，即b (x −2) ≥0，
则当b > 0时，x ≥2；当b < 0时，x ≤2.
②当a ≠0时，由题意知方程ax2 + bx + c = 0有唯一的实数根2，
即二次函数y = ax2 + bx + c的图象与x轴只有一个交点(2, 0)，
当a > 0时，不等式ax2 + bx + c ≥0的解集为R，
当a < 0时，不等式ax2 + bx + c ≥0的解集为{2}，
综上所述，不等式ax2 + bx + c ≥0的解集为{2}或R或(−∞, 2]或[2, +∞)；
答案
解析
8
故答案为：{2}或R或(−∞, 2]或[2, +∞)
变式4-3
已知一元二次不等式x2 −ax + b > 0
(1)
若不等式的解集为(−∞, 2) ∪(3, +∞)，求不等式ax2 −bx + 1 < 0的解集；
(2)
当b = a −1时，求不等式x2 −ax + b > 0的解集；
(1) ( 1
5 , 1)
(2) 答案见解析
(1) {
，所以a = 5, b = 6，
所以不等式ax2 −bx + 1 < 0为5x2 −6x + 1 < 0，所以解集为( 1
5 , 1).
(2) 当b = a −1时，不等式x2 −ax + a −1 > 0，即(x −1)[x −(a −1)] > 0
当a = 2时，不等式x2 −ax + a −1 > 0的解集为(−∞, 1) ∪(1, +∞)；
当a > 2时，不等式x2 −ax + a −1 > 0的解集为(−∞, 1) ∪(a −1, +∞)；
当a < 2时，不等式x2 −ax + a −1 > 0的解集为(−∞, a −1) ∪(1, +∞)；
答案
解析
4 −2a + b = 0
9 −3a + b = 0
变式4-4
（1）若不等式mx2 + (1 −m)x + m −2 ≥−2对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围；
（2）已知实数m < 0，解关于x的不等式mx2 + (1 −m)x + m −2 < m −1.
9
（1） {m|m ≥1
3 }；（2）答案见解析
（1）由题设mx2 + (1 −m)x + m ≥0对一切实数x恒成立，讨论参数m，结合一元二次不等式在实数集上恒成
立列不等式组求范围即可．
（2）讨论m = 0、m ≠0，结合一元二次不等式的解法求解集．
（1）由mx2 + (1 −m)x + m −2 ≥−2得mx2 + (1 −m)x + m ≥0对一切实数x恒成立，
当m = 0时，mx2 + (1 −m)x + m = x ≥0不恒成立，故不符合题意；
当m ≠0时，要使得对一切实数x，不等式mx2 + (1 −m)x + m ≥0恒成立，
则{
，可得m ≥1
3 ；
综上，m的范围为{m|m ≥1
3 }．
（2）当m = 0时，mx2 + (1 −m)x + m −2 < m −1，
即x −2 < −1，可得x < 1，解集为{x|x < 1}；
当m ≠0时，mx2 + (1 −m)x −1 = m (x + 1
m ) (x −1) < 0，
当m < 0，则(x + 1
m ) (x −1) > 0，
若−1
m > 1，即−1 < m < 0时，可得x > −1
m 或x < 1，解集为{x|x < 1或x > −1
m }；
若−1
m = 1，即m = −1时，可得x ≠1，解集为{x|x < 1或x > 1}；
若−1
m < 1，即m < −1时，可得x > 1或x < −1
m ，解集为{x|x < −1
m 或x > 1}；
当m > 0，则(x + 1
m ) (x −1) < 0，可得−1
m < x < 1，解集为{x| −1
m < x < 1}，
综上，当m = 0时，解集为{x|x < 1}；
当−1 < m < 0时，解集为{x|x < 1或x > −1
m }；
当m = −1时，解集为{x|x < 1或x > 1}；
当m < −1时，解集为{x|x < −1
m 或x > 1}；
当m > 0时，解集为{x| −1
m < x < 1}．
教法备注
【考点】解含参一元二次不等式、不等式的恒成立问题
答案
解析
m > 0
Δ = (1 −m)2 −4m2 ≤0
10
【教法】引导学生结合一元二次不等式在实数集上恒成立列不等式组求范围即可，讨论m的正负，结合一元
二次不等式的解法求解集
知识点3——不等式的应用
考点5：一元二次不等式在实数集上恒成立问题
知识笔记
(1)若所求问题可转化为二次不等式，则可考虑应用判别式法解题.一般地，对于二次函数
y = ax2 + bx + c(a ≠0, x ∈R),有
y > 0对x ∈R恒成立⇔ a > 0, Δ < 0
y < 0对x ∈R恒成立⇔ a < 0, Δ < 0
(2)将不等式恒成立问题转化为求函数最值问题的一种处理方法，其一般类型有：
y > a恒成立⇔ a < ymin;
y < a恒成立⇔ a > ymax.
典型例题
例5
1
若关于x的不等式x2 −mx + 1 > 0的解集为R，则实数m的取值范围是
.
$-2<2$
结合对应二次函数的性质分析可得，函数图象恒在x轴上方，与x轴无交点，即Δ = m2 −4 < 0，求解即可
由题意，关于x的不等式x2 −mx + 1 > 0的解集为R
根据二次函数性质，对应的二次函数y = x2 −mx + 1开口向上，要保证x2 −mx + 1 > 0恒成立，即函数图象
恒在x轴上方，与x轴无交点
即Δ = m2 −4 < 0
解得：$-2<2$
故实数m的取值范围是$-2<2$
答案
解析
11
故答案为：$-2<2$
2
若关于x的不等式(a2 −4)x2 + (a + 2)x −1 ≥0的解集不为空集，则实数a的取值范围为
.
(−∞, −2) ∪[ 6
5 , +∞)
对a分类讨论，结合二次不等式与二次函数的关系即可分类求解.
若a = −2，则不等式为−1 ≥0，不符合题意，舍去，
若a = 2，则不等式为4x −1 ≥0，解得x ≥1
4 ，符合题意，
若a > 2或a < −2，此时a2 −4 > 0，y = (a2 −4)x2 + (a + 2)x −1为开口向上的二次函数，
此时不等式的解不为空集，符合题意，
若−2 < a < 2，此时a2 −4 < 0，y = (a2 −4)x2 + (a + 2)x −1为开口向下的二次函数，
要使不等式的解不为空集，需要满足Δ = (a + 2)2 + 4 (a2 −4) = 5a2 + 4a −12 ≥0，解得6
5 ≤a < 2，
综上可得a ≥6
5 或a < −2，
故答案为：(−∞, −2) ∪[ 6
5 , +∞)
教法备注
【考点】由解集求参数
【教法】对a分类讨论，结合二次不等式与二次函数的关系即可分类求解.
答案
解析
变式5-1
若关于x的不等式m(m −1)x2 + mx −2 < 0的解集为R，求实数m的取值范围.
12
0 ≤m < 8
9
分m(m −1) = 0以及m(m −1) ≠0两种情况，结合二次函数开口和判别式即可得解.
当m(m −1) = 0时，m = 0或m = 1，
若m = 0时，原不等式变为：−2 < 0，满足；若m = 1，原式变为：x −2 < 0，此时解集不为R，不满足；
当m(m −1) ≠0时，因为解集为R，所以{
，
解得： $0<\dfrac{8}{9}$；
综上：0 ≤m < 8
9 .
答案
解析
m(m −1) < 0
Δ = m2 −4m(m −1) (−2) < 0
变式5-2
已知m ∈R，关于x的不等式(m + 1)x2 −mx + m −1 > 0．
(1)
若不等式解集为∅，求实数m的取值范围；
(2)
若不等式对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围．
(1) {m
m ≤−2√3
3
}
(2) {m
m ≥2√3
3
}
答案
解析
13
(1) 解：因为不等式(m + 1)x2 −mx + m −1 > 0的解集为∅，
则不等式(m + 1)x2 −mx + m −1 ≤0对任意的实数x恒成立，
当m + 1 = 0时，即当m = −1时，原不等式即为x −2 ≤0，解得x ≤2，不合乎题意；
所以，m ≠−1，由题意可得{
，解得m ≤−2√3
3
，
因此，实数m的取值范围是{m
m ≤−2√3
3
}.
(2) 解：因为不等式(m + 1)x2 −mx + m −1 > 0对一切实数x恒成立，
由（1）可知，m ≠−1，则{
，解得m ≥2√3
3
，
所以，实数m的取值范围是{m
m ≥2√3
3
}.
教法备注
【考点】不等式的恒成立问题
【教法】分情况讨论二次项系数，根据不等式的恒成立问题，求参数的取值范围
m + 1 < 0
Δ = m2 −4 (m + 1) (m −1) = 4 −3m2 ≤0
m + 1 > 0
Δ = 4 −3m2 ≤0
考点6：一元二次不等式在某区间上恒成立问题
知识笔记
若所给的不等式能通过恒等变形使参数与主元分离于不等式两端，从而问题转化为求主元函数的最值，进而求出参
数范围.这种方法本质也还是求最值，但它思路更清晰，操作性更强.一般地有：
f(x) < g(a)恒成立⇔g(a) > f(x)max;
f(x) > g(a)恒成立⇔g(a) < f(x)max.
典型例题
例6
已知函数f(x) = x2 + 2x + 3 + m，若f(x) ≥0对任意的x ∈[1, 2]恒成立，则实数m的取值范围是
.
[−6, +∞)
答案
解析
14
对任意x ∈[1, 2]，f(x) ≥0恒成立，等价于x2 + 2x + 3 ≥−m在[1, 2]上恒成立，令g(x) = x2 + 2x + 3，求其在
[1, 2]上的最小值即可.
对任意x ∈[1, 2]，f(x) ≥0恒成立，
等价于x2 + 2x + 3 ≥−m在[1, 2]上恒成立，
令g(x) = x2 + 2x + 3，
则其在[1, 2]上的最小值为g(1) = 6，所以6 ≥−m，得m ≥−6.
故答案为：[−6, +∞)
变式6-1
若不等式x ﹣kx+k﹣1＞0对x∈（1，2）恒成立，则实数k的取值范围是
．
（﹣∞，2]
试题分析：根据题意，分离参数，利用函数的单调性，即可得到实数k的取值范围．
解：不等式x ﹣kx+k﹣1＞0可化为（1﹣x）k＞1﹣x
∵x∈（1，2）
∴k＜
=1+x
∴y=1+x是一个增函数
∴k≤1+1=2
∴实数k取值范围是（﹣∞，2]
故答案为（﹣∞，2]
考点：一元二次不等式的应用．
2
答案
解析
2
2
09 不等式的解法（二）
1
学习目标
目标1
★★★☆☆☆ 操作
掌握分式不等式的解法
目标2
★★★☆☆☆ 操作
掌握单绝对值不等式的解法
目标3
★★★☆☆☆ 操作
掌握双绝对值不等式的解法
目标4
★★★☆☆☆ 操作
掌握高次不等式的解法
知识清单
教法备注
1．本讲知识点的考纲要求：理解不等式、方程和函数之间的联系，初步会用不等式解决一些实际应用问题，
掌握分式、绝对值不等式的解法.重难点：含参数不等式的解法；
2．本讲知识点在高考中常常结合集合等章节考察，分值占比3%；
3．对应教材：新版上教教材的第二章等式与不等式，第二节不等式的求解；
4．本讲知识点属于等式与不等式章节，属于基础内容，高中的各个章节中都会运用到不等式的求解，要打好
基础.
2
教法备注
上一讲我们刚刚学习过一元二次不等式的解法，例如：(x −1)(x + 2) < 0 ⇒x ∈(−2, 1)，求解的过程可以看
作两式相乘为负，两式异号，那么你能求出x −1
x + 2 < 0的解集吗？x −1
x + 2 ≤0呢？
知识点1——分式不等式的解法
考点1：不含参分式不等式的解法
知识笔记
分式不等式的解法
解分式不等式的基本思路：先将其转化为整式不等式，在此过程中，变形的等价性尤为重要.
解分式不等式的通法（以大于为例），
(1)标准化：右边化零，化成 f (x)
g (x) > 0（或f (x)
g (x) ≥0）形式；系数化正；
(2)将f (x)
g (x) > 0（或f (x)
g (x) ≥0）转化为整式不等式f (x) ⋅g (x) > 0（或f (x) ⋅g (x) ≥0且g (x) ≠0）.
注意: (1)标准化之前不要去分母；
(2)解不等式中的每一步要求"等价"即同解变形；
(3)结果用集合的形式表示.
典型例题
例1
已知集合M = {x
x + 3
x −3 ≤0, x ∈Z}, N = {x |1 < x ≤4}，则M ∩N =（ ）
A. {x |1 < x < 3}
B. {1, 2}
C. {2}
D. {2, 3, 4}
C
求出集合M后可求M ∩N.
答案
解析
3
M = {x| −3 ≤x < 3, x ∈Z} = {−3, −2, −1, 0, 1, 2},
故M ∩N = {2}，
故选：C.
变式1-1
不等式1 −
7
2x −1 ≤0的解集是
.
{x
1
2 < x ≤4}
原不等式即为{
或{
，分别解出，再求交集即可．不等式1−
7
2x −1 ≤0
即为2x −8
2x −1 ≤0，
即为{
或{
，
即有x∈∅或1
2 ＜x≤4，
则解集为{x
1
2 < x ≤4}．
故答案为{x
1
2 < x ≤4}．
本题考查分式不等式的解法，考查转化为一次不等式组求解，考查运算能力，属于基础题．
答案
解析
2x −8 ≥0
2x −1＜0
2x −8 ≤0
2x −1＞0
2x −8 ≥0
2x −1＜0
2x −8 ≤0
2x −1＞0
变式1-2
(1)
当 a = 1
2 时, 求 A 和 B;
(2)
已知 A ∪B = A, 求实数 a 的取值范围;
已知 a ∈R. 集合 A = {x
1 −x
x −3 ≤0}, B = {x ∣x2 + (2 −a)x −2a < 0}
4
(1) A = {x ∣x ≤1 或 x > 3},B = {x
−2 < x < 1
2 }
(2) a ≤1
(1) 由 1 −x
x −3 ≤0 ，得 {
，解得 x ≤1 或 x > 3 ，
则 A = {x ∣x ≤1 或 x > 3} ；
B = {x ∣x2 + (2 −a)x −2a < 0} = {x ∣(x + 2)(x −a) < 0};
当 a = 1
2 时，B = {x
(x + 2) (x −1
2 ) < 0} ，解得 B = {x
−2 < x < 1
2 } ．
(2) 由 A ∪B = A ，得 B ⊆A ，
当 B = ∅ 时，得 a = −2 ，符合题意；
当 B ≠∅ 时，若 a > −2 ，则 B = {x ∣−2 < x < a} ，
由 B ⊆A ，得 a ≤1 ，此时 −2 < a ≤1 ；
若 a < −2 ，则 B = {x ∣a < x < −2} ，此时 B ⊆A 恒成立，故 a < −2 符合题意；
综上所述，实数 a 的取值范围为 a ≤1 ．
答案
解析
(1 −x)(x −3) ≤0
x ≠3
考点2：含参分式不等式的解法
知识笔记
解分式不等式的基本思路：先将其转化为整式不等式，在此过程中，变形的等价性尤为重要.
典型例题
例2
已知全集U = R，集合M = {x
2x −3
x + a ≤1}.
(1)
当a = 1时，求集合M；
(2)
若−1 ∈M，求实数a的取值范围.
–
5
(1) M = {x ∣−1 < x ≤4}
(2) (−4, 1]
(1) 当a = 1时，则2x −3
x + 1 ≤1 ⇒2x −3 −x −1
x + 1
≤0 ⇒x −4
x + 1 ≤0 ⇒−1 < x ≤4，
集合M = {x ∣−1 < x ≤4}.
(2) 若−1 ∈M，则
−5
−1 + a ≤1 ⇒−4 −a
a −1
≤0 ⇒a + 4
a −1 ≥0 ⇒a > 1或a ≤−4，
则若−1 ∈M, a ∈(−4, 1].
答案
解析
–
变式2-1
已知不等式ax2 −3x + 2 > 0的解集为或{x|x < 1或x > b}．
(1)
求实数a，b的值；
(2)
解不等式3 + ax
bx + 1 > 2．
(1) a = 1, b = 2
(2) {x| −1
2 < x < 1
3 }
答案
6
(1) 由题意得1, b为方程ax2 −3x + 2 = 0的两根，且a > 0，
故1 + b = 3
a , b = 2
a ，解得a = 1, b = 2；
(2) 由（1）得a = 1, b = 2，
3 + x
2x + 1 > 2 ⇒3 + x
2x + 1 −2 > 0 ⇒1 −3x
2x + 1 > 0，
等价于(1 −3x) (2x + 1) > 0，解得−1
2 < x < 1
3 ，
不等式解集为{x| −1
2 < x < 1
3 }
解析
变式2-2
已知关于x的不等式2x −5
x2 −a ≤1的解集为M，若3 ∉M，则实数a的取值范围是
．
8 < a ≤9
若3 ∈M，则将3代入不等式求解即可得到a的范围，根据题意求其补集即可.
∵关于x的不等式2x −5
x2 −a ≤1的解集为M，
若3 ∈M，则有6 −5
9 −a ≤1，即a −8
a −9 ≥0，所以{
，
解得a ≤8或a > 9．
因此若3 ∉M，则8 < a ≤9
故答案为：8 < a ≤9
教法备注
【考点】解分式不等式 、 元素与集合的关系
【教法】将3代入不等式求解即可得到a的范围，根据题意求其补集即可.
答案
解析
(a −8)(a −9) ≥0
a −9 ≠0
变式2-3
对于一个正整数，如果将它的各位数码反向排列后与它本身相等，则称这样的数是“自恋数”，例如6，121，2992都
是自恋数．设所有自恋数组成的集合为A，而B = {x| (x −10) (x −50)
(x −30) (x −70) < 0}，则A ∩B中有
个元素．
7
4
先解出不等式求得集合B，再结合自恋数及交集的定义求解即可.
由(x −10) (x −50)
(x −30) (x −70) < 0，即(x −10) (x −30) (x −50) (x −70) < 0，
解得10 < x < 30或50 < x < 70，
则B = {x |10 < x < 30或50 < x < 70}，
在10 < x < 30内的自恋数有：11, 22，
在50 < x < 70}内的自恋数有：55, 66，
所以A ∩B = {11, 22, 55, 66}，有4个元素.
故答案为：4.
教法备注
【考点】集合新定义问题 、 交集的概念及性质 、 解分式不等式
【教法】先解出不等式求得集合，再结合自恋数及交集的定义求解即可.
答案
解析
知识点2——绝对值不等式的解法
考点3：单绝对值不等式的解法
知识笔记
解含有绝对值不等式的总体思路是：将含有绝对值的不等式转化为不含有绝对值的不等式去解，去绝对值具体方法
如下：
(1)设x ∈R, a ∈R则|x| < a ⇔−a < x < a；|x| > a ⇔x > a；
(2) |f (x)| < g (x)与−g (x) < f (x) < g (x)同解，|f (x)| > g (x)与f (x) > g (x)或f (x) < −g (x)同解；
典型例题
例3
不等式|x −1| < 3的解集为
．
8
(−2, 4)
∵|x −1| < 3，
∴−3 < x −1 < 3，
∴−2 < x < 4，
故不等式的解集是(−2, 4)，
故答案为：(−2, 4)．
答案
解析
变式3-1
不等式 1 −|x| > 0 的解集为
．
{x ∣−1 < x < 1}
根据绝对值不等式的解法求得正确答案.
由 1 −|x| > 0 得 |x| < 1 ，解得 −1 < x < 1 ，
所以不等式 1 −|x| > 0 的解集为 {x ∣−1 < x < 1}.
故答案为: 根据绝对值不等式的解法求得正确答案.
由 1 −|x| > 0 得 |x| < 1 ，解得 −1 < x < 1 ，
所以不等式 1 −|x| > 0 的解集为 {x ∣−1 < x < 1}.
故答案为: {x ∣−1 < x < 1}
答案
解析
变式3-2
不等式|2x −1| ≤3的解是 .
[−1, 2]
【分析】将绝对值不等式转化为一元二次不等式求解.
答案
解析
9
【详解】由|2x −1| ≤3得(2x −1)2 ≤9，即x2 −x −2 ≤0，
解得−1 ≤x ≤2，
故答案为: [−1, 2].
考点4：双绝对值不等式的解法
知识笔记
解含有绝对值不等式的总体思路是：将含有绝对值的不等式转化为不含有绝对值的不等式去解，去绝对值具体
方法如下：
(1) |ax + b| > |cx + d|与(ax + b)2 > (cx + d)2同解；
(2)含有两个或两个以上绝对值符号，并且形式是和或差的不等式，可用数轴法、函数图像法或分段讨论法进行
求解.
典型例题
例4
解下列不等式:
(1)
2x2 + 3x −7
x2 −x −2
≥1
(2)
x|x −1| ≤|x|
(1) (1)(−∞, −5] ∪(−1, 1] ∪(2, +∞)
(2) (−∞, 2]
(1) 首先将1移到不等号左边并通分化简，然后根据分式不等式，并运用穿根法即可求出不等式的解集；
答案
解析
10
(1) 根据不等式 2x2 + 3x −7
x2 −x −2
≥1 ，可得 2x2 + 3x −7
x2 −x −2
−1 ≥0 ，
通分化简可得: 2x2 + 3x −7 −x2 + x + 2
x2 −x −2
= x2 + 4x −5
x2 −x −2 = (x + 5)(x −1)
(x −2)(x + 1) ≥0
不等式等价于 (x + 5)(x −1)(x −2)(x + 1) ≥0 且 x ≠2 且 x ≠−1.
根据穿根法，解得原不等式的解集为 (−∞, −5] ∪(−1, 1] ∪(2, +∞)
(2) 分别讨论 x ≥0 与 x < 0 两种情况，然后分别根据绝对值不等式即可求出不等式的解集.
当 x ≥0 时，原不等式等价为 x|x −1| ≤x ，
即 |x −1| ≤1，−1 ≤x −1 ≤1 ，解得 0 ≤x ≤2 ；
当 x < 0 时，原不等式等价为 x|x −1| ≤−x ，
因为 |x −1| ≥−1 恒成立，所以解得 x < 0.
综上所述: 原不等式的解集为 (−∞, 2].
变式4-1
不等式 |2x −1| −|x −2| < 0 的解集为
．
(−1, 1)
解: 因为 |2x −1| −|x −2| < 0 ⇔|2x −1| < |x −2| ⇔(2x −1)2 < (x −2)2 ⇔3x2 < 3 ⇔−1 < x < 1
答案
解析
变式4-2
不等式 |x −1| + |x −3| ≤2 的解集为
[1, 3]
解法一: 由绝对值几何意义知， |x −1| + |x −3| ∈[2, +∞) ，
当且仅当 1 ≤x ≤3 时取得 2 ，
故不等式 |x −1| + |x −3| ≤2 的解集为: [1, 3].
解法二: |x −1| + |x −3| =
,
则有 {
或 {
或 {
,
答案
解析
⎧
⎨
⎩
4 −2x, x ≤1
2, 1 < x < 3
2x −4, x ≥3
4 −2x ≤2
x ≤1
2 ≤2
1 < x < 3
2x −4 ≤2
x ≥3
11
解得: x ∈[1, 3] ，
所以不等式 |x −1| + |x −3| ≤2 的解集为 [1, 3] ，
故答案为: [1, 3].
变式4-3
“|x| + |2x −1| = |3x −1|”是“x ≤0”的 条件.
必要不充分
当x ≥1
2 时，方程为化为x + 2x −1 = 3x −1，此时成立；
当1
3 ≤x < 1
2 时，方程为化为x −(2x −1) = 3x −1，解得x = 1
2 舍去；
当0 < x < 1
3 时，方程为化为x −(2x −1) = −(3x −1)，此时x = 0舍去；
当x ≤0时，方程为化为−x −(2x −1) = −(3x −1)，此时成立；
故|x| + |2x −1| = |3x −1|的解集为x ∈(−∞, 0] ∪[ 1
2 , +∞).
由x ≤0可推得x ∈(−∞, 0] ∪[ 1
2 , +∞)，反之不成立，
故“|x| + |2x −1| = |3x −1|”是“x ≤0”的必要不充分条件.
故答案为：必要不充分.
教法备注
【考点】解绝对值不等式
【教法】分情况讨论x的取值范围，去绝对值解不等式
答案
解析
考点5：含参绝对值不等式的解法
典型例题
例5
若关于x的不等式|x −2 |+|x −a| ⩾a在R上恒成立，则实数a的取值范围是
.
答案
12
(−∞, 1]
根据绝对值的意义|x −2 |+|x −a|表示数轴上的x对应点到2和a对应点的距离之和，它的最小值等于|a −2|，
可得答案.
|x −2 |+|x −a|表示数轴上的x对应点到2和a对应点的距离之和，它的最小值等于|a −2|，由不等式
|x −2 |+|x −a| ⩾a恒成立知，a ⩽|a −2|，
解得：a ⩽1
故答案为：(−∞, 1].
解析
变式5-1
已知函数f(x) = |2x −1| + |x + m|(m ∈R)．
（1）若m = 1，解不等式f(x) ≤6；
（2）若关于x的不等式f(x) ≤|2x + 1|在[ 3
4 , 2]上恒成立，求实数m的取值范围．
（1） {x |−2 ≤x ≤2}；（2） [−11
4 , 0].
（1）当m = 1时，函数f(x) = |2x −1| + |x + 1|，即$f(x)=\left\{ \begin{array}{*{35}{l}} -3x,x\le -1, \ 2-
x,-1<\dfrac{1}{2}, \ 3x,x\ge \dfrac{1}{2}, \ \end{array} \right.$
由f (x) ≤6，即{
或$\left\{ \begin{array}{*{35}{l}} -1<\dfrac{1}{2} \ 2-x\le 6 \ \end{array} \right.$或
，解得−2 ≤x ≤2．
即不等式f (x) ≤6的解集为{x |−2 ≤x ≤2}．
答案
解析
x ≤−1
−3x ≤6
⎧
⎨
⎩
x ≥1
2
3x ≤6
13
（2）当x ∈[ 3
4 , 2]时，不等式|2x −1| + |x + m| ≤|2x + 1|恒成立，
即|x + m| + 2x −1 ≤2x + 1恒成立，即|x + m| ≤2在[ 3
4 , 2]上恒成立，
所以−2 ≤x + m ≤2，解得−x −2 ≤m ≤2 −x，
所以m ≥(−x −2)max，且m ≤(2 −x)min，
当x = 3
4 时，(−x −2)max = 11
4 ；当x = 2时，(2 −x)min = 0，
所以−11
4 ≤m ≤0．
即实数m的取值范围为[−11
4 , 0]．
变式5-2
若不等式|x −4| −|x −3| ≤a对一切x ∈R恒成立，那么实数a的取值范围是
A. a > 1
B. a < 1
C. a ≤1
D. a ≥1
D
由绝对值不等式解法，分类讨论去绝对值，再根据恒成立问题的解法即可求得a的取值范围．根据绝对不等
式，分类讨论去绝对值，得
f(x) =
$\begin{align} & x\le 3 \ & 3<4 \ & x\ge 4 \ \end{align}$
所以f(x)max = 1
所以a ≥1
所以选D
本题考查了绝对值不等式化简方法，恒成立问题的基本应用，属于基础题．
答案
解析
⎧
⎨
⎩
1
−2x + 7
−1
知识点3——高次不等式的解法
考点6：穿针引线法解不等式
知识笔记
14
一元高次不等式是指次数大于或等于3的不等式.
常见的解法一一穿针引线。具体步骤如下：
1.移项，把不等式右边变为0且最高次项的系数为正；
2.把不等式左边分解因式，分解到不能再分为止；
3.把对应的方程的根在数轴上接从到大的顺序标出；
4.从右上方开始，遇到奇数次的根穿轴而过，遇到偶数次的根即回头；
5.按从小到大的顺序依次写出不等式的解(高中为解集，或用区间表示)；
6.位于数轴上方对应的x的范围为不等式>0的解；位于数轴下方对应的x的范围是不等式<0的解.
典型例题
例6
不等式
x2 + 1
x2 −2x −3 < 1的解集用区间表示为
．
(−∞, −2) ∪(−1, 3)
分式不等式先转化为与之等价的整式不等式，然后再用数轴穿根法解.
原式等价于
x2 + 1
x2 −2x −3 −1 = x2 + 1 −x2 + 2x + 3
x2 −2x −3
=
2x + 4
(x −3) (x + 1) < 0
等价于2 (x + 2) (x −3) (x + 1) < 0，
数轴穿根法易得：x ∈(−∞, −2) ∪(−1, 3).
故答案为：(−∞, −2) ∪(−1, 3)
答案
解析
变式6-1
不等式x2 −4x + 1
3x2 −7x + 2 ≤1的解集用区间表示为
.
(−∞, 1
3 ) ⋃[ 1
2 , 1] ⋃(2, +∞)
先将原不等式化为(2x −1)(x −1)
(3x −1) (x −2) ≥0，得到{
或{
，求解，即可得
出结果.因为x2 −4x + 1
3x2 −7x + 2 ≤1可化为x2 −4x + 1 −3x2 + 7x −2
3x2 −7x + 2
≤0，即−2x2 + 3x −1
3x2 −7x + 2
≤0，
答案
解析
(2x −1)(x −1) ≥0
(3x −1) (x −2) > 0
(2x −1)(x −1) ≤0
(3x −1) (x −2) < 0
15
即2x2 −3x + 1
3x2 −7x + 2 ≥0，即(2x −1)(x −1)
(3x −1) (x −2) ≥0；
所以有{
或{
，
解得：x > 2或x < 1
3 或1
2 ≤x ≤1；
即原不等式的解集为：(−∞, 1
3 ) ⋃[ 1
2 , 1] ⋃(2, +∞)
故答案为(−∞, 1
3 ) ⋃[ 1
2 , 1] ⋃(2, +∞)
本题主要考查分式不等式的解法，灵活运用转化与化归的思想，以及一元二次不等式的解法即可，属于常考
题型.
(2x −1)(x −1) ≥0
(3x −1) (x −2) > 0
(2x −1)(x −1) ≤0
(3x −1) (x −2) < 0
10 基本不等式（一）
1
学习目标
目标1
★★★☆☆☆ 操作
掌握平均值不等式并能求最值
目标2
★★★☆☆☆ 操作
掌握三角不等式并能求最值
知识清单
教法备注
1．本讲知识点的考纲要求：掌握基本不等式并会用其解决简单的问题，重难点：基本不等式的应用；
2．本讲知识点在高考中可单独命题，有时也结合其他章节考察，分值占比3%；
3．对应教材：新版上教教材的第二章等式与不等式，第三节基本不等式及其应用；
4．本讲知识点属于等式与不等式章节，它是不等关系的重要定理，在各类求最值问题中都有广泛的应用.
教法备注
下图是2002年在北京召开的第24届国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，
颜色的明暗使它看上去像一个风车，代表中国人民的热情好客，那么你能在这个图中找出一些相等关系或不
等关系吗?
2
我们假设红色三角形两直角边为a和b，斜边长为c（见图一右），明显看出正方形面积（红色+白色）≥四个
三角形面积（红色），故此有c2 = a2 + b2 ≥4 × 1
2 ab，也就是a2 + b2 ≥2ab.
那什么时候这两个面积相等呢？一定是白色部分消失的时候，此时a, b的长度应该相等，也就是说当a = b时，
有a2 + b2 = 2ab.
知识点1——平均值不等式
考点1：积定和最小(积为定值时和有最小值)
知识笔记
平均值不等式
平均值不等式
对于正数a, b，称a + b
2
是a, b的算术平均值，并称√ab是a, b的几何平均值；
定理1（平均值不等式）：两个正数的算术平均值大于等于他们的几何平均值，即对与任意的正数a, b，有
a + b
2
≥√ab，且等号当且仅当a = b时成立；
定理2：对于任意的实数a, b，有( a + b
2
)
2
≥ab，且等号当且仅当a = b时成立.
3
注意：(1) a + b
2
≥√ab、( a + b
2
)
2
≥ab成立的条件是不同的，前者要求正数a, b，而后者要求实数a, b；
(2)这两个公式都是带有等号的不等式，因此对其中的“当且仅当a = b时等号成立”这句话要理解深刻.可从两个方面
来理解：第一，“
当a = b 时等号成立
” ，其含义就是a = b ⇒a + b
2
= √ab 或a = b ⇒( a + b
2
)
2
= ab
⇒a2 + b2 = 2ab；第二，“ 仅当a = b 时等号成立” ，其含义就是( a + b
2
)
2
= ab ⇒a2 + b2 = 2ab ⇒a = b 或
a + b
2
= √ab ⇒a = b.综合起来，其含义就是：a = b a + b
2
= √ab( a + b
2
)
2
= ab的充要条件；
即平均值不等式a + b
2
≥√ab，必须满足“
正数
”、“定值”、“
相等
”三个条件，才能使等号成立，取得最值.
典型例题
例1
1
设正实数x, y满足xy = 20，则x + 4y的最小值为
．
8√5
根据基本不等式求最小值．
因为x > 0, y > 0, xy = 20，
所以x + 4y ≥2√4xy = 2√4 × 20 = 8√5，
当且仅当x = 4y，即x = 4√5, y = √5时等号成立．
所以x + 4y的最小值是8√5．
故答案为：8√5．
答案
解析
2
设实数x < 1，当代数式2x +
1
x −1 取最大值时，x的值为
．
1 −
√2
2
答案
解析
4
由基本不等式求最大值可得结论．
因为x < 1，所以−(x −1) > 0，
所以2x +
1
x −1 = −[−2 (x −1) +
1
−(x −1) ] + 2 ≤−2√2 (x −1) ⋅
1
x −1 + 2 = −2√2 + 2，
当且仅当2 (x −1) =
1
x −1 ，即x = 1 −√2
2 时等号成立．
故答案为：1 −√2
2 ．
变式1-1
1
已知正实数x, y满足xy = 1，则x + y的最小值是
.
2
根据基本不等式直接求解即可.
解：因为正实数x, y满足xy = 1，
所以，由基本不等式可知，x + y ≥2√xy = 2，当且仅当x = y = 1时等号成立，
所以，x + y的最小值是2.
故答案为：2
答案
解析
2
（1）已知x > 0，则y = x + 1
x 的最小值为
.
（2）已知x < 0，则1 −x −4
x 的最小值是
.
2 ; 5
（1）（2）根据基本不等式运算求解.
（1）因为x > 0，则y = x + 1
x ≥2√x ⋅1
x = 2，
当且仅当x = 1
x ，即x = 1时，等号成立，
所以y = x + 1
x 的最小值为2；
答案
解析
5
（2）因为x < 0，则−x > 0，
可得1 −x −4
x = 1 + (−x) +
4
−x ≥1 + 2√(−x) ⋅
4
−x = 5，
当且仅当−x =
4
−x ，即x = −2时，等号成立，
所以1 −x −4
x 的最大值为5；
故答案为：2；5.
考点2：一正二定三相等
典型例题
例2
若a、b ∈R，且ab > 0，则下列不等式恒成立的是（ ）
A. a2 + b2 ≥a + b
B. a + b ≥2√ab
C.
b
a + a
b ≥1
D. ab + 1
ab > 2
C
利用特殊值法以及基本不等式进行判断即可得出结论.对于A选项，取a = b = 1
2 ，a2 + b2 = 1
2 ，a + b = 1，不
等式a2 + b2 ≥a + b不成立；
对于B选项，由于ab > 0，若a、b同为负数，则不等式a + b ≥2√ab不成立；
对于C选项，∵ab > 0，则a
b > 0且b
a > 0，由基本不等式可得b
a + a
b ≥2√b
a ⋅a
b = 2 > 1，当且仅当a = b
时，等号成立，则不等式b
a + a
b ≥1恒成立；
对于D选项，∵ab > 0，由基本不等式得ab + 1
ab ≥2√ab ⋅1
ab = 2，当且仅当ab = 1时，等号成立，则不等式
ab + 1
ab > 2不恒成立.
故选：C.
本题考查了基本不等式的应用法则“一正二定三相等”，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
答案
解析
变式2-1
1
若a、b ∈R，且ab > 0，则下列不等式恒成立的是（ ）
6
A. a2 + b2 ≥a + b
B. a + b ≥2√ab
C.
b
a + a
b ≥2
D. a2 + b2 ≥4ab
C
通过举反例判断ABD；根据基本不等式判断C.
对于A，当a = 1
2 , b = 1
2 时，满足ab > 0，
而a2 + b2 = 1
2 < a + b = 1，故A错误；
对于B，当a = −1, b = −1时，满足ab > 0，
而a + b = −2 < 2√ab = 2，故B错误；
对于C，由ab > 0，得b
a > 0，a
b > 0，
则b
a + a
b ≥2√b
a ⋅a
b = 2，当且仅当a = b时等号成立，故C正确；
当a = 1, b = 1时，满足ab > 0，
而a2 + b2 = 2 < 4ab = 4，故D错误.
故选：C.
答案
解析
2
已知a、b ∈R，若ab ≠0，则下列不等式：
①a2 + b2
2
≥ab；②
b
a
+
a
b
≥2；
③b
a + a
b ≥2；④a + b ≥2√ab．
其中恒成立的不等式序号是
A. ①、③
B. ①、②
C. ②、③
D. ②、④
B
根据基本不等式和作差比较法，即可判定，得到答案.对于①中，因为
a2 + b2
2
−ab = a2 + b2 −2ab
2
= 1
2 (a −b)2 ≥0，所以a2 + b2
2
≥ab是正确的；
对于②中，由ab ≠0，则
b
a
> 0,
a
b
> 0，所以
b
a
+
a
b
≥2√
b
a
⋅
a
b
= 2，当且仅当
b
a
=
a
b
时，即a = ±b是等号成立，所以
b
a
+
a
b
≥2是正确的；
对于③中，当ab < 0时，b
a + a
b < 0，所以b
a + a
b ≥2不正确；
答案
解析
7
对于④中，当a < 0, b < 0时，a + b < 0, 2√ab > 0，所以a + b ≥2√ab不正确，
故选B.
本题主要考查了基本不等式的应用，其中解答中熟记基本不等式的“一正、二定、三相等”，以及熟练应用基本
不等式求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
教法备注
【考点】基本不等式的原理
【教法】本题主要考查了基本不等式的应用，其中解答中熟记基本不等式的“一正、二定、三相等”，以及熟
练应用基本不等式求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
考点3：和定积最大(和为定值时积有最大值)
典型例题
例3
1
已知x + y = 2，则xy的最大值为
．
1
利用基本不等式可得.
由x + y = 2，则xy ≤( x + y
2
)
2
= 1，
当且仅当x = y = 1时取等号．
故答案为：1
答案
解析
2
（1）已知a，b是实数.求证：a2 + b2 ≥2a −2b −2，并指出等号成立的条件；
（2）已知a，b是实数，若a + 2b = 1，求ab的最大值，并指出此时a，b的值.
8
（1）证明见解析，当且仅当 a = 1， b = −1；（2） 1
8 ，
（1）通过作差法将式子变形为完全平方的形式，利用完全平方的非负性来证明不等式；（2）根据已知条
件，利用均值不等式来求解最大值。
（1）因为a2 + b2 −(2a −2b −2) = a2 + b2 −2a + 2b + 2 = (a −1)2 + (b + 1)2 ≥0，
所以a2 + b2 ≥2a −2b −2，
当且仅当a = 1，b = −1时，不等式中等号成立.
（2）a + 2b = 1 ≥2√2ab ⇒ab ≤1
8 ，
所以ab的最大值为1
8 .
当且仅当a = 2b，即
时，不等式中等号成立.
教法备注
【考点】和或积为定值 、 基本不等式的原理
【教法】（1）通过作差法将式子变形为完全平方的形式，利用完全平方的非负性来证明不等式；（2）根据
已知条件，利用均值不等式来求解最大值
答案
⎧
⎨
⎩
a = 1
2
b = 1
4
解析
⎧
⎨
⎩
a = 1
2
b = 1
4
变式3-1
1
设a > 0，b > 0，若2a + b = 8，则ab的最大值为
.
8
答案
9
根据基本不等式可求ab的最大值.
由题意得，ab = 1
2 ⋅2a ⋅b ≤1
2 ⋅( 2a + b
2
)
2
= 1
2 × 42 = 8，
当且仅当2a = b，即a = 2, b = 4时取等号，
∴ab的最大值为8.
故答案为：8.
解析
2
（1）已知0 < x < 1，则x (4 −3x)取得最大值时，x的值为
.
（2）已知x < 5
4 ，则y = 4x −2 +
1
4x −5 的最大值为
.
（3）已知x > 1，则x2 + 3
x −1 的最小值为
.
2
3 ; 1 ; 6
（1）运用配凑法得x (4 −3x) = 1
3 (3x) (4 −3x)，再用基本不等式即可求解.
（2）运用配凑法得y = 4x −2 +
1
4x −5 =−(5 −4x +
1
5 −4x ) + 3，再用基本不等式即可求解.
（3）用分离常数法得x2 + 3
x −1 = (x −1) +
4
x −1 + 2，再用基本不等式即可求解.
（1）∵0 < x < 1，∴−3 < −3x < 0，∴1 < 4 −3x < 4，
所以x (4 −3x) = 1
3 (3x) (4 −3x) ≤1
3 ( 3x + 4 −3x
2
)
2
= 4
3 ，
当且仅当3x = 4 −3x，即x = 2
3 时，取等号，
故所求x的值为2
3 .
（2）∵x < 5
4 ，∴4x < 5，即5 −4x > 0，
则y = 4x −2 +
1
4x −5 = −(2 −4x +
1
5 −4x ) = −(5 −4x +
1
5 −4x ) + 3
≤−2√(5 −4x) ⋅
1
5 −4x + 3 = −2 + 3 = 1，
当且仅当5 −4x =
1
5 −4x ，即x = 1时，取等号.
故y = 4x −2 +
1
4x −5 的最大值为1.
（3）∵x > 1, ∴x −1 > 0，
x2 + 3
x −1 = x2 −2x + 1 + 2x −2 + 4
x −1
= (x −1)2 + 2 (x −1) + 4
x −1
= (x −1) +
4
x −1 + 2
答案
解析
10
≥2√(x −1) ⋅
4
x −1 + 2 = 2 × 2 + 2 = 6，
当且仅当x −1 =
4
x −1 ，即x = 3时，取等号.
故x2 + 3
x −1 的最小值为6.
故答案为：2
3 ; 1; 6.
教法备注
【考点】和或积为定值 、 基本不等式的原理
【教法】配凑法的应用
知识点2——三角不等式
考点4：三角不等式及其取等条件
知识笔记
三角不等式
定理：两个实数和的绝对值小于等于它们绝对值的和，即对于任意给定的实数a, b，有|a + b| ≤|a| + |b|，且等号当
且仅当ab ≥0时成立，该不等式也称三角不等式.
另，|a| = |a −b + b| ≤|a −b| + |b| ⇔|a| −|b| ≤|a −b|.
那么，如果a, b, c是实数，有|a −c| ≤|a −b| + |b −c|，且等号当且仅当
(a −b)(b −c) ≥0时
成立.
典型例题
例4
1
已知a > 0，b > 0，则下列不等式恒成立的是（ ）
A. ab ≤(a + b)2
4
；
B. a + b
2
≥√ab；
C. |a + b| + |a −b| ≤2 |a|；
D. |a + b| −|a −b| ≥2 |b|.
AB
答案
解析
11
利用基本不等式、绝对值三角不等式，判断出正确结论.
由基本不等式可知a + b
2
≥√ab，当且仅当a = b时等号成立，B选项正确，
两边平方得ab ≤(a + b)2
4
，当且仅当a = b时等号成立，A选项正确.
根据绝对值三角不等式|a + b| + |a −b| ≥|a + b + a −b| = 2 |a|，C选项错误.
根据绝对值三角不等式|a + b| −|a −b| = |a + b| −|b −a| ≤|a + b + b −a| = 2 |b|，D选项错误.
故选：AB
2
若|x −2| + |x + 4| ≥6对所有实数x都成立，则等号成立时x的取值范围为
．
[−4, 2]
根据绝对值三角不等式关系即可求解.
因为|x −2| + |x + 4| ≥|x −2 −x −4| = 6，当且仅当(x −2) (−x −4) ≥0时，即−4 ≤x ≤2时等号成立．
故答案为：[−4, 2]
答案
解析
变式4-1
若|3x −4| + 3 |x −1| ≥1对所有实数x恒成立，则当等号成立时，x的取值范围是 .
1 ≤x ≤4
3 | 1 ≤x ≤4
3
分x < 1，x > 4
3 ，1 ≤x ≤4
3 讨论可得答案.
当x < 1时，−(3x −4) −3 (x −1) = −6x + 7 ≥1，解得x < 1，
当x > 4
3 时，(3x −4) + 3 (x −1) = 6x −7 ≥1，解得x > 4
3 ，
当1 ≤x ≤4
3 时，−(3x −4) + 3 (x −1) = 1，解得1 ≤x ≤4
3
因此可得x的取值范围是1 ≤x ≤4
3 .
故答案为：1 ≤x ≤4
3 .
答案
解析
12
教法备注
【考点】不等式与三角不等式
【教法】根据三角不等式等号成立的条件即可得出答案
考点5：三角不等式求最值
典型例题
例5
1
若对任意x ∈R，都有|x + 1| + |2 −x| ≥m，则实数m的最大值为
3
利用绝对值不等式的性质求出|x + 1| + |2 −x|的最小值，再根据已知条件确定实数m的最大值.
根据绝对值不等式|a| + |b| ≥|a + b|.
对于|x + 1| + |2 −x|，这里a = x + 1，b = 2 −x，则|x + 1 |+|2 −x |≥|x + 1 + 2 −x| = 3.
当且仅当(x + 1) (2 −x) ≥0时等号成立，所以|x + 1| + |2 −x|的最小值是3.
因为对任意x ∈R，都有|x + 1 |+|2 −x| ≥m恒成立.
这就意味着m要不大于|x + 1| + |2 −x|的最小值.
而|x + 1| + |2 −x|最小值是3，所以m ≤3，那么实数m的最大值就是3.
故答案为：3.
答案
解析
2
若关于x的不等式|x + 1| + |x −2| > a2 + a + 1对于一切实数x都成立，则实数a的取值范围是
.
−2 < a < 1
利用绝对值三角不等式求左侧最小值，结合恒成立有a2 + a + 1 < 3，即可求参数范围.
由|x + 1| + |x −2| ≥|x + 1 −x + 2| = 3，当且仅当−1 ≤x ≤2时取等号，
所以a2 + a + 1 < 3 ⇒(a + 2)(a −1) < 0 ⇒−2 < a < 1.
答案
解析
13
故答案为：−2 < a < 1
变式5-1
1
关于x的不等式|x + 1| + |x + c| ⩽1有解，则实数c的取值范围是
．
[0, 2]
将问题转化为求解(|x + 1| + |x + c|)min，利用三角不等式求解即可.
关于x的不等式|x + 1| + |x + c| ⩽1有解，则(|x + 1| + |x + c|)min ≤1，
∵|x + 1| + |x + c| ≥|(x + 1) −(x + c)| = |c −1|，当且仅当(x + 1) ⋅(x + c) ≤0时取等号，
∴(|x + 1| + |x + c|)min = |c −1|，
即|c −1| ≤1，解得0 ≤c ≤2，
则实数c的取值范围是[0, 2].
故答案为：[0, 2].
答案
解析
2
已知函数 y = f(x) 满足 f(x) = |x −a2| + |x −2a + 1|．
(1)
当 a = 2 时，求不等式 f(x) ⩾4 的解集；
(2)
若 f(x) ⩾4 恒成立，求实数 a 的取值范围．
(1) (1) {x
x ≤3
2 或 x ≥11
2 }
答案
14
(2) (2) (−∞, −1] ∪[3, +∞)
(1) （1）当 a = 2 时, f(x) = |x −4| + |x −3|,
f(x) ≥4 等价为 {
或 {
或 {
解得 x ≤3
2 或 x ∈∅ 或 x ≥11
2 ,
则不等式 f(x) ≥4 的解集为 {x
x ≤3
2 或 x ≥11
2 };
(2) (2) f(x) ≥4 恒成立等价为 f(x)min ≥4.
由 f(x) =
x −a2
+ |x −2a + 1| ≥
x −a2 −x + 2a −1
= a2 −2a + 1,当 (x −a2)(x −2a + 1) ≤0 时,
上式取得等号,则 a2 −2a + 1 ≥4, 解得 a ≥3 或 a ≤−1.
所以实数 a 的取值范围为 (−∞, −1] ∪[3, +∞).
解析
x ≤3
4 −x + 3 −x ≥4
3 < x < 4
4 −x + x −3 ≥4
x ≥4
x −4 + x −3 ≥4
3
已知集合A = {a||x + 3| + |x −4| ≥a对任意x ∈R恒成立}，B = {x|
4x
x2 + x + 2 < 1}，则A ∩B =
．
(−∞, 1) ∪(2, 7]．
用分段函数解决绝对值不等式恒成立问题，再解分式不等式，即可求得两个集合，再求交集即可.
设f (x) = |x + 3| + |x −4|，x ∈R.
则f (x) =
，所以f(x)min = 7，
故|x + 3| + |x −4| ≥7，当且仅当−3 ≤x ≤4时，等号成立，
所以|x + 3| + |x −4|的最小值为7，所以a ≤7，即A = (−∞, 7].
由
4x
x2 + x + 2 < 1，得
4x
x2 + x + 2 −1 < 0，即−x2 + 3x −2
x2 + x + 2
< 0，
因为x2 + x + 2 = (x + 1
2 )
2
+ 7
4 > 0恒成立，
所以−x2 + 3x −2 < 0，解得x < 1或x > 2，即B = (−∞, 1) ∪(2, +∞)，
所以A ∩B = (−∞, 1) ∪(2, 7].
故答案为：(−∞, 1) ∪(2, 7].
答案
解析
⎧
⎨
⎩
−2x + 1, x < −3
7, −3 ≤x < 4
2x −1, x ≥4
4
不等式|2x −a| > |2a −1| −2|x|对一切x ∈R都成立，则实数a的取值范围是
A. (−3, −1)
B. (1, 3)
C. ( 1
3 , 1)
D. (−1, −1
3 )
15
C
题中所给的不等式即：x −a
2
>
a −1
2
−|x|，
则：a −1
2
< |x| +
x −a
2
≤
x −(x −a
2 )
=
a
2
，
据此得绝对值不等式：a −1
2
<
a
2
，
故(a −1
2 )
2
< ( a
2 )
2
，整理可得： (3a −1)(a −1) < 0, ∴1
3 < a < 1.
即实数a的取值范围是( 1
3 , 1).
故选C.
本题主要考查绝对值三角不等式的应用，绝对值不等式的解法，恒成立问题的处理方法等知识，意在考查学
生的转化能力和计算求解能力.
答案
解析
考点6：三角不等式的其他应用
典型例题
例6
（1）设x、y是不全为零的实数，试比较2x2 + y2与x2 + xy的大小，并说明理由；
（2）求证：|2x −5| + |2x −9| ≥4对所有实数x恒成立，并求等号成立时x的取值范围．
（1） 2x2 + y2 > x2 + xy，理由见解析；
答案
16
（2）证明见解析， 5
2 ≤x ≤9
2 .
（1）利用作差法比较大小即可；
（2）分x < 5
2 、5
2 ≤x ≤9
2 和x > 9
2 三种情况证明不等式成立，然后根据分类讨论的情况即可得到不等式等
号成立时x的范围.
（1）2x2 + y2 > x2 + xy，理由如下，
2x2 + y2 −(x2 + xy) = x2 −xy + y2 = (x −1
2 y)
2
+ 3
4 y2，
因为x, y不全为零，所以(x −1
2 y)
2
+ 3
4 y2 > 0，即2x2 + y2 > x2 + xy.
（2）当x < 5
2 时，原不等式可整理为14 −4x ≥4，解得x ≤5
2 ，所以说明当x < 5
2 时不等式成立；
当5
2 ≤x ≤9
2 时，原不等式可整理为4 ≥4，成立；
当x > 9
2 时，原不等式可整理为4x −14 ≥4，解得x ≥9
2 ，所以说明当x ≥9
2 时不等式成立；
综上所述不等式对于所有实数x恒成立，
由上可得当5
2 ≤x ≤9
2 时，不等式取等号.
教法备注
【考点】不等式与三角不等式
【教法】根据绝对值的几何意义解题
解析
变式6-1
设在二维平面上有两个点A (x1，y1)，B (x2，y2)，它们之间的距离有一个新的定义为D (A, B) = |x1 −x2 |+|y1 −y2|
，这样的距离在数学上称为曼哈顿距离或绝对值距离.
(1)
已知A，B两个点的坐标为A (2x, 1)，B (3, 2)，如果D (A，B) ≤3，那么x的取值范围是多少？
(2)
已知A，B两个点的坐标为A (x, 2x)，B (1, 4)，如果D (A，B) = |3x −5|，那么x的取值范围是多少？
17
(1) [ 1
2 , 5
2 ]
(2) (−∞, 1] ∪[2, +∞)
(1) 因为A，B两个点的坐标为A (2x, 1)，B (3, 2)，
所以，由曼哈顿距离的定义得：D (A, B) = |2x −3| + |1 −2| ≤3，即|2x −3| ≤2，
所以，−2 ≤2x −3 ≤2，解得1
2 ≤x ≤5
2 ，
所以，x的取值范围是[ 1
2 , 5
2 ]；
(2) 因为A，B两个点的坐标为A (x, 2x)，B (1, 4)，
所以，由曼哈顿距离定义得：D (A, B) = |x −1| + |2x −4| =
，
因为D (A, B) = |3x −5|，显然x ≤1或x ≥2满足要求，
又令3 −x = 3x −5，解得x = 2，
令3 −x = 5 −3x，解得x = 1，
综上，x的取值范围是(−∞, 1] ∪[2, +∞)；
教法备注
【考点】不等式与三角不等式
【教法】根据绝对值的几何意义解题
答案
解析
⎧
⎨
⎩
5 −3x, x ≤1
3 −x, 1 < x < 2
3x −5, x ≥2
11 基本不等式（二）
1
学习目标
目标1
★★★★☆☆ 识别
掌握“1”的代换的灵活运用
目标2
★★★★☆☆ 识别
掌握基本不等式的实际应用
知识清单
教法备注
1．本讲知识点的考纲要求：掌握基本不等式并会用其解决简单的问题，重难点：基本不等式的应用；
2．本讲知识点在高考中可单独命题，有时也结合其他章节考察，分值占比3%；
3．对应教材：新版上教教材的第二章等式与不等式，第三节基本不等式及其应用；
4．本讲知识点属于等式与不等式章节，它是不等关系的重要定理，在各类求最值问题中都有广泛的应用.
教法备注
下图是2002年在北京召开的第24届国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，
颜色的明暗使它看上去像一个风车，代表中国人民的热情好客，那么你能在这个图中找出一些相等关系或不
等关系吗?
2
我们假设红色三角形两直角边为a和b，斜边长为c（见图一右），明显看出正方形面积（红色+白色）≥四个
三角形面积（红色），故此有c2 = a2 + b2 ≥4 × 1
2 ab，也就是a2 + b2 ≥2ab.
那什么时候这两个面积相等呢？一定是白色部分消失的时候，此时a, b的长度应该相等，也就是说当a = b时，
有a2 + b2 = 2ab.
知识点1——“1”的妙用求最值
考点1：“1”的妙用求最值
知识笔记
“1“的代换
运用基本不等式需要注意“一正、二定、三相等”的条件，为了得到“定值”，往往需要对目标式进行恰当
的“配”“凑”，“1”的代换是一种常用的方法，可用来创造使用基本不等式的条件.
此类问题通常有如下特点：1.变量a, b是正实数，2.有一个代数式①的值已知，求另一个代数式②的最小值，其中
两个代数式一个是整式ma + nb,一个是分式p
a + q
b ，也有其它的变形形式，通过“1”的代换凑出可以使用基本
不等式的齐次式λb
a + μa
b .
典型例题
3
例1
1
设x, y ∈(0, +∞)，且x + 2y = 1，则1
x + 1
y 的最小值为（ ）
A. 7
B. 6
C. 3 + 2√2
D. 3 + √2
C
根据题意，化简1
x + 1
y = (x + 2y) ( 1
x + 1
y ) = 3 + 2y
x + x
y ，结合基本不等式，即可求解.
因为x > 0，y > 0，x + 2y = 1，
则1
x + 1
y = (x + 2y) ( 1
x + 1
y ) = 3 + 2y
x + x
y ≥3 + 2√2y
x × x
y = 3 + 2√2，
当且仅当2y
x = x
y 时，即x = 2√2 −2
2
, y = 2 −√2
2
时，等号成立，
所以1
x + 1
y 的最小值为3 + 2√2.
故选：C.
答案
解析
2
已知正数x, y满足x + 2y −1 = 0，且不等式m ≤1
y + 1
x 对任意的正数x, y恒成立.则实数m的取值范围是
.
m ≤3 + 2√2
根据给定条件，利用基本不等式“1”的妙用求出最小值即可求出结果.
依题意，正数x, y满足x + 2y = 1，
则1
y + 1
x = (x + 2y) ( 1
y + 1
x ) = 3 + x
y + 2y
x ≥3 + 2√x
y ⋅2y
x = 3 + 2√2，当且仅当x = √2y = √2 −1时
取等号，
由不等式m ≤1
y + 1
x 对任意的正数x, y恒成立，得m ≤3 + 2√2，
所以实数m的取值范围是m ≤3 + 2√2.
故答案为：m ≤3 + 2√2
答案
解析
4
教法备注
【考点】“1”的代换
【教法】应用基本不等式“1”的代换求目标式的最小值.
变式1-1
1
（1）已知a > 1，求证：a2 + 1
a2 −1 < a + 1
a −1 ；
（2）已知正数x、y满足x + 3y = 2，求证：1
x + 1
y ≥2 + √3.
（1）证明见解析（2）证明见解析
（1）运用作差比较法作差通分整理后即可证明；
（2）利用常值代换法和基本不等式即可求得1
x + 1
y 的最小值，从而得证.
（1）由a2 + 1
a2 −1 −a + 1
a −1 = (a2 + 1) −(a + 1)2
a2 −1
=
−2a
a2 −1 ，
因a > 1，则a2 −1 > 0，−2a < 0，故−2a
a2 −1 < 0，
即得a2 + 1
a2 −1 < a + 1
a −1 ，故得证；
（2）因正数x、y满足x + 3y = 2，
则1
x + 1
y = 1
2 ( 1
x + 1
y ) (x + 3y) = 1
2 (4 + 3y
x + x
y )
≥1
2 (4 + 2√3y
x ⋅x
y ) = 1
2 (4 + 2√3) = 2 + √3，
当且仅当3y
x = x
y 时等号成立.
由
解得：
，
即当x = √3 −1，y = 1 −√3
3 时等号成立，故得证.
答案
解析
⎧
⎨
⎩
3y
x = x
y
x + 3y = 2
⎧
⎨
⎩
x = √3 −1
y = 1 −√3
3
5
2
若正实数x，y. 且x + 2y = 1则2
y + 3
x 的最小值为（ ）
A. 2
B. 3 + 2√2
C. 5 + 2√6
D. 7 + 4√3
D
用“1”的代换后凑出定值，然后由基本不等式得最小值．
由题意2
y + 3
x = ( 2
y + 3
x ) (x + 2y) = 7 + 2x
y + 6y
x ≥7 + 2√2x
y ⋅6y
x = 7 + 4√3，
当且仅当2x
y = 6y
x ，即x = 2√3 −3, y = 2 −√3时等号成立，
故选：D．
答案
解析
3
设非负实数x，y满足2x + y = 1，则下列说法正确的是（ ）
A. xy的最大值是1
4
B.
1
2x + 1
y 的最小值是8
C. 4x2 + y2的最小值是1
2
D. y + x2的最小值是0
C
对于ABC：利用基本不等式以及乘“1”法逐项分析判断；对于D：根据题设条件反推即可.
因为非负实数x，y满足2x + y = 1，
对于选项A：因为xy = 1
2 (2x) ⋅y ≤1
2 × (2x + y)2
4
= 1
8 ，
当且仅当2x = y = 1
2 时，等号成立，
所以xy的最大值是1
8 ，故A错误；
对于选项B：因为1
2x + 1
y = (2x + y) ( 1
2x + 1
y ) = 2 + y
2x + 2x
y ≥2 + 2√y
2x ⋅2x
y = 4，
当且仅当y
2x = 2x
y ，即2x = y = 1
2 时，等号成立，
所以1
2x + 1
y 的最小值是4，故B错误；
对于选项C：因为4x2 + y2 = (2x)2 + y2 ≥(2x + y)2
2
= 1
2 ，
当且仅当2x = y = 1
2 时，等号成立，
答案
解析
6
所以4x2 + y2的最小值是1
2 ，故C正确；
对于选项D：因为x，y为非负实数，
若y + x2的最小值是0，当且仅当x = y = 0时成立，
但此时不满足2x + y = 1，所以0不是y + x2的最小值，故D错误；
故选：C.
教法备注
【考点】“1”的代换
【教法】应用基本不等式“1”的代换求目标式的最小值.
考点2：“1“的代换的变形
知识笔记
运用“1“的代换求最值的步骤
(1)根据已知条件或其变形确定定值(常数)；
(2)把确定的定值(常数)变形为1；
(3)把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，配凑成齐次式λb
a + μa
b ；
(4)利用基本不等式求解最值解题过程中，要根据表达式的具体特点，选择“部分1的代换”或者“将1看成12“，并且
要注意基本不等式成立的前提条件.
典型例题
例2
1
已知x、y均为正实数，且x + y = 6，则
xy
9x + y 的最大值为
．
3
8 | 0.375
根据题意利用乘“1”法可得1
x + 9
y 的最小值为8
3 ，即可得结果.
因为x、y均为正实数，且x + y = 6，
答案
解析
7
则1
x + 9
y = 1
6 (x + y) ( 1
x + 9
y ) = 1
6 (10 + y
x + 9x
y ) ≥1
6 (10 + 2√y
x ⋅9x
y ) = 8
3 ，
当且仅当y
x = 9x
y ，即y = 3x = 9
2 时，等号成立，
可知1
x + 9
y 的最小值为8
3 ，所以
xy
9x + y =
1
1
x + 9
y
的的最大值为1
8
3
= 3
8 .
故答案为：3
8 .
2
若a > −1，b > 0，且a + 1
b = 3，则式子
1
a + 1 + 2025b的最小值是
529
应用基本不等式“1”的代换求目标式的最小值.
由题设a + 1 > 0, b > 0，且a + 1 + 1
b = 4，
所以
1
a + 1 + 2025b = 1
4 (
1
a + 1 + 2025b) [(a + 1) + 1
b ] = 1
4 [2026 +
1
b(a + 1) + 2025b (a + 1)]
≥1
4 [2026 + 2√
1
b(a + 1) ⋅2025b (a + 1)] = 1
4 (2026 + 90) = 529，
当且仅当b (a + 1) = 1
45 ，即a = −21
23 , b = 23
90 时取等号.
故答案为：529
教法备注
【考点】“1”的代换
【教法】应用基本不等式“1”的代换求目标式的最小值.
答案
解析
3
若x ∈(0, 2)，则1
x +
1
2 −x 的最小值是
.
2
答案
解析
8
由基本不等式的乘“1”法求解即可；
因为x ∈(0, 2)，所以2 −x ∈(0, 2)，
所以
1
x +
1
2 −x = 1
2 [x + (2 −x)] ( 1
x +
1
2 −x ) = 1
2 (2 + 2 −x
x
+
x
2 −x ) ≥1
2 (2 + 2√2 −x
x
⋅
x
2 −x ) = 2，
当且仅当2 −x
x
=
x
2 −x ，即x = 1时取等号，所以1
x +
1
2 −x 的最小值是2.
故答案为：2.
教法备注
【考点】“1”的代换
【教法】应用基本不等式“1”的代换求目标式的最小值.
变式2-1
1
已知实数x满足0 < x < 1
3 ，则1
x +
12
1 −3x 的最小值为
.
27
将代数式1
x +
12
1 −3x 与3x + (1 −3x)相乘，展开后利用基本不等式可求得1
x +
12
1 −3x 的最小值.
因为0 < x < 1
3 ，则0 < 1 −3x < 1，
所以，1
x +
12
1 −3x = [(1 −3x) + 3x] ( 1
x +
12
1 −3x ) = 15 +
36x
1 −3x + 1 −3x
x
≥15 + 2√
36x
1 −3x ⋅1 −3x
x
= 27，
当且仅当
时，即当x = 1
9 时，等号成立，
因此，1
x +
12
1 −3x 的最小值为27.
故答案为：27.
答案
解析
⎧
⎨
⎩
36x
1 −3x = 1 −3x
x
0 < x < 1
3
2
已知正实数a，b满足2a + b = 1，则6a + 2b
a2 + ab 的最小值为
.
9
6 + 4√2
化简可得6a + 2b
a2 + ab =
4
a + b + 2
a ，结合基本不等式求其最小值.
因为正实数a，b满足2a + b = a + a + b = 1，
当且仅当(a + b)2 = 2a2且2a + b = 1时，即a = √2 −1, b = 3 −2√2时取等号.
故答案为：6 + 4√2.
教法备注
【考点】“1”的代换
【教法】应用基本不等式“1”的代换求目标式的最小值.
答案
解析
6a + 2b
a2 + ab = 4a + 2 (a + b)
a (a + b)
=
4
a + b + 2
a = [(a + b) + a] (
4
a + b + 2
a )
= 4 + 2 (a + b)
a
+
4a
a + b + 2 ≥6 + 2√8 = 6 + 4√2，
知识点2——基本不等式的实际应用
考点3：基本不等式的实际应用（填选）
知识笔记
利用基本不等式来解决一些实际问题
基本解题步骤：
①先理解题意，合理设置变量，一般把要求最大值或最小值的变量定为函数；
②建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题；
③在定义域内，求函数的最大值或最小值；
④正确写出答案.
典型例题
例3
10
某工厂的产值第二年比第一年的增长率是P1，第三年比第二年的增长率是P2，而这两年的平均增长率为P，在
P1 + P2为定值的情况下，P的最大值为
（用P1､P1表示）
P1 + P2
2
根据题意列出(1 + P1)(1 + P2) = (1 + P)2，再根据基本不等式可求出结果.
设第一年的产值为1，则第二年的产值为1 + P1，第三年的产值为(1 + P1)(1 + P2)，
又这两年的平均增长率为P，所以(1 + P1)(1 + P2) = (1 + P)2，
因为P1 + P2为定值，所以(1 + P)2 = (1 + P1)(1 + P2) ≤( 1 + P1 + 1 + P2
2
)
2
= (1 + P1 + P2
2
)
2
，当且仅当
P1 = P2时，等号成立，
所以1 + P ≤1 + P1 + P2
2
，所以P ≤P1 + P2
2
，
所以P的最大值为P1 + P2
2
.
故答案为：P1 + P2
2
答案
解析
变式3-1
如图所示，为宣传2025年世界人工智能大会在上海召开，某公益广告公司拟在一张矩形海报纸上设计大小相等的左
右两个矩形宣传栏，宣传栏的面积之和为45m2，为了美观，要求海报上四周空白的宽度为0.1m，两个宣传栏之间
的空隙的宽度为0.2m，设海报纸的长和宽分别为xm, ym，为节约成本（即使用纸量最少），则长x =
m.
2 + 15√10
5
根据已知有(x −0.4)(y −0.2) = 45，应用基本不等式可得xy ≥0.4√2xy + 44.92，由换元法求用纸量最少对应
x.
由题设(x −0.4)(y −0.2) = 45，则xy = 0.2(x + 2y) + 44.92，
所以xy ≥0.4√2xy + 44.92，当且仅当x = 2y时取等号，
令t = √2xy > 0，则t2
2 −0.4t −44.92 ≥0，即25t2 −20t −2246 ≥0，
答案
解析
11
所以t ≥2 + 15√10
5
或t ≤2 −15√10
5
（舍），
此时√2xy = x ≥2 + 15√10
5
，即用纸量最少时x = 2 + 15√10
5
m.
故答案为：2 + 15√10
5
教法备注
【考点】基本不等式的恒成立问题 、 基本不等式的实际应用 、 函数的实际应用
【教法】列出函数表达式后根据基本不等式进行求解即可
考点4：基本不等式的实际应用（解答）
典型例题
例4
2024年8月12日，为期16天的巴黎奥运会落下帷幕，回顾这一届奥运会，中国元素在这里随处可见，令游客驻足欣
赏；据调查，国内某公司生产的一款巴黎奥运会吉祥物的供货价格=固定价格+浮动价格，其中固定价格为60元，
浮动价格=
5
销售量（浮动价格单位：元，销售量单位：万件），假设每件吉祥物的售价为整数，当每件吉祥物售
价不超过100元时，销售量为10万件：当每件吉祥物售价超过100元时，售价每增加1元，销售量就减小0.2万件，总
利润=（售价-供货价格）×销售量；
(1)
当每件吉祥物的售价为85元时，获得的总利润是多少万元？
(2)
每件吉祥物的售价为多少元时，单件吉祥物的利润最大，最大为多少元？
(1) 245万元
(2) 每件吉祥物的售价为145元时，单件吉祥物的利润最大，最大为80元
(1) 由题意，当单价售价为85元时，销售量为10万件，浮动价格为0.5元，供货价格为60 + 0.5 = 60.5元，
故总利润为：10 × (85 −60.5) = 245万元；
(2) 当x ≤100时，销售量为10万件，供货价为60.5元，
答案
解析
12
则60.5 < x ≤100，且x ∈N，
因而，当x ≤100时，单价利润x −60.5 ≤39.5，
即单价利润最大为39.5元；
当x > 100时，销售量为10 −0.2(x −100) = 30 −0.2x（万件），
同时，30 −0.2x > 0，解得100 < x < 150，且x ∈N，
此时单价利润为：x −60 −
5
30 −0.2x = x −60 −
25
150 −x
= −[(150 −x) +
25
150 −x ] + 90 ≤−2√(150 −x) ⋅
25
150 −x + 90 = 80，
当且仅当150 −x =
25
150 −x ，即x = 145时，取等号
因为80 > 39.5，
故当每件吉祥物的售价为145元时，单件吉祥物的利润最大，最大为80元．
教法备注
【考点】基本不等式的恒成立问题 、 基本不等式的实际应用 、 函数的实际应用
【教法】列出函数表达式后根据基本不等式进行求解即可
变式4-1
1
厦门市杏南中学一年一度的校运动会将在十月份举行.学校各单门已经开始各项准备工作，其中宣传报道组制作了
各式各样的宣传海报供各个单位使用.如图，一份矩形宣传海报的排版面积（矩形ABCD）为P，根据设计要求，它
的两边都留有宽为a的空白，顶部和底部都留有宽为2a的空白.
(1)
若AB = 20cm，BC = 30cm，且该海报的面积不超过1000cm2，求a的取值范围；
(2)
若a = 2cm，P = 800cm2，则当AB长多少时，才能使纸的用量最少？
13
(1) {a |0 < a ≤2.5}
(2) 20cm
(1) 依题意可得(20 + 2a) (30 + 4a) ≤1000，
即2a2 + 35a −100 ≤0，
解得−20 ≤a ≤2.5，
又∵a > 0，
∴0 < a ≤2.5，
故a的取值范围为{a |0 < a ≤2.5}.
(2) 记宣传单的面积为S，设AB = xcm，则BC = 800
x cm，
∴S = (x + 4) ⋅( 800
x
+ 8) = 8x + 3200
x
+ 832 ≥2√8x ⋅3200
x
+ 832 = 1152，
当且仅当8x = 3200
x
，即x = 20，等号成立，
∴当AB长为20cm时，宣传单面积最小，最小值为1152cm2.
答案
解析
2
现需要建造仓库A和厂房B，已知建造仓库A的所有费用m（万元）和与仓库A、厂房B的距离x（千米）的关系为：
m =
k
3x + 2 （0 < x ≤8），若距离为1千米时，仓库A建造费用为80万元，为了方便，仓库A与厂房B之间还需修
建一条道路，已知购置修路设备需5万元，铺设路面每千米成本为3万元，设f (x)为建造仓库A与修路费用之和．
(1)
求f (x)的表达式；
(2)
当仓库A与厂房B距离多远时，可使得总费用f (x)最小？并求出最小值．
答案
14
(1) f (x) = 5 + 3x +
400
3x + 2 (0 < x ≤8)；
(2) 当仓库A与厂房B距离6千米时，可使得总费用 f (x)最小，最小值为43万元.
(1) 由已知得当x = 1时，m = 80，代入可得80 =
k
3 + 2 ，解得k = 400，
所以m =
400
3x + 2 ，
所以总费用f (x) = 5 + 3x +
400
3x + 2 (0 < x ≤8)；
(2) 由（1）得f (x) = 5 + 3x +
400
3x + 2 (0 < x ≤8)，
所以f (x) = 5 + 3x +
400
3x + 2 = 2 + 3x +
400
3x + 2 + 3 ≥2√(2 + 3x) ×
400
3x + 2 + 3 = 43（万元），
当且仅当
400
3x + 2 = 3x + 2，即x = 6时，等号成立，
所以当隔离病房与药物仓库距离为6千米时，可使得总费用最小为43万元.
教法备注
【考点】基本不等式的恒成立问题 、 基本不等式的实际应用 、 函数的实际应用
【教法】列出函数表达式后根据基本不等式进行求解即可
解析
12 暑期复习
1
学习目标
教法备注
目标1
★★★☆☆☆ 操作
掌握集合的常见题型解法
目标2
★★★☆☆☆ 操作
掌握不等式的常见题型解法
目标1
★★★☆☆☆ 操作
掌握集合的常见题型解法
目标2
★★★☆☆☆ 操作
掌握不等式的常见题型解法
知识清单
教法备注
1．本讲知识点的考纲要求：掌握高一前四个章节的知识点及常见运用，重难点：综合运用；
2．本讲知识点是多章节内容的复习考查；
3．对应教材：新版上教教材的第一章集合与逻辑、第二章等式与不等式、第三章幂、指数与对数，第四章幂
函数、指数函数与对数函数；
4．本讲知识点属于综合复习内容.
2
教法备注
集合作为数学最基本的概念之一，是高考的必考内容，可以是直接考查，也可以作为工具应用于不等式、函
数等问题之中，常直接考查集合的运算，间接考查集合的两种表示方法.因此一定要牢牢掌握集合的表示方法
及三种运算.集合与不等式结合也是考题中常出现的内容，应该重点掌握.
不等式是解决许多问题的重要工具，因此解不等式是不等式的考查重点，在近年的高考考题中常有一元二次
不等式和含绝对值的不等式，且多以选择题和填空题的形式出现.一元二次不等式贯穿于不等式，甚至整个高
中数学中，是考查的重中之重.不等式常与函数、指数、对数、数列、三角等知识综合考查.
函数的重要性不言而喻，本讲将对前面内容进行综合复习！
知识点1——集合与逻辑
考点1：集合间的关系
知识笔记
集合初步
集合：把一些确定的对象的全体称作集合.
集合中的对象称元素，若a是集合A的元素，记作a ∈A；若b不是集合A的元素，记作b ∉A ；
集合中的元素的性质：确定性、互异性与无序性；
集合的表示方法：列举法、描述法、区间表示；
集合的包含关系：集合A的任何一个元素都是集合B的元素，则称A是B的子集（或A包含于B），记作A ⊆B；
集合相等：构成两个集合的元素完全一样.
若A ⊆B且B ⊆A，则称A等于B，记作A = B；若A ⊆B且A ≠B，则称A是B的真子集，记作A ⊂B；
若集合A是n个元素的集合，则集合A有
2n个
子集（其中
2n −1
个真子集，
2n −2
个非空真子集).
典型例题
例1
已知集合A = {0, 1, a2}，B = {1, 0, 3a −2}，若A = B，则a等于（ ）
A. 1或2
B. −1或−2
C. 2
D. 1
答案
3
C
根据两个集合相等的知识列方程，结合集合元素的互异性求得a的值.
解：因为A = B，所以a2 = 3a −2，解得a = 1或a = 2.
当a = 1时，a2 = 1，与集合元素互异性矛盾，故a = 1不正确.
经检验可知a = 2符合.
故选：C
本小题主要考查集合相等的知识，考查集合元素的互异性，是基础题.
解析
变式1-1
若{1,2}⊆ A⊂{1,2,3,4,5}，则集合A的个数是
A. 8
B. 7
C. 4
D. 3
B
试题分析：因为{1,2}⊆ A⊆{1,2,3,4,5}，所以集合A中必有元素1, 2，只需再从3, 4, 5中再挑出0, 1, 2个数即可，
共有C 0
3 + C 1
3 + C 2
3 = 7种，因此集合A的个数是7，故选B.
考点：1、集合的基本概念；2、子集概念及的应用.
答案
解析
变式1-2
集合A = {x| (a −1)x2 + 3x −3 = 0}有且仅有两个子集，则实数a =
．
1或 1
4
根据集合有且仅有两个子集确定集合元素个数，分类讨论求得a的值.
集合A = {x| (a −1)x2 + 3x −3 = 0}中有且仅有一个元素，
答案
解析
4
即方程(a −1)x2 + 3x −3 = 0有且仅有一个根．
当a = 1时，方程有一根x = 1符合要求；
当a ≠1时，Δ = 32 −4 × (a −1) × (−3) = 0，解得a = 1
4 ，
故满足要求的a的值为1或1
4 ．
故答案为：1或1
4
考点2：集合的运算
典型例题
例2
已知集合A = {x
4
7 −x ≥1}, B = {x|2 < x < 10}，则A ⋂B=（ ）
A. [3, 7)
B. (2, 3]
C. (2, 3) ∪[7, 10)
D. (2, 3] ∪(7, 10)
C
根据分式不等式的求解化简A = [3, 7)，再进行交集和补集运算即可．
令
4
7 −x ≥1，所以
4
7 −x −7 −x
7 −x ≥0，化简得x −3
7 −x ≥0，故有(x −3) (7 −x) ≥0且7 −x ≠0，
解得x ∈[3, 7)，故A = [3, 7)，
所以∁RA = (−∞, 3) ∪[7, +∞)，因为B = (2, 10)，
所以(∁RA) ∩B = (2, 3) ∪[7, 10)，故C正确．
故选：C
–
答案
解析
变式2-1
设全集U ={x|x为小于20的非负奇数}，若A ∩B = {3, 7, 15}，A ∩B = {13, 17, 19}，且A ∩B = ∅，则A ⋂B =
.
–
–
–
答案
5
{1, 5, 9, 11}
由题意求出全集U，通过A ∩B = {3, 7, 15}，A ∩B = {13, 17, 19}，且A ∩B = ∅，画出韦恩图，即可直接得
到A ⋂B
因为U ={x|x为小于20的非负奇数}= {1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19}，
因为A ∩B = {3, 7, 15}，A ∩B = {13, 17, 19}，且A ∩B = ∅，
画出韦恩图，如图：
则A ⋂B ={1, 5, 9, 11}.
故答案为：{1, 5, 9, 11}
解析
–
–
–
–
–
–
变式2-2
设全集为U，用集合A、B的交、并、补集符号表示图中的阴影部分
(A ∪B) ∩CU(A ∩B).
由韦恩图可以看出阴影部分在集合A中或在集合B中，但不在集合A ∩B中，利用交集、补集、并集的定义表
示出阴影部分表示的集合.由阴影部分可得，其表示的元素为满足性质：
在集合A中或在集合B中，但不在集合A ∩B中，
所以元素在集合A ∪B中，不在集合A ∩B中，
所以可以表示为：(A ∪B) ∩CU(A ∩B)，
故答案为：(A ∪B) ∩CU(A ∩B).
该题考查的是有关集合的问题，涉及到的知识点有应用韦恩图表示集合，根据图形中阴影的特征，判断元素
答案
解析
6
与集合的关系，正确表示集合，属于基础题目.
变式2-3
已知集合A＝{x|x ﹣2x﹣3≤0}，B＝{x|x ﹣2mx+m ﹣4≤0，x∈R，m∈R}．
（1）若A∪B＝A，求实数m的取值；
（2）若A∩B＝{x|0≤x≤3}，求实数m的值；
（3）若A⊆B，求实数m的取值范围．
（1）m＝1
（2）m＝2
（3）m＞5或m＜﹣3
（1）先求出集合A, B，再依据A∪B＝A可推出B ⊆A，即可求出；
（2）由A∩B＝{x|0≤x≤3}，根据交集的定义即可求出；
（3）由补集定义可求出CRB，再根据集合的子集关系即可求出．
（1）A＝{x|﹣1≤x≤3}，B＝{x|[x﹣（m﹣2）][x﹣（m+2）]≤0，x∈R，m∈R}＝{x|m﹣2≤x≤m+2}，
∵A∪B＝A，∴B⊆A，
∴{
，解得m＝1．
（2）∵A∩B＝{x|0≤x≤3}，
∴{
，
解得m＝2．
（3）CRB＝{x|x＜m﹣2或x＞m+2}，
∵A⊆CRB，∴m﹣2＞3或m+2＜﹣1，
∴m＞5或m＜﹣3．
本题主要考查集合的交集，补集的运算以及集合的基本关系的应用，涉及一元二次不等式的解法，属于基础
题．
2
2
2
–
答案
解析
m −2 ≥−1
m + 2 ≤3
m −2 = 0
m + 2 ≥3
考点3：充分条件与必要条件
知识笔记
常用逻辑用语
(1)如果α ⇒β，那么①α是β的充分条件，②β是α的必要条件，③β的充分条件是α，④α的必要条件是β.
7
(2)既有α ⇒β，又有β ⇒α，即α ⇔β，那么①α是β的充要条件，②β是α的充要条件，③α的充要条件是β，④β的充
要条件是α.
典型例题
例3
王昌龄《从军行》中两句诗为“黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还”，其中后一句中“攻破楼兰”是“返回家乡”的
（ ）
A. 充分条件
B. 必要条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
B
返回家乡的前提条件是攻破楼兰，即可得出结论.
由题可知：“攻破楼兰”是“返回家乡”的必要不充分条件.
故选：B
答案
解析
变式3-1
设α: 3 < x ≤4，β: x > m，若α是β的充分条件，则实数m的取值范围是
(−∞, 3]
利用集合与充分必要条件的关系，利用数轴法可得实数m的取值范围.
因为α是β的充分条件，所以α ⇒β，
故{x|3 < x ≤4} ⊆{x|x > m}，
利用数轴法可得m ≤3，即m ∈(−∞, 3].
故答案为：(−∞, 3].
答案
解析
变式3-2
8
设p : 2x −1
x −1 ≤0，q : x2 −(2a + 1)x + a(a + 1) < 0，若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是
.
[0, 1
2 )
首先求出命题p与q，再根据p是q的充分不必要条件建立不等式，求解即可．由p : 2x −1
x −1 ≤0可得，x ∈[ 1
2 , 1)
；
q : x2 −(2a + 1)x + a (a + 1) < 0可得x ∈(a, a + 1)
因为p是q的充分不必要条件，
所以
，即x ∈[0, 1
2 )
将命题之间的充分不必要条件转化为集合之间的关系是解决此类问题的关键．
答案
解析
⎧
⎨
⎩
a < 1
2
a + 1 ≥1
知识点2——等式与不等式
考点4：不等式的基本性质
典型例题
例4
若ab < 0，且−c
a < −d
b ，则下列各式中，恒成立的是（ ）
A. a
c > b
d
B. a
c < b
d
C. bc > ad
D. bc < ad
D
利用不等式性质推理判断即得.
由−c
a < −d
b ，得c
a > d
b ，而ab < 0，则bc < ad，C错误，D正确；
取a = −1, b = 2, c = 0, d = −2，满足ab < 0，且−c
a < −d
b ，而选项AB中不等式无意义，AB错误.
答案
解析
9
故选：D
变式4-1
有下列命题：（1）若a > b，则1
a < 1
b ；（2）若a > b，c > d，则a −d > b −c；（3）若a > 0 > b且a + b > 0，
则a2b > b3；（4）若a < b < 0，则
1
a −b < 1
a .其中真命题有
（写出所有真命题的序号）.
（2）（4）
利用特殊值排除错误选项，根据差比较法证明正确选项.
（1）令a = 1, b = −1，满足a > b，但1
a > 1
b ，所以（1）为假命题.
（2）由于a > b，c > d，所以a −b > 0, c −d > 0
所以a −d −(b −c) = a −b + (c −d) > 0，
所以a −d > b −c，所以（2）是真命题.
（3）a = 2, b = −1，满足a > 0 > b且a + b > 0，但a2b < b3，所以（3）是假命题.
（4）由于a < b < 0，a −b < 0，
所以
1
a −b −1
a = a −(a −b)
a (a −b)
=
b
a (a −b) < 0，
所以
1
a −b < 1
a ，所以（4）是真命题.
故答案为：（2）（4）
答案
解析
考点5：解不等式
知识笔记
(1)一元一次不等式：将不等式化为ax < b(a ≠0),然后分类讨论；
(2)一元二次不等式：将不等式化为ax2 + bx + c > 0(< 0, ≥0, ≤0)；
先看开口方向；三层解法：①
因式分解
，②判别式，③求根公式.
(3)分式不等式:解分式不等式的基本思路是将其转化为整式不等式，变形的等价性尤为重要.而是先移项、通分化成
形如f(x)
g(x) > 0 ，或f(x)
g(x) ≤0形式，再实施同解变形；
f(x)
g(x) > 0等价于f(x) ⋅g (x) > 0，f(x)
g(x) ≤0等价于f(x) ⋅g (x) > 0，f(x)
g(x) ≤0等价于{
.
(4)含绝对值的不等式：含有绝对值的不等式的同解原理源于实数的绝对值的定义，总体思路是将含有绝对值的不
f(x) ⋅g(x) ≤0
g(x) ≠0
10
等式转化为不含有绝对值的不等式去解.即|f(x)| < g(x)与−g(x) < f(x) < g(x)同解；|f(x)| > g(x)与
f(x) < −g(x)或f(x) > g(x)同解.
典型例题
例5
（1）解不等式：|2x + 1| −|x −1| < 1
（2）解不等式：(x −1)√x2 −x −2 ≥0
（1） (−3, 1
3 ) （2） [2, +∞) ∪{−1}
（1）按照绝对值不等式分类讨论解不等式即可；
（2）按照不等式分类求解即可.
解：（1）当x ≤−1
2 时，|2x + 1| −|x −1| = −x −2，不等式为−x −2 < 1，解得x > −3，所以解集为
−3 < x ≤−1
2 ；
当−1
2 < x < 1时，|2x + 1| −|x −1| = 3x，不等式为3x < 1，解得x < 1
3 ，所以解集为−1
2 < x < 1
3 ；
当x ≥1时，|2x + 1| −|x −1| = x + 2，不等式为x + 2 < 1，解得x < −1，所以解集为∅；
综上：不等式的解集为：(−3, 1
3 ).
（2）不等式(x −1)√x2 −x −2 ≥0，首先满足x2 −x −2 ≥0，所以x ≤−1或x ≥2
当x = −1或x = 2时，不等式成立，符合；
当x < −1或x > 2时，不等式(x −1)√x2 −x −2 ≥0成立，则x −1 ≥0，所以x ≥1，则解集为x > 2；
综上：不等式的解集为：[2, +∞) ∪{−1}.
答案
解析
11
变式5-1
若不等式ax2 + 5x + 1 ≤0的解集为{x
−1
2 ≤x ≤−1
3 }，则不等式x −a
x −3 ≤1的解集为
.
{x |x > 3}
由三个二次的关系求a，根据分式不等式的解法求不等式x −a
x −3 ≤1的解集.
∵不等式ax2 + 5x + 1 ≤0的解集为{x| −1
2 ≤x ≤−1
3 }
∴−1
2 ，−1
3 是方程ax2 + 5x + 1 = 0的两根，
∴ a = 6，
∴ x −a
x −3 ≤1可化为−3
x −3 ≤0
∴x > 3
∴不等式x −a
x −3 ≤1的解集为{x|x > 3}，
故答案为：{x|x > 3}.
答案
解析
变式5-2
若不等式5 −x > 7|x + 1|与不等式ax2 + bx −2 > 0同解，而|x −a| + |x −b| < k的解集为空集，求实数k的取值范
围．
(−∞, 5)．
答案
12
先将“不等式5 −x > 7|x + 1|”转化为{
和{
两种情况求解，最后取并集，再
由“与不等式ax2 + bx −2 > 0同解”，利用韦达定理求得a, b，最后由“|x −a| + |x −b| < k的解集为空集”求得“
|x −a| + |x −b|”最小值即可．
{
得−1 ≤x < −1
4
或{
得−2 < x < −1，
综上不等式的解集为{x| −2 < x < −1
4 }，
又由已知与不等式ax2 + bx −2 > 0同解，
所以
解得{
则|x −a| + |x −b| ≥|x −a −x + b| = |b −a| = 5,
所以当|x −a| + |x −b| < k的解为空集时，k < 5.
故答案为:(−∞, 5).
解析
x ≥−1
5 −x > 7(x + 1)
x < −1
5 −x > −7x −7
x ≥−1
5 −x > 7(x + 1)
x < −1
5 −x > −7x −7
⎧
⎨
⎩
−b
a = −9
4
−2
a = 1
2
a < 0
a = −4
b = −9
变式5-3
已知二次函数y = ax2 + ax + 1图像永远在横轴上方，则实数a的取值范围为
.
[0,4)
首先分a = 0和a ≠0两种情况进行分类讨论;当a ≠0时,易知y = ax2 + ax + 1的图像开口向上,且与x轴无交点,
故由a > 0, Δ < 0即可求得a的取值范围.(1)当a = 0时,y = 1符合题意;
(2)当a ≠0时,
由题意可得,
{
，
即{
,
解得$0<4$,
综上知a的取值范围为0 ≤a < 4.
故答案为0 ≤a < 4
$$
本题考查了一元二次函数图像与一元二次方程根之间的关系,即一元二次函数图像与x轴无交点等价于对应的一
答案
解析
a > 0
Δ < 0
a > 0
a2 −4a < 0
13
元二次方程无实根.分两种情况讨论a的取值是求解本题的关键；a = 0易忽略.
考点6：基本不等式
知识笔记
(1)平均值不等式：a2 + b2 ≥2ab a, b ∈R；a + b ≥2√ab a ≥0, b ≥0；
(2)三角不等式：|a + b| ≤|a| + |b|，当且仅当ab ≥0时等号成立.
典型例题
例6
若x > 0，y > 0，且2x + 3y = 6，则xy的最大值为（ ）
A. 9
B. 6
C. 3
D. 3
2
D
由x > 0，y > 0，且2x + 3y为定值，利用基本不等式求积的最大值.
因为x > 0，y > 0，且2x + 3y = 6，
所以xy = 1
6 × 2x ⋅3y ≤1
6 ( 2x + 3y
2
)
2
= 3
2 ，
当且仅当2x = 3y，即x = 3
2 ，y = 1时，等号成立，
即xy的最大值为3
2 .
故选：D.
答案
解析
变式6-1
若关于x的不等式|x + 3| + |x −2| < a的解集不是空集，则实数a的取值范围是（ ）
A. [1，+ ∞)
B. (1，+ ∞)
C. [5，+ ∞)
D. (5，+ ∞)
D
答案
14
根据条件只需(|x + 3| + |x −2|)min < a，设f(x) = |x + 3| + |x −2|分段讨论去绝对值求出最小值，即可得出
结论.
设f (x) = |x + 3| + |x −2| =
，
当x ≥2或x ≤−3时，f(x) ≥5, ∴f(x)min = 5，
关于x的不等式|x + 3| + |x −2| < a的解集不是空集，∴a > 5，
实数a的取值范围是(5, +∞).
故选：D.
解析
⎧
⎨
⎩
2x + 1
x ≥2
5
−1 < x < 2
−2x −1
x ≤−3
变式6-2
三角不等式中，|a| + |b| ≥|a + b|等号当且仅当
成立．
ab ≥0
当a、b同号或ab = 0时，|a| + |b| ≥|a + b|的等号成立.
当ab ≥0时，|a| + |b| = |a + b|，当ab < 0时，|a| + |b| > |a + b|，故当且仅当ab ≥0时，等号成立
故答案为：ab ≥0
答案
解析
变式6-3
已知正数a，b 满足3a + 2b = 1 ，则2
a + 3
b 的最小值为
24
由题意可知，2
a + 3
b = ( 2
a + 3
b ) (3a + 2b)=12+ ( 4b
a + 9a
b )，结合基本不等式可求.∵正数a，b 满足
3a + 2b = 1 ，
∴2
a + 3
b = ( 2
a + 3
b ) (3a + 2b)=12+ ( 4b
a + 9a
b ) ≥12+2√36=24
当且仅当a = 1
6 ，b = 1
4 时等号成立，
答案
解析
15
故答案为24
本题主要考查了利用基本不等式求解最值，解答本题的关键是利用1的代换配凑基本不等式的应用条件.
变式6-4
已知正数x，y满足2x + y = 1，则（ ）
A. xy ≤1
16
B.
1
x + 2
y ≥8
C. √2x + √y ≤√2
D. x2 + y2 ≥1
5
BCD
利用基本不等式可判断A选项；将代数式1
x + 2
y 与2x + y相乘，展开后利用基本不等式可求出2
x + 1
y 的最小
值，可判断B选项，进行(√2x + √y)
2
运算，结合A即可判断C选项；利用消元及二次函数的性质即可判断D．
对于A，由基本不等式2x + y ≥2√2xy，已知2x + y = 1，则1 ≥2√2xy，
可得xy ≤1
8 ，当且仅当2x = y = 1
2 时取等号，A错误．
对于B，1
x + 2
y = ( 1
x + 2
y ) (2x + y) = 4 + y
x + 4x
y ≥4 + 2√y
x × 4x
y = 8，
当且仅当y
x = 4x
y 时取等号，B正确．
对于C，(√2x + √y)
2
= 2x + y + 2√2xy = 1 + 2√2xy，由A知xy ≤1
8 ，
所以(√2x + √y)
2
≤1 + 2√2 × 1
8 = 2，则√2x + √y ≤√2，当目仅当2x = y = 1
2 时取等号，C正确．
对于D，x2 + y2 = (x + y)2 −2xy = ( 1 −y
2
)
2
+ y2 = 5
4 y2 −1
2 y + 1
4 ，
根据二次函数性质，其对称轴为y = 1
5 ，当y = 1
5 时，x2 + y2取得最小值为1
5 ，D正确，
故选：BCD．
答案
解析
变式6-5
已知a，b均为正数，且ab = a + 4b，则a2
16 −8
a + b2 −2
b 的最小值为
．
6
答案
解析
16
由已知有4
a + 1
b = 1，则a2
16 −8
a + b2 −2
b = a2
16 + b2 −2，利用基本不等式求其最小值，注意取值条件.
由a, b均为正数，且ab = a + 4b，则4
a + 1
b = 1，
又a2
16 −8
a + b2 −2
b = a2
16 + b2 −( 8
a + 2
b ) = a2
16 + b2 −2，
a
4 + b = ( 4
a + 1
b )( a
4 + b) = 2 + 4b
a + a
4b ≥2 + 2 = 4，当且仅当4b
a = a
4b ，即a = 8, b = 2取等号，
所以2( a2
16 + b2) ≥( a
4 + b)
2
≥16，当且仅当a = 8, b = 2取等号，则a2
16 + b2 ≥8，
所以a2
16 + b2 −2 ≥6，当且仅当a = 8, b = 2取等号，目标式最小值为6.
故答案为：6
