数列：数列不等式问题、数列新定义问题、数列实际应用问题专项训练
1．（24-25 高二下·黑龙江绥化·期中）在正项等比数列
na
中，
3
4
5
512
a a a =
，
7
64
a =
，若当
*
xÎN 时，
2
8
0
na
n
t
-
- ³
恒成立，则实数t 的取值范围为（ ）
A．
,16
-¥
B．
, 16
-¥ -
C．
, 20
-¥ -
D．
,20
-¥
【答案】B
【详解】设等比数列
na
公比为q ，
3
3
4
5
4
512
a a a
a
=
=
Q
，
4
8
a
\
=
.
3
7
4
64
a
a q
=
=
Q
，
3
8
q
\
=
，解得
2
q =
，
4
1
4
2
n
n
na
a q -
-
\
=
=
，
由2
8
0
na
n
t
-
- ³
得
2
8
n
t
a
n
£
-
，即
2
8
n
t
n
£
-
.
记
2
8
n
nb
n
=
-
，则
1
1
2
8
8
2
8
2
8
n
n
n
n
n
b
b
n
n
+
+ -
=
-
- -
-
=
- ，
当
3
n >
时，
1
n
n
b
b
+ >
，
3
n <
时，
1
n
n
b
b
+ <
，
因此
6
5
4
3
2
1
b
b
b
b
b
b
>
>
=
<
<
L
故
4
3
b
b
=
时，
nb 取到得最小值是－16.
16
t
\ £ -
，即实数t 的取值范围为
, 16
-¥ -
，
故选:B.
2．（2025·甘肃定西·模拟预测）已知等比数列
na
的前n 项和为
1
3
4
,
5,
15
n
S
a
a
S
+
=
=
，若对于任意
*
nÎN ，不等式
2
2
64
6
n
n
a
m
m
a
+
>
+
恒成立，则m 的取值范围为（ ）
A．
8,2
-
B．
2,8
-
C．
10,6
-
D．
6,10
-
【答案】A
【详解】设数列
na
的公比为q ，由题意知
1
q ¹ ，
由
4
1
2
1
1
4
1
5,
15
1
a
q
a
a q
S
q
-
+
=
=
=
-
，解得
1
2,
1
q
a
=
= ，
所以
1
2n
na
-
=
，
因为
2
1
1
64
64
64
2
16
2
n
n
n
n
n
n
a
a
a
a
-
-
+
=
+
=
+
³
，当且仅当
1
1
64
2
2
n
n
-
-
=
，即
4
n =
时等号成立，
考点一
数列不等式问题
所以
2
6
16
m
m
+
<
，解得8
2
m
- <
< .
故选：A
3．（2025·山东泰安·模拟预测）公差不为0 的等差数列
na
的前n 项和为
n
S ，若
7
2
a =
，
9
5
13
,
,
a a a 成等比数列，则
满足
0
n
S >
的n 的最大值为（ ）
A．8
B．9
C．13
D．14
【答案】D
【详解】设数列
na
的公差为d ，
因为
7
2
a =
，
9
5
13
,
,
a a a 成等比数列，
所以
1
2
1
1
1
6
2
8
12
4
a
d
a
d
a
d
a
d
+
=
ìïí
+
+
=
+
ïî
， 解得
1
20
3
a
d
=
ì
í
= -
î
，
所以
23
3
na
n
=
-
，
故
20
(23
3 )
(43
3 )
2
2
n
n
n
n
n
S
+
-
-
=
=
.
由
0
n
S >
，得(43
3 )
0
2
n
n
-
>
，解得
43
0
3
n
<
<
.
∵
N
n
*
Î
，∴n 的最大值为14.
故选：D.
4．（2025·海南·模拟预测）数列
na
满足
1
1
5
1
,
2
2
2
n
n
a
a
a
+
=
=
-
，对于任意的
N ,
2
1
2
2
n
n
n
a
a
l
*
Î
-
<
- 恒成立，则实
数l 的取值范围是（ ）
A．
3
, 4
æ
ö
-¥
ç
÷
è
ø
B．
,1
-¥
C．3 ,
4
æ
ö
+ ¥
ç
÷
è
ø
D．
1,+ ¥
【答案】A
【详解】由题意令
1
2
n
n
a
a
l
l
+ -
=
-
，所以
1
2
n
n
a
a
l
+ =
-
，对比
1
1
2
2
n
n
a
a
+ =
-
，可得
1
2
l =
，
所以数列
1
2
na
ì
ü
-
í
ý
î
þ
是以
1
1
2
2
a -
=
为首项，2 为公比的等比数列，
所以
1
1
1
1 2
2
2
2
n
n
na
a
-
æ
ö
-
=
-
=
ç
÷
è
ø
，
所以
1
2
2
n
na =
+
，
对于任意的
N ,
2
1
2
2
n
n
n
a
a
l
*
Î
-
<
- 恒成立，即对于任意的
1
1
N ,
2
2
1
n
n
n
l
*
+
+
Î
×
<
- 恒成立，
即对于任意的
1
1
1
2
1
1
N ,
1
2
2
n
n
n
n
l
+
*
+
+
-
Î
<
= -
恒成立，
显然当n 增大时，
1
1
2n+ 减小，此时
1
1
1
2n+
-
增大，
所以
1 1
1
3
1
2
4
l
+
< -
=
.
故选：A.
5．（24-25 高二下·广东江门·期末）已知数列
na
的前n 项和为
n
S ，且
2
2
n
n
S
a
n
=
-
，设
2
log
2
n
n
b
n
a
l
=
-
+
，
R
l Î
，若数列
nb
是递增数列，则实数l 的取值范围是（ ）
A．
,3
-¥
B．
,4
-¥
C．
3,+¥
D．
4,+¥
【答案】B
【详解】由题意
2
2
n
n
S
a
n
=
-
，所以
1
1
1
2
2
S
a
a
=
=
-
，解得
1
2
a =
，
而
1
1
1
2
2
2
2
1
2
2
2,
2
n
n
n
n
n
n
n
a
a
n
a
n
S
n
S
a
a
-
-
-
-
-
-
-
=
-
-
³
é
ù
=
ë
-
=
û
，
从而
1
2
2,
2
n
n
a
a
n
-
=
+
³
，所以
1
2
2
2 ,
2
n
n
a
a
n
-
+
=
+
³
，
所以
2
na +
是以
1
2
4
a +
=
为首项、2 为公比的等比数列，
所以
1
2
4 2n
na
-
+
=
´
，解得
1
2
2
n
na
+
=
-
，
所以
2
2
log
2
1
1
n
n
b
n
a
n
n
n
n
l
l
l
l
=
-
+
=
-
+
=
+
-
-
，
若数列
nb
是递增数列，则当且仅当
1
n
n
b
b
+ >
恒成立，
所以
2
2
1
1
1
1
2
1 1
0
1
2
2
n
n
b
b
n
n
n
n
n
n
l
l
l
l
l
l
+
é
ù
+
-
+
-
-
+
-
-
=
+ + -
=
+
-
>
ë
û
-
=
+
恒成立，
所以
2
2
n
l <
+
恒成立，所以
min
2
2
4
n
l <
+
=
，
所以实数l 的取值范围是
,4
-¥
.
故选：B.
6．（24-25 高二下·辽宁鞍山·期末）已知单调递增数列
na
的通项公式为
1
3
2
n
n
na
l
+
=
+
-
，则实数l 的取值范围为
（ ）
A．
3 1
,
4 2
æ
ö
-
ç
÷
è
ø
B．
1 1
,
2 2
æ
ö
-
ç
÷
è
ø
C．
3 3
,
4 4
æ
ö
-
ç
÷
è
ø
D．
1 3
,
2 4
æ
ö
-
ç
÷
è
ø
【答案】A
【详解】由已知
1
n
n
a
a
+ >
恒成立，即
1
2
1
3
( 2)
3
( 2)
n
n
n
n
l
l
+
+
+
+
-
>
+
-
恒成立，
n 为奇数时，
1
2
1
3
2
3
2
n
n
n
n
l
l
+
+
+
-
×
>
+
×
，
3
3
( )
2
n
l <
，3
( )
2
n 的最小值是3
2 ，所以
3
3
2
l <
，
1
2
l <
，
n 为偶数时，
1
2
1
3
2
3
2
n
n
n
n
l
l
+
+
+
+
×
>
-
×
，
3
3
( )
2
n
l
-
<
，3
( )
2
n 的最小值是9
4 ，所以
9
3
4
l
-
<
，
3
4
l > -
，
所以
3
1
4
2
l
-
<
<
，
故选：A.
7．（24-25 高三下·陕西咸阳·阶段练习·多选）已知数列
na
的前n 项和为
n
S ，满足
1
3
1
1
2,
8,
2
2
n
n
n
a
a
a
a
a
n
+
-
=
=
+
=
³
，数列
nb
满足
1
1
2,
2
n
n
b
b
b
+
=
=
，记
n
n
b
c
a
=
，数列
nc
的前n 项和为
nT ，则下列
说法正确的是（ ）
A．
2
3
2
n
n
n
S
+
=
B．
1
3 2
7
n
nT
+
= ×
-
C．若
2025
n
T £
，则n 的最大值为8
D．满足2
n
n
S
b
³
的最大n 值为8
【答案】AC
【详解】对于A，因为
1
1
2
(
n
n
n
a
a
a n
+
-
+
=
³ 2），所以
1
1
n
n
n
n
a
a
a
a
+
-
-
=
-
，
所以数列
na
是等差数列，设公差为d ，
因为
1
2
a =
，
3
8
a = ，所以2
8
2
6
d =
-
=
，解得
3
d =
，
所以
2
1
1
3
1
3
1,
2
2
n
n
n
n a
a
n
n
a
a
n
d
n
S
+
+
=
+
-
=
-
=
=
，正确；
对于B，因为
1
2
b =
，
1
2
n
n
b
b
+ =
，所以
1
2
n
n
b
b
+ =
，所以数列
nb
是公比为2 的等比数列，
所以
1
1
1
2 2
2
n
n
n
nb
b q -
-
=
=
´
=
，所以
3
1
3 2
1
n
n
n
b
n
c
a
b
=
=
- =
×
- ，
所以
1
2 1
2
3
3 2
6
1
2
n
n
nT
n
n
+
-
= ×
-
= ×
-
-
-
，错误．
对于C，由B 知
1
3 2
6
n
nT
n
+
= ×
-
-
，
所以
2
1
1
1
3 2
3 2
1
3 2
1
0
n
n
n
n
n
T
T
+
+
+
+ -
= ×
- ×
- = ×
- >
恒成立，所以数列
nT
单调递增，
当
8
n = 时，
9
8
3 2
8
6
1522
2025
T = ×
- -
=
<
，
当
9
n =
时，
10
9
3 2
9
6
3057
2025
T = ×
-
-
=
>
，
所以n 的最大值为8，正确；
对于D，设
2
2
2
3
n
n
n
f n
b
S
n
n
=
-
=
-
-
，
则
1
2
2
1
2
3(
1)
1
2
3
2
6
4
n
n
n
f n
f n
n
n
n
n
n
+
+
-
=
-
+
-
- -
-
-
=
-
- ，
令
2
6
4
n
g n
n
=
-
- ，所以
1
2
6
n
g n
g n
+
-
=
-
，
当
3
n ³
时，
1
0
g n
g n
+
-
>
，即
1
g n
g n
+
>
，
所以当
3
n ³
时，
g n 单调递增，
即当
3
n ³
时
1
2
6
4
n
f n
f n
n
+
-
=
-
-
单调递增，
当
1
n = 时，
2
1
8
0
f
f
-
= - <
，即
1
2
f
f
>
；
当
2
n =
时，
3
2
12
0
f
f
-
= -
<
，即
2
3
f
f
>
；
当
3
n =
时，
4
3
14
0
f
f
-
= -
<
，即
3
4
f
f
>
；
当
4
n =
时，
5
4
12
0
f
f
-
= -
<
，即
4
5
f
f
>
；
当
5
n =
时，
6
5
2
0
f
f
-
= - <
，即
5
6
f
f
>
；
当
6
n =
时，
7
6
24
0
f
f
-
=
>
，即
7
6
f
f
>
，
所以当1
6
n
£
£
时，
2
2
3
n
f n
n
n
=
-
-
单调递减，
当
6
n ³
时，
2
2
3
n
f n
n
n
=
-
-
单调递增，
因为
1
2
0,
7
19 0,
8
56 0
f
f
f
= - <
= -
=
，
所以满足2
n
n
S
b
³
，n 的最大值为7，错误．
故选：AC
8．（24-25 高二下·江苏南京·期中·多选）数列
na
满足
1
*
1
1
n
n
n
a
a
n
+
+
+
= -
ÎN
，且
1
3
a = - ，数列
na
的前n 项和
为
n
S ．从
na
的前2n 项中任取两项，它们之和是奇数的概率为
nP ，数列
nP
的前n 项积为
nT ，则（ ）
A．
10
12
a
=
B．
12
6
S
= -
C．
1
2
nP >
D．
1
2
n
n
n
T
-
£
【答案】ACD
【详解】
1
1
( 1)n
n
n
a
a
+
+
+
= -
Q
，
1
1
1
1
1
1
n
n
n
n
a
a +
+
+
\
+
=
-
-
，
1
1
1
1
1
n
n
n
n
a
a
+
+
+
\
=
-
-
，
又
1
3
1
a =
-
，所以数列
1
n
n
a
ì
ü
ï
ï
í
ý
-
ï
ï
î
þ
是首项为3，公差为1 的等差数列.，
即
2
1
n
n
n
a
-
=
+
，
( 1)
2
n
na
n
\
= -
+
，
对于选项A：
0
10
1
1
10
2
12
a
-
+
=
=
´
，故A 对；
对于选项B：
12
1
2
3
4
11
12
1 1 1 1 1 1
6
S
a
a
a
a
a
a
=
+
+
+
+
+
+
= + + + + + =
L
，故B 错；
对于选项C：显然n 为奇数时，
na 为奇数，n 为偶数时，
na 为偶数，
因此要满足两项之和为奇数，则取奇偶各一个，
所以
1
1
2
2
C
C
1
1
1
1
C
2
1
2
2 2
1
2
n
n
n
n
n
P
n
n
×
=
=
=
+
×
>
-
-
，故C 对；
对于选项D：当
1
n = 时，
1
1
1
T
P
=
= 满足
1
2
n
n
n
T
-
£
；
当
2
n ³
时，
2
1
2
2
2
1
n
n
n
n
P
n
n
n
=
<
=
-
-
-
，
所以
1
2
1
2
3
4
1 2 1 2 2 2 3
2
1
2
n
n
n
n
n
T
PP
P
n
-
=
£ ×
×
×
=
×
×
×
-
L
L
，故D 对.
故答案为：ACD.
9．（24-25 高二下·辽宁大连·期中）已知在数列
na
中，
1
2
a =
，
1
1
2
n
n
n
a
a
n
+
+
=
+
，设数列
1
n
n
a a +
的前n 项和为
n
S ，
若不等式
8
n
n
k
S
+
³
对
n
*
" ÎN 恒成立，则k 的最小值为
．
【答案】4
9
【详解】由题意知
1
2
1
n
n
n
a
n
a
+
+
=
+
，则数列
1
n
n
a
+
是首项为
1 1
2
4
+
´
=
的常数列，
4
1
na
n
=
+ ，
1
4
4
16
1
1
16
1
2
1
2
1
2
n
n
a a
n
n
n
n
n
n
+
æ
ö
\
=
´
=
=
´
-
ç
÷
+
+
+
+
+
+
è
ø
1
1
1
1
1
1
1
1
8
16
2
3
3
4
4
5
1
2
2
n
n
S
n
n
n
æ
ö
=
´
-
+
-
+
-
+×××+
-
=
ç
÷
+
+
+
è
ø
8
8
16
8
2
8
10
n
S
n
k
n
n
n
n
n
³
=
=
+
+
+
+
+
，
0
n >
Q
，
16
8
n
n
\ +
³
，
当且仅当
16
n
n
=
，即
4
n =
时取等号，
4
9
k
\
³
，则k 的最小值为4
9 ．
故答案为：4
9 ．
10．（24-25 高二下·江苏南京·期中）已知设
1
C
e
，
2
C
e
，¼，e
n
C 是圆心在抛物线
2
y
x
=
上的一系列圆，它们圆心
的横坐标分别记为
1a ，
2a ，¼，
na ，已知
1
1
4
a =
，
1
2
0
>
>¼>
>
n
a
a
a
，
(
1
=
e
k
C k
，2，3，¼，)
n 都与x 轴相切，且
顺次逐个相邻外切．
(1)求
2a ；
(2)求由
1a ，
2a ，¼，
na 构成的数列
na
的通项公式；
(3)求证：
2
2
2
1
2
1
4
+
+¼+
<
n
a
a
a
．
【答案】(1) 1
6 ；
(2)
1
2
2
=
+
na
n
；
(3)证明见解析.
【详解】（1）由题设
2
2
2
2
2
2
2
1
1
1
(
)
(
)
4
16
16
a
a
a
-
+
-
=
+
，整理得
2
2
(2
1)(6
1)
0
a
a
-
-
=
，
2
1
2
a
\
=
或
2
1
6
a =
，又
1
2
0
>
>¼>
>
n
a
a
a
，则
2
1
6
a =
；
（2）由题意知：
2
2
n
n
n
n
r
y
x
a
=
=
=
，
2
1
1
n
n
r
a -
- =
，
所以
1
2
1
1
,
)
(
n
n
n
C
a
a -
-
-
，
2
,
)
(
n
n
n
C a a
，且
1
1
|
|
n
n
n
n
C
C
r
r
-
-
=
+
，
\
2
2
2
2
1
1
2
2
1
(
)
(
)
n
n
n
n
n
n
a
a
a
a
a
a
-
-
-
-
+
-
=
+
，两边平方，整理得
2
2
1
2
1
(
)
4
n
n
n
na
a
a
a
-
- -
=
，
1
0
n
n
a
a
- >
>
Q
，
1
1
2
-
-
\
-
=
n
n
n
n
a
a
a
a ，
\
1
1
1
2
n
n
a
a -
-
=
，
故
1
na
ì
ü
í
ý
î
þ
是以4 为首项，公差为2 的等差数列，
\ 1
4
2(
1)
2
2
=
+
-
=
+
n
n
n
a
，
\
1
2
2
=
+
na
n
；
（3）Q
2
2
1
1
1
1
4 (
1)
4
(
1)
=
×
<
×
+
+
na
n
n n
1 1
1
(
)
4
1
=
-
+
n
n
，
\
2
2
2
1
2
n
a
a
a
+
+¼+
1
1 1
1
1
1
1
1
1
(
)
(1
)
4
1
4
1
4
4(
1)
4
n
k
k
k
n
n
=
<
-
=
-
=
-
<
+
+
+
å
.
11．（2025·江西·模拟预测）已知数列
na
的首项
1
1
2,
3
2
n
n
a
a
a
n
*
+
=
=
+
ÎN
.
(1)求数列
na
的通项公式；
(2)若
*
1
n
n
t a
n
£
+
ÎN
恒成立，求实数t 的取值范围.
【答案】(1)
3
1
n
na =
-
(2) 1 ,
3
é
ö
+¥÷
êë
ø
【详解】（1）数列
na
的首项
*
1
1
2,
3
2
n
n
a
a
a
n
+
=
=
+
ÎN
，可得
1
1
3
1
n
n
a
a
+ + =
+
，
而
1
1
3
0
a + =
¹
，故
1
0
na + ¹
，故
1
1
3
1
n
n
a
a
+ + =
+
，
即数列
1
na +
是首项和公比均为3 的等比数列，可得
1
3n
n
a +
=
，即
3
1
n
na =
- .
（2）若
*
1
n
n
t a
n
£
+
ÎN
恒成立，即为
3n
n
t
£ ×
，即
3n
n
t ³
恒成立，
设
3
n
n
n
b =
，可得
1
1
1
1
1
2
0
3
3
3
n
n
n
n
n
n
n
n
b
b
+
+
+
+
-
-
=
-
=
<
，.
即数列
nb
是单调递减数列，可得
1
1
3
nb
b
£
=
，
所以
1
3
t ³
，即实数t 的取值范围是1 ,
3
é
ö
+¥÷
êë
ø
12．（24-25 高二下·北京西城·阶段练习）已知等差数列
na
的公差为d ，且满足
*
1
4
2
n
n
a
a
n
n
+
+
=
+
ÎN
.
(1)求数列
na
的通项公式；
(2)若数列
nb
满足
1
4
1,2,
n
n
n
b
n
a a +
=
=
L ，求数列
nb
的前n 项和
n
S ；
(3)若等比数列
nc
满足
1
2
1
1
1,
c
c
a
=
=
，设数列
nc
的前n 项和为
nT .若对任意
*
nÎN ，不等式
nT
m
<
恒成立，求m 的
取值范围.
【答案】(1)
2
na
n
=
(2)
1
n
n
S
n
=
+
(3)
2
m≥
【详解】（1）已知等差数列
na
的公差为d ，
*
1
4
2
n
n
a
a
n
n
+
+
=
+
ÎN
，
1
2
1
1
2
3
1
2
6
2
2
3
10
2
a
a
a
d
a
a
a
a
d
d
+
=
+
=
=
ì
ì
Þ
í
í
+
=
+
=
=
î
î
，
所以
2
na
n
=
，经检验符合题意；
（2）因为
1
4
1
1
1
1
1
n
n
n
b
a a
n n
n
n
+
=
=
=
-
+
+ ，
所以
1
2
1
1
1
1
1
1
1
1
2
2
3
1
1
1
n
n
n
S
b
b
b
n
n
n
n
=
+
+
+
= -
+
-
+
+
-
= -
=
+
+
+
L
L
.
（3）数列
nc
为等比数列，
1
2
1
1
1
1,
2
c
c
a
=
=
=
，
所以
nc
首项为1，公比为
1
2 的等比数列，
则
1
1
1
2
1
2
2
2
1
2
1
2
n
n
n
c
T
æ
ö
æ
ö
-
ç
÷
ç
÷
ç
÷
è
ø
æ
ö
è
ø
=
=
- ´
<
ç
÷
è
ø
-
，
又对任意
*
nÎN ，不等式
nT
m
<
恒成立，
所以
2
m≥
.
13．（24-25 高二下·四川眉山·期末）已知数列
na
的前n 项和为
2
n
S
n
cn
=
+
，其中c 为常数，且
2
5
a =
．
(1)求c 的值，并求
na ；
(2)
2
n
n
n
a
b =
，数列{ }
nb
的前n 项和为
nT ，若
*
N
n
" Î
，都有
nT
m
<
恒成立，求实数m 的最小值．
【答案】(1)
2
c =
，
2
1
na
n
=
+
(2)5
【详解】（1）由已知，
2
1
1
1
1
S
c
c
=
+ ´
=
+ ，
2
2
2
2
4
2
S
c
c
=
+ ´
=
+
，
所以
2
2
1
3
5
a
S
S
c
=
-
=
+
= ，则
2
c =
，所以
2
2
n
S
n
n
=
+
，
1
1
3
a
S
=
=
，
2
2
1
2
1
2
1
2
1
n
n
n
a
S
S
n
n
n
n
n
-
é
ù
=
-
=
+
-
-
+
-
=
+
ë
û
（
2
n ³
），
且
1
3
2 1 1
a =
=
´ + 也成立，
所以
2
1
na
n
=
+ ．
（2）由（1）可知，
2
1
na
n
=
+ ，则
2
1
2
2
n
n
n
n
a
n
b
+
=
=
，
则
1
2
1
3
5
2
1
2
1
2
2
2
2
n
n
n
n
n
T
-
-
+
=
+
+
+
+
L
，
2
3
1
1
3
5
2
1
2
1
2
2
2
2
2
n
n
n
n
n
T
+
-
+
=
+
+
+
+
L
，
两式作差得，
1
2
3
1
1
1
1
1
3
1
1
1
2
1
3
2
1
4
2
2
2
1
2
2
2
2
2
2
2
2
1
2
n
n
n
n
n
n
n
T
+
+
+
-
+
+
æ
ö
=
+ ´
+
+
+
-
=
+ ´
-
ç
÷
è
ø
-
L
1
5
2
5
2
2n
n
+
+
=
-
，
则
2
5
5
2
n
n
n
T
+
=
-
，
1
1
2
5
2
3
2
1
5
5
0
2
2
2
n
n
n
n
n
n
n
n
T
T -
-
+
+
+
-
=
-
- +
=
>
，
2
n ³
，
所以数列
nT
为递增数列，
因2
5
0
2n
n +
>
，则
1
5
n
T
T
£
<
，即3
5
2
nT
£
<
，
又
*
N
n
" Î
，都有
nT
m
<
恒成立，则
5
m ³
，则实数m 的最小值为5 ．
14．（24-25 高二下·辽宁锦州·期末）已知数列
na
的首项
1
1,
n
a
a
=
的前n 项和为
n
S ，且
*
1
2
1
n
n
S
S
n
n
+ =
+
+
ÎN
.
(1)证明数列
1
na +
是等比数列；
(2)令
2
1
2
( )
n
n
f x
a x
a x
a x
=
+
+
+
L
，求函数
( )
f x 在点
1
x = 处的导数
(1)
f ¢
；
(3)设
1
2
( 1)
n
n
n
n
b
a
l
+
= -
- -
，是否存在实数l ，使
1
n
n
b
b
+ >
对任意正整数n 都成立，若存在，求出实数l 的取值范
围；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)证明见解析；
(2)
1
1
1
1 2
2
2
n
n n
f
n
+ +
-
¢
+
=
-
；
(3)不存在，理由见解析.
【详解】（1）证明：因为
*
1
2
1
N
n
n
S
S
n
n
+ =
+
+
Î
，所以
1
2
2
n
n
S
S
n n ³
-
=
+
，
所以
1
1
2
1
2
1
2
1
2
n
n
n
n
a
a
n
a
a
n
³
³
+
+
=
+
Þ
+ =
+
，
又
1
1
2
a + =
，
2
1
2
2
S
S
=
+
即
2
1
1
2
1
a
a
+ =
+
，
所以数列
1
na +
是公比和首项均为2 的等比数列.
（2）由（1）
2
1
n
na =
- ，所以
2
2
2
2
2
2n
n
n
f x
x
x
x
x
x
x
=
+
+
+
-
-
-
-
L
L
，
所以
2
3
2
1
2
1
1·2
2·2
3·2
·2
1 2
3
n
n
n
f
x
x
x
n
x
x
x
nx
-
-
=
+
+ +
+
+
- -
-
-
-
¢
L
L
，
所以
2
3
1
1
1·2
2·2
3·2
·2
1 2
3
2
n
n
n n
f
n
n
H
+
=
+
+ +
+
+
- -
-
-
=
-
¢
-
L
L
，
所以
2
3
4
1
2
1·2
2·2
3·2
·2n
n
H
n
+
=
+
+ +
+
+
L
，
所以
1
2
3
1
1
1
2 1
2
2
2
2
2
·2
·2
1
2
2
1
2
n
n
n
n
n
n
H
n
n
n
+
+
+
-
-
=
+
+
+
+
-
=
-
=
-
-
-
L
，
所以
1
1 2
2
n
n
H
n
+
=
-
+
，
所以
1
1
1
1 2
2
2
n
n n
f
n
+ +
-
¢
+
=
-
.
（3）不存在，理由如下：由题
1
1
2
1
2
1
· 2
1
n
n
n
n
n
n
n
b
a
l
l
+
+
= -
- -
= -
- -
-
，
则
1
2
1
1
2
1
· 2
1
n
n
n
nb
l
+
+
+
+ = -
- -
-
，设
1
n
n
b
b
+ >
对任意正整数n 都成立，
则当n 为偶数时，
1
2
1
1
1
2
2
2
· 2
1
2
· 2
1
2
2
2
2
3
2
n
n
n
n
n
n
n
n
l
l
l
+
+
+
+
+
-
+
-
> -
-
-
Þ
>
=
+
-
-
，
因为n 为偶数，所以
2
2
4
2
3
5
3
2n
<
£
-
，所以
4
5
l >
；
当n 为奇数时，
1
2
1
1
1
2
2
2
· 2
1
2
· 2
1
2
2
2
2
3
2
n
n
n
n
n
n
n
n
l
l
l
+
+
+
+
+
-
-
-
-
> -
+
-
Þ
<
=
+
-
-
，
因为n 为奇数，所以
2
2
1
2
3
3
2n
- £
< -
-
，所以
1
l < - ，
综上所述，不存在实数l ，使
1
n
n
b
b
+ >
对任意正整数n 都成立.
15．（24-25 高二下·陕西渭南·期末）已知等差数列
na
的前n 项和为
n
S ，且
5
7
10,
56
a
S
=
=
.
(1)求数列
na
的通项公式；
(2)已知数列
nb
满足
1
2
n
n
n
a
b
+
=
，
（i）求数列
nb
的前n 项和
nT ；
（ii）若不等式( 1)
2
n
n
n
n
T
l
-
<
+
对任意
*
N
nÎ
恒成立，求实数l 的取值范围.
【答案】(1)
2
na
n
=
(2)（i）
2
2
2
n
n
n
T
+
=
-
；（ii）
3
1, 2
æ
ö
-
ç
÷
è
ø
【详解】（1）设等差数列
na
的公差为d，则
1
1
4
10
7 6
7
56
2
a
d
a
d
+
=
ìïí
´
+
=
ïî
，解得
1
2
a
d
=
=
，
1
1
2
2(
1)
2
na
a
n
d
n
n
=
+
-
=
+
-
=
∴
；
（2）（i）由（1）知
1
1
2
2
2
2
n
n
n
n
n
a
n
n
b
+
+
=
=
=
，
2
3
1
1
2
3
1
2
2
2
2
2
n
n
n
n
n
T
-
-
\
=
+
+
+
+
+
L
，
2
3
4
1
1
1
2
3
1
2
2
2
2
2
2
n
n
n
n
n
T
+
-
=
+
+
+
+
+
L
，
2
3
1
1
1
1
1
1
2
2
2
2
2
2
n
n
n
n
T
+
\
=
+
+
+
+
-
L
1
1
1
1
1
2
2
2
1
1
2
2
1
2
n
n
n
n
n
+
+
é
ù
æ
ö
-
ê
ú
ç
÷
è
ø
+
ê
ú
ë
û
=
-
= -
-
，
2
2
2
n
n
n
T
+
\
=
-
；
（ii）由（i）得
2
2
( 1)
2
2
2
2
2
n
n
n
n
n
n
l
+
-
<
-
+
=
-
，
设
2
2
2
n
n
c =
-
，则
1
1
2
2
2
n
n
c +
+
=
-
，
1
1
2
2
1
2
2
0
2
2
2
n
n
n
n
n
c
c
+
+
æ
ö
æ
ö
\
-
=
-
-
-
=
>
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
，\数列
nc
是递增数列，
当n 为偶数时，
2
2
2n
l <
-
恒成立，
2
2
3
2
2
2
l
\
<
-
=
，
当n 为奇数时，
2
2
2n
l
-
<
-
恒成立，
2
2
1
2
l
\-
<
-
= ，
1
l
\
> - ，
\实数l 的取值范围为
3
1, 2
æ
ö
-
ç
÷
è
ø
.
1．（2025·河北·模拟预测）我们把各项均为0 或1 的数列称为0 1
- 数列，0 1
- 数列在计算机科学和信息技术领域有
着广泛的应用．把佩尔数列
nP
（
1
0
P =
，
2
1
P = ，
2
1
2
n
n
n
P
P
P
+
+
=
+
，
*
nÎN ）中的奇数换成0，偶数换成1，得到
0 1
- 数列
na
，记
na
的前n 项和为
n
S ，则
30
S
= （ ）
A．20
B．15
C．12
D．10
【答案】B
【详解】因为
1
0
P =
，
2
1
P = ，
2
1
2
n
n
n
P
P
P
+
+
=
+
，
所以
3
2
1
4
3
2
5
4
3
2
2 1 0
2,
2
2 2 1
5,
2
2 5
2
12
P
P
P
P
P
P
P
P
P
=
+
=
´ +
=
=
+
=
´ + =
=
+
=
´ +
=
，
6
5
4
7
6
5
8
7
6
2
2 12
5
29,
2
2 29 12
70,
2
2 70
29
169,
,
P
P
P
P
P
P
P
P
P
=
+
=
´
+
=
=
+
=
´
+
=
=
+
=
´
+
=
L
可以看出数列
na
的前30 项为1,0,1,0
1,0
L
，，,
所以
30
15 1 15 0
15
S
=
´ +
´
=
，
故选：B.
2．（24-25 高二下·广东广州·阶段练习）在数列
na
中，如果存在正整数T，使得
m T
m
a
a
+ =
，对于任意的正整数m
均成立，那么称数列
na
为周期数列，其中T 叫做数列
na
的周期.已知数列
nx
满足
1
1
2,
N
2,
N
n
n
n
x
x
x
n
n
n
n
+
-
=
-
³
Î
³
Î
，如果
1
1
x = ，
2
R,
0
x
a a
a
=
Î
¹
，当数列
nx
的周期最小时，该数列前
2025 项的和是（ ）
A．674
B．1348
C．1350
D．2024
【答案】C
【详解】若数列
nx
的周期为1，则
2
1
1
x
a
x
=
=
= ，但
3
2
1
2
1
0
1
x
x
x
a
x
=
-
=
-
=
¹
= ，矛盾，所以数列
nx
的周期
不可能为1.
若数列
nx
的周期为2，则
2x
a
=
，
1
1
x = ，且
3
2
1
1
1
1
x
x
x
a
x
=
-
=
-
=
= ，又
0
a ¹
，所以解得
2
a =
，
而当
2
a =
时，
4
3
2
2
1
2
x
x
x
x
=
-
= ¹
=
，矛盾，所以数列
nx
的周期不可能为2.
若数列
nx
的周期为3，则
2x
a
=
，
1
1
x = ，且
3
2
1
1
x
x
x
a
=
-
=
-
，
4
3
2
1
1
1
x
x
x
a
a
x
=
-
=
-
-
= =
，
所以
1
1
a
a
-
=
+ 或
1
1
a
a
-
=
- ，又
0
a ¹
，所以
1
a ³ ，且此时有
5
4
3
2
1
1
x
x
x
a
x
a
=
-
=
-
-
=
=
，
考点二
数列新定义问题
所以
1
1
a
a
-
= -
或
1
1
a
a
-
= +
，又
0
a ¹
，所以
1
a £ ，解得
1
a = 符合题意，
当
1
a = 时，数列
nx
为：1，1，0，1，1，0，…，满足题意，
此时
1
2
3
1 1 0
2
x
x
x
+
+
= + +
=
，
所以该数列前2025 项的和是
1
2
3
2023
2024
2025
2025
2
1350
3
x
x
x
x
x
x
+
+
+
+
+
+
=
´
=
L
.
故选：C.
3．（24-25 高二下·上海杨浦·期末）已知无穷数列
na
是各项均为正数的严格减数列.若存在实数
(0,1)
p Î
，对任意
正整数n 都有
1
n
n
a
pa
+ £
成立，则称数列
na
具有“性质P ”；若存在实数
(0,1)
qÎ
，对任意正实数x ，数列
na
至多
有一项属于开区间(
, )
qx x ，则称数列
na
具有“性质Q ”.则数列
na
具有“性质P ”是具有“性质Q ”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【详解】充分性：若数列具有性质P，即存在
0,1
pÎ
使得
1
n
n
a
pa
+ £
，则对于任意正实数x ，区间
,
px x 内至多
有一项
na ；
否则，若存在两项
m
a ，
na
m
n
<
，满足
m
a ，
,
na
px x
Î
，则
n m
n m
n
m
px
a
p
a
p
x
-
-
£
£
£
，导致
n m
p
p -
£
，
故数列
na
具有“性质Q ”；所以数列
na
具有“性质P ”是具有“性质Q ”的充分条件；
必要性：举反例
1
na
n
=
，满足性质Q （取
1
2
q =
），但不满足性质P （因
1
n
n + 趋近于1，无法找到固定的p ）；
所以数列
na
具有“性质P ”不是具有“性质Q ”的必要条件；
故选：A.
4．（2025·江西·模拟预测）若数列
na
满足
1
log
(
1
n
m
n
a
a m
+ =
> 且
)
m
Z
Î
，则称数列
na
为“对数m 底数列”.已知正
项数列
na
是“对数2 底数列”且
5
1
a = ，则当
2
n… 且
*
nÎN 时，
2
3
2
2
2
1
4
n
a
a
a
n
a
a
+
+
+
-
=
L
g
g
…
（ ）
A．
12
2
B．
16
2
C．
32
2
D．
64
2
【答案】C
【详解】因为正项数列
na
是“对数2 底数列”，所以
1
2
log
n
n
a
a
+ =
，所以
1
2
log
2
2
n
n
a
a
na
+ =
=
，
所以
3
4
2
1
2
2
,2
,2
a
a
a
a
a
=
=
=
3
1
,
,2
2
n
a
n
a
a
n
-
=
³
L
且
*
nÎN
，
以上式子相乘得
3
2
1
2
1
2
2
2 n
a
a
a
n
a a
a -
×
=
×
L
L
，所以
2
3
1
2
1
2
n
a
a
a
n
a a
a
+
+
+
-
=
×
L
L
，
所以
2
3
1
2
1
2
n
a
a
a
n
a
a
a
+
+
+
-
=
L
L
，得
2
3
2
3
2
1
2
1
2
1
2
2
n
n
a
a
a
a
a
a
n
n
a
a
a
a
a
+
+
+
+
+
+
-
-
×
=
×
L
L
L
L
，
即
2
3
2
2
2
2
1
2
2
2
1
2
n
a
a
a
n
a
a
a
+
+
+
-
=
L
L
，得
2
3
2
1
2
2
2
1
4
n
a
a
a
n
a
a
a
+
+
+
-
=
L
L
，因为
5
2
4
5
log
,
1
a
a a
=
= ，所以
4
2
a =
；
同理，
4
2
3
log
a
a
=
，所以
3
3
2
2
4;
log
a
a
a
=
=
，所以
2
2
2
1
16;
log
a
a
a
=
=
，
所以
16
1
2
a =
.故
2
3
2
16
32
2
2
2
1
4
2
2
n
a
a
a
n
a
a
+
+
+
-
=
=
L
L
.
故选：C.
5．（2025·湖南岳阳·三模·多选）已知有穷数列
na
的通项公式为
na
n
=
，其项数不少于4 项，从
na
中选取
3
m
m
n
£
£
项组成数列
mb
，数列
mb
满足
1,2,
,
2
i
m
" Î
-
L
，
2
2
1
0
i
i
i
i
b
b
b
b
+
+
+
-
-
<
，则（ ）
A．数列
mb
是单调数列
B．当
7
n
m
=
=
时，
7
4
b =
C．当
12
m =
时，
12
1
6
b
b
-
³
D．数列
mb
的个数为2Cm
n
【答案】BCD
【详解】因为数列
m
b
满足
2
2
1
0
i
i
i
i
b
b
b
b
+
+
+
-
-
<
，即
2
ib + 必须在
ib 和
1
ib + 之间，
无法满足单调性，所以A 错误；
对于B，当
7
n
m
=
=
时，
m
b
各项大小关系为：
1
3
2
3
4
2
3
5
4
5
6
4
5
7
6
,
,
,
,
b
b
b b
b
b b
b
b b
b
b b
b
b
<
<
<
<
<
<
<
<
<
<
；
或者
1
3
2
3
4
2
3
5
4
5
6
4
5
7
6
,
,
,
,
b
b
b b
b
b b
b
b b
b
b b
b
b
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
从而
1
3
5
7
6
4
2
b
b
b
b
b
b
b
<
<
<
<
<
<
或
1
3
5
7
6
4
2
b
b
b
b
b
b
b
>
>
>
>
>
>
，
故
7
4
b =
，B 正确；
当
12
m =
时，同B 的分析可得：
1
3
5
7
9
11
12
10
8
6
4
2
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
<
<
<
<
<
<
<
<
<
<
<
或：
1
3
5
7
9
11
12
10
8
6
4
2
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
，
而
m
b
各项均为正整数，故
12
1
6
b
b
-
³
，C 正确；
从n 项中选m 项有Cm
n 种方式，由BC 的分析可得：
当
1
2
b
b
>
时，
m
b
各项的排列次序唯一确定，且
1b 为所有项中的最大项，
2b 为所有项中的最小项，
3b 为余下项的最大项，
4b 为余下项中的最小值，
5
6
,
b b 类似确定；
当
1
2
<
b
b 时，同理可得
m
b
各项的排列次序唯一确定；
故数列
m
b
的个数为2Cm
n ，D 正确.
故选：BCD.
6．（2025·福建泉州·模拟预测·多选）帕多瓦数列是与斐波那契数列相似的又一著名数列，在数学上，帕多瓦数列
被以下递推的方法定义：数列{
}
na
的前n 项和为
n
S ，且满足：
*
1
2
3
3
1
1,
(
N )
n
n
n
a
a
a
a
a
a n
+
+
=
=
=
=
+
Î
，则下列结论中正
确的是（ ）
A．
8
7
a =
B．
8
19
S =
C．
2025
a
是偶数
D．
3
2
2
2(
4,
N)
n
n
n
S
S
a
n
n
-
-
=
+
+
³
Î
【答案】BD
【详解】由题设
4
2
1
5
3
2
2,
2
a
a
a
a
a
a
=
+
=
=
+
=
，
6
4
3
3
a
a
a
=
+
=
，
7
5
4
4
a
a
a
=
+
=
，
8
6
5
5
a
a
a
=
+
=
，故A 错误；
由上分析，
8
1
2
3
8
19
S
a
a
a
a
=
+
+
+
+
=
L
，故B 正确；
由
1
2
3
3
1
1,
(
N,
1)
n
n
n
a
a
a
a
a
a n
n
+
+
=
=
=
=
+
Î
³
知：*表示奇数，@表示偶数，如下表，
1a
2a
3a
4a
5a
6a
7a
1
1
1
2
2
3
4
8a
9a
10
a
11
a
12
a
13
a
14
a
5
7
9
12
16
21
28
15
a
16
a
17
a
18
a
19
a
20
a
21
a
*
*
*
@
@
*
@
22
a
23
a
24
a
25
a
26
a
27
a
28
a
*
*
*
@
@
*
@
……
显然，该数列奇偶数出现以7 为周期，一个周期内下标从小到大对应项依次出现3 个奇数，2 个偶数，
1 个奇数，1 个偶数，而2025
7
289
2
=
´
+
，故
2025
a
是奇数，故C 错误；
由
4
2
1
a
a
a
=
+
，
5
3
2
a
a
a
=
+
，
6
4
3
a
a
a
=
+
，…，
2
3
n
n
n
a
a
a
-
-
=
+
，且
4
n ³
，
*
nÎN ,
所以
4
5
1
2
3
3
2
2
n
n
n
a
a
a
a
a
a
a
a
-
-
+
+
+
=
+
+
+
+
+
L
L
，又
1
2
3
n
n
S
a
a
a
a
=
+
+
+
+
L
，
故
1
2
3
3
2
2
3
3
2
2
2
2
n
n
n
n
n
S
a
a
a
a
a
a
a
S
a
-
-
-
-
=
+
+
+
+
+
+
+
=
+
+
L
，故D 正确．
故选：BD.
7．（24-25 高二下·山东日照·期末·多选）已知数列
na
，设
*
1
2
N
n
n
a
a
a
m
n
n
+
+
+
=
Î
L
，若数列
na
满足：存在
常数c ，使得对于任意两两不相等的正整数i ，j ，k ，都有
k
i
j
i
j m
j
k m
k
i m
c
-
+
-
+
-
=
，则称数列
na
具
有性质W ，下列结论正确的是（ ）
A．若
2
1
na
n
=
- ，则数列
na
具有性质W
B．若数列
na
的前n 项和
2
1
n
n
S =
- ，则数列
na
具有性质W
C．若数列
na
具有性质W ，则常数
0
c =
D．若数列
na
具有性质W ，则
na
为等差数列
【答案】ACD
【详解】对于C，若
na
具有性质W ，则
k
i
j
i
j m
j
k m
k
i m
c
-
+
-
+
-
=
①，
交换i，j 的位置
k
j
i
j
i m
i
k m
k
j m
c
Þ
-
+
-
+
-
=
②，①+②
2
0
c
Þ
=
，
0
c
\ =
，C 正确．
对于A，若
2
1
na
n
=
- ，
1
2
1
2
n
n
n
m
n
n
+
-
\
=
=
，对" 两两不等的正整数i，j，k
0
k
i
j
i
j m
j
k m
k
i m
i
j k
j
k i
k
i j
-
+
-
+
-
=
-
+
-
+
-
=
符合条件，
na
\
具有性质W ，A 正确．
对于B，
2
1
n
n
m
n
-
=
，取
1
i = ，
2
j =
，
3
k =
，
7
3
1
1
1
1
2
0
3
2
3
k
i
j
i
j m
j
k m
k
i m
\
-
+
-
+
-
= - ´
+ -
´ +
´
= -
¹
，
na
\
不具有性质W ，B 错．
对于D，令
1
i = ，
2
j =
，记
n
S 为数列
na
的前n 项和，
na
Q
具有性质W ，
1
2
1
0
2
1
0
2
k
k
i
j
S
a
a
i
j m
j
k m
k
i m
k a
k
k
+
\
-
+
-
+
-
=
Þ -
+
-
+
-
×
=
，
1
2
1
2
1
2
k
a
a
S
k ka
k k
+
Þ
=
-
+
×
-
①，
2
k ³
时，
1
2
1
1
3
1
1
2
2
k
a
a
S
k
k
a
k
k
-
+
=
-
-
+
-
-
②，
①-②Þ
1
1
2
2
1
1
2
3
2
1
2
ka
k a
a
a
k
a
a k
a
a
=
-
+
+
-
=
-
+
-
，
1
2
1
k
k
a
a
a
a
+
\
-
=
-
（
2
k ³
且
N
k
*
Î
），而
1
k = 时，上式也成立
1
2
1
n
n
a
a
a
a
+
\
-
=
-
对
*
N
n
" Î
恒成立，
na
\
为等差数列，D 正确.
故选：ACD．
8．（24-25 高二下·广东深圳·期末·多选）对于正整数, ( )
n
n
j
是小于或等于n 的正整数中与n 互质的数的数目（若两
个正整数的最大公因数是1，则称这两个正整数互质）.函数
)
(n
j
以其首名研究者欧拉命名，称为欧拉函数，例如
(10)
4
j
=
（10 与1，3，7，9 均互质），则（ ）
A．(20)
(25)
28
j
j
+
=
B．若p 为质数，则数列
n
p
j
为等比数列
C．数列
3n
n
j
ì
ü
ï
ï
í
ý
ï
ï
î
þ
的前5 项和等于179
81
D．
*
n
$ ÎN ，使得
2
3
4
5
n
n
n
j
j
j
é
ù
+
=
ë
û
【答案】ABD
【详解】对于A 选项，与20 不互质的是2 的倍数（10 个）以及5 的倍数（4 个），
减去重复计数的10 的倍数（2 个），总共12 个，
20
20 12
8
j
=
-
=
；
与25 不互质的只有5 的倍数（5 个），所以
25
25
5
20
j
=
-
=
，
所以
20
25
28
j
j
+
=
，故A 正确；
对于B 选项，设p 为质数
2
p ³
，则小于等于
n
p 的正整数中与
n
p 不互质的数只有p 的倍数，
所以互质的数的数目为
1
n
n
n
n
p
p
p
p
p
-
-
=
-
，
故
1
1
n
n
p
p
p
j
-
=
-
，所以
1
2
1
1
1
n
n
n
n
p
p
p
p
p
p
p
j
j
-
-
-
-
=
=
-
为常数，
所以数列
n
p
j
为等比数列，故B 正确；
对于C 选项，根据选项B 可知，
1
3
2 3
n
n
j
-
=
×
，
数列
3n
n
j
ì
ü
ï
ï
í
ý
ï
ï
î
þ
的前5 项和为1
2
3
4
5
179
2
6
18
54
162
162
+
+
+
+
=
，故C 错误；
对于D 选项，
1
3
2 3
n
n
j
-
=
×
，
1
5
4 5
n
n
j
-
=
×
，
4 不是质数，
1
2
2
1
2
4
2
2
4n
n
n
n
j
j
-
-
=
×
=
=
，
即判断是否存在n 使得
1
1
1
2
2 3
4
4 5
n
n
n
-
-
-
=
+
´
×
，观察得到
3
n =
时等式成立，故D 正确．
故选：ABD.
9．（24-25 高二下·江西抚州·期末）斐波那契数列（Fibonaccisequence），又称黄金分割数列，因数学家莱昂纳多•斐
波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”，指的是这样一个数列：1，1，2 ，3，5 ，8 ，13，21，
34，¼，在数学上，斐波那契数列以如下递推的方式定义：
0
1
a = ，
1
1
a = ，
*
1
1
n
n
n
a
a
a
n
+
-
=
+
ÎN
，
1
2
2025
,
,
,
A
a a
a
=
L
.若集合B 为集合A 的非空子集，则集合B 中所有元素之和为奇数的概率为
.
【答案】
2024
2025
2
2
1
-
【详解】由斐波那契数列规律可知，集合中的元素有675 个偶数，1350 个奇数，
记A 中所有偶数组成的集合为C ，所有奇数组成的集合为D ，E 为集合C 的子集，
集合D 中含有奇数个元素的子集为F ，则所有元素之和为奇数的集合B 可看成E
F
È
.
易知，集合E 共有
675
2
个，集合F 共有
1350
1
3
5
1349
1349
1350
1350
1350
1350
2
C
C
C
C
2
2
+
+
+
+
=
=
L
个，
所以所有元素之和为奇数的集合B 共有
675
1349
2024
2
2
2
´
=
个.
又集合A 的非空子集共有
2025
2
1
- 个，所以B 中所有元素之和为奇数的概率为
2024
2025
2
2
1
-
.
故答案为：
2024
2025
2
2
1
-
.
10．（24-25 高二下·北京房山·期末）对于数列
na
，若存在
0
M >
，使得对任意n
+
ÎN ，都有
1
1
2
n
k
k
k
a
a
M
+
-
=
-
<
å
，即
2
1
3
2
1
1
k
k
n
n
a
a
a
a
a
a
a
a
M
-
+
-
+
-
+
+
-
+
+
-
<
L
L
，则称
na
为“差有界数列”.给出以下四个结论：
①若等差数列
na
的公差
0
d =
，则该数列为“差有界数列”；
②若等差数列
na
为“差有界数列”，则其公差
0
d =
；
③若数列
na
为“差有界数列”，则
na
为“差有界数列”；
若数列
na
为“差有界数列”，则
na
为“差有界数列”.
号为 .
【详解】对于①，若等差数列
na
的公差
0
d =
，则显然存在
0
M >
，使得对任意n
+
ÎN ，都有
1
1
2
0
n
k
k
k
a
a
M
+
-
=
-
=
<
å
，
即该数列为“差有界数列”，故①正确；
对于②，若等差数列
na
为“差有界数列”，
则存在
0
M >
，使得对任意n
+
ÎN ，都有
1
1
2
n
k
k
k
a
a
n d
M
+
-
=
-
=
<
å
，其中d 是等差数列的公差，
若
0
d ¹
，则对于任意给定的
0
M >
，当n 充分大时，总有
1
1
2
n
k
k
k
a
a
n d
M
+
-
=
-
=
³
å
，矛盾，
所有
0
d =
，故②正确；
对于③，若数列
na
为“差有界数列”，
则存在
0
M >
，使得对任意n
+
ÎN ，都有
1
1
2
n
k
k
k
a
a
M
+
-
=
-
<
å
，
因为
2
2
2
2
1
1
1
1
1
1
2
2
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a a
-
-
-
-
-
-
£
-
+
=
-
-
=
-
+
，
所以
1
1
1
1
2
2
n
n
k
k
k
k
k
k
a
a
a
a
M
+
+
-
-
=
=
-
£
-
<
å
å
，则
na
为“差有界数列”，故③正确；
对于④，取
1
n
na = -
，则存在
0
M >
，使得对任意n
+
ÎN ，都有
1
1
2
0
n
k
k
k
a
a
M
+
-
=
-
=
<
å
，
即此时数列
na
为“差有界数列”，
而
1
1
2
2
n
k
k
k
a
a
n
+
-
=
-
=
å
，这意味着对于任意给定的
0
M >
，当n 充分大时，总有
1
1
2
2
n
k
k
k
a
a
n
M
+
-
=
-
=
³
å
，
所以此时
na
不是“差有界数列”，故④错误.
故答案为：①②③.
11．（24-25 高二下·广东揭阳·期末）若数列
*
*
1
,
,
na
n
k n
k
£
£
Î
Î
N
N
满足
0,1
na Î
，则称数列
na
为k 项0 1
-
数列，由所有k 项0 1
- 数列组成的集合为
k
M ．
(1)若
na
是20 项0 1
- 数列，当且仅当
*
4
,
5
n
m m
m
=
Î
£
N
时，
0
na =
，求数列
1
n
n
a
-
的所有项的和；
(2)已知
n
k
a
M
Î
，
n
k
b
M
Î
且
na
与
nb
是两个不同的数列，定义离散型随机变量
1
1,2,
,
k
i
i
i
X
a
b
i
k
=
=
-
=
å
L
其
中
*
k ÎN ，且
3
k ³
．
（ⅰ）求
3
P X =
取到最大值时k 的值；
（ⅱ）求随机变量X 的分布列，并证明：当
4050
k =
时，
2025
E X >
．
【答案】(1) 5
-
(2)（i）5 ；（ii）分布列为
C
1,2,
,
2
1
m
k
k
P X
m
m
k
=
=
=
-
L
，证明见解析
【详解】（1）数列
na
是20 项0 1
- 数列，当且仅当
4
5,
n
m m
m
*
=
£
ÎN
时，
0
na =
；
当
4
1
n
m
=
- ，
4
2
n
m
=
- ，
4
3
5,
n
m
m
m
*
=
-
£
ÎN
时，
1
na = .
设数列
1
n
n
a
-
所有项的和为S ，则
2
3
5
1
2
3
5
1
1
1
0
1
S
a
a
a
a
= -
+ -
+ -
+
+ -
6
7
17
18
19
6
7
17
18
19
1
1
0
1
1
1
0
5
a
a
a
a
a
+ -
+ -
+
+
+ -
+ -
+ -
+
= -
L
.
（2）（i）因为数列
na
、
nb
是从集合
k
M 中任意取出的两个数列，
所以，数列
na
、
nb
均为k 项0 1
- 数列，所以X 的可能取值有1、2 、3、L、k ，
根据数列中0 的个数可得，集合
k
M 的元素个数为
0
1
2
C
C
C
C
2
k
k
k
k
k
k
+
+
+
+
=
L
，
当
3
X =
时，数列
na
、
nb
中有3项取值不同，有
3
k - 项取值相同，
先确定
na
有2k 种情况，然后在
na
中选取3项，这3项与
nb
的对应项的取值不同，
有
3
Ck 种情况，则
na
与
nb
的选择共有
3
2 C
k
k 种情况，
数列
na
、
nb
是从集合
k
M 中任意取出的两个数列，所有可能情况有
2
2
2
2
A C k 种，
所以
3
2
2
2
2
1
2 2
1
2
2 C
3 2 1
3
A C
2
2
1
6 2
1
2
2
k
k
k
k
k
k
k
k k
k
k k
k
P X
-
-
-
-
´ ´
=
=
=
=
-
-
´
，
由
1
1
2
1
2
1
1
6 2
1
6 2
1
1
1
1
2
6 2
1
6 2
1
t
t
t
t
t t
t
t t
t
t t
t
t t
t
+
+
+
ì
-
-
+
-
<
ï
-
-
ï
í
+
-
+
+
ï
>
ï
-
-
î
，化简可得
2
5
3
0
2
2
8
3
0
t
t
t
t
ì
-
+
<
ïí
-
+
>
ïî
，解得
4
t =
，
则当
1
5
k
t
= + =
时，
3
P X =
取得最大值；
（ii）由（i）知集合
k
M 中元素的个数为
0
1
2
C
C
C
C
2
k
k
k
k
k
k
+
+
+
+
=
L
，
当
1,2,
,
X
m m
k
=
=
L
时，数列
na
、
nb
中有m 项取值不同，有k
m
-
项取值相同，
先确定
na
有2k 种情况，然后在
na
中选取m 项与
nb
对应项取值不同有Cm
k 种情况，
则
na
与
nb
的选择情况共有2 C
k
m
k 种情况，
数列是从集合
k
M 中任意取出的两个数列，所有可能情况有
2
2
2
2
A C k 种，
所以随机变量X 的分布列为
2
2
2
2
2 C
2 C
C
1,2,
,
A C
2
1
2
2
1
k
k
m
k
m
m
k
k
k
k
k
k
P X
m
m
k
=
=
=
=
=
-
-
L
，
因为
1
1
1 !
!
C
C
,1
!
!
1 !
1
1 !
m
m
k
k
k
k
m k
m
k
m
m
k
m
k
m
m
k
m
-
*
-
×
-
×
=
=
=
Î
£
£
×
-
-
×
-
-
-
é
ù
ë
û
N
，
所以
1
2
1
2
3
C
C
C
1
1
2
C
2C
3C
C
2
1
2
1
2
1
2
1
m
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
E X
k
k
= ´
+ ´
+
+
´
=
+
+
+
+
-
-
-
-
L
L
1
1
0
1
2
1
1
1
1
1
2
2
C
C
C
C
2
1
2
1
2
2
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
-
-
-
-
-
-
-
×
×
=
+
+
+
+
=
>
=
-
-
L
，即
2
k
E X >
，
当
4050
k =
时，
4050
2025
2
2
k
E X >
=
=
.
12．（24-25 高二下·辽宁鞍山·期末）k 为实数，无穷数列
nx
为
k
Á 数列时满足：
1
2
x
x
k
= -
≥
；
1
t
t
x
x
- <
4 ,
t
n n
*
=
ÎN
；
,
,
m n
m n
x
*
+
"
ÎN
{
,
1}
m
n
m
n
x
x
k x
x
k
Î
+
+
+
+
+
．
(1)若数列
na
前四项分别为4 ，4
- ，4
- ，3
- ，判断数列
na
是否有可能为
4
Á 数列；
(2)若数列
na
为
0
Á 数列，求
6a 的值；
(3)数列
na
前n 项和为
n
S ，则是否存在k 值，
n
*
" ÎN ，
10
n
S
S
³
恒成立.如果有，求出所有符合要求的k 值；如果
没有，请说明原因．
【答案】(1)数列
na
不可能为
4
Á 数列，理由见解析
(2)
6
1
a = .
(3)存在，
2
k =
.
【详解】（1）数列
na
不可能为
4
Á 数列，理由如下：
因为
4
k =
，
1
4
a =
，
2
4
a = - ，所以
1
2
4
a
a
k
+
+
=
，
1
2
1
5
a
a
k
+
+
+ =
.
因为
3
4
a = - ，所以
3
4,5
a Ï
，所以数列
na
不可能为
4
Á 数列.
（2）由
0
Á 数列定义，可知
na
满足：
1
0
a ³
，
2
0
a =
；
4
1
4
n
n
a
a
- <
；
m n
m
n
a
a
a
+ =
+
或
1
m n
m
n
a
a
a
+ =
+
+ .
由
1
1
n
n
a
a
a
+ =
+
或
1
1
1
n
n
a
a
a
+ =
+
+ 以及
1
0
a ³
，可知
1
n
n
a
a
+ ³
，所以
1
0
a =
.
由
3
1
2
0
a
a
a
=
+
=
或
3
1
2
1
1
a
a
a
=
+
+ = ，
4
2
2
0
a
a
a
=
+
=
或
4
2
2
1
1
a
a
a
=
+
+ = ，
以及
3
4
a
a
<
，可得
3
0
a =
，
4
1
a = .
由
5
2
3
0
a
a
a
=
+
=
或
5
2
3
1
1
a
a
a
=
+
+ = ，以及
5
4
a
a
³
，可知
5
1
a = ，
同理，由
6
3
3
0
a
a
a
=
+
=
或
6
3
3
1
1
a
a
a
=
+
+ = ，以及
6
5
a
a
≥
，可知
6
1
a = .
（3）假设数列
na
是满足“
10
n
S
S
³
恒成立”的
k
Á 数列.
因为
1
1
n
n
a
a
a
k
+ =
+
+
或
1
1
1
n
n
a
a
a
k
+ =
+
+
+ ，且
1
0
a
k
+ ≥，所以
1
n
n
a
a
+ ³
，
由
1
2
k
a
a
k
-
= -
≤≤
，可知
1 = -
a
k ，
从而
4
4
1
1
4
1
n
n
n
a
a
a
k
a
-
-
=
+
+
=
或
4
4
1
1
4
1
1
1
n
n
n
a
a
a
k
a
-
-
=
+
+
+ =
+ .
又因为
4
1
4
n
n
a
a
- <
，所以
4
4
1
1
n
n
a
a
-
=
+ .
因为
4
3
1
a
a
=
+ ，且
3
2
a
a
k
= -
≥
，所以
4
1
a
k
-
+
≥
.
又因为
4
2
2
1
1
a
a
a
k
k
+
+
+ = - +
≤
，所以
4
3
1,
a
k
a
k
= - +
= - .
因为
12
6
6
1
a
a
a
k
+
+
+
≤
，且
6
3
3
1
1
a
a
a
k
k
+
+
+ = - +
≤
，所以
12
3
a
k
-
+
≤
.
因为
11
12
1
a
a
=
- ，所以
11
2
a
k
-
+
≤
.
根据假设，由
11
10
S
S
³
可知
11
0
a ³
，所以
2
k £
，
由
10
8
7
1
a
a
a
³
=
+ 及
7
4
1
a
a
k
= - +
≥
，可知
10
2
a
k
-
+
≥
.
由
9
10
S
S
³
可知
10
0
a
£ ，所以
2
k ³
.
综上可知，若数列
na
是满足“
10
n
S
S
³
恒成立”的
k
Á 数列，则
2
k =
.
当
2
k =
时，考虑数列
na
：
2
,
4
1,4
2,4
3
*
1
,
4
4
n
p n
p
p
p
a
p
p n
p
ì- +
Î
+
+
+
=
Î
í- +
=
+
î
N
.
下面验证数列
na
满足
k
Á 数列的要求：
由
1
2
a = - ，
2
2
a = - 可知
1
2
a
a
k
= -
≥
.
因为
4
1
3
n
a
n
- =
- ，
4
2
n
a
n
=
-
，
所以
4
1
4
n
n
a
a
- <
.
1
2
*
,
,
,
m n
p p
"
Î
$
Î
N
N ，
1
2
,
0,1,2,3
r r Î
，使得
1
1
4
m
p
r
=
+
，
2
2
4
n
p
r
=
+
，
所以
1
2
m
a
p
= - +
，
2
2
na
p
= - +
，
所以
1
2
2
m
n
a
a
k
p
p
+
+
= - +
+
，
1
2
1
1
m
n
a
a
k
p
p
+
+
+ = - +
+
，
又
1
2
1
2
4
m
n
p
p
r
r
+
=
+
+
+
，
所以：当
1
2
0
4
r
r
£
+
<
时，
1
2
2
m n
a
p
p
+ = - +
+
；当
1
2
4
6
r
r
£
+
£
时，
1
2
1
m n
a
p
p
+ = - +
+
.
所以
,
1
m n
m
n
m
n
a
a
a
k a
a
k
+ Î
+
+
+
+
+
.
由通项公式可知，当
9
n £
时，
10
0
n
a
a
£
=
；当
11
n ³
时，
10
0
n
a
a
³
=
，
所以
10
n
S
S
³
恒成立.
综上所述，存在
k
Á 数列
na
，使得
10
n
S
S
³
恒成立，此时
2
k =
.
13．（24-25 高二下·江苏南京·期末）已知数列
na
的前n 项和为
n
S ，若存在常数(
0)
l l >
，使得
1
n
n
a
S
l
+
³
对任意
*
nÎN 都成立，则称数列
na
具有性质
( )
M l ．
(1)若数列
na
的通项公式
2
1
na
n
= -
+ ，求证：数列
na
具有性质
(3)
M
；
(2)设数列
na
的各项均为正数，且
na
具有性质
( )
M l ．
①若数列
na
是公比为q 的等比数列，且
4
l =
，求q 的值：
②求l 的最小值．
【答案】(1)证明见解析
(2)①
2
q =
；②4
【详解】（1）因为
2
1
na
n
= -
+ ，所以
1
2(
1) 1
2
1
2
n
n
a
a
n
n
+ -
= -
+
+ +
- = - ，
所以数列
na
是以2
- 为公差，1
- 为首项的等差数列，
所以
2
( 1
2
1)
2
n
n
n
S
n
- -
+
=
= -
，
所以
2
2
1
3
3( 2
1)
(
1)
(
2)
0
n
n
a
S
n
n
n
+
-
=
-
+
+
+
=
-
³
，
即
1
3 n
n
a
S +
³
，所以数列
na
具有性质
(3)
M
；
（2）①由数列
na
具有性质
(4)
M
得
1
4
n
n
a
S +
³
，
又等比数列
na
的公比为q ，
若
1
q = ，则
1
1
4
(
1)
a
n
a
³
+
，
解得
3
n £
，与n 为任意正整数相矛盾，
当
1
q ¹ 时，
1
1
1
1
1
4
1
n
n
q
a q
a
q
+
-
-
³
-
，
而
0
na >
，整理得
1
1
1
4
1
n
n
q
q
q
+
-
-
³
-
，
若0
1
q
<
< ，则
1
2
1
(
2)
n
q
q
- ³
-
，
解得
2
1
1 log (
2)
q
n
q
< +
-
，与
*
nÎN 矛盾，
若
1
q >
，则
1
2
(
2)
1
n
q
q
-
-
£ ，
当
2
q =
时，
1
2
(
2)
1
n
q
q
-
-
£ 恒成立，满足题意，
当
1
q >
且
2
q ¹
时，
1
2
1
(
2)
n
q
q
- £
-
，
解得
2
1
1 log (
2)
q
n
q
< +
-
，与
*
nÎN 矛盾，
所以
2
q =
；
②由
1
n
n
a
S
l
+
³
，得
1
2
n
n
a
S
l
+
+
³
，
即
1
2
n
n
n
S
S
S
l
+
+
-
³
，因此
1
2
2
2
n
n
n
n
n
S
S
S
S S
l
l
l
+
+
+
³
+
³
，当且仅当
2
n
n
S
S
l
+
=
时取等号，
即
2
1
1
4
n
n
n
n
S
S
S
S
l
+
+
+
£
×
，则有
2
1
1
1
2
1
2
1
4
4
4
n
n
n
n
n
n
n
S
S
S
S
S
S
S
S
l
l
l
-
+
-
-
-
æ
ö
æ
ö
£
×
£
×
£
£
×
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
L
，
由数列
na
各项均为正数，
得
1
n
n
S
S +
<
，从而
1
2
1
1
4
n
S
S
l
-
æ
ö
< ç
÷
è
ø
，即
1
1
2
4
n
S
S
l
-
æ
ö
>
ç
÷
è
ø
，
若0
4
l
<
<
，则
1
2
4
1
log
S
n
S
l
< +
，与
*
nÎN 矛盾，
因此当
4
l ³
时，
1
1
1
2
1
4
n
n
S
S
l
-
-
æ
ö
³
>
ç
÷
è
ø
恒成立，符合题意，
所以l 的最小值为4．
14．（24-25 高二下·北京延庆·期末）已知A：
1a ，
2a ，…，
*
2,
na
n
n
³
ÎN
为有穷实数数列.对于实数x，若A 中
存在
ia ，
1
ia + ，
2
ia + ，…，
*,
i
j
a
i
j
+
Î
Î
N
N ，使得
1
2
i
i
i
i
j
a
a
a
a
x
+
+
+
+
+
+
+
=
L
，则称x 为A 的连续可表数，将所有
A 的连续可表数构成的集合记作
S A .
(1)设数列A：1，2，3；B：1，1，1，2.写出
S A 和
S B .
(2)是否存在数列A，满足
2,3,4,5,6
S A =
，若存在，求出所有数列A，若不存在，说明理由；
(3)求出所有的整数m，使得存在数列A，满足
,
1,
2,
3,
4
S A
m m
m
m
m
=
+
+
+
+
.
【答案】(1)
1,2,3,5,6
S A =
，
1,2,3,4,5
S B =
(2)不存在，理由见解析
(3)－5，－4，－3，－2，－1，0，1
【详解】（1）数列A：1，2，3，所有A 的连续可表数构成的集合
S A ，
则
1
1
a = ，
2
2
a = ，
3
3
a = ；
1
2
3
a
a
+
=
，
2
3
5
a
a
+
=
，
1
2
3
6
a
a
a
+
+
=
，
则
1,2,3,5,6
S A =
，同理可得
1,2,3,4,5
S B =
.
（2）若数列A：
1a ，
2a ，…，
na 满足
2,3,4,5,6
S A =
，不妨设
1
2
n
a
a
a
£
£
£
L
.
假设数列A 只有两项，则
S A 中至多3 个元素，这与
S A 中有5 项矛盾，故假设错误，
所以数列A 至少3 项，即
3
n ³
，nÎN .
因为数列A：
1a ，
2a ，…，
na 中任意一项都属于
2,3,4,5,6
S A =
，
所以
2
1,2,
,
ia
i
n
³
=
L
，所以
1
2
6
2
n
a
a
a
n
+
+
+
=
³
L
，解得
3
n £
，所以
3
n =
；
又因为
2
1,2,
,
ia
i
n
³
=
L
且
1
2
3
6
a
a
a
+
+
=
，所以
1
2
3
2
a
a
a
=
=
=
，
此时
2,4,6
S A =
，即不存在数列A 满足
2,3,4,5,6
S A =
.
（3）若数列A：
1a ，
2a ，…，
na 满足
,
1,
2,
3,
4
S A
m m
m
m
m
=
+
+
+
+
，
不妨设
1
2
n
a
a
a
£
£
£
L
.由（2）可知数列A 至少3 项，即
3
n ³
，nÎN .
①当
0
m >
时，由
,
1,
2,
3,
4
S A
m m
m
m
m
=
+
+
+
+
，
得
0
1,2,
,
ia
m
i
n
³
>
=
L
，且
1
2
1
2
3
4
3
n
a
a
a
m
a
a
a
m
+
+
+
=
+
³
+
+
³
L
，
解得
2
m £
，所以0
2
m
<
£
，又mÎZ ，所以，即
1
m = ，2；
由（2）可知
2
m =
不成立，所以
1
m = ，
令数列A：1，1，1，1，1，满足
1,2,3,4,5
S A =
；
②当
4
m < - ，即
4
0
m +
<
时，由
,
1,
2,
3,
4
S A
m m
m
m
m
=
+
+
+
+
，
得
4
0
1,2,
,
ia
m
i
n
£
+
<
=
L
，且
1
2
2
1
3
4
n
n
n
n
a
a
a
m
a
a
a
m
-
-
+
+
+
=
£
+
+
£
+
L
，
解得
6
m ³ - ，所以6
4
m
- £
< - ，又mÎZ ，则
5
m = - ，－6；
当
5
m = - 时，令数列A：－1，－1，－1，－1，－1，满足
5, 4, 3, 2, 1
S A = -
-
-
-
-
；
当
6
m = - 时，由（2）同理可得不成立.
③当4
0
m
- £
£
时，由mÎZ ，
4
m = - ，－3，－2，－1，0.
当
0
m =
时，令数列A：0，1，1，1，1，满足
0,1,2,3,4
S A =
；
当
1
m = - 时，令数列A：－1，0，1，1，1，满足
1,0,1,2,3
S A = -
；
当
2
m = - 时，令数列A：－1，－1，0，1，1，满足
2, 1,0,1,2
S A = -
-
；
当
3
m = - 时，令数列A：－1，－1，－1，0，1，满足
3, 2, 1,0,1
S A = -
-
-
；
当
4
m = - 时，令数列A：－1，－1，－1，－1，0，满足
4, 3, 2, 1,0
S A = -
-
-
-
；
综上所述，m 可能的取值有－5，－4，－3，－2，－1，0，1.
15．（2025·安徽马鞍山·模拟预测）已知
*
nÎN 且
2
n ³
，数列
0
1
2
3
1
:
,
,
,
,
,
n
n
A
a a a
a
a
-
L
，定义数列
0
A 的一个变换T ，
在变换T 下数列
0
A 变为新的数列
1
1
2
2
3
1
1
:
,
,
,
,
n
n
n
A
a
a a
a
a
a a
a
-
-
-
-
-
L
，记
0
1
T A
A
=
，设
1
,
k
k
A
T A
k
+ =
ÎN ．
(1)若
1
0 :1,2,4,
,2n
A
-
L
，求
1
2
,
A A ；
(2)若
100
n =
，且
0 :1,2,3,
,
A
n
L
，记数列
*
kA
k ÎN
的末项为
kb ，求数列
*
kb
k ÎN
的前100 项的和；
(3)若
4
n =
，数列
0
A 不是常数列，求证：存在
*
0k ÎN ，使得对任意
0
k
k
³
，数列
kA 中至少有一项的绝对值大于
2025．
【答案】(1)
2
1
1 : 1, 2, 4,
, 2
,2
1
n
n
A
-
-
- -
-
-
-
L
，
3
2
1
2 :1,2,4,
,2
, 3 2
1,2
n
n
n
A
-
-
-
- ´
+
L
(2)9999
(3)证明见解析
【详解】（1）由定义知：
2
1
1 : 1, 2, 4,
, 2
,2
1
n
n
A
-
-
- -
-
-
-
L
，
3
2
1
2 :1,2,4,
,2
, 3 2
1,2
n
n
n
A
-
-
-
- ´
+
L
．
（2）由题，
1
1
: 1, 1,
, 1,
1
n
A
n
-
- -
-
-
L
144244
3
个
，故
1
1
b
n
=
- ；
2
2
:0,0,
0,
,
n
A
n n
-
-
L
1424
3
个
，故
2b
n
=
；
3
3
: 0,0,
,0, , 2 ,
n
A
n
n n
-
-
L
14243
个
，故
3b
n
=
，依次类推知
1,
1
,2
100
k
n
k
b
n
k
-
=
ì
= í
£
£
î
；
故
100
1
2
100
100 1 99 100
9999
S
b
b
b
=
+
+
+
=
- +
´
=
L
．
（3）当
4
n =
时，记数列
:
,
,
,
,
k
k
k
k
k
A
x
y
z t
k ÎN ，
则
*
k ÎN 时，
1
1
1
1
0,
,
,
,
k
k
k
k
x
y
z
t
x y z t
+
+
+
=
不全为0,
1
1
1
1
1
1
1
1
;
;
,
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
x
x
y
y
y
z
z
z
t
t
t
x
-
-
-
-
-
-
-
-
=
-
=
-
=
-
=
-
．
故
2
k ³
时，
2
2
2
2
2
2
2
2
1
1
1
1
1
1
1
1
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
x
y
z
t
x
y
y
z
z
t
t
x
-
-
-
-
-
-
-
-
+
+
+
=
-
+
-
+
-
+
-
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
2
2
2
2
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
x
y
z
t
x
z
y
t
x
y
z
t
x
z
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
³
+
+
+
-
+
+
=
+
+
+
+
+
2
2
2
2
1
1
1
1
2
k
k
k
k
x
y
z
t
-
-
-
-
³
+
+
+
1
2
2
2
2
1
1
1
1
2k
x
y
z
t
-
³¼³
+
+
+
．
取
0k 使得
0 1
2
2
2
2
2
1
1
1
1
2
4 2025
k
x
y
z
t
-
+
+
+
>
´
，
则对任意
2
2
2
2
2
0,
4 2025
k
k
k
k
k
k
x
y
z
t
³
+
+
+
>
´
，故
2
2
2
2
,
,
,
k
k
k
k
x
y
z t 中至少有一个数大于
2
2025 ，
即数列
kA 中至少有一项的绝对值大于2025．
16．（24-25 高二下·北京大兴·期末）若有穷数列
1
:
Q a ，
2a ，L，
ka 满足如下三个性质，则称Q 为k - 数列：①项
数
3
k ³
；②
1
0
a ³
，
1
1,2,
,
1
m
m
a
a
m
k
+ >
=
-
L
；③令集合
1
2
,
,
,
k
M
a a
a
=
L
，对
i
" ，
1
j
i
j
k
£ £
£
，
j
i
a
a
M
-
Î
或
i
j
a
a
M
+
Î
．
(1)判断数列0，2，4，6 是否是4 -数列，并说明理由；
(2)若
1
:
Q a ，
2a ，L，
ka 为k - 数列，求证：对s
" ，t
$ 满足
1
,
s
k
t
a
a
a
s t
k
=
+
£
£
；
(3)已知
1
:
Q a ，
2a ，L，
ka 为k - 数列，求证：当
5
k ³
时，Q 是等差数列．
【答案】(1)数列0，2，4，6 是4 -数列，理由见解析
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【详解】（1）由题意知，集合
0,2,4,6
M =
．
因为数列0，2，4，6 共有4 项，0 2 4 6
< < < ，
且0 0
- ，2 0
- ，4
0
- ，6
0
- ，2
2
-
，4
2
-
，6
2
- ，4
4
- ，6
4
- ，6
6
-
都是集合M 的元素，
所以数列0，2，4，6 是4 -数列．
（2）由题意知，集合
1
2
,
,
,
k
M
a a
a
=
L
．
已知
1
:
Q a ，
2a ，L，
ka 为k - 数列．
①因为
0
ka >
，所以
k
k
k
a
a
a
+
>
，所以
k
k
a
a
M
+
Ï
，
k
k
a
a
M
-
Î
．
故0
M
Î
．因此
1
0
a =
．
所以
1
t$ = 满足
1
1
t
a
a
a
=
+
．
②当2
s
k
£ £
时，因为
0
sa >
，
所以
k
s
a
a
M
+
Ï
，
k
s
a
a
M
-
Î
．
所以对于2
s
k
" £ £
，t
$ 满足
k
s
t
a
a
a
M
-
=
Î
，即
k
t
s
a
a
a
=
+
．
所以对s
" ，t
$ 满足
1
,
k
t
s
a
a
a
s t
k
=
+
£
£
（3）因为
1
:
Q a ，
2a ，L，
ka 为k - 数列，
所以
1
2
2
1
0
k
k
k
k
k
k
k
k
k
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
-
-
=
-
<
-
<
-
<
<
-
<
-
=
L
，
且
1
2
3
1
0
k
k
a
a
a
a
a
-
£
<
<
<
<
<
L
．
所以
1
k
k
a
a
a
-
=
，
1
2
k
k
a
a
a
-
-
=
，
2
3
k
k
a
a
a
-
-
=
，L，
2
1
k
k
a
a
a -
-
=
，
1
k
k
a
a
a
-
=
．
即
1
k
k i
i
a
a
a
-
+
-
=
，1
1
i
k
£ £
- ．①
当3
1
i
k
£ £
- 时，
1
1
1
2
k
k
k
a
a
a
a
a
-
-
+
+
=
<
，
所以
1
k
i
a
a
M
- +
Ï
，
1
k
i
a
a
M
- -
Î
．
由
1
1
1
2
1
3
3
2
0
k
k
k
k
k
k
k
a
a
a
a
a
a
a
a
a
-
-
-
-
-
-
=
-
<
-
<
<
-
<
-
=
L
，
且
1
2
3
3
2
0
k
k
a
a
a
a
a
-
-
£
<
<
<
<
<
L
．
所以
1
1
1
k
k
a
a
a
-
-
-
=
，
1
2
2
k
k
a
a
a
-
-
-
=
，
1
3
3
k
k
a
a
a
-
-
-
=
，L，
1
3
3
k
k
a
a
a
-
-
-
=
，
所以
1
k
k i
i
a
a
a
-
-
-
=
，1
3
i
k
£ £ - ．
因为
5
k ³
时，
1
1
1
k
k
a
a
a
-
-
-
=
，
1
2
2
k
k
a
a
a
-
-
-
=
，
所以
1
1
1
k
k
a
a
a
-
-
-
=
，且
1
2
2
k
k
a
a
a
-
-
-
=
，
有
1
k
k i
i
a
a
a
-
-
-
=
，1
1
i
k
£ £
- ．②
将①②两式相减得
1
1
k
k
i
i
a
a
a
a
-
+
-
=
-
，1
1
i
k
£ £
- ．
因此，当
5
k ³
时，
1
:
Q a ，
2a ，L，
ka 是等差数列．
1．（2023·陕西宝鸡·模拟预测）某农村合作社引进先进技术提升某农产品的深加工技术，以此达到10 年内每年此
农产品的销售额（单位：万元）等于上一年的1.3 倍再减去3.已知第一年（2024 年）该公司该产品的销售额为100
万元，则按照计划该公司从2024 年到2033 年该产品的销售总额约为（ ）（参考数据：
10
1.3
13.79
»
）
A．3937 万元
B．3837 万元
C．3737 万元
D．3637 万元
【答案】A
【详解】设该公司在2024 年，2025 年，...，2033 年的销售额（单位：万元）分别为
1
2
10
,
,
,
a a
a
L
.
依题意可得
1
1.3
3
1,2,
,9
n
n
a
a
n
+ =
-
=
L
，则
1
10
1.3
10
1,2,
,9
n
n
a
a
n
+ -
=
-
=
L
，
所以数列
10
na -
是首项为90，公比为1.3 的等比数列，
则
1
10
90 1.3n
na
-
-
=
´
，即
1
90 1.3
10
n
na
-
=
´
+
，
则
10
1
2
10
90
1 1.3
10 10
100
300
13.79 1
3937
1 1.3
a
a
a
´
-
+
+
+
=
´
+
»
+
´
-
=
-
L
，
故从2024 年到2033 年该产品的销售总额约为3937 万元.
故选：A.
2．（24-25 高二下·辽宁沈阳·期中）甲、乙两名大学生同时于2025 年5 月初向银行贷款5000 元，甲与银行约定按
“等额本金还款法”进行还款，乙与银行约定按“等额本息还款法”进行还款；两人都分12 次还清所有的欠款，从
2025 年6 月初开始，每个月月初还一次款，贷款月利率均为0.4%，则2025 年10 月初甲比乙将多还多少元（精确
到个位，参考数据：
11
1.004
1.045
»
，
12
1.004
1.049
»
，
13
1.004
1.053
»
）（ ）
A．2
B．4
C．6
D．8
【答案】A
【详解】学生甲从5 月初到9 月初已经还了4 个月，
在第5 个月的还款额为5000
5000
5000
4
0.4%
430
12
12
æ
ö
+
-
´
´
=
ç
÷
è
ø
元，
设学生乙每个月的还款额均为x 元，第
1
12
n
n
£
£
个月还款后还剩余
na 元未还，
显然
1
5000 1
0.4%
a
x
=
+
-
，
2
1 1
. %
0 4
a
a
x
=
+
-
，
3
2 1
. %
0 4
a
a
x
=
+
-
，
……，
11
10 1
0. %
4
a
a
x
=
+
-
，
12
11 1
0. %
4
a
a
x
=
+
-
显然
12
0
a
=
，故
11
1 0.4%
x
a = +
，
考点三
数列实际应用问题
所以
10 1 0.4
1 0.4
%
%
x
a
x
=
+
-
+
，故
10
2
1
1
1 0.4
1
%
%
0.4
a
x
æ
ö
=
+
ç
÷
ç
÷
+
+
è
ø
，
依次类推，可得
1
2
11
1
1
1
1 0.4
1 0
%
%
%
.4
1 0.4
a
x
æ
ö
=
+
+
+
ç
÷
ç
÷
+
+
+
è
ø
L
，
即
2
11
1
1
1
5000 1 0.4
1 0.4
1 0.4
%
%
%
1 0.4%
x
x
æ
ö
+
-
=
+
+
+
ç
÷
ç
÷
+
+
+
è
ø
L
，
所以
2
11
5000 1 0.4
1
1
1
1 1 0.4
1 0.
%
%
%
%
4
1 0.4
x
+
=
+
+
+
+
+
+
+
L
，
由等比数列求和公式可得
12
12
2
11
11
1
1
1 0.4
1 0.4
1
1
1
1
1
1
1 0.4
1 0.4
1 0.4
0.4
1 0.4
1 1 0.4
%
%
%
%
%
%
%
%
-
+
+
-
+
+
+
+
=
=
+
+
+
+
- +
L
，
故
12
12
5000 0.4
1 0.4
1 0.4
%
%
428.16
%
1
x
´
»
+
=
+
-
元，
学生乙每个月的还款额均为428.16 元，
所以甲比乙将多还430
428.16
1.84
2
-
=
»
元．
故选：A
3．（24-25 高二下·北京延庆·期中）北宋科学家沈括在《梦溪笔谈》中记载了“隙积术”，提出长方台形垛积的一般
求和公式.如图，由大小相同的小球堆成的一个长方台形垛积的第一层有ab 个小球，第二层有
1
1
a
b
+
+
个小
球，第三层有
2
2
a
b
+
+
个小球……依此类推，最底层有cd 个小球，共有n 层，由“隙积术”可得这些小球的总个
数为[(2
)
(2
)
(
)]
6
n
b
d a
d
b c
c
a
+
+
+
+
-
.若由小球堆成的某个长方台形垛积有8 层，小球总个数是460，则该垛积的第
一层小球个数可以是（ ）
A．5
B．8
C．12
D．19
【答案】C
【详解】当
8
n = 时，最底层小球的数量为
(
7)(
7)
cd
a
b
=
+
+
，即
7
c
a
=
+
，
7
d
b
=
+
，
从而有8 [(2
7)
(2
14
)(
7)
7]
460
6
b
b
a
b
b a
×
+
+
+
+
+
+
+
=
，
整理得2
7
7
80
ab
a
b
+
+
=
，由,a b 皆为正整数，得a
b
+
是不超过10 的正偶数，
当
2
a
b
+
=
时，
33
ab =
，无解；当
4
a
b
+
=
时，
26
ab =
，无解；
当
6
a
b
+
=
时，
19
ab =
，无解；当
8
a
b
+
= 时，
12
ab =
，解得
3
4
a
b
=
ì
í =
î
或
4
3
a
b
=
ì
í =
î
，符合题意；
当
10
a
b
+
=
时，
5
ab =
，无正整数解，
所以该垛积的第一层小球个数
12
ab =
.
故选：C
4．（24-25 高二下·广东韶关·期末）今年某企业投产高新设备，合格品全部销售完毕，预设第n 个月将实现销量倍
增的目标．已知每月产量在前一个月的基础上提高10% ，第1个月产品合格率为90%，前9个月合格率每月增加
1% ，之后合格率保持不变．则n 的值为（ ）（
*
nÎN 且
12
n £
，参考数据：
6
1.7
1.1
1.8
<
<
，
7
1.9
1.1
2
<
<
）
A．7
B．8
C．9
D．10
【答案】B
【详解】设第n 个月的产量和合格率分别构成数列
na
、
nb
，
不妨设
1
1
a = ，则数列
na
是首项为1，公比为1.1的等比数列，故
1
1
1 1.1
1.1
n
n
na
-
-
= ´
=
，
nb
的前9项构成以0.9 为首项，公差为0.01的等差数列，
故当1
9
n
≤≤时，
0.9
0.01
1
0.01
0.89
nb
n
n
=
+
´
-
=
+
，
由题意可知当
10
n≥
时，
9
0.98
nb
b
=
=
，
则该公司第n 个月的销量为
n
n
a b ，
当1
9
n
≤≤时，
1
0.01
0.89
1.1n
n
n
a b
n
-
=
+
´
，
当1
8
n
£
£
时，
1
0
n
n
a
a
+ >
>
，
1
0
n
n
b
b
+ >
>
，则
1
1
n
n
n
n
a b
a
b
+
+
<
，
故数列
1
9
n
n
a b
n
£
£
为递增数列，且
1 1
0.9
a b =
，
因为
6
7
7
0.96 1.1
0.96 1.8
1.728
1.8
a b =
´
<
´
=
<
，
7
8 8
0.96 1.1
0.97 1.9
1.843
1.8
a b =
´
>
´
=
>
，
当10
12
n
£
£
时，
1
0.98 1.1n
n
n
a b
-
=
´
，此时数列
10
12
n
n
a b
n
£
£
单调递增，
此时
9 9
1.8
n
n
a b
a b
>
>
，不合乎题意，故
8
n =
.
故选：B.
5．（24-25 高三上·山西·期末·多选）甲、乙、丙、丁四人玩报数游戏：第一轮，甲报数字1，乙报数字2 ，3，丙
报数字4 ，5 ，6 ，丁报数字7 ，8 ，9，10；第二轮，甲报数字11，12，13，14，15，依次循环，直到报出数字
10000，游戏结束，则（ ）
A．10000是乙报的
B．2024 是丁报的
C．甲共报了36轮
D．甲在前四轮所报数字之和大于1600
【答案】BC
【详解】甲、乙、丙、丁第n 轮的报数个数分别为4
3
n - ，4
2
n -
，4
1
n - ，4n ，
前n 轮共报数个数为
2
1
2
4
2
4
1
8
2
n
n
n
n
n
+
+
+
=
+
=
+
L
.
当
35
n =
时，
2
8
2
9870
10000
n
n
+
=
<
；
当
36
n =
时，
2
8
2
10440
10000
n
n
+
=
>
；
且9870 141 10011
+
=
，故10000是甲报出的，且甲报了36轮，A 错误，C 正确；
对于B，当
15
n =
时，
2
8
2
1830
n
n
+
=
；
当
16
n =
时，
2
8
2
2080
n
n
+
=
，故2024 在第16轮报数中，2024
2080
4 16
2016
>
- ´
=
，
故数字2024 是丁报的，B 正确；
对于D，甲在前四轮所报数字之和为
1
11
15
37
45
79
91
1540
1600
+
+
+
+
+
+
+
+
+
=
<
L
L
L
，D 错误.
故选：BC.
6．（24-25 高二下·辽宁大连·期中·多选）某人买一辆15 万元的新车，购买当天支付3 万元首付，剩余向银行贷
款，月利率0.3％，分12 个月还清（每月购买车的那一天分期还款）．有两种金融方案：等额本金还款，将本金平
均分配到每一期进行偿还，每一期所还款金额由两部分组成，一部分为每期本金，即贷款本金除以还款期数，另
一部分是利息，即贷款本金与已还本金总额的差乘以利率：等额本息还款，每一期偿还同等数额的本息和，利息
以复利计算．下列说法正确的是（ ）（参考：
11
1.003
1.0335
»
，
12
1.003
1.0366
»
，计算结果精确到元）
A．等额本息方案，每月还款金额为10196 元
B．等额本金方案，最后一个月还款金额为10030 元
C．等额本金方案，所有的利息和为2340 元
D．等额本金方案比等额本息方案还款的利息多
【答案】ABC
【详解】BC 选项，对等额本金的还款方案，设每月的还款额为
na （万元），
则
1
1 12 0.3%
1.036
a = +
´
=
，
2
1 11 0.3%
1.033
a = +
´
=
，…，
12
1 1 0.3%
1.003
a
= + ´
=
.
所以所还的利息总数为
12
1 12
0.3%
1
2
3
12
0.3%
0.234
2
´
+
´
+
+ +
+
=
´
=
L
（万元）.
故BC 正确；
对等额本息的还款方案，设第n 个月的贷款利息为
nb （万元），偿还本金为
nc （万元），
则
1
12 0.3%
0.036
b =
´
=
，
2
1
1
12
0.3%
0.036
0.3%
b
c
c
=
-
´
=
-
×
，
2
1
1
2
c
b
c
b
=
+
-
1
1 0.3%
c
=
+
×
，
3
1
2
1
2
12
0.3%
0.036
0.3%
b
c
c
c
c
=
-
-
´
=
-
×
+
，
3
2
2
3
c
b
c
b
=
+
-
2
1
1
0.03%
c
=
+
×
同理可得：
3
4
1
1
0.03%
c
c
=
+
×
，
4
5
1
1
0.03%
c
c
=
+
×
，…，
11
12
1
1 0.03%
c
c
=
+
×
.
所以
nc
是以
1c 为首项，1 0.03%
+
为公比的等比数列.
其前12 项的和为：
12
1 1
1 0.03%
12
1
1 0.03%
c é
ù
-
+
ë
û =
-
+
Þ
1
0.036
0.9836
0.0366
c =
»
.
所以每月的还款额为
1
1
0.036
0.9836
1.0196
b
c
+
=
+
=
.
所还利息总和为0.0196 12
0.2352
´
=
，故A 正确；
又0.2352
0.234
>
，所以等额本息还款的利息多，故D 错误.
故选：ABC
7．（24-25 高二下·江西南昌·期中）小琴3 月8 日用分期付款的方式购买一件商品，商品价格为2200 元，购买当天
支付200 元，当年4 月开始算分期付款的第一个月，月利率为0.5%,25个月还清．
（1）已知从当年4 月开始，后面每月的8 日都还款本金80 元，并加付欠款利息，若全部欠款付清后，则购买这
件商品实际付款
元；
（2）若从当年4 月开始，后面每月的8 日还款一次，每次还款数额相同，按复利计息，则每月还款金额为
元．（最后结果保留4 位有效数字，参考数据：
25
(1 0.5%)
1.133
+
»
）
【答案】
2330
85.19
【详解】（1）设第n 个月付款
na 元，则
80
2000
80
1
0.5%
90.4
0.4
na
n
n
é
ù
=
+
-
-
´
=
-
ë
û
，
所以购买这件商品实际付款
25
1
25 25 1
90 25
0.4
2130
2
n
i
i
S
a
=
-
=
=
´
-
´
=
å
，
所以购买这件商品实际付款200
2130
2330
+
=
元；
（2）设每期还款x 元，按复利计算2000 元贷款经过25 期连本带息增值为
25
2000 1 0.5%
+
元.
则
24
23
25
1
0.5%
1
0.5%
2000 1
0.5%
x
x
x
+
+
+
+×××+
=
+
，
可得
25
25
1
1 0.5%
2000 1 0.5%
1
1 0.5%
x é
ù
-
+
ë
û =
+
-
+
，
整理可得
25
25
2000 1 0.5%
0.5%
2000 1.133 0.5%
85.19
1.133 1
1 0.5%
1
x
+
´
´
´
=
»
»
-
+
-
，
所以每月还款金额为85.19元.
故答案为：2330；85.19.
8．（2025·北京·三模）为保证某水域内鱼类资源的可持续发展，需根据其自身再生能力等因素制定合理的捕捞方
案.记
*
N
na
nÎ
为第n 年初时该水域内的鱼类总量，根据研究，第n 年鱼类的自然繁殖量与lg
na 成正比，自然死
亡量与
2
na 成正比，捕捞量与
na 成正比，比例系数分别为
, ,
, ,
0
a b c a b c >
，则
1
na + 和
na 的关系式为
；若
1
1,
10
b
a
=
=
，要保持每年年初时鱼类总量始终不变，则一组符合条件的
,a c 为
.
【答案】
2
*
1
lg
,
N
n
n
n
n
n
a
a
a
a
ba
ca
n
+ =
+
-
-
Î
110,1 （答案不唯一）
【详解】因为第n 年鱼类的自然繁殖量与lg
na 成正比，自然死亡量与
2
na 成正比，捕捞量与
na 成正比，比例系数分
别为
, ,
, ,
0
a b c a b c >
，
所以
2
*
1
lg
,
N
n
n
n
n
n
a
a
a
a
ba
ca
n
+ =
+
-
-
Î
，
若
1
1,
10
b
a
=
=
，要保持每年年初时鱼类总量始终不变，即
1
n
n
a
a
+ =
，
所以
2
lg
0
n
n
n
a
a
a
ca
-
-
=
，代入
1
n = ，则有
10
100
0
a
c
-
-
=
，
即有
10
100
a
c
=
+
，由于,
0
a c >
，不妨取
1,
110
c
a
=
=
，
经检验
1,
110
c
a
=
=
满足题意.
故答案为：
2
*
1
lg
N
n
n
n
n
n
a
a
a
a
ba
ca
n
+ =
+
-
-
Î
；
110,1 （答案不唯一）.
9．（24-25 高二下·安徽阜阳·期末）实行垃圾分类，关系广大人民群众生活环境，关系节约使用资源，也是社会文
明水平的一个重要体现．处理生活垃圾的主要方式有填埋方式和环保方式．去年某地产生的生活垃圾为100 万
吨，其中80 万吨垃圾以填埋的方式处理，20 万吨垃圾以环保的方式处理，预计每年生活垃圾的总量依次递增
10%，同时，通过环保方式处理的垃圾量每年增加10 万吨．已知用填埋的方式处理生活垃圾的成本为100 元/吨，
用环保的方式处理生活垃圾的成本为500 元/吨．
(1)为了确定处理生活垃圾的预算，请写出今年起该地通过填埋方式处理的垃圾总量关于年数n 的表达式；
(2)求从今年起，该地6 年内处理生活垃圾的预算总和．(参考数据∶1.16≈1.77)
【答案】(1)100
1 1
20
10
.
n
n
×
-
-
(2)
9
2 167
10
.
´
【详解】（1）由题可得从今年起每年生活垃圾的总量(单位:万吨)构成公比为1.1 的等比数列
na
，
今年起每年用环保的方式处理的垃圾总量(单位:万吨)构成公差为10 的等差数列
nb
，
今年起每年用填埋的方式处理的垃圾总量(单位:万吨)构成数列
nc
，满足
n
n
n
c
a
b
=
-
.
则
100 1 0.1
100 1.1
n
n
na =
+
=
×
，
20
10
nb
n
=
+
，
100
1 1
20
10
.
n
n
n
n
c
a
b
n
=
-
=
×
-
-
.
（2）设6 年内处理生活垃圾的预算之和为W，数列
nb
的前n 项和为
n
S ，
数列
nc
的前n 项和为
nT ，
则
6
30
80
6
330
2
S
+
=
´
=
，
6
6
6
6
110 1 1.1
1100 1.1
1
330
517
1 1.1
T
S
-
=
-
=
-
-
»
-
所以
4
4
9
330
500
10
517
100
10
2 167
10
.
W »
´
´
+
´
´
=
´
（元）
10．（24-25 高二下·四川绵阳·期中）某工厂去年12 月试生产新工艺消毒剂1250 升，产品合格率为90%，从今年
1 月开始，工厂在接下来的两年中将正式生产这款消毒剂，今年1 月按去年12 月的产量和产品合格率生产，此后
每个月的产量都在前一个月的基础上提高5%，产品合格率比前一个月增加0.4% .
(1)求今年1 月到12 月该消毒剂的总产量；
(2)从第几个月起，月产消毒剂中不合格的量能一直控制在120 升以内（不含120 升）？
参考公式：月产消毒剂中不合格的量＝月产量´（1－月产品合格率）
参考数据：
10
1.05
1.6
»
，
11
1.05
1.7
»
，
12
1.05
1.8
»
，
13
1.05
1.9
»
【答案】(1)20000 升
(2)第12 个月，不合格的量能一直控制在120 升以内
【详解】（1）设从今年1 月起，各月的产量构成数列
na
，
因为
1
1.05
n
na
a
+ =
，且
1
1250
a =
，
可知数列
na
是以公比为1.05的等比数列，
所以今年1 月到12 月该消毒剂的总产量为
12
12
1250 1 1.05
1250 1 1.8
20000
1 1.05
1 1.05
S
-
-
=
»
=
-
-
升.
（2）设从今年1 月起，各月不合格率构成数列
nb
，
则
1
1250 1.05n
na
-
=
´
，
1
90%
0.4%
1
0.104
0.004
nb
n
n
é
ù
= -
+
-
=
-
ë
û
，
则从今年1 月起，各月不合格产品数量是
1
1250 1.05
0.104
0.004
n
n
n
a b
n
-
=
´
´
-
，
因为
1
1
1
1250 1.05
0.1 0.004
1250 1.05
0.104
0.004
n
n
n
n
n
n
a
b
a b
n
n
-
+
+ -
=
´
´
-
-
´
´
-
1
1250 1.05
0.001 0.002
n
n
-
=
´
-
，
当
4
n £
时，
1
1
n
n
n
n
a
b
a b
+
+ >
；当
5
n =
时，
5 5
6 6
a b
a b
=
；当
6
n ³
时，
1
1
n
n
n
n
a
b
a b
+
+ <
；
且
1 1
125
120
a b =
>
，
11 11
120
a b =
，
所以第12 个月，不合格的量能一直控制在120 升以内.
