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第4 讲 函数的极值、最值（新高考专用）
【真题自测】.................................................................................................................................2
【考点突破】...............................................................................................................................10
【考点一】利用导数研究函数的极值.............................................................................................10
【考点二】利用导数研究函数的最值.............................................................................................15
【考点三】极值、最值的简单应用................................................................................................21
【专题精练】...............................................................................................................................27
考情分析：
目录
1
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利用导数研究函数的极值、最值是重点考查内容，多以选择题、填空题压轴考查，或以解答题的形式出现，
难度中等偏上，属综合性问题．
一、单选题
1．（2022·全国·高考真题）当
时，函数
取得最大值
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．1
2．（2022·全国·高考真题）函数
在区间
的最小值、最大值分别为（ ）
A．
B．
C．
D．
二、多选题
3．（2024·广东江苏·高考真题）设函数
，则（ ）
A．
是
的极小值点
B．当
时，
C．当
时，
D．当
时，
4．（2024·全国·高考真题）设函数
，则（ ）
A．当
时，
有三个零点
B．当
时，
是
的极大值点
C．存在a，b，使得
为曲线
的对称轴
D．存在a，使得点
为曲线
的对称中心
5．（2023·全国·高考真题）已知函数
的定义域为
，
，则（ ）．
A．
B．
C．
是偶函数
D．
为
的极小值点
真题自测
2
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6．（2023·全国·高考真题）若函数
既有极大值也有极小值，则（ ）．
A．
B．
C．
D．
7．（2022·全国·高考真题）已知函数
，则（ ）
A．
有两个极值点
B．
有三个零点
C．点
是曲线
的对称中心
D．直线
是曲线
的切线
三、填空题
8．（2022·全国·高考真题）已知
和
分别是函数
（
且
）的极小值点和
极大值点．若
，则a 的取值范围是 ．
参考答案：
题号
1
2
3
4
5
6
7
答案
B
D
ACD
AD
ABC
BCD
AC
1．B
【分析】根据题意可知
，
即可解得
，再根据f
' (x)即可解出．
【详解】因为函数
定义域为(0,+ ∞)，所以依题可知，
，
，而
，所以
，即
，所以
，因此函数
在(0,1)上递增，在(1,+∞)上递减，
时取最大值，满足题意，即有
．
故选：B.
2．D
【分析】利用导数求得
的单调区间，从而判断出
在区间
上的最小值和最大值.
【详解】
，
所以
在区间
和
上
，即
单调递增；
3
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在区间
上
，即
单调递减，
又
，
，
，
所以
在区间
上的最小值为
，最大值为
.
故选：D
3．ACD
【分析】求出函数
的导数，得到极值点，即可判断A；利用函数的单调性可判断B；根据函数
在
上的值域即可判断C；直接作差可判断D.
【详解】对A，因为函数
的定义域为R，而
，
易知当
时，f
' (x)<0，当
或
时，f
' (x)>0
函数
在
上单调递增，在
上单调递减，在
上单调递增，故
是函数
的极小
值点，正确；
对B，当
时，
，所以
，
而由上可知，函数
在(0,1)上单调递增，所以
，错误；
对C，当
时，
，而由上可知，函数
在
上单调递减，
所以
，即
，正确；
对D，当
时，
，
所以
，正确；
故选：ACD.
4．AD
【分析】A 选项，先分析出函数的极值点为
，根据零点存在定理和极值的符号判断出
在
4
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上各有一个零点；B 选项，根据极值和导函数符号的关系进行分析；C 选项，假设存在
这样的
，使得
为
的对称轴，则
为恒等式，据此计算判断；D 选项，若存在这
样的
，使得
为
的对称中心，则
，据此进行计算判断，亦可利用拐点
结论直接求解.
【详解】A 选项，
，由于
，
故
时
，故
在
上单调递增，
时，
，
单调递减，
则
在
处取到极大值，在
处取到极小值，
由
，
，则
，
根据零点存在定理
在
上有一个零点，
又
，
，则
，
则
在
上各有一个零点，于是
时，
有三个零点，A 选项正确；
B 选项，
，
时，
，
单调递减，
时
，
单调递增，
此时
在
处取到极小值，B 选项错误；
C 选项，假设存在这样的
，使得
为
的对称轴，
即存在这样的
使得
，
即
，
根据二项式定理，等式右边
展开式含有
的项为
，
于是等式左右两边
的系数都不相等，原等式不可能恒成立，
于是不存在这样的
，使得
为
的对称轴，C 选项错误；
D 选项，
5
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方法一：利用对称中心的表达式化简
，若存在这样的
，使得
为
的对称中心，
则
，事实上，
，
于是
即
，解得
，即存在
使得
是
的对称中心，D 选项正确.
方法二：直接利用拐点结论
任何三次函数都有对称中心，对称中心的横坐标是二阶导数的零点，
，
，
，
由
，于是该三次函数的对称中心为
，
由题意
也是对称中心，故
，
即存在
使得
是
的对称中心，D 选项正确.
故选：AD
【点睛】结论点睛：（1）
的对称轴为
；（2）
关于
对称
；（3）任何三次函数
都有对称中心，对称中心是三次函数
的拐点，对称中心的横坐标是
的解，即
是三次函数的对称中心
5．ABC
【分析】方法一：利用赋值法，结合函数奇偶性的判断方法可判断选项ABC，举反例
即可排除选
项D.
6
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方法二：选项ABC 的判断与方法一同，对于D，可构造特殊函数
进行判断即可.
【详解】方法一：
因为
，
对于A，令
，
，故
正确.
对于B，令
，
，则
，故B 正确.
对于C，令
，
，则
，
令
，
又函数
的定义域为
，所以
为偶函数，故
正确，
对于D，不妨令
，显然符合题设条件，此时
无极值，故
错误.
方法二：
因为
，
对于A，令
，
，故
正确.
对于B，令
，
，则
，故B 正确.
对于C，令
，
，则
，
令
，
又函数
的定义域为
，所以
为偶函数，故
正确，
对于D，当
时，对
两边同时除以
，得到
，
故可以设
，则
，
当
肘，
，则
，
7
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令
，得
；令
，得
；
故
在
上单调递减，在
上单调递增，
因为
为偶函数，所以
在
上单调递增，在
上单调递减，
显然，此时
是
的极大值，故D 错误.
故选：
.
6．BCD
【分析】求出函数
的导数
，由已知可得
在
上有两个变号零点，转化为一元二次方程
有两个不等的正根判断作答.
【详解】函数
的定义域为
，求导得
，
因为函数
既有极大值也有极小值，则函数
在
上有两个变号零点，而
，
因此方程
有两个不等的正根
，
于是
，即有
，
，
，显然
，即
，A 错误，BCD 正确.
故选：BCD
8
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7．AC
【分析】利用极值点的定义可判断A，结合
的单调性、极值可判断B，利用平移可判断C；利用导数
的几何意义判断D.
【详解】由题，
，令
得
或
，
令
得
，
所以
在
，
上单调递增，
上单调递减，所以
是极值点，故A 正
确；
因
，
，
，
所以，函数
在
上有一个零点，
当
时，
，即函数
在
上无零点，
综上所述，函数
有一个零点，故B 错误；
令
，该函数的定义域为
，
，
则
是奇函数，
是
的对称中心，
将
的图象向上移动一个单位得到
的图象，
所以点
是曲线
的对称中心，故C 正确；
令
，可得
，又
，
当切点为
时，切线方程为
，当切点为
时，切线方程为
，故D 错误.
故选：AC.
9
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8．
【分析】法一：依题可知，方程
的两个根为
，即函数
与函数
的图
象有两个不同的交点，构造函数
，利用指数函数的图象和图象变换得到
的图象，利用
导数的几何意义求得过原点的切线的斜率，根据几何意义可得出答案.
【详解】[方法一]：【最优解】转化法，零点的问题转为函数图象的交点
因为
，所以方程
的两个根为
，
即方程
的两个根为
，
即函数
与函数
的图象有两个不同的交点，
因为
分别是函数
的极小值点和极大值点，
所以函数
在
和
上递减，在
上递增，
所以当时
，f
' (x)<0，即
图象在
上方
当
时，f
' (x)>0，即
图象在
下方
，图象显然不符合题意，所以
．
令
，则
，
设过原点且与函数y = g(x)的图象相切的直线的切点为
，
则切线的斜率为
，故切线方程为
，
则有
，解得
，则切线的斜率为
，
因为函数
与函数
的图象有两个不同的交点，
10
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所以
，解得
，又
，所以
，
综上所述，
的取值范围为
．
[方法二]：【通性通法】构造新函数，二次求导
=0 的两个根为
因为
分别是函数
的极小值点和极大值点，
所以函数
在
和
上递减，在
上递增，
设函数
，则
，
若
，则
在
上单调递增，此时若
，
则f
' (x)在
上单调递减，在
上单调递增，此时若有
和
分别是函数
且
的极小值点和极大值点，则
，不符合题意；
若
，则
在
上单调递减，此时若
，则f
' (x)在
上单调递增，在
上单调
递减，令
，则
，此时若有
和
分别是函数
且
的极
小值点和极大值点，且
，则需满足
，
，即
11
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故
，所以
.
【整体点评】法一：利用函数的零点与两函数图象交点的关系，由数形结合解出，突出“小题小做”，是
该题的最优解；
法二：通过构造新函数，多次求导判断单调性，根据极值点的大小关系得出不等式，解出即可，该法属于
通性通法．
【考点一】利用导数研究函数的极值
核心梳理：
判断函数的极值点，主要有两点
(1)导函数f′(x)的变号零点，即为函数f(x)的极值点．
(2)利用函数f(x)的单调性可得函数的极值点．
一、单选题
1．（2023·吉林通化·模拟预测）已知函数
在区间
上的最大值为k，则函数
在
上（ ）
A．有极大值，无最小值
B．无极大值，有最小值
C．有极大值，有最大值
D．无极大值，无最大值
2．（2023·四川凉山·三模）已知函数
的导函数
，若1 不是函数
的极值
点，则实数a 的值为（ ）．
A．－1
B．0
C．1
D．2
二、多选题
3．（22-23 高三下·浙江·开学考试）定义：设
是
的导函数，
是函数
的导数，若方程
有实数解
，则称点
为函数
的“拐点”.经过探究发现：任何一个三次函数都
有“拐点”且“拐点”就是三次函数图象的对称中心.已知函数
的对称中心为
考点突破
12
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，则下列说法中正确的有（ ）
A．
，
B．函数
既有极大值又有极小值
C．函数
有三个零点
D．过
可以作三条直线与
图象相切
4．（23-24 高三上·湖南长沙·阶段练习）若函数
在
处取得极值，则（ ）
A．
B．
为定值
C．当
时，
有且仅有一个极大值
D．若
有两个极值点，则
是
的极小值点
三、填空题
5．（2023·云南红河·二模）若
是函数
的极小值点，则函数
在区间
上的最大值为 ．
6．（2024·江苏·模拟预测）已知
有两个极值点，则实数
的取值范围为 ．
参考答案：
题号
1
2
3
4
答案
D
D
AB
ABC
1．D
【分析】利用导函数研究
单调性，结合区间最值求得
，进而判断在
上的单调性，即可得
答案.
13
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【详解】由
，则
时
，
时
，
所以
在
上递增，
上递减，
而
，
在
上的最大值为k，
所以
，即
，此时
在
上递减，且无极大值和最大值.
故选：D
2．D
【分析】根据极值点的定义即可求解.
【详解】由题意可知
，若1 不是函数
的极值点，则
，即
，
当
时，
，故当
，当
，因此
是
的极值点，1 不是极值点，故
满足题意，
故选：D
3．AB
【分析】利用导数结合已知求出
判断A；利用导数求出极值，结合三次函数的图象特征判断BC；求出
切线方程判断D.
【详解】由
，求导得
，
，
令
，得
，由函数
的对称中心为
，
得
，且
，解得
，A 正确；
于是
，
，
当
或
时，
，当
时，
，
则函数
在
，
上都单调递增，在
上单调递减，
14
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因此函数
既有极大值
，又有极小值
，B 正确；
由于极小值
，因此函数
不可能有三个零点， C 错误；
显然
，若
是切点，则
，切线方程为
；
若
不是切点，设过点
的直线与
图象相切于点
，
，
由
，解得
，即切点
，切线方程为
，
过
只可以作两条直线与
图象相切，D 错误.
故选：AB
4．ABC
【分析】求导
，由题意可知，
是方程
的一个变号实数根，则
，
即可判断A；由
判断 B；当
时，可得，当
时
，当
时
，即可判断C；将
代入
整理得
，则方程有不相等的实
数根
与，分类讨论，结合极值点的定义可判断D.
【详解】
的定义域为
，则
，
，
由题意可知，
是方程
的一个变号实数根，
则
，故A 正确；
由
得，
，故B 正确；
当
时，因为
，
15
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所以函数
开口向下，且与
轴正半轴只有一个交点，
当
时，
，当
时，
，
所以
在
上单调递增，在
上单调递减，
则
有且仅有一个极大值，故C 正确；
将
代入
整理得
，
则方程有不相等的实数根
与，即
，
当
时，
时，
时，
，
所以
在
上单调递增，在
上单调递减，
则
是
的极大值点，
是
的极小值点，
当
时，
时，
；当
时，
，
所以
在
上单调递增，在
上单调递减，
则
是
的极大值点，
是
的极小值点，故D 错误，
故选：ABC.
5．
/
【分析】求导，根据极值点可得
，进而解得
或
，代入验证极值点可确定
，进而根
据极大值以及端点处的函数值进行比较即可求解.
【详解】由
，得
，
因为
是函数
的极小值点，所以
，即
，
即
，解得
或
．
16
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当
时，
，
当
或
时，
，当
时，
，
所以，
在区间
，
上单调递增，
在
上单调递减，
所以
是函数
的极大值点，不符合题意；
当
时，
，
当
或
时，
，当
时，
，
所以
在区间
，
上单调递增，
在
上单调递减，
所以
是函数
的极小值点，
是函数
的极大值点，故
又因为
，
，
所以函数
在
的最大值为
．
故答案为：
．
6．
【分析】经求导转化可知，函数
有两个极值点，等价于函数
与
的图象有两
个交点.，故只需研究函数
的图象即可求得参数范围.
【详解】由
求导，
，由
可得：
，
因
不满足此式，故可得：
，
则函数
有两个极值点，即函数
与
的图象有两个交点.
17
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由
求导，
，则当
时，
，当
时，
，当
时
，
则函数
在
和
上是减函数，在
上是增函数，故
时，
取得极小值
.
且当
时，
，当
从0 的左边趋近于0 时，
，当
从0 的右边趋近于0 时，
，当
时，
.
故可作出函数
的图象如图.
由图可知：函数
与
的图象有两个交点等价于
.
故答案为：
.
规律方法：
(1)不能忽略函数的定义域．
(2)f′(x0)＝0 是可导函数f(x)在x＝x0处取得极值的必要不充分条件，即f′(x)的变号零点才是f(x)的极值点，
所以判断f(x)的极值点时，除了找f′(x)＝0 的实数根x0外，还需判断f(x)在x0左侧和右侧的单调性．
(3)函数的极小值不一定比极大值小．
【考点二】利用导数研究函数的最值
核心梳理：
1．求函数f(x)在[a，b]上的最大值和最小值的步骤
(1)求函数在(a，b)内的极值．
(2)求函数在区间端点处的函数值f(a)，f(b)．
(3)将函数f(x)的各极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值．
2．若函数含有参数或区间含有参数，则需对参数分类讨论，判断函数的单调性，从而得到函数的最值．
一、单选题
1．（2023·浙江·模拟预测）对函数
(
，
且
)的极值和最值情况进
18
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行判断，一定有（ ）
A．既有极大值，也有最大值
B．无极大值，但有最大值
C．既有极小值，也有最小值
D．无极小值，但有最小值
2．（2024·广东深圳·二模）设函数
，
，若存在
，
，使得
，则
的最小值为（ ）
A．
B．1
C．2
D．
二、多选题
3．（2023·重庆·模拟预测）已知函数
，
，则（ ）
A．
与
的定义域不同，
与
的值域只有1 个公共元素
B．在
与
的公共定义域内，
的单调性与
的单调性完全相反
C．
的极小值点恰好是
的极大值点，
的极大值点恰好是
的极小值点
D．函数
既无最小值也无最大值，函数
既有最小值也有最大值
4．（2024·广东广州·一模）已知直线
与曲线
相交于不同两点
，
，曲线
在点
处的切线与在点
处的切线相交于点
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
三、填空题
5．（2023·吉林·二模）若P，Q 分别是抛物线
与圆
上的点，则
的最小值为
．
6．（2024·江苏·一模）已知
，
，则
的最小值为 .
参考答案：
题号
1
2
3
4
答案
C
B
BC
ACD
19
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1．C
【分析】先求出导数，
，然后讨论方程
根的情况，进而判断各选项
【详解】
，下面讨论方程
根的情况.令
，
，
（1）当
时(即
)，
仅有一个唯一的正零点，不妨设为
，此时
有三个不同零
点，分别为
，0，
；满足既有极小值，也有最小值；
（2）当
时(即
)
；满足既有极小值，也有最小值；
（3）当
时(即
且
)，若
(即
且
)，则
仅有一个唯一的
极小值点为0，若
，结合
分析可知：当
时，
有两个不同的正零点(令为
，
且
).此时
在
，
，
上单调递减，当
时，则
仅有一个唯一的极小值点为0. 满足既有极小值，也
有最小值；综上分析，
故选：C
【点睛】关键点睛：解题的关键在于：求导后讨论方程
根的情况，讨论的时候，
20
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分情况：（1）当
；（2）当
；（3）当
，进而判断各选项，属于
难题
2．B
【分析】根据题意，由条件可得
，即可得到
，构造函数
，求导得其
最值，即可得到结果.
【详解】由题意可得
，即
，
所以
，
又
，所以
在R上单调递增，
即
，所以
，
且
，
令
，x∈(0,+ ∞)，
则
，其中
，
令
，则
，
当x∈(0,1)时，h
' (x)>0，则h(x)单调递增，
当x∈(1,+∞)时，h
' (x)<0，则h(x)单调递减，
所以当
时，h(x)有极大值，即最大值，
所以
，
，
所以
.
故选：B
【点睛】关键点睛：本题主要考查了函数同构问题以及导数求最值问题，结合同构函数，然后构造函数求
导即可得到结果.
3．BC
【分析】首先确定
定义域为
、
定义域为
，再应用导数研究
与
21
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符号，进而判断其单调性、极值点情况；判断
、
奇偶性，研究它们在
上的性质；
根据
的值域情况及
研究最值、及函数值是否有公共元素.
【详解】
定义域为
，对于
有
，即
，故定义域不同，
由
，
，且
，
故在相同的区间内
与
符号相反，即对应
、
单调性相反，B 正确；
由上，
、
的极值点恰好相反，
的极大值点为
极小值点，
的极小值点为
极大值
点，C 正确；
由
，
，均为偶函数，
只需研究在
上
、
的性质：
由
且
，则
，故
递增，则
，故
，
而
在
上连续，且函数值在
范围内波动，即函数值为正、负的区间交替出现，
结合
知：
取0 时
趋向于无穷大（含正负无穷），无最值；D 错误；
极小值
，则
为
极大值，
极大值
，则
为
极小值，
所以
、
值域不可能存在公共点，A 错误.
故选：BC
【点睛】关键点点睛：利用导数研究
、
单调性、极值情况，注意
函数的波动性及值域范围，
22
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结合
研究最值.
4．ACD
【分析】对于A，构造函数
，计算即可判断；对于B，写出
点处的切线程联立并化简得
，而
，计算即可判断；对于C，根据斜率相等可得
，
为两切线的交点代入化简得
，再计算可得
；对于D，根据
，计算即可判断.
【详解】令
，则
，
故
时，
递增；
时，
递减，
所以
的极大值
，且
，
，
因为直线
与曲线
相交于
､
两点，
所以
与
图像有2 个交点，
所以
，故A 正确；
设
，且
，可得
，
在
点处的切线程为
23
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，得
，即
，
因为
，所以
，即
，故B 错误；
因为
，所以
，
因为
为两切线的交点，
所以
，
即
，所以
，
所以
，
故C 正确；
因为
，所以
，所以
，
同理得
，得
，即
，
因为
，所以
，故D 正确.
故选：ACD.
【点睛】方法点睛：判断B，关键在于根据切线方程联立求得
，而
两点得斜率即
24
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为直线得斜率得
，化简可得；判断C，根据斜率相等得
，根据
在切线
上，代入化简计算可得
，计算得
后即可判断，判断D，关键
在于利用不等式
进行计算化简即可判断.
5．
/
【分析】设点
，圆心
，
的最小值即为
的最小值减去圆的半径，求出
的最小值
即可得解．
【详解】依题可设
，圆心
，根据圆外一点到圆上一点的最值求法可知，
的最小值即为
的最小值减去半径．
因为
，
，
设
，
，由于
恒成立，
所以函数
在
上递减，在
上递增，即
，
所以
，即
的最小值为
．
故答案为：
．
6．
/
【分析】依题意可得
，则
，令
，利用导数求出
的最小值，即可
得解.
25
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【详解】
，
，
，
，
，
即
，所以
，
令
，x∈(0,+ ∞)，
则
，
所以当
时f
' (x)<0，当
时
，
所以
在(0,2)上单调递减，在
上单调递增，
所以
，
所以
，当且仅当
时取得.
故答案为：
规律方法：
(1)求函数最值时，不可想当然地认为极值就是最值，要通过比较大小才能下结论．
(2)求函数无穷区间(或开区间)上的最值，不仅要研究其极值，还需研究单调性，结合单调性和极值情况，
画出函数图象，借助图象得到函数的最值．
【考点三】极值、最值的简单应用
一、单选题
1．（2023·湖南·模拟预测）已知函数
在
处取得极大值4，则
（ ）
A．8
B．
C．2
D．
2．（23-24 高二下·四川广元·阶段练习）如图是y = f (x)的导函数f
' (x)的图象，对于下列四个判断，其中正
确的判断是（ ）
26
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A．当
时，
取得极大值
B．
在
上是增函数
C．当
时，
取得极大值
D．
在
上是增函数，在[2,4]上是减函数
二、多选题
3．（2023·海南·一模）已知函数
的图象关于直线
对称,则（ ）
A．
的最小正周期为
B．
在
上单调递增
C．
的图象关于点
对称
D．若
,且
在
上无极值点,则
的最小值为
4．（23-24 高三上·河北保定·期末）已知
，且
，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
三、填空题
5．（23-24 高三上·安徽合肥·期末）已知函数
，若
恒成立，则
.
6．（2023·湖北武汉·二模）在同一平面直角坐标系中，P，Q 分别是函数
和
27
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图象上的动点，若对任意
，有
恒成立，则实数m 的最大值为 ．
参考答案：
题号
1
2
3
4
答案
B
D
ACD
BCD
1．B
【分析】先求函数的导数，把极值点代入导数则可等于0，再把极值点代入原函数则可得到极值，解方程
组即可得到
，从而算出
的值.
【详解】因为
，所以
，
所以
，解得
，
经检验，符合题意，所以
.
故选：B
2．D
【分析】由导函数的图象，确定导函数的正负，由此得到函数
的单调性，由极值的定义判断函数
的极值，由此判断四个选项即可.
【详解】根据导函数f
' (x)的图象可知，
当
时，f
' (x)<0，当
时，f
' (x)>0，
可知
在
内单调递减，在
单调递增，
所以当
时，
取得极小值，当
时，
取得极大值，当
时，
取得极小值，
故ABC 错误，D 正确.
故选：D.
3．ACD
【分析】由
解得
,求出
,由
可判断A;求出
的范围,根据正
28
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弦函数的单调性可判断B;计算
可判断C;
，可得
或
，可得
的最小值为
可判断D.
【详解】因为函数
的图象关于直线
对称,
所以
,即
,解得
,
,
且
,
对于A,
,故A 正确;
对于B,
,所以
,
因为
在
上单调递减,在
上单调递增,故B 错误;
对于C,
,故C 正确;
对于D,根据题意
,且函数
在
上单调.
若
,则
,
可得
或者
,
,
即
,
,
当
时,
的最小值为
.
29
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因为函数
在
上单调,即
在
上无零点,
因为
的半周期为
,在
上无零点,则
的最小值为
满足题意,故D 正确.
故选:ACD.
4．BCD
【分析】根据指数、对数的运算及指对函数的单调性举反例判断A，构造函数
，利用导数
判断单调性可得
，据此判断BC，
，令
，由导数确定
可判断D.
【详解】由
，可得
，又
，所以
，解得
.
当
时，
，则
，又
，所以
，
所以此时
，故A 错误；
令
，则
，当
时，
单调递增，当
时，
单调递减，所以
，即
，由
知
，所以
，所以
，故
正确；
由
可得
，可得
（
时取等号），因为
，所以
，所以
，故C 正确；
因为
，所以
.令
，则
，
令
，所以
，令
，所以
30
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，所以
在(1,+∞)上单调递增，所以
，所以h
' (x)>0，所以h(x)在
(1,+∞)上单调递增，所以
1，所以
，故D 正确.
故选：BCD
【点睛】关键点点睛：判断D 选项时，对式子进行变形换元后得到
是解题的第一个关键，
构造函数
，利用两次求导可得出函数的最小值是解题的第二个关键点.
5．1
【分析】对
求导，分
和
两种情况，判断
的单调性，求出
的最小值，再结合
恒成立求出
的取值范围.
【详解】由题可得
的定义域为
，且
，
①当
时，
，所以
在
上单调递增，所以当
时，
，与
矛盾；
②当
时，当
时，
单调递减，当
时，
单调递增，
所以
，
因为
恒成立，所以
，记
当
时，
单调递增，
当
时
单调递减，所以
，所以
在
上恒成立，
故要使
恒成立，则
，所以
.
故答案为：1
31
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6．
【分析】利用同构思想构造
，得到其单调性，得到
，再构造
，
，求导得到其单调性及其最小值，设设
，利
用基本不等式得到
，求出答案.
【详解】
，令
，
，
则
当
时，
，
单调递增，当
时，
，
单调递减，
故
在
处取得极小值，也是最小值，故
，
故
，当且仅当
时，等号成立，
令
，
，
则
，
令
，
则
在
上恒成立，
故
在
上单调递增，
又
，故当
时，
，当
时，
，
32
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故
时，
，
单调递减，当
时，
，
单调递增，
故
在
处取得极小值，也时最小值，最小值为
，
设
，
由基本不等式得，
，
当且仅当
，
，
时，等号成立，
故
，则
．
故答案为：
【点睛】导函数求解取值范围时，当函数中同时出现
与
，通常使用同构来进行求解，本题
变形得到
，从而构造
进行求解.
规律方法：
方程、不等式恒成立，有解问题都可用分离参数法．分离参数时，等式或不等式两边符号变化以及除数不
能等于0，易忽视．
一、单选题
1．（2023·河南·模拟预测）已知函数
，则下列说法错误的是（ ）
A．当
时，函数
不存在极值点
B．当
时，函数
有三个零点
C．点
是曲线
的对称中心
专题精练
33
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D．若
是函数
的一条切线，则
2．（2022·四川·模拟预测）已知函数
在
上有零点，则m 的取值范围是
（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（23-24 高三下·内蒙古赤峰·开学考试）已知函数
有极值
，则
（ ）
A．1
B．2
C．
D．3
4．（23-24 高三上·江苏苏州·阶段练习）已知正数
满足
，则
（ ）
A．
B．
C．1
D．
5．（2024·云南楚雄·一模）若
，则函数
的图象可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
6．（2023·上海松江·二模）已知函数
，
，在区间
上有最大值，则实数
t 的取值范围是（ ）
34
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A．
B．
C．
D．
7．（2024·陕西咸阳·模拟预测）等差数列
中的
，
是函数
的极值点，
则
（ ）
A．
B．
C．3
D．
8．（2023·云南保山·二模）若函数
与函数
的图象存在公切线，则实
数a 的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
二、多选题
9．（2023·山西·二模）已知
在
处取得极大值3，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
10．（2024·江苏扬州·模拟预测）已知
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
11．（2024·河南郑州·模拟预测）已知函数
，下列结论中正确的是（ ）
A．函数
在
时，取得极小值
B．对于
，
恒成立
35
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C．若
，则
D．若对于
，不等式
恒成立，则
的最大值为
，
的最小值为
三、填空题
12．（2023·广东·二模）已知函数
的最小值为0，则a 的值为 .
13．（2023·河南郑州·模拟预测）在等比数列
中，
是函数
的极值点，则
＝ ．
14．（22-23 高三下·湖北武汉·期中）已知函数
，若有且仅有两个整数
，满足
，则实数a 的取值范围为 ．
四、解答题
15．（2024·浙江杭州·二模）已知函数
．
(1)讨论函数
的单调性；
(2)若函数
有两个极值点，
（ⅰ）求实数
的取值范围；
（ⅱ）证明：函数
有且只有一个零点．
16．（2024·陕西榆林·一模）设函数
，曲线
在点
处的切线方程为
.
(1)求
；
(2)证明：
.
36
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参考答案：
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
B
C
B
A
B
B
A
A
AD
ABCD
题号
11
答案
BCD
1．B
【分析】当
时，分析函数
的单调性，可判断A 选项；利用导数分析函数
的单调性与极值，
结合零点存在定理可判断B 选项；利用函数对称性的定义可判断C 选项；利用导数的几何意义可判断D 选
项.
【详解】对于A 选项，当
时，
，此时函数
在
上单调递增，
所以，当
时，函数
不存在极值点，A 对；
对于B 选项，当
时，
，
，
由
可得
，由
可得
或
，
所以，函数
的增区间为
、
，减区间为
，
函数
的极大值为
，
极小值为
，
又因为
，
由零点存在定理可知，函数
在区间
有一个零点，
当
时，
，
因此，当
时，函数
有一个零点，B 错；
37
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对于C 选项，对任意的
，
，
所以，点
是曲线
的对称中心，C 对；
对于D 选项，设
是函数
的一条切线，设切点坐标为
，
，由题意可得
，①
所以，曲线
在
处的切线方程为
，
即
，则
，②
联立①②可得
，D 对.
故选：B.
2．C
【分析】由函数
存在零点可知
有解，设
，利用导
数求出函数的最小值，进而得出结果.
【详解】由函数
存在零点，则
有解，
设
，
则
，
当
时，
，
单调递减；
当
时，
，
单调递增．
则
时
取得最小值，且
，
所以m 的取值范围是
．
故选：C
3．B
【分析】先求出函数
的导函数；再求出极值点，代入函数
解方程即可.
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【详解】由题目条件可得：函数
的定义域为
，
.
令
，得
；
令
，得
.
所以函数
在区间
上单调递减，在
上单调递增.
则
是函数
的极小值点，
故
，解得
.
故选：B
4．A
【分析】不等式可化为
，分别构造函数，利用导数求出函数的最大、最小值，由不
等式左边最小值等于右边的最大值，建立方程即可得解.
【详解】由
，
设
，则
，
当
时，
，当
时，
，
所以
在
上单调递减，在
上单调递增，
则
，故
，
当且仅当
，即
时取等号；
设
，则
，
当
时
，当
时
，
所以
在
上单调递增，在
上单调递减，
所以
，故
，
当且仅当
时取等号，
39
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又
，则
，
此时
，则
.
故选：A
【点睛】关键点点睛：不等式中含有不相关的双变量，据此分别构造不同的函数，利用导数求最值是关键
之一，其次根据不等式左边的最小值与不等式右边的最大值相等，由不等式成立得出方程是关键点之二，
据此建立方程求解即可.
5．B
【分析】对比选项可知
，由题意
，
（
）是函数
的零点，
（
）都是函数
的极值点，由此可以排除A，C；进一步对
和0
的大小关系分类讨论，得出函数在
处附件的增减变换情况即可.
【详解】对比各个选项可知
，
由三次函数图象与性质可得
，
（
）是函数
的零点，
令
，
可知
（
）且
，
都是函数
的极值点，由此可以排除A，
C；
若
，则函数
的图象形状为增减增，
具体为
在
单调递增，在
单调递减，在
单调递增，可知B
符合；
若
，则函数
的图象形状为减增减，
具体为
在
单调递减，在
单调递增，在
单调递减，可知D
不符合．
故选：B.
40
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6．B
【分析】利用导数求出函数单调性，据此知函数有极大值，根据函数在开区间上有最大值可知，区间含极
大值点
【详解】
，
当
或
时，
，当
时，
，
所以函数在
，
上递增函数，在
上递减函数，
故
时函数有极大值，且
，
所以当函数在
上有最大值，则−1∈
且
，
即
，解得
.
故选：B.
7．A
【分析】利用导数求出函数
的两个极值点，再利用等差数列性质求出
即可计算得解.
【详解】由
求导得：
，
有
，即
有两个不等实根
，
显然
是
的变号零点，即函数
的两个极值点，
依题意，
，在等差数列
中，
，
所以
.
故选：A
8．A
【分析】先求得公切线方程为
，联立方程组，结合
，得到
，令
41
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，求得
，令
，求得
和
，得到函
数
的单调性和最小值
，进而得到
，即可求解.
【详解】由函数
，可得
，
因为
，设切点为
，则
，
则公切线方程为
，即
，
与
联立可得
，
所以
，整理可得
，
又由
，可得
，解得
，
令
，其中
，可得
，
令
，可得
，函数
在
上单调递增，且
，
当
时，
，即
，此时函数
单调递减，
当
时，
，即
，此时函数
单调递增，
所以
，且当
时，
，所以函数
的值域为
，所以
且
，
解得
，即实数
的取值范围为
.
故选：A.
【点睛】方法技巧：对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略：
42
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1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；
2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．
3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造
的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放
缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．
9．AD
【分析】根据原函数极值点即为导函数零点可得
，即可知
，再根据极大值为3 可解得
或
；易知当
时，
在
处取得极小值，与题意不符，当
时，函数
在
处取得极大值，符合题意，可得
，
，即
，即可判断出结论.
【详解】由题意可得
，
且
是函数
的极大值点，即
，可得
，
又极大值为3，所以
，解得
或
；
当
时，
，此时
，
时，
，
时，
所以函数
在
上单调递减，在
上单调递增；
此时函数
在
处取得极小值，与题意不符，即
舍去；
当
时，
，此时
，
时，
，
时，
，
所以函数
在
上单调递增，在
上单调递减；
此时函数
在
处取得极大值，符合题意，
所以
，
，即
，所以A 正确，B 错误；
此时
，所以
，
，即C 错误，D 正确.
故选：AD
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10．ABCD
【分析】对于A，由换底公式即可判断；对于BC，由基本不等式即可判断；对于D，构造函数
，利用导数可证得
，由此即可判断.
【详解】对于A，
，故A 正确；
对于B，
，在这里
，所以严格来说有
，故B
正确；
对于C，
，在这里
，所以严格来说有
，故C
正确；
对于D，
，而
，
定义
，则
，
从而
单调递增，所以
，
所以
，故D 正确.
故选：ABCD.
11．BCD
【分析】对
求导，利用导函数的符号判断
在
上的单调性判断AB，构造
，结合
AB 中结论求解
的单调性判断CD.
【详解】选项A：由题意可得
，
所以当
时
，
在
单调递减，
所以
在
上不存在极值点，A 说法错误；
选项B：因为
且由A 可知
在
单调递减，
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所以
，
恒成立，B 说法正确；
选项C：令
，
，则
，
由B 可知
在
恒成立，所以
在
上单调递减，
所以当
时，
，即
，C 说法正确；
选项D：由C 可知当
时，
，
所以对于
，不等式
恒成立，则
的最大值为
，
的最小值为，D 说法正确；
故选：BCD
12．
/0.5
【分析】对
求导，进而研究
的单调性，根据
有最小值为0，则
使
，且
求出
，即可求参数值.
【详解】由
，且
，
令
，则
，即
在
上递增，
所以
在
上递增，又
，
，
，
，
所以，
使
，且
时，
，
时，
，所以
在
上递减，在
上递增，
所以
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由
，得
，
令函数
，
，
所以
在
上是增函数，注意到
，所以
，
所以
.
故答案为：
【点睛】关键点点睛：利用导数研究函数的单调性，结合最小值为0 可得到方程组
，
消a 得到关于
的方程，再利用函数的单调性及特殊点的函数值解方程可得.
13．
【分析】由题，利用导数及韦达定理可得
，后利用等比中项性质可得答案.
【详解】
，
由题
是方程
的两个不等实根，
则由韦达定理
，所以
又
是
的等比中项且
与
同号，则
.
故答案为：
.
14．
【分析】先对
全分离，即
，构造新函数
，求导求单调性判断最值点，
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若有且仅有两个整数使得不等式成立，只需
大于
最小值点附近的两个整数处的函数值，且小于等于
该整数处相邻的整数点处函数值，列出不等式，解出即可.
【详解】解：若
，即
，
因为
，所以
，即
，记
，
故只需有且仅有两个整数
使得
成立即可，
所以
，
记
，所以
，
所以
在
上单调递增，
因为
，
，
所以
，使得
，即
，
在
上
，即
，
单调递减，
在
上
，即
，
单调递增，所以
有最小值
，
因为
，且
，
，而
，
若使
有且仅有两个整数
，
只需
即可，解得
.
故答案为：
【点睛】方法点睛：该题考查函数与导数的综合应用，属于难题，关于不等式成立问题的方法有：
（1）对不等式进行全分离，使分母较简单或容易判断正负，以便少分类讨论；
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（2）构造新函数，求导求单调性，判断极值点，在草稿纸上画出草图；
（3）根据题意转化为数学语言，建立不等式，解出即可.
15．(1)答案见解析；
(2)（ⅰ）
；（ⅱ）证明见解析
【分析】（1）求出函数的导函数，再分
、
、
三种情况，分别求出函数的单调区间；
（2）（ⅰ）由（1）直接解得；（ⅱ）结合函数的最值与零点存在性定理证明即可.
【详解】（1）函数
的定义域为
，
且
，
当
时，
恒成立，所以
在
单调递减；
当
时，令
，即
，解得
，
，
因为
，所以
，则
，
所以当
时
，
当
时
，
当
时
，
所以
在
上单调递减，在
上单调递增，
在
上单调递减；
当
时，此时
，
所以
时
，当
时
，
所以
在
上单调递增，在
上单调递减．
综上可得：当
时
在
单调递减；
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当
时
在
上单调递减，
在
上单调递增，在
上单调递减；
当
时
在
上单调递增，在
上单调递减．
（2）（ⅰ）由（1）可知
．
（ⅱ）由（1）
在
上单调递减，
在
上单调递增，在
上单调递减，
所以
在
处取得极大值，在
处取得极小值，
又
，所以
，则
，
又
，
又
，
所以
在
上没有零点，
又
，则
，则
，
，
则
，
所以
，所以
在
上存在一个零点，
综上可得函数
有且只有一个零点．
16．(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）根据切线方程，求得切点与切线斜率，建立方程，可得答案；
（2）由（1）写出函数解析式，化简整理不等式，构造函数，利用导数研究函数的单调性，求得最值，可
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得答案.
【详解】（1）函数
的定义域为
.
将
代入
，解得
，即
，
由切线方程
，则切线斜率
.
故
，解得
.
（2）证明：由（1）知
，
从而
等价于
.
设函数
，则
.
所以当
时，
，当
时，
.
故
在
上单调递减，在
上单调递增，
从而
在
上的最小值为
.
设函数
，
从而
在
上的最大值为
.
故
，即
.
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