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第8 讲 恒成立问题与能成立问题（新高考专用）
【真题自测】.................................................................................................................................2
【考点突破】.................................................................................................................................3
【考点一】恒成立问题与能成立问题..............................................................................................3
【专题精练】.................................................................................................................................5
目录
1
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一、解答题
1．（2023·全国·高考真题）已知函数
．
(1)讨论
的单调性；
(2)证明：当
时，
．
2．（2024·广东江苏·高考真题）已知函数
(1)若
，且
，求
的最小值；
(2)证明：曲线
是中心对称图形；
(3)若
当且仅当
，求
的取值范围．
3．（2023·全国·高考真题）已知函数
(1)当
时，讨论
的单调性；
(2)若
恒成立，求a 的取值范围．
4．（2023·全国·高考真题）已知函数
．
(1)当
时，讨论
的单调性；
(2)若
，求
的取值范围．
5．（2024·天津·高考真题）设函数
．
(1)求
图象上点
处的切线方程；
真题自测
2
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(2)若
在
时恒成立，求
的值；
(3)若
，证明
．
6．（2024·全国·高考真题）已知函数
．
(1)当
时，求
的极值；
(2)当
时，
，求
的取值范围．
【考点一】恒成立问题与能成立问题
一、单选题
1．（21-22 高三上·安徽·开学考试）若关于
的不等式
恒成立，则实数
的最大值为
（ ）
A．2
B．
C．3
D．
2．（2024·四川成都·模拟预测）已知函数
没有极值点，则
的最大
值为（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2023·陕西西安·三模）若函数
在区间
上单调递增，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
二、多选题
4．（2024·吉林长春·模拟预测）已知
（其中
为自然对数的底
数），则下列结论正确的是（ ）
A．
为函数
的导函数，则方程
有3 个不等的实数解
考点突破
3
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B．
C．若对任意
，不等式
恒成立，则实数
的最大值为-1
D．若
，则
的最大值为
5．（2023·山东淄博·一模）已知函数
，则（ ）
A．当
时，
在
有最小值1
B．当
时，
图象关于点
中心对称
C．当
时，
对任意
恒成立
D．
至少有一个零点的充要条件是
6．（2023·湖北·二模）已知函数
，
，则下列说法正确的是（ ）
A．
在
上是增函数
B．
，不等式
恒成立，则正实数a 的最小值为
C．若
有两个零点
，
，则
D．若
，且
，则
的最大值为
三、填空题
7．（2023·湖南·模拟预测）已知不等式
恒成立，则实数
的最大值为 .
8．（2023·福建·模拟预测）已知函数
.若
，则a 的取值范围是
.
4
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9．（23-24 高三上·湖南长沙·阶段练习）已知关于
的不等式
恰有3 个不同的正整数解，
则实数
的取值范围是 ．
四、解答题
10．（2024·江苏南通·二模）已知函数
，
，
.
(1)求函数
的单调区间；
(2)若
且
恒成立，求
的最小值.
11．（2024·吉林长春·模拟预测）已知
（其中
为自然对数的底数）.
(1)当
时，求曲线
在点
处的切线方程，
(2)当
时，判断
是否存在极值，并说明理由；
(3)
，求实数
的取值范围.
12．（23-24 高二上·浙江杭州·期末）设a 为实数，函数
．
(1)求
的极值；
(2)对于
，都有
，试求实数a 的取值范围．
规律方法：
(1)由不等式恒成立求参数的取值范围问题的策略
①求最值法：将恒成立问题转化为利用导数求函数的最值问题．
②分离参数法：将参数分离出来，进而转化为a>f(x)max或a<f(x)min的形式，通过导数的应用求出f(x)的最值，
即得参数的范围．
(2)不等式有解问题可类比恒成立问题进行转化，要理解清楚两类问题的差别．
一、单选题
1．（2025·安徽·一模）已知函数
，若不等式
的解集中恰有两个不同的正整数
专题精练
5
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解，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2024·辽宁·一模）已知函数
，若
时，恒有
，则
的取值范围是
（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2024·陕西榆林·一模）已知函数
在
上单调递增，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（2023 高三·全国·专题练习）已知函数
，
，对于存在的
，存在
，使
，则实数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（23-24 高三上·江苏镇江·开学考试）对于实数
，不等式
恒成立，则
实数m 的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
6．（2022·河南开封·模拟预测）若关于
的不等式
对
恒成立，则实数
的取值
范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
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7．（2023·广东佛山·一模）已知函数
（
且
），若对任意
，
，则实数a 的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
8．（2023·江苏·模拟预测）已知
，
，对于
，
恒成立，则
的最小值为（ ）
A．
B．－1
C．
D．－2
二、多选题
9．（2023·辽宁锦州·二模）已知函数
是定义在
上的可导函数，当
时，
，若
且对任意
，不等式
成立，则实数
的取值可以是（ ）
A．-1
B．0
C．1
D．2
10．（2023·安徽马鞍山·一模）已知函数
，若
恒成立，则实数的可能的值
为（ ）
A．
B．
C．
D．
11．（2023·全国·模拟预测）已知函数
，则下列结论正确的是（ ）
A．当m＞0 时，函数
的图象在点
处的切线的斜率为
B．当m＝l 时，函数
在
上单调递减
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C．当m＝l 时，函数
的最小值为1
D．若
对
恒成立，则
三、填空题
12．（23-24 高二下·上海·阶段练习）已知定义在
上的函数
关于
轴对称，其导函数为
，当
时，不等式
．若对
，不等式
恒成立，则
的取值范
围是 .
13．（23-24 高三上·河北保定·阶段练习）已知函数
，若
对
恒成立，
则实数a 的取值范围是 ．
14．（22-23 高二下·辽宁·阶段练习）已知
是定义在
上的函数，且在区间
内单调递增，
对
，
，都有
.若
，使得不等式
成立，则实数
的最大值为 .
四、解答题
15．（22-23 高二上·江苏常州·期末）已知函数
.
(1)讨论
的单调性；
(2)设函数
，若对于任意
，都有
，求
的取值范围.
16．（2024·陕西西安·模拟预测）已知函数
.
(1)讨论
的单调性；
(2)若
，求
.
17．（2023·内蒙古阿拉善盟·一模）已知函数
，
．
8
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(1)当
，求
的单调递减区间；
(2)若
在
恒成立，求实数a 的取值范围．
18．（2023·广东·模拟预测）已知函数
.
(1)求
的极值；
(2)当
时，
，求实数
的取值范围.
19．（2023·湖北·模拟预测）已知函数
.
(1)求函数
在
处的切线方程；
(2)若不等式恒成立，求实数的取值范围.
9
