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专题一 数列（解答题11 种考向）
1
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考向一 等差数列和等比数列
【例1-1】（2025·河南·模拟预测）已知项数为
的数列
满足：
且
．
(1)若
为等比数列，求
的值；
(2)若
是等差数列，求公差
的值．
【答案】(1)
或
(2)
或
【解析】（1）设等比数列
的公比为
，显然
．
由
，得
，解得
．
由
，得
，所以
或
．
（2）由
，得
，所以
，即
．
当
时，
，此时
（舍去）；
2
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当
时，则
且
，
即
解得
；
当
时，则
且
，即
解得
．
综上所述，公差
的值为
或
．
【例1-2】（2025·福建漳州·模拟预测）已知数列
为等差数列，
．
(1)求数列
的通项公式．
(2)若
，求数列
的前n 项和
．
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）设等差数列
的公差为d，
因为
，所以
．
又因为
，则
，
所以数列
的通项公式
．
（2）由（1）知，
．
当
时，
，
；
当
时，
，
．
3
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综上，
.
【例1-3】（2025·广东惠州·模拟预测）记
为等差数列
的前
项和，
，
.
(1)求
的通项公式；
(2)若
，求数列
的前
项和
，并比较
与
的大小.
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）因为
为等差数列，设公差为
，
因为
，
，所以
，
解得
，故
.
（2）因为
，
所以
，
则对
，
，
又
，故
.
【例1-4】（2024·湖北黄冈·一模）设
为数列
的前
项和，满足
．
(1)求证：
；
(2)记
，求
．
4
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【答案】(1)证明见解析(2)
【解析】（1）因为数列
的前
项和，满足
，
当
时，可得
，
两式相减得
，即
，所以
；
当
时，
，解得
；
所以数列
构成首项为
，公比为
的等比数列，所以
的图象公式为
．
（2）由（1）知
，可得
，
所以
，
则
．
考向二 数列中求通项、求和的方法
【例2-1】（24-25 高三下·湖南·开学考试）已知数列
的前
项和为
，且
.
(1)求数列
的通项公式；
(2)已知
，求数列
的前
项和
.
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）
①，
当
时，
②，
5
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由①-②得
，所以
，
当
时，
，所以
，满足
，
所以
.
（2）因为
，
所以
，
即
③，
所以
④，
由③-④可得
，
即
，
所以
，
整理得
.
【例2-2】（24-25 高三上·黑龙江鸡西·阶段练习）已知数列
的首项为
，且满足
.
(1)证明：数列
为等差数列；
(2)求数列
的前
项和为
；
(3)求数列
的前
项和.
【答案】(1)证明见解析(2)
(3)
【解析】（1）因为
，
，
6
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若
，则
，与
矛盾，
所以
，所以
，
所以
，因为
，所以
，
所以数列
是以首项为2，公差为4 的等差数列.
（2）由（1）知
，
数列
的前
项和为
.
（3）因为
，
设数列
的前n 项和为
，
当n 为偶数时，
，
因为
，
所以
，
当
为奇数时，
为偶数.
，
所以
.
【例2-3】（2021·天津和平·二模）已知等比数列
是递减数列，
的前n 项和为
，且
，
，
成
等差数列，
.数列
的前n 项和为
，满足
，
.
(1)求
和
的通项公式；
7
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(2)若
，求
【答案】(1)
，
；
(2)
.
【解析】（1）设数列
的公比为
，依题意，
，
由
是递减数列，解得
，因此
；
数列
，
，当
时，
，
而
满足上式，因此
，
所以
的通项公式为
，
的通项公式为
.
（2）当n 是奇数时，
，则
，
，
两式相减得：
，
因此
；
当n 是偶数时，
，
则
，
所以
.
8
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【例2-4】（2024·广东）在数列
中，已知
，
，记
．
(1)证明：数列
为等比数列；
(2)记______，数列
的前n 项和为
，求
．
在①
；②
；③
三个条件中选择一个补充在第（2）
问中并对其求解．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
【答案】(1)证明见解析；
(2)答案见解析.
【解析】（1）由
，得
，则
，而
，
因此
，显然
，
所以数列
为以2 为首项，2 为公比的等比数列．
（2）选择①：由（1）得，
，
则
所以
．
选择②：由（1）得，
，
则
，
所以
.
选择③：由（1）得，
，
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则
，
所以
.
考向三 数列与三角函数的综合
【例3-1】（2024 海南）已知函数
的最小正周期为6．
(1)已知△
的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，且
，若
，
，求
的值；
(2)若
，求数列
的前2022 项和
．
【答案】(1)2；(2)
.
【解析】(1)
，
因为
的最小正周期为6，故可得
，
，解得
，故
，
因为
，，故可得
，又
，则
，
；
因为
，故可得
，又
，则
或
，
或
，
因为
，则
，当
时，
，满足题意；当
时，
，不满足题意，舍去；
由正弦定理可得：
.
(2)
根据（1）中所求可得：
，
10
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故
.
即数列
的前2022 项和
.
【例3-2】（2025 云南）已知函数
，
(1)求
的解析式，并求其单调递增区间；
(2)若
在区间
上的根按从小到大的顺序依次记为
求数列
的通项公式及其前n 项
和
．
【答案】(1)
(2)
【解析】(1)由题意得，
，
则
，
，解得
Z)，
即函数
的单调增区间为
Z，
(2)由
，得
，
有
或
Z，
解得
或
，
Z，
得方程
的根从小到大排列依次为
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，
所以
则数列
的通项公式为
，
故数列
的偶数项是以1 为首项，1 为公差的等差数列，
奇数项是以
为首项，1 为公差的等差数列.
当
为偶数时，
；
当
为奇数时，
，
综上，
【例3-3】（2024 宁夏）已知
的三个内角
、
、
的对边分别为
、
、，内角
、
、
成等差数
列，
，数列
是等比数列，且首项、公比均为
．
（1）求数列
的通项公式；
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（2）若
，求数列
的前
项和
．
【答案】（1）
；（2）
.
【解析】（1）因为内角
、
、
成等差数列，
，
所以
，
，
因为
，所以
，
，
故数列
是首项、公比均为
的等比数列，
.
（2）
，
，
，
则
，
故数列
的前
项和
.
考向四 数列与统计概率综合
【例4-1】（24-25 高三上·辽宁丹东·期末）某驾校的张教练带领甲、乙、丙三名学员进行科目三练习，由于教
练车只有一辆，张教练在排队系统中设定：每次甲练习后，系统抽到甲练习的概率为
，抽到乙练习的概率为
，每次乙练习后，系统抽到甲练习的概率为
，抽到丙练习的概率为
，每次丙练习后，系统抽到甲练习的
概率为
，抽到乙练习的概率为
，直到这天练习结束，一共练习了n（
，
）轮，已知练习从甲开
始.
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(1)当
时，求甲一共参与练习次数X 的分布列与期望；
(2)求第n 轮为甲练习的概率.
【答案】(1)分布列见解析，
(2)
【解析】（1）根据题意得，X 的可能取值分别为1，2，3，
则
时，表示第1 轮为甲，第2 轮为乙，第3 轮为丙，即
，
时，表示第1 轮为甲，第2 轮为甲，第3 轮为乙，或第1 轮为甲，第2 轮为乙，第3 轮为甲，
即
，
时，表示第1 轮为甲，第2 轮为甲，第3 轮为甲，即
，
所以X 的分布列如下表
X
1
2
3
P
.
（2）设第n 轮练习为甲，乙，丙的概率分别为
，
，
，
由题意得
， ①
， ②
由②得
，
所以数列
是首项为
，公比为
的等比数列，
，则
代入①中，
得
，故第n 轮为甲练习的概率为
.
【例4-2】（2025·安徽·模拟预测）投掷一枚均匀的骰子，每次掷得的点数为1 或2 时得1 分，掷得的点数为3，
14
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4，5，6 时得2 分；独立地重复掷一枚骰子若干次，将每次得分相加的结果作为最终得分.
(1)设投掷2 次骰子，最终得分为
，求随机变量
的分布列与期望；
(2)设最终得分为
的概率为
，证明：数列
为等比数列，并求数列
的通项公式.
（提示：请结合数列的递推关系求解）
【答案】(1)分布列见答案，数学期望
(2)证明见答案，
.
【解析】（1）由题意投掷1 次骰子得分的概率为
，投掷1 次骰子得
分的概率为
，
由题意
的可能取值为2，3，4，
，
，
，
故
的分布列为：
2
3
4
数学期望
.
（2）由题意知
，
故
，且
，
，
，
故
是以
为首项，
为公比的等比数列，
故
，
∴当
时，
15
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，
当
时，上式也成立，
综上：
.
【例4-3】（2025·四川·二模）小杨上的高中食堂有3 种套餐，小王第一次选择A，B，C 三种套餐的概率相等，
若某次选择A 之后，下一次仍会在三种套餐以相等概率继续选择，若某次选择B 套餐之后，下一次只会在B，
C 两种套餐中以相等概率去选择，在某次选择C 套餐之后，以后只会选择C 套餐，根据以上规则回答下列问题：
(1)试写出第n 次选择时，小王选A 套餐的概率表达式，并求出第3 次选择B 套餐的概率.
(2)试写出第n 次选择时，小王选B 套餐的概率表达式，并求出选A 套餐的均值.
【答案】(1)
(2)
，
【难度】0.65
【解析】（1）设事件
，
，
为分别为第
次选择A，B，C 套餐，
，
如图得
，
.
（2）由（1）知：
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①
则
②
②－①得到：
，
X
1
2
3
4
．．．
n
P
．．．
③
则
④
③－④得：
，
.
【例4-4】（24-25 高三下·湖北武汉·开学考试）为了合理配置旅游资源，管理部门对首次来武汉旅游的游客进
行了问卷调查，据统计，其中
的人计划只参观黄鹤楼，另外
的人计划既参观黄鹤楼又游览晴川阁，每位游
客若只参观黄鹤楼，则记1 分；若既参观黄鹤楼又游览晴川阁，则记2 分．假设每位首次来武汉旅游的游客计
划是否游览晴川阁相互独立，视频率为概率．
(1)从游客中随机抽取2 人，记这2 人的合计得分为X，求X 的分布列和数学期望；
(2)从游客中随机抽取n 人
，记这n 人的合计得分恰为
分的概率为
，求
；
(3)从游客中随机抽取若干人，记这些人的合计得分恰为n 分的概率为
，求数列
的通项公式．
【答案】(1)分布列见解析；
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(2)
(3)
【解析】（1）
的人计划只参观黄鹤楼，另外
的人计划既参观黄鹤楼又游览晴川阁，每位游客若只参观黄鹤
楼记1 分；
既参观黄鹤楼又游览晴川阁记2 分．每位首次来武汉旅游的游客计划是否游览晴川阁相互独立，视频率为概率．
随机变量
的可能取值为 2，3，4，
可得
，
的分布列如下表所示：
2
3
4
数学期望为
；
（2）由这
人的合计得分为
分，
则其中只有1 人计划既参观黄鹤楼又游览晴川阁，
则
，
由两式相减， 可得
；
（3）在随机抽取的若干人的合计得分为
分的基础上再抽取1 人，
则这些人的合计得分可能为
分或
分，
记“合计得
分”为事件
，“合计得
分”为事件
，
与
是对立事件，
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，
，即
，则数列
是首项为
，公比为
的等比数列，
，
.
考向五 数列与导数综合
【例5-1】（2024·浙江·一模）已知数列
的首项是1，其前
项和是
，且
，
.
(1)求
，
的值及数列
的通项公式；
(2)若存在实数
，使得关于
的不等式
，
有解，求实数
取到最大值时
的值.
【答案】(1)
，
，
(2)4 或5
【解析】（1）∵
，∴
当
时，
，
即
，
当
时，
也满足
，
∴
，
∴
，
.
（2）由（1）可知
，
∴
，∴
令
，
，当
时，
，
单调递增;
19
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当
时，
,
单调递减;
∵
,
∴当
或
时，
取得最大值70，
∴
取得最大值时，
取4 或5.
【例5-2】（24-25 高三上·山西吕梁·期末）如图，在横坐标为
的点处作
的切线，该切线与
轴的交点为
；在横坐标为
的点处作
的切线，该切线与
轴的交点为
；一直继续下去，得到数列
．
(1)求证：
；
(2)若函数
，记
．
（ⅰ）求数列
的通项公式；
（ⅱ）在
与
之间插入
个数，使这
个数组成一个公差为
的等差数列，在数列
中是否存在3 项
（其中
成等差数列）成等比数列？若存在，求出这样的3 项，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)证明见解析
(2)（i）
；（ii）不存在，理由见解析.
【解析】（1）证明：函数
在点
处的切线斜率为
，
所以函数
在点
处的切线方程为
，
因为切线过点
，所以
，
20
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解得
，
（2）（ⅰ）因为
，所以
，
，
，
则
，
又
，则
是以2 为首项，2 为公比的等比数列，
；
（ⅱ）由（ⅰ）知
，
所以
，
所以
．
假设数列
中存在3 项
，（其中
成等差数列）成等比数列，
则
互不相等，
所以
，即
，
又因为
成等差数列，所以
，所以
．
化简得
，所以
，又
，
所以
与已知矛盾．
所以在数列
中不存在3 项
成等比数列．
【例5-3】（24-25 高三上·浙江金华·期末）已知数列
是等比数列，满足
，且
，
，
成等差
数列，数列
满足
，记数列
的前
项和为
，
21
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(1)求
；
(2)求数列
的前
项和；
(3)记
，若
恒成立，求
的值.
【答案】(1)
(2)
(3)
【解析】（1）因为数列
是等比数列，设首项是
，公比是
，
由
，
，
解得
，
所以
.
（2）由于
①
则
，
②
由①
②得
，
当
时，
，满足上式，因此
，
所以
.
，接下去求
的前
项和，
记
的前
项和是
.
①
②.
22
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由①
②得
，
整理得：
.
（3）由（2）可知，
，则
，
所以
，要求
的最大项，
可以设函数
，
则
.
令
则
，
分析可得
，
，
，使得
所以
在
单调递增，
单调递减，
，
，
，使得
当
时，
，
当
时，
，
时，
因此
在
单调递减，在
，单调递增，在
，单调递减.
只要比较
，
，
的大小，
，
，
.
所以第五项是最大项，
.
23
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【例5-4】（24-25 高三上·河南周口·期末）已知函数
，点
均为曲线
图象上的
点，且
，
，
.
(1)当
时，证明：
是等比数列；
(2)求
的取值范围；
(3)证明：直线
的斜率随
的增大而增大.
【答案】(1)证明见解析；(2)
；(3)证明见解析.
【解析】（1）由
，得
，又
，即
，
所以数列
是以
为首项，
为公比的等比数列.
（2）由
，得
，则
，
因此数列
与
分别是以
与
为首项，6 为公差的等差数列，
，由
，
，得
，
.
等价于
对于任意
成立，即
，
即
，即
，解得
，
由点
均为
图象上的点，且
，得
，
所以
的取值范围是
.
（3）直线
的斜率
.
任取
，设函数
，求导得
令函数
，求导得
，
24
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当
时，
；当
时，
，
函数
在
上单调递减，在
上单调递增，
则当
时，
，
，函数
在
和
上都单调递增，
而数列
单调递增，取
，而
，则
，
取
，而
，则
，
所以
，即直线
的斜率随
单调递增．
考向六 数列与解析几何的综合
【例6-1】（24-25 高三下·重庆·阶段练习）已知正项数列
的前
项之和为
，且
.
(1)求数列
的通项公式；
(2)若点列
是曲线
在第一象限上的点，点
的横坐标为
，点
到原点的距离为
，求数列
的通项公式，并证明：
.
【答案】(1)
(2)
，证明见解析
【解析】（1）由
，
当
，解得
，
（舍去）；
当
，
，
化简
，
由于
，所以
，
所以数列
是以
为首项，
为公差的等差数列，
所以
；
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（2）由题意
，则
，
，
由
，所以
，
，
而
，
所以
．
【例6-2】（2025·浙江温州·模拟预测）已知双曲线
过点
，其渐近线的方程为
．按照如下方式依次构造点
；过右支上点
作斜率为1 的直线与C 的左支交于点
，
过
再作斜率为
的直线与C 的右支交于点
．
(1)求双曲线C 的方程；
(2)用
表示点
的坐标；
(3)求证：数列
是等比数列．
【答案】(1)
(2)
(3)证明见解析
【解析】（1）由题意可得
，解得
，
所以双曲线C 的方程为：
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（2）过
作斜率为
的直线方程为
，
联立其与双曲线方程可得
，
设
,
由于
在抛物线上，所以
则
，
所以
，
故
（3）设
，
由于
在双曲线上，所以
，
则
，化简可得
，
，故
，
所以
，
,
所以
，
故
是等比数列.
【例6-3】（2025·福建·模拟预测）已知抛物线
的焦点为F，
为抛物线C 上的一
个动点（不与坐标原点重合），
．
(1)求抛物线C 的方程；
(2)已知点
，按照如下方式构造点
，设直线
为抛物线C 在点
处的切线，过点
27
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作
的垂线交抛物线C 于另一点
，记
的坐标为
．
（ⅰ）证明：当
时，
；
（ⅱ）设
的面积为
，证明：
．
【答案】(1)
(2)（ⅰ）证明见解析 （ⅱ）证明见解析
【解析】（1）抛物线C 的准线方程为
，所以
，
所以
，解得
，所以C 的方程为
；
（2）（ⅰ）设
，因为
，
所以点
处的切线斜率为
，所以直线
斜率为
，
所以直线
，
与
联立可得，
，
可得
，即
的横坐标为
，
所以
，
当
时，有
，
又由
，故
，所以
；
（ⅱ）易知直线
，
28
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F 到直线
的距离为
，
，
所以
，
因为
，
由（1）知
，即
，所以当
时，
，
所以当
时，
，
所以
，
当
时，
，
当
时，
．
所以
．
【例6-4】（2025·陕西渭南·一模）已知双曲线
．点
在
上．按如下方式构造点
．
过点
作斜率为
的直线与
的下支交于点
．点
关于
轴的对称点为
．记点
的坐标为
(1)求
的值：
29
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(2)记
．证明：数列
为等比数列；
(3)记
的面积为
．证明：
是定值．
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【解析】（1）由题知双曲线
．点
在
上，
故
，所以双曲线
．
又过点
斜率为
的直线方程为
．
由双曲线与直线的对称性可知
．
所以
．即
.
（2）因为
，所以
．因为
所以
．
于是
．①．
由于
，
所以
．且
．
两式作差可得
．②
30
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把①代入②可得
．③
由③-①
得
．
即
因为
．所以
又
．所以
故数列
是首项为．公比为的等比数列．
（3）由（2）知
．又
，所以
．
则
．
因为
，
且
，
所以
，
即
是定值
.
考向七 插项数列
【例7-1】（24-25 高三上·浙江杭州·期末）已知等比数列
的前n 项和为
，
(1)求数列
的通项公式;
(2)在数列
的相邻项
与
之间插入k 个相同的数
，使其与原数列构成新数列
，设
为
数列
的前n 项和，求
【答案】(1)
31
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(2)
【解析】（1）由
，得
，
两式相减得
，
即
，
，
得等比数列
的公比
，
又当
时，
，所以
，所以
（2）数列
为：3，
，
，1，1，，
，
，
，
以如下划分：3，
，
，1，1，，
，
，
，，
得项数
，
当
时共有项数
，
当
时共有项数
，
所以
.
【例7-2】（2024 陕西）已知数列
满足
．
(1)求
的通项公式；
(2)在
和
之间插入n 个数，使这
个数构成等差数列，记这个等差数列的公差为
，求数列
的前
n 项和
．
【答案】(1)
；
(2)
.
32
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【解析】（1）因为
①，
当
时，
②，
①
②，得
．
所以
，当
时
，满足上式，
所以
的通项公式为
．
（2）由题，知
，得
，
则
③，
④，
③
④得
，
所以
．
【例7-3】（24-25 高三上·天津南开·期末）已知等差数列
的前
项和为
，数列
是等比数列，满足
，
，
，
.
(1)求数列
和
的通项公式；
(2)对任意的正整数
，设
，求
；
(3)若对于数列
，在
和
之间插入
个
，组成一个新的数列
，记数列
的前
项和为
，
求
.
【答案】(1)
，
；
33
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(2)
；
(3)2170.
【解析】（1）在等差数列
中，
，而
，解得
，
公差
，则
；
设等比数列
的公比为
，
，由
，得
，
即
，解得
，
，
所以数列
和
的通项公式分别为
，
.
（2）由（1）得，当
为奇数时，
，
则
；
当
为偶数时，
，
，
，
则
，
两式相减得
，因此
，
所以
.
（3）依题意，数列
：
项为
前的总项数为
，
34
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数列
是递增的，当
时，
，
当
时，
，
因此数列
的前
项中，有数列
的前
项，有
个，
所以
.
【例7-4】（24-25 高三上·天津滨海新·阶段练习）已知数列
是公差为1 的等差数列，且
，数列
是等比数列，且
.
(1)求
和
的通项公式；
(2)设
，求数列
的前
项和
：
(3)在
与
之间插入
个数，使这
个数组成一个公差为
的等差数列，若
对
恒成立，求
实数
的取值范围.
【答案】(1)
，
(2)
(3)
【解析】（1）由题可知数列
是公差为的等差数列，
且
，则
，解得
，
所以
，
设等比数列
的公比为
，且
，
，
则
，解得
，
35
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所以
，
所以
和
的通项公式为
，
．
（2）由（1）得为
，
，
所以
，
当
为奇数时，则
，
因为当
为偶数时，
设
①，
则
②，
①—②：
，
所以
，
所以求数列
的前
项和为
，
36
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故
；
（3）由题意可得
，
由
，得
，
所以
对
恒成立，
令
，则
当
时，
，当
时，
，当
时，
，
所以
最大，所以
．
考向八 数列中的存在性问题
【例8-1】（2024 江西）已知数列
满足：
.
(1)当
时，求数列
中的第10 项；
(2)是否存在正数
，使得数列
是等比数列，若存在求出
值并证明；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)
(2)存在，
，证明见解析
【解析】（1）由已知
，所以
，相除得
；
又
，所以
，所以
.
（2）假设存在正数
，使得数列
是等比数列，由
得
，由
，得
，
因为
是等比数列，
，即
，
下面证明
时数列
是等比数列，
37
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由（1）知数列
和
都是公比是
的等比数列，
所以
，
；
所以
为奇数时，
，
为偶数时，
，
所以对一切正整数
，都有
，所以
，所以存在正数
使得数列
是等比数列.
【例8-2】．（24-25 高三下·全国·开学考试）记数列
的前n 项和为
，已知
，
(1)求
的通项公式;
(2)是否存在m 和k，使得
是
和
的等差中项?若存在，求出m 和k 的值;若不存在，请说明理由.
【答案】(1)
(2)存在
且
或
【解析】（1）因为
，①，
所以
，②，
①-②，得
，
化简，得
由
，
，得
，仍适合
，
所以数列
是公差为d 的等差数列，
所以
（2）假设
是
和
的等差中项，
38
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则
，即
，
化简得
，
当
时，
，则
，显然不成立;
当
时，由
，解得
当
时，
，则
是
和
的等差中项；
当
时，
，则
是
和
的等差中项；
当
时，
，则
，不适合题意.
综上，存在
且
或
，使得
是
和
的等差中项.
【例8-3】（2024·广东·二模）在数列
中，
，
都有
，
，
成等差数列，且公差为
.
(1)求
，
，
，
；
(2)求数列
的通项公式；
(3)是否存在
，使得
，
，
，
成等比数列.若存在，求出
的值；若不存在，说明
理由.
【答案】(1)3；5；9；13
(2)
(3)存在，
【解析】（1）由题意，
，
，
成等差数列，公差为2；
，
，
成等差数列，公差为4.
39
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则
，
，
，
.
（2）由题意，
.
当
，
时，
，
且
满足上式，所以当
为奇数时，
.
当
时，
.
所以
（3）存在
时，使得
，
，
，
成等比数列
证明如下：
由（2）可得
，
，
，
假设
，
，
成等比数列，
则
，
化简得
，所以
，即
，
此时
，所以当
时，
，
，
，
成等比数列.
【例8-4】（2024·山东·模拟预测）已知数列
，
，
的首项均为1，
为
，
的等差中项，且
．
(1)若数列
为单调递增的等比数列，且
，求
的通项公式；
40
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(2)若数列
的前
项和
，数列
的前
项和为
，是否存在正整数
使
对
恒成立？
若存在，求出
的最大值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)存在，正整数
的最大值为2024
【解析】（1）若数列
为单调递增的等比数列，设其公比为
，且
，
因为
，则
，解得
或
（舍去），
所以
.
因为
，即
，
可得
，且
，
可知数列
是以首项为1，公比为
的等比数列，则
，
因为
为
，
的等差中项，则
，
即
，且
，
当
时，则
，
累加可得
，
则
，
且
符合上式，所以
.
（2）若数列
的前
项和
，
当
时，则
；
41
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当
时，则
；
且
符合上式，所以
.
因为
，即
，
可得
，且
可知数列
为常数列，
则
，所以
，
可知数列
为递增数列，则
的最小项为
，
若存在正整数
使
对
恒成立，则
，即
，
所以正整数
的最大值为2024.
考向九 数列与二项式定理的综合
【例9-1】（2023·江苏无锡·校联考三模）记
为数列
的前
项和，已知
，
.
(1)求
的通项公式；
(2)记
，数列
的前
项和为
，求
除以3 的余数.
【答案】(1)
(2)2
【解析】（1）因为
，
，
所以
是首项为1，公差为
的等差数列，
所以
，
42
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即
①，
所以
②，
由②－①可得
，
即
，
所以
.
（2）由（1）可得
，
则
，
所以
，
所以
所以
除以3 的余数为2.
【例9-2】（2024·江苏）已知数列
的前
项和为
，且
，
．
(1)求数列
的通项公式；
(2)集合
，将集合
的所有非空子集中最小的元素相加，其和记为
，求
．
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）当
时，
，则
，且
；
43
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当
时，
，
，两式相减得
，
∴
（
），
∴当
时，
，即
，
则
，∴
．
综上，
对任意
都成立．
（2）
，集合
的非空子集有
个，
其中最小元素为1 的集合中，含1 个元素的集合有1 个，含2 个元素的集合有
个，
含3 个元素的集合有
个，……，含
个元素的集合有
个，
所以最小元素为1 的子集个数为
个，
同理，最小元素为2 的子集个数为
个，
……，最小元素为
的子集个数为1 个，
∴
，
，
∴
，则
．
【例9-3】（2023·江苏镇江·江苏省镇江中学校考三模）已知数列
的前
项和为
，满足
.等差
数列
满足
.
(1)求
的通项公式；
(2)将数列
满足__________（在①②中任选一个条件）的第
项
取出，并按原顺序组成一个新的数列
，
求
的前20 项和
.①
，②
，其中
.
44
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【答案】(1)
，
(2)
【解析】（1）因为数列
满足
①，
当
时，
，解得
；
当
时，
，②
②-①得
，即
因
，所以
，从而
，
所以数列
是以
为首项，
为公比的等比数列.
所以
.
因为等差数列
满足
.所以
.
设
公差为
，则
，解得
.
所以
.
所以数列
的通项公式为
，数列
的通项公式为
；
（2）若选①
，则有
.
所以
取出的项就是原数列的偶数项，
所以
是以4 为首项，4 为公比的等比数列，
所以
；
若选②
，则有
，
因为
45
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所以当
时，对应的
，
由二项展开式可知
能被3 整除，
此时
为整数，满足题意；
当
时，对应的
，
由二项展开式可知
所以
除以3 的余数是1，不能整除，即此时
不是整数，不满足题意；
所以
取出的项就是原数列的偶数项，
所以
是以4 为首项，4 为公比的等比数列，
所以
.
考向十 数列中求参数
【例10-1】（24-25 高三上·河北·期末）数列
满足：
，
.
(1)求数列
通项；
(2)
恒成立，求m 最小值.
【答案】(1)
，
46
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(2)
【解析】（1）由
，
，
两式相减得：
，
时，
符合等式，
故
，
，
两式相除得：
故n 为奇数时，
n 为偶数时，
综上，对任意
，
.
（2）由
故
，最小值为
.
【例10-2】（23-24 吉林长春·阶段练习）设正项数列
的前
项之和
，数列
的前
项
之积
，且
．
47
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(1)求证：
为等差数列，并分别求
，
的通项公式；
(2)设数列
的前
项和为
，不等式
对任意正整数
恒成立，求正实数
的取值范围．
【答案】(1)证明见解析，
；
(2)
.
【解析】（1）由题意知
，且当
时，
，
所以由
得
，
所以
，由
得
，即
，
所以
是以2 为首项，1 为公差的等差数列，
所以
，即
，所以
；
当
时，
，
当
时，
也符合上式，所以
．
（2）由（1）得
，
所以
，
所以
48
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，
所以数列
是单调递增数列，所以
，
因为不等式
对任意正整数
恒成立，
所以
，即
，又
，
所以解得
，所以
的取值范围为
.
【例10-3】（2024·广东韶关·一模）设数列
的前
项和为
，且
.
(1)求数列
的通项公式；
(2)在
和
之间插入1 个数
，使
成等差数列；在
和
之间插入2 个数
，使
成等
差数列；依次类推，在
和
之间插入
个数
，使
成等差数列.
（i）若
，求
；
（ii）对于（i）中的
，是否存在正整数
，使得
成立？若存在，求出所有的正整数对
；若不存在，说明理由.
【答案】(1)
(2)（i）
；（ii）存在，
和
【解析】（1）当
时，
得
；
当
时，
，
49
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两式相减得
，
所以
是以1 为首项，
为公比的等比数列.
所以
.
（2）①
设
，
所以
，
上面两式相减得
，
所以
所以
，
所以
.
②
因为
都是递减数列；
所以
；
则
，
令
，即
恒成立，
50
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所以数列
单调递增，
当
时，
；
则
所以
；
当
时，
；
则
，
所以，
，成立，解得
，存在；
当
时，
；
当
时，
；不满足题意，故不存在：
综上所述，当正整数对
取
和
时，
成立.
【例10-4】（24-25 高三上·辽宁·阶段练习）已知数列
的首项为1，其前
项和为
，等比数列
是首项
为1 的递增数列，若
．
(1)求数列
和
的通项公式；
(2)证明：
；
(3)求使得
成立的最大整数
．
【答案】(1)
，
(2)证明见解析
(3)6
【解析】（1）因为
，
所以当
时，
，
51
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作差得
，
两边同时除以
得
，
又
，所以
，得
，
所以
，故对
，
所以数列
是首项为1，公差为1 的等差数列，
所以
，则
．
设等比数列
的公比为
，
因为
，所以由
，或
又因以数列
是递增数列，所以
．
（2）因为
，
所以
．
（3）由（1）知，
即
，令
，则
，
，
所以当
时，
，当
时，
，当
时，
，
即有
，
，
又
，
故当
时，
，所以
，
，
52
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又
，
所以
，当
时，
，故使得
成立的最大整数为6．
考向十一 新定义数列
【例11-1】（2025·陕西咸阳·一模）若无穷数列
满足：对于
，
，其中A 为常数，则
称数列
为“A 数列”．
(1)若等比数列
为“A 数列”，求
的公比q；
(2)若数列
为“A 数列”，且
，
．
①求证：
；
②若
，且
是正项数列，
，求满足不等式
的
的最小值．
【答案】(1)
(2)①证明见详解；②1
【解析】（1）因为等比数列
为“A 数列”，则
，
即
，可得
，
若上述方程对任意
恒成立，则
，且
为定值，
所以
的公比
.
（2）由题意可知：
，且
，
则数列
是以首项为
，公差为1 的等差数列，
可得
，即
.
53
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①因为
，
若
，则
；
若
，则
；
若
，则
，
可得
；
综上所述：
；
②因为
，且
是正项数列，则
，即
，
可得
，
若
对任意
恒成立，即
，
令
，可得
，可得
，
且
，则
，
若
，可得
，
又因为
，
可得
，
所以
符合题意；
若
对任意
恒成立，即
，
令
，可得
，可得
，
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若
，可得
，
又因为
，
可得
，
，
可得
，所以
符合题意；
综上所述：
的最小值1.
【例11-2】（2024·安徽·模拟预测）若数列
满足：
，若存在
，都有
，则称这个数列
为下界数列，并把其中最小的值
叫做临界值，记为
.
(1)记数列
前
项和为
，证明：数列
是下界数列；
(2)记数列
前
项和为
，判断数列
是否为下界数列，并说明理由；
(3)若数列
是首项及公比均为2 的等比数列，记
，数列
的临界值为
，证明：
．
【答案】(1)证明见解析
(2)数列
不是下界数列，理由见解析
(3)证明见解析
【解析】（1）由题意知，
，
故数列
是下界数列.
（2）由
，知
，
．
因为
，
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所以
，
故数列
不是下界数列．
（3）由题意知，
，
，
因为
，
所以
，所以
．
，当
时，
，
当
时，
，
所以
．
【例11-3】（2025·福建厦门·一模）若数列
满足数列
是等差数列，则称
为“绝对等差数列”，
的公差称为
的“绝对公差”．
(1)若“绝对等差数列”
的“绝对公差”为2，且
，求
的值；
(2)已知“绝对等差数列”
满足
，
，且
的“绝对公差”为1，记
为
的前n 项和．
（ⅰ）若
，求
；
（ⅱ）证明：对任意给定的正整数m，总存在
，使得
．
【答案】(1)
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(2)（ⅰ）
；（ⅱ）证明见解析
【解析】（1）设
，则
，
因为
，
若
与
均为负数，则
，解得
，不合题意；
若
与
一正一负，则
或-2，不合题意；
所以
，
，
所以
，解得
，故
．
（2）（ⅰ）由题
则
，
又因为
．
则
，所以
．
（ⅱ）依题意，
，记
，其中
，
①若m 为奇数，
令
，由（ⅰ）可知，
，
因为
，
所以
，符合题意；
所以对任意给定的奇数m，存在满足
的
使得
；
②若m 为偶数，
因为
，
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，
……
，
，
累加得
由（ⅰ）知，令
'可得，
．
若
，则
，符合题意，故下面只讨论
的情况．
当k 为大于1 的奇数时，
，
，设此时的
，
即
，
，
构造新数列
，其中
，
，其余各项均不变
即
，
记
调整为
后该数列的前m 项和为
，
则
，结
合
及（ⅰ）可得
令
，解得
，
则对任意给定的偶数m，当
，或
时，
存在一个对应
的
满足
，其中
为不超过x 的最大整数，
，
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综上所述，对任意给定的正整数m，总存在一个
满足
【例11-4】（24-25 高三上·浙江嘉兴·期末）若数列
满足如下两个条件：①
是1，2，3，
，
的一个全排列;②
或
，k 为常数且
则称数列
为“
数列”.
(1)请写出所有的“
数列”;
(2)证明：k 是奇数;
(3)当
时，求k 的最大值，并说明理由.
【答案】(1)①，2，3，
②，4，3，
③
，1，4，
④
，3，4，
⑤，2，1，
⑥，4，1，
⑦
，
1，2，
⑧
，3，2，1；
(2)证明见解析
(3)
，理由见解析
【解析】（1）①，2，3，
②，4，3，
③
，1，4，
④
，3，4，
⑤，2，1，
⑥，4，1，
⑦
，1，2，
⑧
，3，2，1；
（2）由条件得
或
，
设
的有
个，
的有
个，
的有
个，
的有
个.
则
即
，
若k 为偶数，则
为偶数，
①当
为奇数，则
中的每一项均为奇数，不合题意;
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②当
为偶数，则
中的每一项均为偶数，不合题意，
所以k 不能为偶数，即k 为奇数.
（3）
的最大值为
首先我们可以写出一个满足要求的数列：
当
时，
，则
当n 为奇数时，
，
当n 为偶数时，
，
当
时，
，则
当n 为奇数时，
，
当n 为偶数时，
，
且
下面用反证法证明没有比1011 更大的k 的值.
由
知， k 为奇数，假设
，现在考虑1013 这个数，
因为对于任意一个小于等于2024 的正整数i，
，
即数列
中的任意一项不能与1013 相邻，但1013 是数列
中的一项，矛盾.
所以
，所以k 的最大值为
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