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专题六 不等式、函数与导数
第3 讲 导数与单调性、极值和最值
【探究真题.明确方向】
1.(2023·新课标Ⅱ卷，T6)已知函数f(x)=aex-ln x 在区间(1，2)上单调递增，则a 的最小值为( )
A.e2
B.e
C.e-1
D.e-2
2.(2022·全国乙卷，文T11)函数f(x)=cos x+(x+1)sin x+1 在区间[0，2π]的最小值、最大值分别为( )
A.-π
2 ，π
2
B.-3 π
2 ，π
2
C.-π
2 ，π
2 +2
D.-3 π
2 ，π
2 +2
3.(多选)(2025·全国Ⅱ卷，T10)已知f(x)是定义在R 上的奇函数，且当x>0 时，f(x)=(x2-3)ex+2，则( )
A.f(0)=0
B.当x<0 时，f(x)=-(x2-3)e-x-2
C.f(x)≥2 当且仅当x≥√3
D.x=-1 是f(x)的极大值点
4.(2024·新课标Ⅱ卷，T16)已知函数f(x)=ex-ax-a3.
(1)当a=1 时，求曲线y=f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；
(2)若f(x)有极小值，且极小值小于0，求a 的取值范围.
【命题预测】本讲是历年高考命题必考的内容，属于中高档题目，具有一定的难度，三种题型都有所考查，
分值约为11~26 分.
【考向预测】考查重点一是判断函数的单调性以及单调性应用，如求参数范围、比较大小、解不等式等，
二是函数极值，主要是求函数的极值，由极值求参数的值、范围等，三是函数的最值以及最值的应用.
考点一 利用导数研究函数的单调性
考向1 利用导数求函数的单调区间
【典例】1 已知函数f(x)=(x-2)ex+a
2x2-ax，讨论函数f(x)的单调性.
1
考向2 单调性的应用
【典例】2 (1)若函数f(x)=ln x+ax2-2 在区间(
1
4 ，1)内存在单调递减区间，则实数a 的取值范围是(
)
A.(−∞，−1
2)
B.(−1
8 ，+ ∞)
C.(-2，+∞)
D.(-8，+∞)
(2)(2025·长沙模拟)已知y=f(x)是定义在(1，+∞)上的连续可导函数，其导函数为y=f'(x)，若xf'(x)<f(x)，
且f(3)=6，则不等式f(ln x)>2ln x 的解集为( )
A.(1，3)
B.(3，e2)
C.(1，e3)
D.(e，e3)
【变式训练】1 (1)(2025·菏泽模拟)已知函数f(x)=(x-a-1)ex-(
x
2 −a)bx 是R 上的增函数，则( )
A.a=b
B.a=1
b
C.a=ln b
D.a=eb
(2)(2025·张掖模拟)已知a=9eln 2，b=18，c=4eln 3，则a，b，c 的大小关系为( )
A.b>a>c
B.a>c>b
C.a>b>c
D.b>c>a
考点二 利用导数研究函数的极值
【典例】3 (2025·郑州模拟)已知函数f(x)=xln(ax)(a≠0).
(1)若直线y=-1
e 与曲线y=f(x)相切，求a 的值；
(2)若f(x)有极大值，且极大值大于1，求a 的取值范围.
2
【变式训练】2 (1)(多选)(2025·重庆模拟)已知函数f(x)，x∈[-a，a]的图象是一条连续不断的曲线，设
其导数为f'(x)，函数g(x)=(x2-x)f'(x)的图象如图，则下列说法正确的是( )
A.f(x)在x=-1 处取极大值
B.x=1 是f(x)的极大值点
C.f(x)没有极小值点
D.x=1 可能不是导函数f'(x)的极大值点
(2)(2025·哈尔滨模拟)若函数f(x)=xln x-(m-1)ln 2x 存在唯一极值点，则实数m 的取值范围是( )
A.(1，+∞)
B.[1，+∞)
C.{1−1
e
2}∪[1，+∞) D.[1−1
e
2 ，+∞)
考点三 利用导数研究函数的最值
【典例】4 (1)(2022·全国甲卷)当x=1 时，函数f(x)=aln x+b
x 取得最大值-2，则f'(2)等于( )
A.-1
B.-1
2
C.1
2
D.1
(2)(2025·石家庄模拟)如图所示，圆锥的内接圆柱的轴截面是边长为2 的正方形，则该圆锥体积的最小
值为( )
A.4π
B.9 π
2
C.5π
D.11π
2
【变式训练】3 (2025·长沙模拟)已知函数f(x)=3x2-2ln x+(a-1)x+3 在区间(1，2)上有最小值，则实数a
的取值范围是( )
A.a>-3
B.-49
3 <a<-10
3
C.-49
3 <a<-3
D.-10<a<-3
【拓展训练】【限时训练】（限时：60 分钟）
一、单项选择题(每小题5 分，共30 分)
1.函数f(x)=x2-ln x-x 的单调递减区间是( )
A.(0，1
2)
B.(
1
2 ，+∞)
C.(0，1)
D.(1，+∞)
2.设函数f(x)= e
x
x +a，若f(x)的极小值为√e，则a 等于( )
A.-1
2
B.1
2
C.3
2
D.2
3.若函数f(x)=aln x +1
x
-2 的单调递减区间为(1，+∞)，则a 等于( )
A.1
e
B.1
C.e
D.e2
4.函数f(x)的大致图象如图所示，设f(x)的导函数为f'(x)，则f'(x)f(x)>0 的解集为( )
A.(-∞，0)∪(1，3)
B.(1，3)
C.(0，1)∪(3，+∞)
D.(-∞，0)∪(3，+∞)
5.(2025·齐齐哈尔模拟)已知函数f(x)=a
2x2+bln x 在x=2 处有最小值，且最小值为1-2ln 2，则a+b 的值为(
)
A.3
B.1
2
C.-3
2
D.-3
6.(2025·遵义模拟)已知函数f(x)=1
2ax2-ln x-b(a>0)，若∀x>0，f(x)≥0，则b
a的最大值是( )
4
A.1
2
B.1
e
C.2
e
D.1
二、多项选择题(每小题6 分，共12 分)
7.(2025·邯郸模拟)已知函数f(x)=(x2-3)ex，则下列结论正确的是( )
A.
lim
x→0 f ( x)+3
x
=3
B.函数f(x)在(-1，1)上单调递减
C.函数f(x)有极大值6e-3
D.函数f(x)在[-4，-2]上的最小值为f(-4)
8.(2025·厦门模拟)已知f(x)=x3+ax2+bx-2，不等式f(x)<2 的解集为{x|x<1 且x≠-2}，则下列说法中正确的是(
)
A.函数f(x)的极大值点为1
B.函数f(x)的一个对称中心为点(-1，0)
C.当-2<x<-1
2时，f(2x+1)>-2
D.过点(-3，-2)且与曲线y=f(x)相切的直线有2 条
三、填空题(每小题5 分，共10 分)
9.(2025·全国Ⅱ卷)若x=2 是函数f(x)=(x-1)(x-2)(x-a)的极值点，则f(0)= .
10.(2025·郑州模拟)若直线y=x 为曲线y=eax+b的一条切线，则b
a的最小值为 .
四、解答题(共28 分)
11.(13 分)(2025·哈尔滨模拟)已知函数f(x)=(x2+1)e-x，g(x)=ax+b，其中a，b∈R.
(1)若曲线y=f(x)在点(0，f(0))处的切线与直线y=g(x)垂直，且f(0)=g(0)，求a，b 的值；(5 分)
(2)若函数h(x)=f(x)-g(x)在区间(0，+∞)上存在极大值，求a 的取值范围.(8 分)
5
12.(15 分)(2025·重庆模拟)已知函数f(x)=ax-ln x+a2(a∈R).
(1)若f(x)在(1，e)上不单调，求实数a 的取值范围；(7 分)
(2)当a>0 时，求证：f(x)≥3ln a+2.(8 分)
【拓展训练】(每小题5 分，共10 分)
13.(2025·上饶模拟)利用所学数学知识解决新问题是我们学习数学的一个重要目的，同学们利用我们所学的
数学知识，探究函数f(x)=xx，x∈(0，+∞)，下列说法正确的是( )
A.f(x)有且只有一个极大值点
B.f(x)在(0，1
e)上单调递增
C.存在实数a∈(0，+∞)，使得f(a)=1
e
D.f(x)有最小值，最小值为
1
e
1
e
14.(2025·武汉模拟)罗尔中值定理是微分学中的一个重要定理，与拉格朗日中值定理和柯西中值定理一起并
称微分学三大中值定理.罗尔中值定理：若定义域为R 的函数f(x)的导函数记为f'(x)，且函数f(x)满足条件①
在闭区间[a，b]上连续；②在开区间(a，b)内可导；③f(a)=f(b).那么至少存在一个ξ∈(a，b)使得f'(ξ)=0.已
知函数f(x)=ex-ax2-(e-a-1)x-1，a∈R 在区间(0，1)内有零点，其中，e=2.718…是自然对数的底数，则实数a
的取值范围为( )
A.(
1
2 ，1)
B.(
1
2 ，e
2)
C.(
1
2 ，e−2)
D.(e-2，1)
6
7
