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第二题 复数及其运算
高考真题
2. 已知 ，则 （ ）
A. B. C. 0 D. 1
【思路分析】根据复数的除法运算求出 ，再由共轭复数的概念得到 ，从而解出．
【解析】因为 ，所以 ，即 ．
故选：A．
知识点总结
1. 复数的有关概念
(1) 定义：形如 a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中 i 叫做虚数单位，满足 i2＝－1，
__a__叫做实部， b 叫做虚部，复数集记做C，即C＝{z|z＝a＋bi，a，b∈R}．
(2) 复数相等：复数z ＝a＋bi与z ＝c＋di(a，b，c，d∈R)相等⇔ a ＝ c 且 b ＝ d .
1 2
(3) 共轭复数：如果两个复数的实部相等，而虚部互为相反数，那么这两个复数叫做互为
共轭复数，即复数z＝a＋bi的共轭复数为＝a－bi.
2. 复数的分类
对于复数z＝a＋bi(a，b∈R)，则z是实数⇔b＝0；z是虚数⇔b≠0；z是纯虚数⇔a＝0且
b≠0.
3. 复数的几何意义
(1) 复平面：建立平面直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面．在复平面内，x轴叫做
实轴，y轴叫做虚轴．显然，实轴上的点都表示实数；除原点外，虚轴上的点都表示虚数．
(2) 几何意义：复数z＝a＋bi――――→复平面内的点Z(a，b) ――――→向量OZ.
(3) 复数的模：设OZ＝a＋bi，则向量OZ的模叫做复数a＋bi的模，记作|z|或|a＋bi|.由模
的定义知|z|＝|a＋bi|＝ .
4. 复数的代数运算
已知两个复数z ＝a＋bi与z ＝c＋di(a，b，c，d∈R)，那么：
1 2z ±z ＝(a±c)＋(b±d)i，z ·z ＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i，
1 2 1 2
＝＝(z ≠0)．
2
5. 常用结论
(1) i的乘方具有周期性：i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝
0，n∈N*.
(2) 复数的模与共轭复数的关系：z·＝|z|2＝||2.
题型展示
复数的有关概念
(2022·湛江二模)若z＝＋3i，则 等于( B )
A. 1－5i B. 1－i
C. 1＋5i D. 1＋i
【解析】 因为z＝＋3i＝＋3i＝－2i＋1＋3i＝1＋i，所以＝1－i.
复数的运算
若复数z＝，则|z－i|等于( B )
A. 2 B.
C. 4 D. 5
【解析】 因为复数z＝，所以z－i＝－i＝1－2i，所以|z－i|＝＝.
复数的几何意义
(2022·日照一模)复平面内表示复数z＝的点位于( A )
A. 第一象限 B. 第二象限
C. 第三象限 D. 第四象限
【解析】 因为z＝＝＝＝2＋2i，所以z在复平面对应的点(2,2)在第一象限．
复数的几何意义体现了数形结合思想的运用．处理这类问题常用两种方法：一是利用复
数的代数形式进行求解，即“化虚为实”，思路自然清晰，但运算较复杂；二是利用复数的
几何意义进行求解，显得简捷明快．另外，关于复数模的问题，一般可化为复平面内两点间
的距离来解决．
(1) 若复数z ＝cosθ＋i，z ＝sin θ－i，则|z －z |的最大值为( D )
1 2 1 2
A. 5 B.
C. 6 D.
【解答】 |z －z |＝|(cosθ－sinθ)＋2i|＝＝＝≤.
1 2(2) 已知复数z满足条件|z|＝1，那么|z＋2＋i|的最大值是 4 .
【解析】 若复数z满足|z|＝1，则z所对应的点的轨迹是以原点O为圆心的单位圆．因为|
z＋2＋i|＝|z－(－2－i)|表示单位圆上的动点到定点(－2，－1)的距离，所以|z＋2＋i|的最大值
是＋1＝4.
(3) 已知|z|＝1，则|z－1＋i| 的最小值是 1 .
【解析】 因为|z|＝1，所以z在复平面内所对应的点Z在以原点O为圆心，半径为r＝1
的圆上．|z－1＋i|＝|z－(1－i)|，表示点Z到1－i所对应的点P(1，－)的距离．因为OP＝＝
2，所以PZ ＝OP－r＝1.
min
复数的三角形式
在复平面内，把复数3－i对应的向量按顺时针方向旋转，所得向量对应的复数是( B )
A. 2 B. －2i
C. －3i D. 3＋i
【解析】 由题知复数3－i对应的向量按顺时针方向旋转后，所得的向量为(3－i)＝2×＝2
＝－2i.
真题演练
一、单选题
1．在复平面内，复数 对应的点的坐标是 ，则 的共轭复数 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据复数的几何意义先求出复数 ，然后利用共轭复数的定义计算.
【详解】 在复平面对应的点是 ，根据复数的几何意义， ，
由共轭复数的定义可知， .
故选：D
2． （ ）A．1 B．2 C． D．5
【答案】C
【分析】由题意首先化简 ，然后计算其模即可.
【详解】由题意可得 ，
则 .
故选：C.
3． （ ）
A． B．1 C． D．
【答案】C
【分析】利用复数的四则运算求解即可.
【详解】
故选：C.
4．设 ，则 （ ）
A．-1 B．0 · C．1 D．2
【答案】C
【分析】根据复数的代数运算以及复数相等即可解出．
【详解】因为 ，
所以 ，解得： ．
故选：C.
5．设 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由题意首先计算复数 的值，然后利用共轭复数的定义确定其共轭复数即可.【详解】由题意可得 ，
则 .
故选：B.
6．已知 ，则 （ ）
A． B． C．0 D．1
【答案】A
【分析】根据复数的除法运算求出 ，再由共轭复数的概念得到 ，从而解出．
【详解】因为 ，所以 ，即 ．
故选：A．
7．在复平面内， 对应的点位于（ ）．
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】A
【分析】根据复数的乘法结合复数的几何意义分析判断.
【详解】因为 ，
则所求复数对应的点为 ，位于第一象限.
故选：A.
8．设复数 满足： ，那么 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】设 ，然后根据复数相等计算求解；或变形为 两边取模后
平方，计算求解即可.【详解】解法1：设 ，由已知 ，
由复数相等可得 ，解得 ，故 .
解法2：由已知得 ，①
两边取模后平方可得 ，
所以 ，代入①得 .
故选：B.
9． （ ）
A．i B． C．1 D．
【答案】D
【分析】根据复数的运算求解即可.
【详解】 ，
故选：D
10．复数 的虚部为（ ）
A．3 B． C．2 D．
【答案】D
【分析】由复数的运算法则求得 的代数形式,，再结合虚部的定义求解即可.
【详解】由题得 .
所以复数 的虚部为 .
故选：D.
11． （ ）
A． B． C． D．【答案】A
【分析】先利用复数除法化简 ，再结合 的乘方的周期性，可得解.
【详解】 .
故选：A
二、填空题
12．已知 是虚数单位，化简 的结果为 ．
【答案】 /
【分析】由题意利用复数的运算法则，分子分母同时乘以 ，然后计算其运算结果即可.
【详解】由题意可得 .
故答案为： .
13．若将复数 表示为 （ ，i是虚数单位）的形式，则 ．
【答案】1
【分析】利用复数的除法直接求得.
【详解】因为 ，所以 ，所以 .
故答案为：1
14．复数 的值是 ．
【答案】
【分析】先根据 进行化简，再利用复数除法的运算公式进行化简整理即可．
【详解】解： ．
故答案为： .模拟训练
一、单选题
1． （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据复数的除法运算，可求得答案.
【详解】 ,
故选：A
2．设复数 ，则复数 在复平面内对应的点所在的象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
【分析】讲复数转化为复平面上的点的坐标进行判断即可.
【详解】根据复数运算可知： ，在复平面对应的点的坐标为 ，
位于第二象限.
故选：B
3．已知复数z满足 （i为虚数单位），则 （ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】B
【分析】根据复数模的性质运算即可.
【详解】 ,,
．
故选：B
4．复数 的共扼复数对应的点所在象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】C
【分析】根据复数的乘法与共轭复数的概念，结合复数的几何意义求解即可.
【详解】 ，对应点坐标为 ，对应点在第三象限.
故选：C.
5．以 的虚部为实部，以 的实部为虚部的复数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】化简 得其实部，根据复数的定义写出新复数．
【详解】 的虚部是1， ，其实部为 ，新复数是 ．
故选：A．
6．复数 对应的点在复平面内的（ ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
【分析】利用复数的乘法化简复数 ，利用复数的几何意义可得出结论.
【详解】因为 ，因此，复数 对应的点在复平面内的第二象限.
故选：B.
二、多选题7．下面是关于复数 （i为虚数单位）命题，其中真命题为（ ）
A． B．
C． 的共轭复数为 D． 的虚部为
【答案】BD
【分析】A选项，利用复数除法法则计算出 ，从而利用模长公式计算出 ；B选项，利用复
数乘法法则计算出 ；C选项，根据共轭复数的概念求解；D选项，由虚部概念得到答案.
【详解】 ，
，A错误；
B选项， ，B正确；
C选项， 的共轭复数为 ，C错误；
D选项， 的虚部为 ，D正确．
故选：BD
8．（多选）下列说法中，正确的是（ ）
A．
B．若 ，则
C．若
D．若 ，则
【答案】AC
【分析】对于A，利用共轭复数的定义即可判断；对于B，令 即可判断；对于C，若 ，
则 ，即可判断；对于D，根据模长公式即可判断.
【详解】对于A项，若 ，则 和 互为共轭复数，所以 ，故A正确；对于B项，若 ，则 ，而 ，故B错误；
对于C项，若 ，则 ， ， ，故C正确；
对于D项，若 , 可得 ，故D错误.
故选：AC
三、填空题
9．复数 的三角形式为 ．
【答案】
【分析】求得所给复数的模及辐角主值，即可求得结果．
【详解】解： = .
故答案为： .
10．已知复数z满足等式 ，则 的最大值为 .
【答案】
【分析】根据复数的几何意义可知，复数z在复平面内对应的点是以 为圆心，半径为 的圆，作出图
形，数形结合即可求出 的最大值为圆心 到点 的距离加 ．
【详解】因为 ，所以复数z在复平面内对应的点是以 为圆心，半径为 的圆，如图所示：
则 的最大值为圆心 到点 的距离加 ，即 ．故答案为： ．
【点睛】本题主要考查复数的几何意义的应用，复数的模的求法，考查数形结合思想的应用，属于基础题．
11．已知复数 是纯虚数，则实数 .
【答案】1
【分析】根据给定条件，利用纯虚数的定义列式求解即得.
【详解】由复数 是纯虚数，得 ，解得 ，
所以实数 .
故答案为：1
12．若复数 （i为虚数单位），则 .
【答案】
【分析】化简复数，根据复数的模的计算方法可求出答案.
【详解】 ，所以 .
故答案为： .
