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专题 02 空间向量与立体几何
题型1 空间向量的线性运算
空间向量线性运算中的三个关键点
1．（24-25高一下·福建福州·期末）点 在平行四边形 所在平面外， 与 交于点 ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由向量的线性运算即可求解.
【详解】由题意点 是 的中点，
所以 .
故选：B.
2．（24-25高二下·江苏盐城·阶段练习）已知空间四边形 中，连结 ，设 分别是
的中点，则 等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据空间向量的减法及线性关系计算即可.
【详解】因为 分别是 的中点，
所以 ，
则 .
故选：B.
3．（25-26高二上·全国·课后作业）（多选）若 为空间中不同的四点，则下列各式结果一定是零
向量的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BCD
【分析】根据空间向量的线性运算逐一计算可判断其正误.【详解】对于A， ，
结果不一定为零向量，故A错误；
对于B，
，故B正确；
对于C， ，故C正确；
对于D， ，故D正确．
故选：BCD.
4．（2025·新疆喀什·模拟预测）在任意四边形 中，E，F分别是 ， 的中点，若
，则 （ ）
A． B．1 C．2 D．3
【答案】C
【分析】根据向量加法法则，将 分别用 表示，再结合题意即可得解.
【详解】如图， ，
，
， .
故选：C.
5．（2025高二·全国·专题练习）如图，在四面体 中， ， ， 分别是 ， ， 的中点，
化简： ， ， ．【答案】
【分析】根据向量的线性运算即可.
【详解】 ；
；
；
故答案为： ； ； .
题型2 共线、共面向量定理的应用
应用共线(面)向量定理证明点共线(面)的方法比较
三点(P，A，B)共线 空间四点(M，P，A，B)共面
PA＝λPB MP＝xMA＋yMB
对空间任一点O，OP＝OA＋tAB 对空间任一点O，OP＝OM＋xMA＋yMB
对空间任一点O，OP＝xOM＋yOA＋(1－
对空间任一点O，OP＝xOA＋(1－x)OB
x－y)OB
6．（25-26高三上·河北·开学考试）已知空间向量 与 共线，则 （ ）
A．-1 B． C． D．1
【答案】C
【分析】根据空间向量共线的条件即可得出答案.【详解】因为空间向量 与 共线，
所以 ，解得 ，所以 .
故选：C
7．（24-25高二上·上海·课后作业）设 ， 是空间两个不共线的非零向量，已知 ，
， ，且 、 、 三点共线，则实数 的值为（ ）
A． B． C． D．8
【答案】C
【分析】利用向量的线性运算表示 ，根据 、 、 三点共线可得 ，建立等量关系可得 的
值.
【详解】∵ ， ， ，
∴ ，
∵ 、 、 三点共线，
∴ ，使得 ，
即 ，
∴ ， ，解得 ．
故选：C．
8．（24-25高三上·河南濮阳·阶段练习）已知P、A、B、C为空间中的四点且P,B,C三点不共线，且
，则“ ”是“A、B、C三点共线”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】根据两者之间的推出关系可得条件关系.【详解】若 ，则 ，故 ，
所以 ，而 共起点，故 三点共线，
若 三点共线，则存在实数 ，使得 ，
故 ，故 ，
因为 不共线，则 不共线，故 ，
故 ，
故“ ”是“A、B、C三点共线”的充分必要条件，
故选：C.
9．（2025·上海奉贤·二模）如图，在平行六面体 中，点 在对角线 上，点 在对角
线 上， ， ，以下命题正确的是（ ）
A．
B． 、 、 三点共线
C． 与 是异面直线
D．
【答案】B【分析】以 为基底结合图形，利用空间向量的线性运算推理作答.
【详解】在平行六面体 中，令 ， ， ，
则 ， ，
，
，因为 不共线所以 与 不平行，故A错误.
，
，即有 ， ， 有公共点 ，
所以 、 、 三点共线，B选项正确.
因为点 在直线 上，点 也在直线 上所以 与 是相交直线，
故C选项错误.
因为 ，所以 ，故D选项错误.
故选：B
10．（23-24高二上·贵州·开学考试）如图，在三棱柱 中， 为空间一点，且满足
， ，则下列说法错误的是（ ）
A．当 时，点 在棱 上
B．当 时，点 在线段 上C．当 时，点 在棱 上
D．当 时，点 在线段 上
【答案】B
【分析】由空间向量共线定理逐一判断即可.
【详解】对于 ，当 时， ， ，
所以 ，则点 在棱 上，故 正确；
对于 ，当 时， ， ，
即 ，即
所以点 在线段 上，故 错误；
对于 ，当 时， ， ，
所以 ，所以 ，即 ，
所以点 在棱 上，故 正确；
对于 ，当 时，
所以 ， ，
所以 ，
即 ，即 ，
所以点 在线段 上，故 正确．
故选： ．
11．（24-25高二下·浙江·阶段练习）三个非零向量 则“ 共面”是“ ”的
（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】根据向量共面的等价条件，利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可.
【详解】由共面向量的基本定理可知，若三个非零向量 满足 ，则 共面，
反之，若三个非零向量 共面，当 共线， 与 不共线时，就不存在实数 使得 ，
故 共面是 的必要不充分条件，
故选：B
12．（22-23高二上·广东清远·期中）在下列条件中，使 与 一定共面的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据空间共面向量定理的应用，依次判断选项即可.
【详解】对于A， ，由于 ，
所以不能得出 共面.故A不符合题意；
对于B，由于 ，则 为共面向量，
所以 共面. 故B符合题意；
对于C， ，由于 ，
所以不能得出 共面. 故C不符合题意；
对于D，由 得 ，
而 ，所以不能得出 共面. 故D不符合题意；
故选：B
13．（24-25高二上·陕西安康·期中）已知点 ，则下列各点与点 不共面
的是（ ）
A． B．C． D．
【答案】D
【分析】根据空间向量共面基本定理，列出方程组，根据方程组有解无解可判断是否共面.
【详解】由题意，可得 ，
,
若 共面，则存在 使得 成立，
代入坐标可得 ，解得 ，即四点共面，故A错误；
若 共面，则存在 使得 成立，
代入坐标可得 ，解得 ，即四点共面，故B错误；
若 共面，则存在 使得 成立，
代入坐标可得 ，解得 ，即四点共面，故C错误；
若 共面，则存在 使得 成立，
代入坐标可得 ，此方程组无解，即四点不共面，故D正确.
故选：D
14．（2025·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）已知空间中有5个点 、 、 、 、 ，若满足
，且 、 、 、 四点共面，则 的值为（ ）
A． B． C． D．【答案】B
【分析】根据空间共面向量定理的推论可求 的值.
【详解】由 得 ，
即 ，
由空间向量共面定理的推论可知， ，解得 .
故选：B.
15．（22-23高二上·湖南郴州·阶段练习） 为空间任意一点，若 ，若 四
点共面，则 （ ）
A．1 B． C． D．
【答案】C
【分析】根据空间向量共面的基本定理可得答案.
【详解】若 四点共面，则 ，
解得 .
故选：C.
16．（24-25高二上·广东·期中）已知A，B，C三点不共线，点O不在平面ABC内，
，若A，B，C，D四点共面，则 的最大值为（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】B
【分析】先利用已知条件求得 ，再利用均值定理即可求得 的最大值.
【详解】由 及A，B，C，D四点共面得： ，
即 ，又 ， ，
所以 ，当且仅当 时等号成立，故选：B
17．（25-26高三上·江苏镇江·开学考试）已知 为空间中四点，任意三点不共线，且
，若 四点共面，O不在该平面上，则 的最小值为（ ）
A．4 B．5 C． D．9
【答案】C
【分析】利用空间向量四点共面定理和基本不等式“1”的妙用求解即可.
【详解】因为 四点共面，
所以由共面定理可得， ，即 ，
所以 ，
因为 ，
当且仅当 ，即 ，即 时，等号成立，
所以 ，
故选：C.
题型3 空间向量基本定理及其应用
用基向量表示指定向量的方法
（1）结合已知向量和所求向量观察图形．
（2）将已知向量和所求向量转化到三角形或平行四边形中．
（3）利用三角形法则或平行四边形法则把所求向量用已知基向量表示出来．18．（2025·浙江温州·模拟预测）已知空间向量 ，则下列向量可以与 构成空间向
量的一组基底的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据基底的定义，判断 是否共面即可逐一求解.
【详解】对于A，由于基底向量不能是零向量，故A错误，
对于B，由于 与 不共面，符合基底要求，故B正确，
对于C， ，故 共面，不符合要求，C错误，
对于D， ，故 共面，不符合要求，D错误，
故选：B
19．（23-24高二上·山西运城·期中）若 构成空间的一个基底，则下列向量能构成空间的一个基底
的是（ ）.
A． ， ， B． ， ，
C． ， ， D． ， ，
【答案】C
【分析】要判断一组向量能否构成空间的一个基底，即判断这组向量是否不共面，逐一分析各选项，找出
不共面的向量组即可．
【详解】对于A，因为 ，
所以 ， ， 共面，不能构成空间的一个基底，故A错误；
对于B，因为 ，
所以 ， ， 共面，不能构成空间的一个基底，故B错误；
对于C，假设 ， ， 共面，则存在实数 ，使得 ，由于 为空间的一个基底，所以可得实数 的解为 ，
但 与 矛盾，假设不成立，即 不共面，能构成空间的一个基底，故C正确；
对于D，因为 ，
所以 共面，不能构成空间的一个基底．
故选：C．
20．（2025高三下·全国·专题练习）已知 是空间一个基底， ，一定可以与向量
构成空间另一个基底的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据空间向量基底的定义，任意两个不共线且不为零向量，三个向量不共面，即可判断.
【详解】向量 ，得 与 是共面向量, 不能构成空间的一个基底，A错误；
同理 ，得 与 是共面向量，不能构成空间的一个基底，B错误；
又 与 和 不共面，所以 与 可以构成空间的一个基底，C正确；
与 是共面向量，不能构成空间的一个基底，D错误.
故选：C.
21．（2025·全国·模拟预测）已知正方体 ，设向量 ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据方程组 ，即可求解 .【详解】由于 ，
所以 ， ， .
故选：B
22．（2025·黑龙江齐齐哈尔·二模）在三棱柱 中，设 ， ， ， 为 的中
点，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由空间向量的线性运算法则即可求解．
【详解】连接 ，如图，
因为 为 的中点，
所以 ．
故选：C．
23．（2025·湖北武汉·二模）在三棱柱 中，设 ， ， ， ， 分别为， 的中点，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】结合几何图形，利用给定的基底表示向量 .
【详解】在三棱柱 中， .
故选：B
24．（2025高三·全国·专题练习）我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面
的四棱锥称为阳马.如图所示，已知四棱锥 是阳马， 平面 ，且 ，若
，则 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据向量线性运算原则求解即可.【详解】由题意， ，
，
则 ，
故选：D.
25．（24-25高二上·辽宁·阶段练习）在正三棱锥 中，O为 外接圆圆心，则 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】取 中点 ，连接 ，利用空间向量的线性运算即可得解.
【详解】如图，在正三棱锥 中，取 中点 ，连接 ，
则点 为底面中心，且在 上，
所以
.
故选：D.26．（24-25高二上·陕西咸阳·阶段练习）三棱锥 中， ，点 为 中点，
点 满足 ，则 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】由图形，题意，结合空间向量加减法可得答案.
【详解】 ，又 为 中点，
故选：C
27．（24-25高三上·重庆·期末）如图，在正四棱锥 中， 为棱 的中点，设
，则用 表示 为（ ）A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】由图及空间向量加减法可得答案.
【详解】由图可得：
.
故选：C
28．（24-25高二上·河南信阳·期末）如图，在三棱锥 中，
分别为 的中点，则 （ ）
A． B．2 C． D．1
【答案】D
【分析】利用空间向量的线性运算可得 ，结合空间向量数量积的运算律计算可得
.【详解】由题意得， ， ， ， ，
∴ ， ， .
∵ ，
∴
.
故选：D.
题型4 空间向量数量积及其应用
空间向量数量积的应用
29．（2025·辽宁鞍山·一模）已知向量 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用空间向量运算的坐标表示，列式计算即得.【详解】向量 ， ，则 ，
所以 .
故选：A
30．（24-25高二下·甘肃兰州·期中）设正四面体 的棱长为 ， ， 分别是 ， 的中点，则
的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据题意，得到 ， ，结合向量的数量积的定义与运算，即可求得
的值，得到答案.
【详解】如图所示，因为 分别为 的中点，可得 ， ，
又因为四面体 为正四面体，且棱长为 ，
可得
.
故选：D.
31．（24-25高三下·重庆·阶段练习）已知四面体 ，所有棱长均为2，点 分别为棱 的中
点，则 （ ）A．1 B． C．2 D．
【答案】D
【分析】由平面向量基本定理可得 ，再由空间向量数量积的运算
律代入计算，即可得到结果.
【详解】因为点 分别为棱 的中点，且四面体 所有棱长均为2，
则 ，
所以
.
故选：D
32．（24-25高三下·江苏南京·阶段练习）《九章算术》第五卷中涉及到一种几何体——羡除，它下广六尺，
上广一丈.深三尺，末广八尺，袤七尺.该羡除是一个多面体 ，如图，四边形 ，均为
等腰梯形， ，平面 平面 ，梯形 ，梯形 的高分别为3，7，且 ，
， ，则A． B． C． D．
【答案】C
【分析】过 分别作 ， 的高，垂足分别为 ， ，进而结合线面垂直和面面垂直的性质证明 ，
， 两两垂直，然后建立空间直角坐标系，求出关键点的坐标，最后求出 的值即可．
【详解】过 分别作 ， 的高，垂足分别为 ， ，
因为平面 平面 ， ，
且平面 平面 ，所以 平面 ，
因为 平面 ， 平面 ，
所以 ， ，又 ，故 ， ， 两两垂直，
以 为坐标原点， ， ， 分别为 ， ， 轴的正方向，
建立空间直角坐标系 ，
则由题意可知 ， ， ， ，
故 ， ，故 ，
故选：C
33．（2025·山西·一模）如图，直三棱柱 中， ，点P为侧面 上
的任意一点，则 的取值范围是（ ）A． B． C． D．
【答案】C
【分析】取AB中点为原点O，建立空间直角坐标系，设 ，由数量积的坐标表示得到
，进而可求解；
【详解】如图取AB中点为原点O，建立空间直角坐标系，设 ，
其中 ， ， ， ，
， ， ，
当 ，且 或 时， 取最大值4，
当 ，且 时， 取最小值2，所以 的取值范围为 ．
故选：C
34．（2023·西藏日喀则·一模）已知向量 ，若 与 垂直，则 （ ）.
A． B． C． D．【答案】D
【分析】
根据垂直关系可得 ，进而根据坐标运算以及模长公式即可求解.
【详解】由于 与 垂直，所以 ，所以 ，
故 ，
故选：D
35．（24-25高二上·重庆·阶段练习）正四面体ABCD的棱长为1，点 为CD的中点，点 为AM的中点，
则BO的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】设 ，将 用基底 表达出来，再求向量模即可求解.
【详解】设 ，
因为正四面体ABCD的棱长为1，由题意可知
，因为点 为CD的中点，点 为AM的中点，
所以 ，
，
因为 ，
所以 .
故选：A36．（24-25高二上·福建福州·期中）如图，在平行六面体 中，以顶点A为端点的三条棱
长均为3，且它们彼此的夹角都是 ，则对角线 长为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】利用空间向量将线段的长度转化成求解向量的模长度.
【详解】如图，由已知， ， ，
∵ ，
∴
，
∴ ，即 ，故选：A.
37．（24-25高二上·安徽安庆·阶段练习）如图，二面角 的棱上有两个点 ，线段 与 分
别在这个二面角两个面内，并且都垂直于棱 ．若二面角 的平面角为 ，且 ， ，
，则 的长度为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据式子 ，根据空间向量数量积的运算律即可求出 的长.
【详解】由条件知 ， ， ，
又二面角 的平面角为 ，则 ，
所以
，所以 .
故选：C
38．（2024·江苏淮安·模拟预测）如图，三棱锥 中， ，
， 分别为 的中点，点 在线段 上，且 ，则
（ ）A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据条件，利用空间向量的线性运算得到 ，再利用模长公式及数量积的
运算，即可求解.
【详解】因为 ，所以 ，
则 ，
又 ， ，
则
，
所以 ，
故选：D.
39．（2025·河北·模拟预测）正四棱锥 底面边长与侧棱长均为 为空间任一点，且满足
，则线段 长度的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．【答案】C
【分析】建立空间直角坐标系，根据 ，可得点 在以 为球心，以1为半径的球面上，
且 ，从而可得线段 长度的取值范围.
【详解】取底面正方形中心 ， 中点 ，连结 ，
以 为原点， 为 轴建立空间直角坐标系，
则 ，
设 ，则 ，
因为 ，得 ，
所以点 在以 为球心，以1为半径的球面上，
且 ，
则 ，即线段 长度的取值范围为 .
故选：C
40．（23-24高二上·江苏南通·期末）已知平行六面体 中
，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B【分析】利用向量的线性运算法则和数量积的性质化简条件可求 ，结合向量夹角公式可求解.
【详解】如图：
，
．
故选：B．
41．（23-24高二上·广东·阶段练习）如图所示，在正方体 中， 为 的中点，则向量
在向量 上的投影向量是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用空间向量的运算及投影向量的定义求解即可.
【详解】设正方体的棱长为1， ， ， ，则 ， ，
∵ ， ，
∴ ，
∴向量 在向量 上的投影向量是 .
故选：D．
42．（2025·湖北襄阳·二模）已知空间向量 ，平面 的一个法向量为 ，则向量 在
平面 上的投影向量是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】求得向量 在法向量上的投影，再由向量的加法法则即可求解.
【详解】向量 在平面 法向量 上的投影向量：
，
设 在平面 上的投影向量是 ，则 ，
所以 ，
故选：D
43．（23-24高二上·湖南·阶段练习）在长方体 中， ，动点 满足
且在线段 上，当 与 垂直时， 的值为 .
【答案】
【分析】以 为坐标原点，建立空间直角坐标系，求得 ，得到 ，进而求得
， ，结合 ，即可求得 的值.
【详解】由题意，以 为坐标原点，以 ， ， 的方向为 轴、 轴、 轴的正方向，建立空间直
角坐标系 ，如图所示，则 ， ， ， ，可得 ，得
，
所以 ， ，
由 ，可得 ，即 ，解得 或 ，
所以实数 的值为 .
故答案为： .题型5 利用空间向量证明线线平行
证明两条直线的方向向量共线．
44．（2024·全国·模拟预测）如图所示，在长方体 中， ， ， ，点 ，
， 分别在棱 ， ， 上， ， ， ．
(1)证明： ， ， ， 四点共面；
(2)点 在棱 上，当平面 与平面 的夹角的余弦值为 时，求 ．
【答案】(1)证明见解析；
(2)3.
【分析】（1）建立空间直角坐标系，求 ，证明 ，由此证明结论，（2）设 ，求平面 与平面 的法向量，利用向量夹角余弦公式求两平面的夹角余弦，列方
程求 ，可得结论.
【详解】（1）以 为原点， ， ， 所在的直线分别为 轴、 轴、 轴，建立如图所示的空间
直角坐标系 ．
可得 ， ， ， ．
所以 ， ，
则 ，
故 ， ， ， 四点共面．
（2）设 ， ，则 ，
设 是平面 的法向量，
则
取 ，则 ， ，
故 ，
又因为平面 的法向量为 ，所以 ，
平方整理得 ，
化简得 ，
解得 或 ，
由图易知，当 时，平面 与平面 的夹角为钝角，舍去．
综上， ，即 ．
45．（2025·云南红河·模拟预测）如图1，等腰梯形 中， ， ， ， 分别为
的中点，且 ，将梯形 沿 翻折至梯形 ，使得平面 平面 ，
得到如图2的多面体 .
(1)证明： 四点共面；
(2)在 上取一点 ，使得平面 平面 ，求平面 与平面 夹角的余弦值.【答案】(1)证明见解析
(2) .
【分析】（1）由面面垂直的性质定理可得 平面 ，以 为原点，建立空间直角坐标系，由平
行向量的坐标关系证得 ，即可证得 四点共面；
（2）由题意设 ，求出 ，分别求出平面 与平面
的法向量，由垂直向量的坐标表示求出 ，再求出平面 与平面 的法向量，由二面角的向量公式
即可得出答案.
【详解】（1）因为平面 平面 ，平面 平面 ，
且 ， 平面 ，
所以 平面 ，又 ，
以 为原点，以 所在直线为 轴建立空间直角坐标系，
易得 ，
则 ，
则 ，则 ，
即 ，所以 四点共面.
（2）由（1）知， ， ， ， ，
设 ，则 ，则 ，
设平面 的一个法向量为 ，
则 ，取 ，得 ，设平面 的一个法向量为 ，
则 ，取 ，得 ，
由平面 平面 ，则 ，解得 ，
则 ，则 ，又 ，
设平面 的一个法向量为 ，
则 ，取 ，得 ，
易得平面 的一个法向量为 ，
则 ，
则平面 与平面 夹角的余弦值为 .
46．（23-24高二上·广东深圳·阶段练习）如图，在四棱锥 中， 底面
，点 在棱 上， ，点 在棱 上， 为 的中点，
.(1)求证： 四点共面.
(2)求直线 与平面 的所成角的正弦值.
【答案】(1)证明见解析；
(2)
【分析】（1）建立空间之间坐标系，利用向量共面即可求解，
（2）求解平面法向量，即可根据线面角的向量法求解.
【详解】（1）以 为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图所示，
则 ，则 .
设 ，则 ，解得 ，
则 ，即 四点共面.
（2）由（1）中的空间直角坐标系，可得 ，设平面 的法向量为
由 取 ，可得 ，所以 .
设直线 与平面 所成的角为 ，则 ，
所以直线PA与平面AMN所成角的正弦值为 .
题型6 利用空间向量证明线面平行
(1)证明该直线的方向向量与平面的某一法向量垂直；
(2)证明直线的方向向量与平面内某直线的方向向量平行；
(3)可在平面α内取基向量{e ，e }，证明存在实数 λ ，λ ，使直线l的方向向量a＝λ e
1 2 1 2 1 1
＋λ e ，然后说明l不在平面α内即可．
2 2
注意：证明线面平行，最后必须加上线不在面内的条件．
47．（2025高三·北京·专题练习）如图，在四棱锥 中，底面 为矩形，侧棱 底面
是 的中点，点 是棱 上靠近 的四等分点.
(1)求证： 平面 ；
(2)求直线 与平面 所成角的正弦值.【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）法一：连接 ，由中位线的性质可证 ，再由线面平行的判定定理可证 平面
；法二：以点 为坐标原点，分别以 为 轴，建立空间直角坐标系，求出平面 的
法向量，利用空间向量证明；
（2）利用空间向量求线面角的方法计算.
【详解】（1）法一：如图，连接 ，交 于 ，连接 ，
因为底面 为矩形，所以 为 的中点，
因为 为 的中点，所以 是 的中位线，
得到 ，而 平面 ， 平面 ，故 平面 .
法二：根据题意，以点 为坐标原点，
分别以 为 轴，建立空间直角坐标系，
由题意得 ，
则 ，
设 为平面 的法向量，则 ，即 ，
令 ，则 ，故 ，
，
平面 ， 平面 .
（2） ，
，
直线 与平面 所成角的正弦值为 .
48．（2025高三·北京·专题练习）如图是一个直三棱柱（以 为底面）被一平面所截得到的几何体，
截面为 ．已知 ， ， ， ， ．
(1)设点 是 的中点，证明： 平面 ；
(2)求 与平面 所成的角的正弦值；
【答案】(1)证明见解析
(2)【分析】（1）判断 方向向量平行于 平面，
（2）通过向量积找法向量，然后利用点积确定角度.
【详解】（1） ， 为原点建立空间直角坐标系，如图，
则 ，
是 的中点， ，
由图可知， 是平面 的一个法向量，
由 ，且 不在平面 内，
平面 ·
（2）设 与面 所成的角为 ，
因为 ，
设 是平面 的一个法向量，
则由 得 ，
令 ，得 ，
又 ， ，则 ，与面 所成的角为正弦值为 .
49．（2025·福建福州·模拟预测）如图，在三棱柱 中， 平面 ， 的中点为 ，
．
(1)证明： 平面 ；
(2)在平面 内，动点 在以 为圆心， 为半径的劣弧 上（不含端点 ），若直线 与平面
所成的角为 ，证明： 三点共线．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）法1，连结 与 交于点 ，可得 ，根据线面平行的判定定理得证；法2，建
立空间直角坐标系，求出平面 的法向量，利用向量法证明；法3，设 中点为 ，可证 平
面 ， 平面 ，进而得到平面 平面 ，得证；
（2）法1，建立空间直角坐标系，设 ，利用 与平面 所成的角为 ，结合
向量法求出点 的坐标，进而确定 的关系，得证；法2，设 ，解法
同1；法3，设平面 平面 ，过点 作 ，垂足为 ，可得 为 与平面所成角，利用已知条件求解得证.
【详解】（1）解法一：连结 与 交于点 ，连结 ．
因为点 为 与 的交点，所以点 为 中点，
又因为 为 中点，所以 ．
因为 平面 ， 平面 ，所以 平面 ．
解法二：以 为坐标原点， 的方向为 轴正向，建立如图所示的空间直角坐标系 .
则 ，
．
设平面 的法向量为 ，则
，即 ，可取 ．
因为 ， 平面 ，所以 平面 ．
解法三：设 中点为 ，连结 、 、 ，则 且 ．因为 且 ，所以 且 ，
四边形 是平行四边形，所以 ．
因为 、 分别为 、 中点，所以 ，
又因为 ，所以四边形 是平行四边形，所以 ．
因为 ， 平面 ，所以 平面 ，
同理 平面 ，
又因为 ，所以平面 平面 ，
因为 平面 ，所以 平面 ．
（2）法1，以 为坐标原点， 的方向为 轴正向，建立如图所示的空间直角坐标系 ．
则 ，
．
设平面 的法向量为 ，则 ，即 ，可取 ．因为动点 在以 为圆心， 为半径的劣弧 上（不含端点 ），
所以可设 ，
则 ，
由于 与平面 所成的角为 ，所以 ，
所以
，
所以 ，即 ，解得 ，
所以 ，故 三点共线．
法2，前面同上，设平面 的法向量为 ，
则 即 可取 ．
因为动点 在以 为圆心， 为半径的劣弧 上（不含端点 ），所以可设
，则 ，
因为 与平面 所成的角为 ，所以 ，所以 ，
化简得 ，即
，得 或 ．
因为 不成立．由 可得 ，从而
，得 ，所以 ，故 三点共线．
法3，设平面 平面 ，则 ．
过点 作 ，垂足为 ，连结 ．
因为 ， 平面 ，所以 平面 ，
又因为平面 平面 ， 平面 ，所以 ．
因为平面 平面 ，所以 .
又因为 ，
所以 平面 ， 为斜线 在平面 上的射影，
为 与平面 所成角，则 ．在 中， ，所以 ．
因为 ，所以 ，
设 ，则 ，
设劣弧 上（不含端点 ）时， ，
，所以 ，
化简得 ，解得 或 （舍去）．
当点 在 上（不含端点 ）时， ，
，所以 ，
化简得 ，解得 或 ，均舍去．
综上，得 ，此时点 与点 重合，
又因为 的中点为 ，故 三点共线．
50．（2025·海南海口·模拟预测）如图，已知四棱锥 ，底面ABCD为梯形， ，
， ，且平面 平面ABCD，已知， ．
(1)证明： 平面PBC；
(2)若 ， ，求直线AM与平面PAB所成角的正弦值．【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）取PC上的点N，使 ，可得 ，则四边形ABNM为平行四边形，据此可完
成证明；
（2）由题可得 平面ABCD，据此可如图建立空间直角坐标系，由此可得 及平面PAB的法向量，
可得直线AM与平面PAB所成角的正弦值.
【详解】（1）取PC上的点N，使 ，
则 ，
所以四边形ABNM为平行四边形，所以 ，
又 平面PBC， 不在平面PBC内，所以 平面PBC．
（2）取CD中点O，连AO，PO，因为 ，所以 ，
由题意得 为正三角形，所以 ， ，
又平面 平面ABCD，平面 平面 ， 平面PCD，
所以 平面ABCD，
因为 平面ABCD，所以 ， ，
以O为坐标原点， ， ， 分别为x，y，z轴正方向，
建立如图所示空间直角坐标系 ，则 ， ， ， ， ，
则 ， ， ．
设 为平面PAB的法向量，则 ，
可取 ， ，
故直线AM与平面PAB所成角的正弦值为 ．
题型7 利用空间向量证明面面平行
(1)证明两个平面的法向量为共线向量；
(2)转化为线面平行、线线平行问题．
51．（2025·湖南邵阳·一模）如图，在直四棱柱 中， ， ，
， ，E，F分别为AD，AB的中点.(1)求证： ；
(2)求证：平面 平面 ；
(3)若 ，P是线段 上的动点，求直线 与平面 所成角的正弦值的最大值.
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3) .
【分析】（1）求出 ，即可得到 ，结合 ，即可得到 ，从而得证；
（2）建立空间直角坐标系，求出平面 、平面 的法向量，即可证明；
（3）设 ，即可表示出 的坐标，设直线 与平面 所成角为 ，利用向量法求
出 ，再根据二次函数的性质求出 的最大值.
【详解】（1） ， ，所以
又 ， ，
又 ， ， ， .
（2）在直四棱柱 中， 平面 ，又 平面 ，所以 ，
，
， ， 两两垂直，以 为原点， ， ， 所在直线分别为 轴， 轴， 轴，建立如图
所示的空间直角坐标系，
设 ，则 ， ， ， ， ， .， ， ，
设 为平面 的一个法向量，
令 ，得 ， .
设平面 的一个法向量 ，则 ，取 .
，又平面 与平面 不重合，
平面 平面 .
（3）当 时， 为平面 的一个法向量， ，
则 ，
设 ，
， ，
设直线 与平面 所成角为 ，，
当且仅当 时，等号成立，
所以直线 与平面 所成角的正弦值的最大值为 .
52．（24-25高二上·上海·随堂练习）如图，在直三棱柱 中， ， ， ，
点E在线段 上，且 ， 分别为 、 、 的中点.求证：
(1)平面 平面 ；
(2)平面 平面 .
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）利用空间向量法证明线面垂直证明面面垂直；
（2）利用空间向量法证明 平面 ，再根据线面垂直的性质得到面面平行；
【详解】（1）证明：以 为坐标原点， 所在直线分别为 轴建立如图所示空间直角坐标系.则 ， ， ， ， ， .
设 ，则 ， ， .
因为 ， ， ，
所以 ， .
所以 ， ，即 ， .
又 平面 ，所以 平面 .
因为 平面 ，所以平面 平面 .
（2）因为 ， ， ，
所以 ， .
所以 ， .
因为 平面 ，所以 平面 .
又由（1）知 平面 ，所以平面 平面 .
题型8 利用空间向量证明线线垂直证明两条直线所在的方向向量互相垂直，即证它们的数量积为零．
53．（2025·湖北黄冈·模拟预测）如图，已知正三棱柱 的底面边长为2，高为4，点 满足
， ．
(1)证明： ；
(2)求平面 与平面 夹角的余弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）方法一：连接 ，由勾股定理逆定理及线面垂直的判定得出 平面 ，再根据线
面垂直的性质即可证明；方法二：建立空间直角坐标系，由空间向量的数量积即可证明；
（2）建立空间直角坐标系，求出两平面的法向量，由面面夹角的向量公式即可求解．
【详解】（1）证明：方法一：如图①，连接 ，
由题意知， ， ， ，由勾股定理得 ， ，
过点 作 ⊥ 于点 ， ，
则 ，由勾股定理得 ，
故 ，因此 ，
在矩形 中， 为 的中点，
所以 ，
所以 ，所以 ，
由于 平面 ，
所以 平面 ，
由于 平面 ，所以 ．
方法二：设 的中点为 的中点为 ，连接 ，
以 所在直线分别为 轴建立如图②所示的空间直角坐标系，
则 ，所以 ，
由于 ，因此 ．
（2）设 的中点为 的中点为 ，连接 ，
以 所在直线分别为 轴建立如图②所示的空间直角坐标系，
则 ， ， ，
设平面 的法向量为 ，
则 ，令 ，则 ，
设平面 的法向量为 ，
则 ，令 ，则 ，
设平面 与平面 的夹角为 ，则 ，
故平面 与平面 夹角的余弦值为 ．
54．（2025·江西新余·模拟预测）在多面体ABCDE中，平面 平面
为等边三角形，四边形ABCD为平行四边形，M，N分别为AD，BE的中点.
(1)求证： ；
(2)求直线MN与平面ACE所成角的正弦值.
【答案】(1)证明见解析；
(2) .
【分析】（1）连接 ，过 作 ，垂足为 ，过 作 ，垂足为 ，由题意得到
，利用面面垂直的性质得到 平面 ，以 为坐标原点， 分别为 轴， 轴，
轴建立空间直角坐标系，设等边 的边长为2，写出各点坐标，通过证明 即可证得
；
（2）由（1）求得 的坐标，进而求得平面ACE的一个法向量 的坐标，根据
即可求得结果.
【详解】（1）连接 ，过 作 ，垂足为 ，过 作 ，垂足为 ，∵ 为等边三角形，N分别为BE的中点，∴
∵平面 平面 平面 平面 平面 ，
∴ 平面
以 为坐标原点， 分别为 轴， 轴， 轴建立空间直角坐标系，
设等边 的边长为2，
则
设 则
∵四边形ABCD为平行四边形，M为AD的中点，
所以
. , ,
∵ ，
所以 ，即 .（2）由（1）知 ,
设平面 的一个法向量为
，取 则 ，
所以 是平面 的一个法向量.
.
所以直线MN与平面ACE所成角的正弦值为 .
55．（25-26高三上·福建漳州·开学考试）在三棱柱 中，四边形 与 都是棱长为
1的正方形， ，E，F，G分别是棱AB，BC， 上的动点，且 .(1)求证： ；
(2)若平面 与平面 的夹角的余弦值为 ，求BF的长.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量的坐标运算即可求解，
（2）求解平面法向量，根据法向量的夹角即可求解.
【详解】（1）证明：因为 与 都是棱长为 的正方形，
所以 ， ，又 ，所以 ， ， 两两垂直，
故以 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
设 ， ，则 ， ， ， ，
所以 ， ，
所以 ，故 ，则 .（2）方法一：由（1）知， ，所以 ，
设 是平面 的一个法向量，
所以 即
即
令 ，得
所以平面 的一个法向量为 ，
又平面 的一个法向量为 ，
因为平面 与平面 的夹角的余弦值 ，
所以 ，
解得 ，故 .
方法二：
由（1）知， ，所以 ， ， ，
所以 ，即 ，
又 ， ， 平面 ，
所以 平面 ，
所以平面 的一个法向量为 ，
又平面 的一个法向量为 ，
因为平面 与平面 的夹角的余弦值 ，所以 ，
解得 ，故 .
56．（25-26高三上·贵州毕节·开学考试）在三棱锥 中， ， 平面
，点M是棱 上的动点，点N是棱 上的动点，且 ．
(1)当 时，求证： ；
(2)当 的长最小时，求二面角 的余弦值
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）证明出 ，建立空间直角坐标系，得到点的坐标，计算出 ，得到垂直关
系.
（2）计算出当 时， 取得最小值，求出两平面的法向量，利用向量法可求得二面角
的余弦值．
【详解】（1）由 ，得 ，则 ，又 平面 ，
以 为坐标原点，直线 分别为 轴，平行于 的直线为 轴建立空间直角坐标系，当 时， 分别为 的中点， ，
则 ， ，因此 ，
所以 .
（2）由 ，得 ，
则 ，当且仅当 时取等号，
此时 ，
设平面 的法向量为 ，则 ，取 ，得 ，
设平面 的法向量为 ，则 ，取 ，得 ，
因此 ，由图形知：二面角 为锐二面角，
所以二面角 的余弦值为 .
题型9 利用空间向量证明线面垂直证明直线的方向向量与平面的法向量共线，或将线面垂直的判定定理用向量表示．
57．（2025·黑龙江大庆·一模）如图，在四棱锥 中，底面 为梯形，
， 为等边三角形， 为 的中点，且平面 平面 ， .
(1)证明： 平面 ；
(2)求直线 与平面 所成角的正弦值.
【答案】(1)证明见详解.
(2) .
【分析】（1）取 中点 ，由线面垂直证明 两两垂直，从而建立空间直角坐标系，然后得
到点坐标，由空间向量的数量积证明线线垂直，从而得到线面垂直；
（2）由空间直角坐标系得到点坐标，由空间向量求得平面 的一个法向量，由空间向量的夹角求得线
面角的正弦值.
【详解】（1）如图，取 中点 ，连接 ， ，在正三角形 中， ，
∵平面 平面 ，平面 平面 ，
∴ 平面 ，且 平面 ，
∴ ，
在梯形 中， ，∴四边形 为平行四边形，
∴ ，又∵ ，∴ ，
又 ， 平面 ， 平面 ，
∴ 平面 ， 平面 ，
∴ ，
如图建立空间直角坐标系 ，
则 ， ， ， ， ，
， ， ，
∵ ， ，
∴ 且 ，且 ， 平面 ， 平面 ，
∴ 平面 .
（2）由（1）可知 ，
∴ ， ， ，
设平面 的一个法向量为 ，
则 ，令 ，则 ，即 ，
直线 与平面 所成角 ，则 ，
即直线 与平面 所成角的正弦值为 .
58．（2024·河北·模拟预测）如图，在四棱锥 中， 底面 ，
， 为 中点.
(1)求证： 平面 ；
(2)求平面 与平面 夹角的余弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）建立空间直角坐标系，求出相关点坐标，根据数量积的坐标运算，结合线面垂直的判定定
理，即可证明结论；
（2）根据空间角的向量求法，即可求得答案.
【详解】（1）由题意知 底面 ， ，
故以A为坐标原点，以 所在直线为 轴建立空间直角坐标系，
则 ，
则 ，则 ，
故 ， ，即 ，
而 平面 ，
故 平面 ；
（2）由（1）可得 ，
设平面 的法向量为 ，则 ,
即 ，令 ，可取 ，
平面 的法向量可取为 ，
设平面 与平面 夹角为 ，则 .
59．（2025·河北·模拟预测）如图，在四棱锥 中， 平面 ， ， ，
， .
(1)证明： 平面 ；
(2)点 ， 分别在线段 ， 上，且 ，当平面 与平面 的夹角为 时，求 的长.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）建立空间直角坐标系，求出平面 的法向量，利用线面垂直的向量法即可证明；
（2）设 ， .求出平面 的法向量 ，根据面面角的向量求法及数量积运算即可求解.
【详解】（1）证明：在四棱锥 中，∵ 平面 ， 平面 ， 平面 ，
， .
∵ ，∴以点 为坐标原点， ， ， 为 ， ， 轴建立空间直角坐标系如图所示.
则由题可知 ， ， ， ， ，
∴ ， ， .
设平面 的一个法向量为 ，
则 ，即 .
令 ，则 ， ，即平面 的一个法向量为 .
∴ ，即 ，∴ 平面 .
（2）由题可设 ， ，∴ ， .
设平面 的一个法向量为 ，
则 ，即 .
令 ，则 ， ，即平面 的一个法向量为 .
由（1）知平面 的一个法向量为 .∴ .
∵平面 与平面 的夹角为 ，
∴ ，解得 ，即 的长 .
题型10 利用空间向量证明面面垂直
证明两个平面的法向量垂直，或将面面垂直的判定定理用向量表示．
60．（24-25高三上·江苏·阶段练习）在空间几何体 中，四边形 均为直角梯形．如
图，设 ， ， ．
(1)求证：平面 平面 ；
(2)若二面角 的余弦值为 ，求 的值．
【答案】(1)证明见解析；
(2) .
【分析】（1）根据已知条件的三个直角，建立空间直角坐标系，求出两个平面的法向量，证得法向量平
行即可；
（2）求出两个半平面的法向量，代入余弦公式可以求得三棱柱其他边的长度，用余弦公式即可求得
的值.【详解】（1）如图建立空间直角坐标系 ，则由题意 ， ，
设 ，则 ， ，
则 ， ， ， ， ，
因为 ，所以 ，
设平面 的法向量为 ，
则 ，
取 ，则 ，
设平面 的法向量为 ，
则 ，
取 ，则 ，
所以 ，所以 ，
所以平面 平面 ；
（2）设平面 的法向量为 ，
则 ，
取 ，则 ，设二面角 的平面角为 ，
所以 ，·
所以 ，即 ，
解得 或 （舍），则 ，
所以 ，即 ，
又 ，所以 .
61．（2025高三·全国·专题练习）在如图所示的多面体中，已知正方形 和直角梯形 所在的平
面互相垂直， ， ．
(1)求证：平面 平面 ；
(2)求二面角 的大小．
【答案】(1)证明见解析
(2) ．
【分析】（1）先由面面垂直证明线面垂直得到 平面 ，结合条件建系，求出相关点和向量的坐
标，利用两平面的法向量垂直即可证得两平面的垂直；
（2）先求得平面 的法向量，利用向量夹角的坐标公式计算即得.
【详解】（1）因为平面 平面 ，平面 平面 ，
， 平面 ，所以 平面 ．建立如图19所示的空间直角坐标系 ，
则 ，
所以 ．
设平面 ，平面 的法向量分别为 ，
则 ①， ②，
③， ④．
由①②③④解得 ．
所以 ．
所以 ，所以 ，故平面 平面 ．
（2）设平面 的法向量为 ，
因为 ， ，
所以 ， ，解得 ．
所以 ，所以 ．
由图19知，二面角 的平面角是钝角，
故所求二面角的大小为 ．
62．（2025·重庆沙坪坝·模拟预测）在中国古代数学中，将底面为矩形并有一条棱垂直于底面的四棱锥称
为“阳马”.如图是一个底面 为正方形的阳马，其中 底面 ，且
.
(1)求证：平面 平面 ；
(2)求直线 与平面 所成角的正弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）先证明线线垂直建立空间直角坐标系，求出平面 和平面 的法向量，再根据
得出面面垂直；
（2）应用线面角正弦公式计算求解.
【详解】（1）因为 底面 ， 底面 ，
所以 .
又底面 为正方形，所以 .故 两两垂直.
以点 为坐标原点， 所在直线依次为 轴、 轴、 轴建立空间直角坐标系.
由条件可得下面各点的坐标： ，
，
进一步得 .
设平面 的法向量为 ，
由 得 即
令 ，得 ，所以 .
设平面 的法向量为 ，
由 得 即
令 ，得 ，所以 .
因为 ，
所以 ，平面 平面 .（2）由（1）得 ，平面 的一个法向量为 ，
设直线 与平面 所成的角为 ，则
.
题型11 利用空间向量求两异面直线所成角
用坐标法求异面直线所成角的一般步骤
(1)建立空间直角坐标系；
(2)用坐标表示两异面直线的方向向量；
(3)利用向量的夹角公式求出向量夹角的余弦值；
( π]
(4)注意两异面直线所成角的范围是 0， ，即两异面直线所成角的余弦值等于两向量夹
2
角的余弦值的绝对值．
63．（2025·福建三明·模拟预测）在直三棱柱 中， ， ， ，
分别是 ， 的中点，则直线 与直线 所成角的余弦值（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】建立空间直角坐标系，设 ，利用异面直线所成角的向量法求解即可.
【详解】因为直三棱柱 ，所以 底面 ，
又 底面 ，所以 ， ，又因为 ，所以 两两垂直，
以 为 轴建立如图所示坐标系，
设 ，则 ， ， ， ，
所以 ， ，
设直线 与直线 所成角为 ，
则 ，
所以直线 与直线 所成角的余弦值为 .
故选：B
64．（2025·新疆喀什·模拟预测）已知圆台的上底面圆 的半径为1，下底面圆 的半径为2，点 ， 分
别在上、下底面圆周上，且 ，则 与 所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】过 的母线为 ，连接 ，则 ，以 为坐标原点， 为坐标轴建立空间直角坐标系，利用向量法可求 与 所成角的余弦值.
【详解】过 的母线为 ，连接 ，则 ，又因为 ，所以 ，
以 为坐标原点， 为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则 ，
所以 ，
所以 ，
所以 与 所成角的余弦值为 .
故选：A.
65．（2025·安徽合肥·模拟预测）中国古代数学著作《九章算术》记载了一种被称为“曲池”的几何体，该几
何体的上､下底面平行，且均为扇环形（扇环是指圆环被扇形截得的部分）.现有一个如图所示的曲池，它
的高为 ， 、 、 、 均与曲池的底面 垂直，底面扇环对应的两个圆的半径分别为 和
，对应的圆心角为 ，则图中异面直线 与 所成角的余弦值为（ ）A． B． C． D．
【答案】A
【分析】建立空间直角坐标系，用向量法求解即可.
【详解】设上底面圆心为 ，下底面圆心为 ，连接 、 、 ，
以 为坐标原点，分别以 、 、 所在直线为 、 、 轴，建立空间直角坐标系，如图所示：
则 、 、 、 ，
所以 ， ， ，
所以异面直线 与 所成角的余弦值为 .
故选：A.
66．（25-26高三上·广西桂林·开学考试）在平行六面体 中，底面 是边长为1的正
方形，侧棱 的长为2，且 ，求：
(1) 的长；
(2)直线 和 所成角的余弦值.
【答案】(1)(2)
【分析】（1）先设 ， ， ，得出 ，利用向量数量积的运算律计算即得；
（2）利用空间向量的夹角公式计算即可.
【详解】（1）如图，连接 ，设 ， ， ，
依题意，
而 ，
，
所以 .
（2）连接 ， ，
所以
，
又 ， ，
所以 ，故直线 和 所成角的余弦值为 .
67．（2025·天津·二模）如图，在四棱锥 中， 是以 为斜边的等腰直角三角形，底面
是等腰梯形，且 ， ， ， ， 为 中点．
(1)求证： 平面 ；
(2)求直线 与 所成角的余弦值；
(3)求平面 与平面 夹角的正弦值．
【答案】(1)证明见解析；
(2) ；
(3)
【分析】（1）取 的中点 ，连接 ，在 ， 中，运用勾股定理逆定理得到 ，
再结合线面垂直判定定理证明；
（2）建系 ，求出关键点坐标，应用 计算求解；
（3）求出平面 与平面 的法向量，结合向量夹角公式计算即可求出余弦值，最后应用同角三角函
数关系求出正弦值.
【详解】（1）设 ， 为 中点， 是以 为斜边的等腰直角三角形，
取 的中点 ，底面 是等腰梯形， .
连接
，
在 中， ，
在 中， .
，
，且 平面 ，
平面 ；
（2）
如图，建系 ，则
，设直线 与 所成角为 ，
（3）设平面 的法向量是
，即 ，令 ，解得
设平面 的法向量是
，即 令 ，解得
设平面 与平面 夹角为
故面 与平面 夹角正弦值为 .
68．（21-22高二上·重庆云阳·期中）在三棱锥 中， ， ， 平面 ，
点 ， 分别为 ， 的中点， ， 为线段 上的点（不包括端点 ， ），若使异面直
线 与 所成角的余弦值为 ，则 （ ）
A． 或4 B． C． D．
【答案】D
【分析】由题意与勾股定理建立空间直角坐标系，写出各点的坐标，利用线线角向量公式，可得答案.【详解】如图，在三棱锥 中， ， ，所以 ．
因为 平面 ，以 为原点， ， ， 为 、 、 轴正方向建立空间直角坐标系．
可知 ， ， ．
因为 ， ，所以 ，
所以 ，则 ．设 ，且 ，
则 ，可知 ， ，
所以 ，
， ．
因为异面直线 与 所成的角的余弦值为 ，
所以 ，
解得 或 （舍去）．所以 ．
故选：D.
69．（24-25高二上·福建福州·期中）三棱锥 中，底面是边长为2的正三角形，，直线AC与BD所成角为 ，则三棱锥 外接球表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据题意，得证 为等腰三角形，于是建立如图所示空间直角坐标系， ，根据
与直线AC与BD所成角为 建立方程，求得 ，然后找出外接球球心，根据相关
数量关系，建立外接球半径的等式关系，求出半径，应用球的表面积公式即可得解
【详解】由题意可得，因为 为等边三角形，所以 ，
又 ，且
所以 ，所以 ,
取 的中点 ，易得 ,又
所以 平面 ，又 平面 ，所以平面 平面 ，
建立如图所示空间直角坐标系，
则 ， ， ，
令 ，所以 ，
因为 ，所以 ，所以 ，
所以 ，因为直线AC与BD所成角为 ，所以 ，
解得 ，即 ，
如图， 为外接球的球心， 为等边三角形的重心，
设点A在平面 内的投影为 ，作 ，
所以 ,
所以在 中，
, ,
所以在 中， ，解得 ，
所以，三棱锥 外接球表面积为 ，
故选：A
【点睛】方法点睛：多面体与球切、接问题的求解方法
1.涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体的特殊点(一般为接、切点)或线作截面，把空
间问题转化为平面问题求解；
2.若球面上四点P、A、B、C构成的三条线段PA、PB、PC两两垂直，一般把有关元素“补形”成为一个球内
接长方体求解；
3.正方体的内切球的直径为正方体的棱长．
4.球和正方体的棱相切时，球的直径为正方体的面对角线长．
5.利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系，或只画内切、外接的几何体的直观图，确定球心的位置，
弄清球的半径（直径）与该几何体已知量的关系，列方程（组）求解．
题型12 利用空间向量求直线与平面所成角利用空间向量求线面角的解题步骤
70．（25-26高三上·福建福州·开学考试）在正三棱柱 中， ，则直线 与平面
所成角的正弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】建立空间直角坐标系，根据空间角的向量求法即可求得答案.
【详解】设三棱柱的棱长为1，以B为原点，
以过B作 的垂线为x轴，以 为 轴， 为 轴，
建立空间直角坐标系，如图，则 ，所以 ，
易知平面 的一个法向量可取为 ，
设直线 与平面 所成角为 ， ，
则 .
故选：A
71．（24-25高三下·河北沧州·阶段练习）已知正四棱柱 中， ，则 与平
面 所成角的正弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先建立空间直角坐标系，求出相关点的坐标，进而得到向量 的坐标，再求出平面 的法
向量；最后利用向量公式求出直线 与平面 所成角的正弦值.
【详解】因为正四棱柱 中底面ABCD是正方形，且 ，所以 .
以 为原点，分别以 所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系.
则 ， ， ， ， .
所以 ， ， .
设平面 的法向量为 ，
则 且 .， .
令 ，解得 ， .
所以 .
设直线 与平面 所成角为 ，则 .
.
， .
所以 .
故选：D.
72．（25-26高三上·湖北荆州·开学考试）在长方体 中，已知 ， ， ，
点 ， 分别在棱 ， 上，且 ．(1)证明： 平面 ；
(2)求直线 与平面 所成角的正弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）连接 ，证明四边形 和四边形 都为平行四边形，从而可得出 ，再根
据线面平行的判断的了即可得证；
（2）以点 为原点，建立空间直角坐标系，分别求出直线的方向向量和平面的法向量，利用向量法求解
即可.
【详解】（1）连接 ，
因为 且 ，
所以四边形 为平行四边形，
所以 且 ，
又 且 ，
所以 且 ，
所以四边形 为平行四边形，
所以 ，
又 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ；
（2）如图，以点 为原点，建立空间直角坐标系，
则 ，
故 ，设平面 的法向量为 ，
则有 ，
令 ，则 ，所以 ，
所以 ，
所以直线 与平面 所成角的正弦值为 ．
73．（25-26高三上·河南安阳·阶段练习）如图，在三棱柱 中， 是边长为3的正三角形，
.
(1)求棱 的长；
(2)求证：平面 平面 ；(3)求直线 与平面 所成角的正弦值.
【答案】(1)5
(2)见解析
(3)
【分析】（1）根据几何关系，结合勾股定理和余弦定理，即可求解；
（2）根据（1）的结果，转化为证明 平面 ，即可证明面面垂直；
（3）根据垂直关系，以点 为原点建立空间直角坐标系，求平面 的法向量，代入线面角的向量公式，
即可求解.
【详解】（1）因为 ， ，所以 ，
中，由余弦定理 ，
即 ；
（2）由（1）可知 中，满足 ，
所以 ，且 ， ， 平面 ，
所以 平面 ，且 平面 ，
所以平面 平面 ；
（3）如图，以点 为原点， 为 轴的正方向，作 轴，建立空间直角坐标系，， ， ， ，
， ，
，
设平面 的一个法向量为 ，
所以 ，令 ，则 ，
所以平面 的一个法向量为 ，
设 与平面 所成的角为 ，
所以 .
74．（25-26高三上·江苏镇江·开学考试）如图，四棱锥 的底面 为梯形，
， 为直角三角形， .(1)设平面 平面 ，证明： ；
(2)已知 在同一个球面上，且球心 在平面 上.
（i）证明：平面 平面 ；
（ii）若点 在线段 上，且 与平面 所成角的正弦值为 ，求 的长.
【答案】(1)证明见解析；
(2)（i）证明见解析；（ii） .
【分析】（1）利用线面平行的判定性质推理得证.
（2）（i）根据给定条件，确定球心 的位置，再利用球的截面小圆性质及面面垂直的判定推理得证；建
立空间直角坐标系，利用线面角的向量求法列式求解.
【详解】（1）在四棱锥 中， ， 平面 ， 平面 ，
因此 平面 ，而平面 平面 ， 平面 ，
所以 .
（2）（i）取 中点 ，连接 ，由 ，得四边形 为平行四边形，
则 ， ， 是 外接圆圆心，
又四边形 是等腰梯形，则点 在 外接圆上，即点 与点 重合，
取 中点 ，连接 ，由 为直角三角形， ，得 为 外接圆圆心，
而 是四棱锥 外接球球心，于是 平面 ，又 平面 ，
所以平面 平面 .
（ii）由（i）得， ， ， ，以点 为原点，直线 分别为 轴建立空间直角坐标系，
则 ， ，
设平面 的法向量为 ，则 ，取 ，得 ，
设 ，则 ，
由 与平面 所成角的正弦值为 ，得 ，
整理得 ，而 ，解得 ，则 ，
所以 的长为 .
题型13 利用空间向量求平面与平面所成角（二面角）
1.利用空间向量求平面与平面夹角的解题步骤
2.利用法向量的方向判断二面角
二面角的大小可以通过这两个面的法向量的夹角求得，它等于两法向量的夹角或其补角，法向量的方向
指向内部的称为“进”入半平面；法向量的方向指向外部的称为穿“出”半平面；当法向量m，n“一
进一出”时，m，n的夹角就是二面角的大小；当法向量m，n“同进同出”时，m，n的夹角就是二面角的补角．
75．（2025高三·全国·专题练习）如图，在四面体 中， 为等边三角形， ，二面角
的大小为 ，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】构建合适的空间直角坐标系，标注出相关点坐标并令 ，应用向量法求二面角的余弦值范
围.
【详解】以 为原点建立如图所示的空间直角坐标系，
因为 为等边三角形，不妨设 ，由 ，令 ，
当 时 四点共面，不能构成空间四边形，所以 ，
则 ， ， ，故 ， ， ，
设平面 的法向量为 ，则 ，代入得 ，
令 ，则 ， ，所以 ，设平面 的法向量为 ，则 ，代入得 ，
令 ，则 ， ，所以 ，
由图知，二面角 为锐二面角．
所以 ，
因为 ，所以 ，即 ，
故选：D
76．（2025高三·全国·专题练习）如图，将菱形纸片 沿对角线 折成直二面角， 分别为
的中点， 是 的中点， ，则折后二面角 的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】建立空间直角坐标系，求解平面法向量，即可由向量的夹角求解.
【详解】由题意知平面 平面 ，如图，连接 ，
因为四边形 是菱形， 是 的中点，所以 ，又平面 平面
平面 ，所以 平面 ，而 平面 ，所以 ，从而 ，三线两两垂直．以 为原点， 所在直线分别为 轴、 轴、 轴建立如图所示的空间直角坐标
系，
令 ，则 ．
设平面 的法向量为 ，则 得
取 ，则 ，得平面 的一个法向量为 ．
易知平面 的一个法向量为 ，
则 ．由图知，二面角 为锐角，
所以二面角 的余弦值为 ．
故选:A．
77．（25-26高三上·湖北恩施·开学考试）如图，在直三棱柱 中， ，
.
(1)求证： 平面 ；(2)求平面 与平面 的夹角的余弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据线面垂直的性质定理和判定定理进行证明.
（2）方法一：建立空间直角坐标系，利用空间向量求二面角的余弦.
方法二：把二面角的余弦转化成两个平面的垂线所成的角，利用余弦定理求角的余弦.
【详解】（1）在直三棱柱 中， 平面ABC， 平面ABC，所以 .
又 ， ，所以 平面 ，
平面 ，所以 .
又 ，所以四边形 为正方形，从而 .
因为 ， 平面 ，所以 平面 .
（2）以B为坐标原点，BC所在直线为x轴，AB所在直线为y轴， 所在直线为z轴，建立如图空间直
角坐标系：
则 ， ， ， ， ，
从而 ， ， .
设平面 的法向量为 ，则
，不妨取由（1）可知，平面 的法向量为 ，设平面 与平面 的夹角为 ，
则 .
法二：过 作 的垂线，垂足为E，连接AE，
平面 平面 ， ， 平面 ，
由（1）知， 平面 ， 的余弦值即为所求.
在 中， ， ，
，设平面 与平面 的夹角为 ， ，
则 .
78．（25-26高三上·山东聊城·开学考试）如图，在正四棱柱 中， 分别为 的
中点.
(1)证明：点 在平面 内.
(2)若 ，求平面 与平面 夹角的余弦值.【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据线线平行，结合平行线的传递性可得 ，即可求证，
（2）建立空间直角坐标系，求解平面的法向量，根据向量的夹角公式求解向量的夹角，即可求解.
【详解】（1）设 为 的中点，连接 .
由题易知 所以
所以四边形 为平行四边形，所以 ，
又 ，所以 ，且点 在平面 内，故点 在平面 内
（2）不妨设 ，则 ，以 所在的直线分别为 轴建立空间直角坐标系，
如图所示，则 ，
所以 ， , .
设 为平面 的法向量，所以 即 令 ，得 ，
所以平面 的一个法向量为 .
设 为平面 的法向量，
所以 即 令 ，得 ，
所以平面 的一个法向量为 .
因为 = = ，
所以平面 与平面 夹角的余弦值为 .
79．（25-26高三上·广东深圳·开学考试）如图，在六面体 中，四边形 是正方形，平面
平面 平面 .
(1)证明： ；
(2)求平面 和平面 夹角的正弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2) .
【分析】（1）先应用面面平行性质定理得出 ，再得出 平面 ，最后应用线面垂直的判
定定理得出 平面 ，进而得出线线垂直；
（2）方法1：应用线面垂直建系再分别求出平面 和平面 的法向量，再应用向量夹角余弦公式得出面面角的余弦，最后应用同角三角函数关系得出正弦值；
方法2：设 与 的交点为 ，过点 作 ，交 于点 ，得出 是平面 与平面
的夹角，再计算得出角的正弦即可.
【详解】（1）
连接 ，
在正方形 中， ，
平面 平面 ，平面 平面 ，平面 平面 ，
.
平面 平面 ，
平面 ，
平面 ，
平面 ，
平面 .
（2）方法1：由（1）可知 平面 ，
平面 ，
在正方形 中，有 ，
以 为原点，以 所在直线分别为 轴， 轴， 轴建立空间直角坐标系，如图所示：设 ，则 ，
，
由（1）可知 平面 是平面 的一个法向量，
设 是平面 的一个法向量，则 ，
取 ，则 ，
设平面 和平面 夹角为 ，
则 ，
，即平面 和平面 夹角的正弦值为 .
方法2：
设 与 的交点为 ，过点 作 ，交 于点 ，连接 ，设 ，由（1）可知 平面 ，
平面 平面 ，
平面 ，
又 平面 平面 ，平面 平面 ，
是平面 与平面 的夹角，
在正方形 中，
由（1）可知 平面 ，
平面 ，
在 中， ，
在 中， ，
在 中， ，
，
平面 平面 ，
在 中， ，
平面 与平面 的夹角的正弦值为 .
80．（25-26高三上·江苏南京·开学考试）如图所示，在四棱锥 中， 底面 ，平面
平面 ， ．(1)证明： ；
(2)设 ， ，若二面角 的平面角为 ，求 .
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）由 底面 ，证得 ，再由平面 平面 ，利用面面垂直的性质定
理，证得 平面 ，进而证得 ；
（2）以 为原点，建立空间直角坐标系，设 ，分别求得平面 和 的法向量 和
，结合二面角 的平面角为 ，利用向量的夹角公式，列出方程，即可求解.
【详解】（1）证明：因为 底面 ，且 底面 ，所以 ，
又因为平面 平面 ，平面 平面 ，
且 平面 ，所以 平面 ，
因为 平面 ，所以 .
（2）解：以 为原点，以 所在直线分别为 轴， 轴和 轴，建立空间直角坐标系，如图所示，
设 ，其中 ，
因为 且 ，可得 ，
则 ，
设平面 的法向量为 ，则 ，
取 ，可得 ，所以 ，
设平面 的法向量为 ，则 ，取 ，可得 ，所以 ，
因为二面角 平面角为 ，
所以 ，
整理得 ，解得
又因为 ，所以 ，即 的长为 .
81．（25-26高三上·江苏南通·开学考试）如图，在三棱锥 中， ， ，平面
平面 ．
(1)证明：平面 平面 ；
(2)若 平面 ， 平面 ，且平面 将三棱锥 截为两部分，求截面面积的最大值；
(3)若二面角 的余弦值为 ，求 .
【答案】(1)证明见解析；
(2) ；
(3) .
【分析】（1）由已知得 ，再由面面垂直的性质定理及判定定理，即可证结论；（2）若 分别是 上的点，且 ，得 为平行四边形，
利用线面平行的判定及已知得 可由平面 平移得到，令平移后 则 ，求平行
四边形截面的边长，进而写出面积表达式，即可得；
（3）构建合适的空间直角坐标系，设 并标注出相关点坐标，求出相关平面的法向量，根
据二面角的余弦值及夹角的向量公式列方程求参数，即可得.
【详解】（1）由 ，则 ，即 ，
由平面 平面 ，平面 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ， 平面 ，则平面 平面 .
（2）若 分别是 上的点，且 ，显然 为平行四边
形，
由 平面 ， 平面 ，则 平面 ，
由 平面 ， 平面 ，则 平面 ，
因为 平面 ， 平面 ，且 为异面直线，
故平面 与平面 平行或重合，所以 可由平面 平移得到，
令平移后 则 ，所以 ， ，
又截面 始终为平行四边形，所以
，
要使截面的面积最大，只需 且 ，此时最大 ；（3）由（1） 平面 ，在平面 内作 ，如下图示，
可构建如图示的空间直角坐标系 ，设 ，则 ， ， ，
故 ， ， ， ，
若 是平面 的一个法向量，则 ，可取 ，
若 是平面 的一个法向量，则 ，可取 ，
由二面角 的余弦值为 ，则 ，
所以 ，可得 ，解得 或 （舍），
所以 .
82．（2025·湖南益阳·模拟预测）如图，在三棱柱 中，侧面 为菱形， ，底
面 为等边三角形，平面 平面 ，点 分别是 的中点.
(1)证明：平面 平面 ；(2)若 ，点 在直线 上，且平面 与平面 的夹角的余弦值为 ，求线段 的长.
【答案】(1)证明见解析
(2) 2
【分析】（1）取 的中点 ，连接 ，证明 平面 ，再利用面面垂直的判定定理得到答案；
（2）建系，设 ，借助于空间向量表示平面 与平面 的夹角的余弦值，进而求出 ，即
得答案.
【详解】（1）如图，取 的中点 ，连接 ，因为侧面 为菱形， ，
所以 .又因为平面 平面 ，
平面 平面 ，
平面 ，所以 平面 .
又因为 是 的中点，所以四边形 为平行四边形，所以 ，所以 平面 .
又 平面 ，所以平面 平面 .
（2）连接 ，因为 为等边三角形，则 .
所以 两两垂直.则以 为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，因为AB=2，所以 .
故 ，
.
设 ，则 ，
即 . ，
.
设平面 的一个法向量为 ，
则 则 ，取 ，则 ， .
故平面 的一个法向量为 .
又由（1）可知平面 的一个法向量为 ，
由题意可得 ，即 .
解得 .又 ，所以，线段CF的长为 2.
题型14 利用空间向量求点线距离
点线距：已知直线l的单位方向向量为u，A是直线l上的定点，P是直线l外一点，设向量AP在直线l
上的投影向量为AQ＝a，则点P到直线l的距离为．
83．（24-25高二上·广东深圳·期末）已知 ， ，则点 到直线 的距离为（ ）A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据条件，利用点到直线距离的向量法，即可求解.
【详解】因为 ， ， ，则 ， ，
所以点 到直线 的距离为： .
故选：D
84．（24-25高二上·江苏常州·期中）如图，在棱长为2的正方体 中， 为 的中点，点
在线段 上，点 到直线 的距离的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】建立空间直角坐标系利用空间向量求得点 到直线 的距离的表达式，再由二次函数性质可求
得最小值.
【详解】以 为坐标原点， 所在直线分别为 轴建立空间直角坐标系，如下图所示：则 ，可得 ，
设 ，所以可得 ；
因此 ，
因此点 到直线 的距离为
.
当 （满足题意）时，取得最小值，即点 到直线 的距离的最小值为 .
故选：A
85．（2025·天津北辰·三模）如图，在四棱锥 中，底面 为矩形，侧棱 底面
是 的中点，点 是棱 上靠近 的四等分点.
(1)求证： 平面 ；
(2)求直线 与平面 所成角的正弦值；(3)求点 到直线 的距离.
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)
【分析】（1）法一合理作出辅助线，利用中位线定理得到 ，再利用线面平行的判定定理得到线面
平行，法二建立空间直角坐标系，求出关键点的坐标和关键平面的法向量，利用空间位置关系的向量证明
求解即可.
（2）建立空间直角坐标系，求出关键点的坐标和关键平面的法向量，结合线面角的向量求法求解即可.
（3）建立空间直角坐标系，求出关键点的坐标和关键平面的法向量，利用空间中点到平面的距离公式求
解即可.
【详解】（1）法一：如图，连接 交 于 ，连接 ，
因为底面 为矩形，所以 为 的中点，
因为 为 的中点，所以 是 的中位线，
得到 ，而 平面 ， 平面 ，故 平面 .
法二：根据题意，以点 为坐标原点，
分别以 为 轴，建立空间直角坐标系，由题意得 ，
则 ，
设 为平面 的法向量，
则 ，即 ，
令 ，则 ，故 ，
平面 ， 平面 .
（2） ，
，
直线 与平面 所成角的正弦值为 .
（3）由已知得 ，
由点到直线的距离公式得 ，
故点 到直线 的距离为 .
86．（2025·天津滨海新·三模）如图，在多面体ABCDGEF中，四边形ABCD为直角梯形，且满足
， ， ， ， 平面ABCD．(1)证明： 平面CDE；
(2)求平面CDE与平面ABE夹角的余弦值；
(3)求点G到直线AB的距离．
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)
【分析】（1）根据线面垂直的判断定理，转化为证明 和 ，即可证明；
（2）根据（1）的结果，分别求平面 和平面 的法向量，利用法向量求平面夹角的余弦值；
（3）代入点到直线的距离公式，即可求解.
【详解】（1）因为 平面 ， 平面 ，
所以 ，
且 ， ， 平面 ，
所以 平面 ， 平面 ，
所以 ，
由条件可知四边形 是正方形，所以 ，
，且 平面 ，
所以 平面 ；
（2）如图，以点 为原点，以 为 轴的正方向建立空间直角坐标系，
， ， ， ， ， ，
由（1）可知，平面 的法向量可为 ，
， ，
设平面 的一个法向量为 ，
所以 ，令 ，则 ， ，
所以平面 的一个法向量 ，
设平面CDE与平面ABE的夹角为 ，
所以 ；
（3） ,
所以点 到直线 的距离 .
题型15 利用空间向量求点面距、线面距、面面距利用向量法求点到平面的距离的步骤
87．（25-26高三上·江苏镇江·开学考试）已知平面 的一个法向量 ，点 在平面
内，则点 到平面 的距离为（ ）
A． B． C．5 D．10
【答案】A
【分析】首先求出 ，再根据点 到 的距离 计算可得.
【详解】因为 、 ，
所以 ，
又平面 的一个法向量 ，
所以点 到 的距离 .
故选：A
88．（25-26高三上·天津红桥·开学考试）已知正方体 的棱长为4，E，F分别为
的中点，G在线段 上，且(1)求证∶ 面 ;
(2)求平面EBF 与平面EBG夹角的余弦值；
(3)求点D到平面EBF的距离．
【答案】(1)证明见解析；
(2) ；
(3) .
【分析】（1）法一、利用正方形的性质先证明 ，再结合正方体的性质得出 平面 ，
利用线面垂直的性质与判定定理证明即可；法二、建立空间直角坐标系，利用空间向量证明线面垂直即可；
（2）利用空间向量计算面面夹角即可；
（3）利用空间向量计算点面距离即可.
【详解】（1）（1）法一、在正方形 中，
由条件易知 ，所以 ，
则 ，
故 ，即 ，
在正方体中，易知 平面 ，且 ，
所以 平面 ，又 平面 ，∴ ，
∵ ， 平面 ，∴ 平面 ；
法二、如图以D为原点建立空间直角坐标系，
则 ，
所以 ，
设 是平面 的法向量，
则 ，令 ，则 ，
所以 是平面 的一个法向量，
易知 ，则 也是平面 的一个法向量，∴ 平面 ；
（2）同上法二建立的空间直角坐标系，
所以 ，
由（1）知 是平面 的一个法向量，
设平面 的一个法向量为 ，所以 ，
令 ，则 ，
所以 平面 的一个法向量，
设平面 与平面 的夹角为 ，
则 ，
所以平面EBF 与平面EBG的夹角的余弦值为 ；
（3）因为 ，所以 ，又 是平面 的一个法向量，
则D到平面 的距离为 .
所以点D到平面EBF的距离为 .
89．（25-26高三上·河北邢台·开学考试）在三棱柱 中，底面 是边长为2的正三角形，
平面 平面 .
(1)证明：三棱柱 为正三棱柱；
(2)若点 为棱 的中点，且平面 与平面 夹角的余弦值为 ，求点 到平面 的距离.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）利用面面垂直的性质得出线面垂直，进而证明侧棱垂直于底面，结合底面形状可证结论；（2）建立坐标系，利用平面 与平面 夹角求出高，结合点面距的向量公式可求答案.
【详解】（1）证明：作 于 ，因为平面 平面 ，平面 平面 ，所
以 平面 ，
因为 平面 ，所以 ，
因为 ， ， 平面 ，所以 平面 ，即侧棱垂直于底面，
因为底面 是正三角形，所以三棱柱 为正三棱柱.
（2）以 为坐标原点， 所在直线分别为 轴， 轴，建立空间直角坐标系，如图，
设 ，则 ；
，
设平面 的一个法向量为 ，则 ，
令 ，则 ；
设平面 的一个法向量为 ，则 ，
令 ，则 ；
因为平面 与平面 夹角的余弦值为 ，所以 ，解得 ，即 .
，设点 到平面 的距离为 ，则 .
90．（2024高三·全国·专题练习）已知正方体 的棱长为1， 为 中点，求下列问题：
(1)求异面直线 与 的距离；
(2)求 到平面 的距离；
(3)求 到平面 的距离；
(4)求平面 与平面 的距离.
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用异面直线距离的向量公式求解即可；
（2）求出平面 的法向量，利用点到平面距离的向量公式求解即可；
（3）利用直线到平面距离的向量公式求解即可；（4）求出平面 、平面 的一个法向量，可得平面 平面 ，转化为 点到平面
的距离，利用点 到平面 的距离向量求法即可求解.
【详解】（1）如图，建立空间直角坐标系，
则 、 、 、 ， 、 、
、 、 ，
所以 ， ，
设 是与 ， 都垂直的向量，
则 ，即 ，即 ，令 得 ，
选 与 的两点向量为 ，
得 与 的距离 .
（2） ，设 为平面 的法向量，则 ，即 ，即 ，令 得 ，
选点 到平面 两点向量为 ，
由公式得：点 到平面 的距离 .
（3）由（2）可知：平面 的法向量可设 ，
设 与平面 的两点向量为 ，
故直线 到平面 的距离 .
（4） ， ，
设 分别为平面 、平面 的一个法向量，
所以 ，令 ，可得 ，所以 ，
，令 ，可得 ，所以 ，
所以 ，所以平面 平面 ，
可得 点到平面 的距离即为所求， ，
所以 点到平面 的距离为 ，
故平面 与平面 的距离为 .题型16 利用空间向量求异面直线的距离
设两条异面直线 的公垂线的方向向量为 ，这时分别在 上任取 两点，则向量在
上的正射影长就是两条异面直线 的距离．则 即两异面直线间的距离，等于两
异面直线上分别任取两点的向量和公垂线方向向量的数量积的绝对值与公垂线的方向向量模的比值．
91．（24-25高二上·四川·期中）在长方体 中， ， ， ，则异面直线
与 的距离是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】建立空间直角坐标系，求解直线 与 的公垂线的方向向量，利用异面直线距离的向量公式
求解即可.
【详解】如图，以 为原点，分别以 ， ， 为 ， ， 轴的正向建立空间直角坐标系，则 ， ， ， ，
， ，
设直线 与 的公垂线的方向向量为 ，
则 ，取 ，则 ， ，
，又 ，
异面直线 与 的距离是 .
故选：A.
92．（24-25高二上·辽宁大连·期中）在长方体 中， ， ， ，E为AB的
中点，则异面直线 与DE的距离为（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】C
【分析】建立如图所示的空间直角坐标系，得出各点坐标，求出 与 的公垂线的一个方向向量，由
空间向量的数量积即可得解.
【详解】分别以 为 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，因为 ， ， ，E为AB的中点，
则 ， ， ， ，
则 ， ，
设 与DE的公垂线的一个方向向量为 ，
则 ，取 ，得 ，则 ，
又 ，
所以异面直线 与DE之间的距离为 .
故选：C.
题型17 利用空间向量解决探索性问题
(1)对于存在判断型问题的求解，应先假设存在，把要成立的结论当作条件，据此列方程或
方程组，把“是否存在”问题转化为“点的坐标是否有解，是否有规定范围内的解”等问
题．
(2)对于位置探究型问题，通常借助向量，引进参数，综合已知和结论列出等式，解出参
数．93．（25-26高三上·广西南宁·开学考试）如图，在四棱锥 中， ，
为等腰直角三角形， 为斜边，其中 ．
(1)证明：平面 平面 ；
(2)线段 上是否存在一点 ，使得 与平面 所成角的正弦值为 ，若存在，求出 的值；若不
存在，请说明理由．
【答案】(1)证明见解析；
(2)存在， .
【分析】（1）设线段 的中点为 ，线段 的中点为 ，利用线面垂直的判定、性质，面面垂直的
判定推理得证.
（2）根据已知，以 为原点，构建如下图空间直角坐标系 ，令 ，
，结合已知并利用线面角的向量求法列方程求参数，即可得.
【详解】（1）如图，设线段 的中点为 ，线段 的中点为 ，连接 ，
依题意， ，则 ，由 ，得 ，
而 ， 是梯形 的中位线，于是 ，
而 平面 ，则 平面 ，
而 平面 ，于是 ，又 平面 ，且 和 相交，
因此 平面 ，而 平面 ，所以平面 平面 ；（2）依题意， ，则 ，即 ，
由（1）知 平面 ， 平面 ，则 ，
由 ， 平面 ，可得 平面 ，
过 作 平面 ，以 为原点，构建如下图空间直角坐标系 ，
则 ， ，
令 ， ，则 ，
由 平面 ，则平面 的一个法向量为 ，
由题设 ，
所以 ，可得 （负值舍），所以 时满足题设.
94．（25-26高三上·黑龙江绥化·开学考试）如图，四棱锥 的底面 是正方形， 平面
， .已知 ， 分别为 ， 的中点，平面 与棱 交于点 .(1)求证： 平面 ；
(2)求平面 与平面 的夹角的余弦值；
(3)判断线段 上是否存在一点 ，使得点 到平面 的距离为 ？若存在，请求出点 的坐标；若
不存在，请说明理由.
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)存在 ， 的坐标为 或 ，理由见解析，
【分析】（1）先证明 ， ，由线面垂直判定定理证明 平面 ，所以 ，
再证明 ，根据线面垂直判定定理证明结论；
（2）先证明 平面 ，由此可得 ，再证明 ，由此可得 ，建立空
间直角坐标系，求平面 与平面 的法向量，结合向量夹角公式求结论；
（3）设 ， ，由此可得 ，根据点到平面的距离的向量求法结
合条件列方程求 ，由此可得结论.
【详解】（1）证明：因为 平面ABCD， 平面ABCD，所以 .
因为四边形 为正方形，所以 ，
又 ， 平面 ，
所以 平面 ，
因为 平面 ，所以 .
因为 为 中点， ，所以 .又 ， 平面 ，
所以 平面 ，
（2）
由（1） 平面 ， 平面 ，所以 ，
因为 平面ABCD， 平面ABCD，所以 ，
因为四边形 为正方形，所以 ，
平面 ， ，
所以 平面 ， 平面 ，所以 ，
因为 为 的中点， ，所以 ，
， 平面 ，
所以 平面 ， 平面 ，
所以 ，
因为 ，所以 平面 ， 平面 ，
所以 ，故 ，
由（1） 平面 ， 平面 ，
所以 ，故 ，又 ，
所以 ，所以 ，
由已知 ， ， ，
所以 ，故 ，以 为原点， ， ， 所在直线分别为 ， ， 轴，建立空间直角坐标系，
则 ， ，易知 ，
所以 ， .
设平面 的一个法向量为 ，
则 ，令 ，则 ，
所以平面 的一个法向量为 .
平面ABCD的一个法向量为 .
设平面 与平面 的夹角为 ，
则 ，
所以平面 与平面 的夹角的余弦值为 ，
（3）因为 ， ，所以 ，
设 ， ，
所以 ，所以 ，所以 .由（2）知平面 的一个法向量为 ，
所以 ，解得 或 ，
所以点 的坐标为 或 .
95．（2025·宁夏石嘴山·模拟预测）如图，在三棱柱 中，侧面ABCD是边长为2的正方形，
为等边三角形，M为边AD的中点，点N在线段PC上．
(1)证明： 平面MPQ；
(2)若 ，证明： 平面BDN；
(3)是否存在点P，使得二面角 的正弦值为 ？如果存在，求出四棱锥 的体积，如
果不存在，说明理由．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)存在，理由见解析，体积为 或
【分析】（1）根据三线合一得到 ，又 ，从而得到线面垂直；
（2）作出辅助线，所以 ，所以 ，所以 平面BDN；
（3）建立空间直角坐标系，写出点的坐标，设 ， ， ，求出两平面的法向量，根据二面角的正弦值得到方程，求出 或 ，从而求出P到平面ABCD的距
离，求出锥体体积.
【详解】（1）证明：因为 是等边三角形，M为边AD的中点，所以 ，
又因为 ， ，所以 ．
又因为 ， 平面 ，故 平面MPQ．
（2）连接MC，交BD于点E，连接NE．
因为 ， ，所以 ，
又因为 ，所以 ，所以 ，
又因为 平面BDN， 平面BDN，所以 平面BDN．
（3）存在点P，使得二面角 的正弦值为 ，理由如下：
取BC中点F，连接MF，则 ，
过M作 平面ABCD，建立如图所示的直角坐标系 ．为等边三角形，边长为2，故 ，
， ， ，设 ， ，
，
， ， ．
设平面MPB的法向量为 ，
则 ，即 ，
取 ，则 ，
取 ，
设平面面MPC的一个法向量为 ，
，
令 ，则 ， ，
平面MPC的一个法向量为 ，
设二面角 为 ，则 ，又因为 ，所以 ．
所以 ，解得 或 ，
当 时，P到平面ABCD的距离为 ，
此时 ，
当 时，P到平面ABCD的距离为 ，
此时 ．
题型18 立体几何中的翻折问题
三步解决平面图形翻折问题
96．（2025·广西桂林·一模）如图，梯形 中， 为 上一点， ，且
，将 沿着 翻折至 所在位置，使得平面 平面 ，连接 ，
得到四棱锥 为 的中点.(1)若 为 的中点，证明： 平面 ；
(2)在线段 上是否存在点 ，使得 ，若存在，求直线 与平面 所成角的正弦值，若不
存在，请说明理由.
【答案】(1)证明见解析；
(2)存在， .
【分析】（1）利用中位线的性质证得线线平行，从而证得线面平行，再证得面面平行，利用面面平行的
性质定理证得线面平行；
（2）建立空间直角坐标系，利用向量线性运算的坐标表示求出点 坐标，再利用向量法求线面角即可.
【详解】（1）
取 的中点 ，连接 .
三点分别为 的中点
在平面 中， ，
又 平面 平面 平面
同理， ， 平面 平面 ，所以 平面 ，
又 平面 平面 ，
平面 平面 ，
平面 平面 .
（2）因为平面 平面 ，平面 平面 ， 平面 ,
所以， 平面 .
过 作 的平行线 ，过 作 交 于 点.
以点 为坐标原点，以 所在直线分别为 轴，建立空间直角坐标系.
梯形 中， ， ，
所以 ，则 .
所以 .
假设在 上存在点 使得 ，设 ，
设 ，则 ，解得 .
因为 ，
所以 ，解得 .
，
因为平面 平面 ，故取平面 的一个法向量为 ，
设直线 与平面 所成角为 ，则
.所以，线段 上存在点 使得 ，直线 与平面 所成角的正弦值为 .
97．（24-25高二上·湖北·阶段练习）如图1，在直角梯形 中，已知 ， ，
将 沿 翻折，使平面 平面 .如图2， 的中点为 .
(1)求证： 平面 ；
(2)若 的中点为 ，在线段 上是否存在点 ，使得平面 与平面 夹角的余弦值为 ？若
存在，求出点 的位置；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)证明见解析
(2)存在，点 位于线段 靠近 的三等分点处
【分析】（1）利用面面垂直性质定理即可证明；
（2）分别以 ， ， 为 ， ， 轴的正方向建立如图所示空间直角坐标系，设
， ，利用面面角的空间向量公式列出方程求解即可.
【详解】（1）因为 ， 的中点为 ，所以 ，
又因为平面 平面 ，平面 平面 ， 平面 ，
根据面面垂直的性质可得 平面 ；
（2）取 的中点为 ，连接 ，则 ，
由图1直角梯形可知， 为正方形，
， ， ， ， .
由（1） 平面 ，可知 ， ， 两两互相垂直，分别以 ， ， 为 ， ， 轴的
正方向建立如图所示空间直角坐标系，则 ， ， ， ，
设 ，
，
设平面 的法向量为 ，
取 ，则 .即平面 的法向量为 ，
由 平面 ，取平面 的法向量 ，
设平面 与平面 的夹角为 ，则
，
解得 或 （舍）.
所以，线段 上存在点 ，使得平面 与平面 夹角的余弦值为 .点 位于线段 靠近
的三等分点处.题型19 利用空间向量解决最值范围问题
立体几何中的最值与范围问题，一般是考查空间角、空间距离和几何体的体积、表面积的
范围和最值问题，一般和动态问题相结合．
98．（2025·山东滨州·二模）如图，在四棱锥 中，底面 是矩形， ，
为等腰三角形，且 ，点 为线段 上一点．
(1)若 平面 ，求 的值；
(2)当 为何值时，直线 与平面 所成角最大，并求最大角的值．
【答案】(1)
(2) ； .
【分析】（1）设 ，由 平面 ，证得 ，结合 为 的中点，得到 为
的中点， 求得 的值；
（2）建系设 ，得出平面 的法向量，进而得出线面角正弦值，结合二次函数
值域得出最大值及此时的 .
【详解】（1）设 ，连接 ，
因为正方形 ，所以 为 的中点，
又因为 平面 ，且 平面 ，平面 平面 ，
所以 ，
在正方形 ， 为 的中点，可得 为 的中点，
所以，当 平面 ，则 .
（2）
因为 平面 ，所以 平面 ，
过 作 为 轴，以 分别为 轴，建立空间直角坐标系，
因为 ， 为等腰三角形，所以 ，且 ，则 ，
所以 ，
设 ，其中 ，( 线面角为0，不是最大）
，
设平面 的法向量为 ，则 ，
取 ，可得 ，
设直线 与平面 所成角为
由题意可得 ，
因为 ，所以当 ，即 时直线 与平面 所成角正弦最大为 ，
直线 与平面 所成角最大为 ，
当 时，直线 与平面 所成角最大为 .
99．（25-26高三上·云南保山·开学考试）在平行六面体 中， ， ，
， ．
(1)证明： ；
(2)当平行六面体 的体积最大时，求平面 与平面 的夹角的余弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）先证 平面 ，再根据线面垂直推导线线垂直.
（2）根据几何体的体积最大，确定平行六面体是直平行六面体，建立空间直角坐标系，利用空间向量求
二面角的余弦.
【详解】（1）在 中， ， ，所以 ，所以 .又 ，所以 .
又在 中， ， ， ，所以 ，
所以 .
又 平面 ，且 ，所以 平面 .
因为 平面 ，所以 ，即 .
（2）因为平行六面体的底面是平行四边形，且 ，由已知平行四边形 的面积为 ，
又平行六面体 的侧棱为 ，所以当侧棱 底面 时，
平行六面体 的体积最大.
如图：
以 为原点，建立如图空间直角坐标系，则 ， ， ， ， ,
.
所以 ， ， ， .
可取平面 的法向量为 ，
设平面 的法向量为 ，
则 ，
可取 .
因为 ， ， .所以 .
所以平面 与平面 的夹角的余弦值为 .
100．（2025·重庆沙坪坝·模拟预测）如图，在直三棱柱 中，侧面 是正方形，
， 分别是棱 的中点，且 ．
(1)若 ，证明： 平面 ；
(2)当平面 与平面 夹角的余弦值最大时，求 的值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）取棱 中点记为M，连接 ，由题意可得四边形 是平行四边形，可得
，可证结论成立；
（2）以B点为坐标轴原点， 为x轴正方向， 为y轴正方向， 为z轴正方向建立空间直角坐标系，
求得平面 的一个法向量，求得 的一个法向量，利用向量法可得 ，进
而求得最大值即可.
【详解】（1）取棱 中点记为M，连接 ，分别是 的中点，且侧面 是正方形，
，
四边形 是平行四边形 ，
又 平面 ， 平面 ，
平面 ．
（2） 直三棱柱 ，
两两垂直，以B点为坐标轴原点， 为x轴正方向， 为y轴正方向， 为z轴正方
向建立如图所示的空间直角坐标系，
则 ．
，
，
．
设平面 的法向量 ，
则 ，取 ，
设平面 的法向量 ，则 ，取 ，
记平面 与平面 夹角为 ，
令 ，所以 ，在 ，即 时取得最大值．
