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最值2 （构造数列） （笔记） 主讲教师：刘大娥 授课时间：2025.11.05 粉笔公考·官方微信 1 最值2 （构造数列）（笔记） 【答案汇总】 1-5：BBCB；6-8：CBA 构造数列 题型特征：和一定，部分数一定，求其中某个主体的最多/最少 解题方法：构造名次——求谁设谁——反推其它——加和求解 【引例1】20 斤肉5 个人分，每个人分到的重量均为正整数且各不相同。则 分得最少的人最多分（ ）斤。 【引例2】20 斤肉5 个人分，每个人分到的重量均为正整数且各不相同。则 分得最多的人至少分（ ）斤。 【引例3】20 斤肉5 个人分，每个人分到的重量均为正整数且各不相同。则 分得最多的人最多分（ ）斤。 【注意】构造数列： 1.题型特征：和一定，部分数一定，求其中某个主体的最多、最少（体现最 值问题），构造数列来搭建和。 2.解题方法：构造名次——求谁设谁——反推其它——加和求解。难点在于 “反推其它”。 3.引例 （1）引例1：20 斤肉5 个人分，每个人分到的重量均为正整数且各不相同。 则分得最少的人最多分（ ）斤。 答：“重量均为正整数且各不相同”即不能分得比如1.5 斤，且没有人分得 的数量是一样的；分得最少的人即排第五的人，问排第五的人最多分得多少，先 构造名次，构造第一名到第五名，求谁设谁，求第五名为x，反推其它，要求第 五名最多，则其他人要最少，第四名最少也比x 多，最少为x+1，以此类推，第 一名到第三名最少依次为x+4、x+3、x+2，加和求解，x+4+x+3+x+2+x+1+x=20→ 5x=10→x=2。 （2）引例2：20 斤肉5 个人分，每个人分到的重量均为正整数且各不相同。 2 则分得最多的人至少分（ ）斤。 答：构造名次，构造第一名到第五名，求谁设谁，求第一名为x，反推其它， 要求第一名最少，则其他人要最多，第二名到第五名依次为x-1、x-2、x-3、x-4， 加和求解x+x-1+x-2+x-3+x-4=20→5x-10=20→5x=30→x=6。 （3）引例3：20 斤肉5 个人分，每个人分到的重量均为正整数且各不相同。 则分得最多的人最多分（ ）斤。 答：构造名次，构造第一名到第五名，求谁设谁，求第一名为x，反推其它， 要求第一名最多，则其他人要尽可能少，第五名最少为1（不能分得0 斤，否则 是20 斤肉4 个人分），第四名至少分得2 斤，第三名至少分得3 斤，第二名至少 分得4 斤，加和求解，x+4+3+2+1=20→x=10。 【例1】（2022 上海）某单位进行了一次绩效考评打分，满分为100 分。有 5 位员工的平均分为90 分，而且他们的分数各不相同，其中分数最低的员工得 分为77 分，那么排第二名的员工至少得（ ）分。（员工分数取整数） A.90 B.92 C.94 D.96 【解析】1.5 人总分=5*90=450 分，已知他们的分数各不相同，其中分数最 低的员工得分为77 分（固定值），问“排第二名的员工至少”，和定、部分数一 定，求其中某一个的最值，按照构造数列的形式求解，构造名次，构造第一名到 第五名，求谁设谁，设第二名为x，反推其它，要求第二名至少，则其他人要尽 可能多，第一名最多为100 分，第三名最多为x-1 分，第四名最多为x-2 分，第 五名固定是77 分，加和求解，100+x+x-1+x-2+77=450→3x=450-174→3x=276→ x=92，对应B 项。【选B】 3 【注意】解题步骤：构造名次—求谁设谁—反推其它—加和求解。 【例2】（2020 联考）从某物流园区开出6 辆货车，这6 辆货车的平均装货 量为62 吨。已知每辆货车载重量各不相同且均为整数，最重的装载了71 吨，最 轻的装载了54 吨。问这6 辆货车中装货第三重的卡车最少要装多少吨？ A.59 B.60 C.61 D.62 【解析】2.给出平均数，6 辆车总装货量=6*62=372 吨，和一定，部分数一 定，已知每辆货车载重量各不相同且均为整数，问装货第三重的卡车最少要装多 少吨，构造数列问题，构造名次，构造第一名到第六名，求谁设谁，设第三名为 x，反推其它，第一名为71，第六名为54，第二名最多为70，第四名最多为x-1， 第五名最多为x-2，加和求解，71+70+x+x-1+x-2+54=372→195-3+3x=372→ 3x=372-192=180→x=180/3=60，对应B 项。【选B】 【例3】（2023 联考）某小区物业准备了230 盒口罩免费派发给10 栋楼，要 求任意两栋楼派发的口罩数量都不相同，但最多相差不超过1 倍。假设口罩不拆 盒发放，那么派发口罩数量最少的那栋楼最少可派发口罩： A.18 盒 B.15 盒 C.14 盒 D.12 盒 【解析】3.230 盒口罩免费派发给10 栋楼，和一定，部分数一定，要求任 意两栋楼派发的口罩数量都不相同，即每一栋都不相同，要求最多相差不超过1 倍，即最多的-最少的≤最少的→最多的≤2*最少的，最多的至多可以等于2*最 少的，问“派发口罩数量最少的那栋楼最少”，构造名次，构造第一名到第十名， 求谁设谁，设第十名为x，反推其它，要求第十名最少，则其他要尽量多，第一 名最多为2x，第二名到第九名的最大值依次为2x-1、2x-2、2x-3、2x-4、2x-5、 2x-6、2x-7、2x-8，加和求解，2x*9+x-（1+2+3+4+5+6+7+8）=230→19x-4*9=230 →19x-36=230→x=266/19→x=（190+76）/19=14，对应C 项。【选C】 4 【例4】（2018 四川）企业今年从全国6 所知名大学招聘了500 名应届生， 从其中任意2 所大学招聘的应届生数量均不相同。其中从A 大学招聘的应届生数 量最少且正好为B 大学的一半。从B 大学招聘的应届生数量为6 所大学中最多的。 则该企业今年从A 大学至少招聘了多少名应届生？ A.48 B.47 C.46 D.45 【解析】4.根据题干，A 大学排第六，B 大学排第一，和一定（500 人），部 分数一定（6 个部分）。从A 大学至少招聘了多少名，构造数列问题，构造名次， 构造第一名到第六名，求谁设谁，设A 大学为x，B 大学一定为2x，反推其它， 要求A 大学至少，别人要尽可能多，第二名至多为2x-1，第三名至多为2x-2， 第四名至多为2x-3，第五名至多为2x-4，加和求解，11x-1+2+3+4=11x-10=500 →11x=510→x=510/11=46.3，A 大学至少为46.3 人，人数不能为小数，A 大学≥ 46.3 人，取47 人，不需要求解其他大学为多少人，选择B 项。【选B】 【注意】注意：当结果不为整时，反向取整，比如x=3.4，问最多，x 取3， 问最少，x 取4。 【例5】（2021 国家）某地10 户贫困农户共申请扶贫小额信贷25 万元。已 知每人申请金额都是1000 元的整数倍，申请金额最高的农户申请金额不超过申 请金额最低农户的2 倍，且任意2 户农户的申请金额都不相同。问申请金额最低 的农户最少可能申请多少万元信贷？ A.1.5 B.1.6 5 C.1.7 D.1.8 【解析】5.题干长，涉及倍数，同时是含有10 部分的和定最值问题，使用 构造数列解题。和一定为25 万，一共有10 户，出现的数据单位是万元，答案单 位也是万元，故把1000 元转化为0.1 万元，方便计算；“申请金额最高的农户申 请金额不超过申请金额最低农户的2 倍”→排名最高≤排名最低*2，排名最低的 是第十名。和定求最值，构造数列问题。构造一～十名，求第十名，设第十名为 x，反推其他，第十名要最小，则其他排名要尽量大，已知“排名最高≤排名最 低*2”，则第一名最多为2x，第二～九名为x-0.1、2x-0.2、2x-0.3、……、2x-0.8， 加和所求，19x-3.6=25→19x=28.6→x=28.6/19，解得x=1.5 +，反向取整，问的 是最少，向上取整为1.6，对应B 项。【选B】 【例6】（2019 江西法检）某高校计划招聘81 名博士，拟分配到13 个不同 的院系，假定院系A 分得的博士人数比其他院系都多，那么院系A 分得的博士人 数至少有多少名？ A.6 B.7 C.8 D.9 【解析】6.“拟分配到13 个不同的院系”没有说除A 院系以外的其他12 个院系各不相同，说明可以相同。 “假定院系A 分得的博士人数比其他院系都多” 说明A 院系最多，即排第一名。和定求最值，构造数列问题。构造第一～十三名， 求的是第一名（A 院系），设其为x，反向构造，求其最少为多少，对应其他排名 要尽量多，则第二名为x-1，其他院系可以相同，则第二名～第十三名均为x-1， 加和求解，x+12*（x-1）=81→13x=81+12=93→x=93/13=（91+2）/13=7 +，问的 是至少，需要向上取整，取8 名，对应C 项。【选C】 6 【例7】（2023 江苏）一个快递分发点的快递员某天人均送件量为220 件， 最少的送了200 件。已知有一名快递员送了260 件，除他之外的快递员人均送件 量为218 件。当天该快递分发点的一名快递员送件量最多为： A.542 件 B.560 件 C.582 件 D.596 件 【解析】7.假设共有a 名快递员，则送货总量为220*a=260+218*（a-1）→ 220a=260+218a-218→2a=42，解得a=21；已知其中一人送了260，比平均值多了 260-220=40，由于他多送的40 件，导致其他人员送的件数从220 降到218 件， 每人少220-218=2 件，说明除开送260 件的这个人以外，还有40/2=20 人，共有 20+1=21 人。总量=220*21=4400+220=4620。和一定为4620，需要分为21 个部分； 构造第一～第二十一名，要求单王（第一名）最多，则其他人要尽量少，最少派 送200 件，而其中有一名派送量为260 件；设单王派送量为x 件，其中一名派送 量为260 件，题干没说不能相同，则剩下其他21-2=19 人派送量均为200，列式： x+260+19*200=4620→x=4620-3800-260=尾0，对应B 项。【选B】 【例8】（2025 山东）某社团组织40 余名志愿者前往A 地参与科普活动。若 平均分为4 组，则至少需要招募1 名志愿者；若平均分为5 组，则至少需要招募 2 名。若分为3 组，要求每组有10 余人且人数各不相同，问该分法中人数最多 的与人数最少的组至少相差几人？ A.3 B.2 C.4 D.5 【解析】8.“40 余名”即40～50 名，根据题干表述，总人数+2=5 的倍数， 5 的倍数尾数为5 或为0，且介于40～50 名，则总人数为45-2=43 人。“要求每 组有10 余人且人数各不相同”即10 +人。题干问的是最值的差值，即求的是最多 7 人数-最少人数的最小值，则被减数（最多人数）要尽量少，减数（最少人数） 要尽量多；构造第一名、第二名、第三名，设最少人数（第三名）为x，则第二 名为x+1，第一名为x+2，加和求解， （x+2）+（x+1）+x=43→3x=40→x=40/3=13.3， x 求的是最大值，故最多为13.3，反向取整，取13；第一名最少为13.3+2=15.3， 求的是最少值，反向取整，取16 人，所求=16-13=3，对应A 项。【选A】 【注意】 1.最难的是反向构造，求最少从最多的入手，求最多从最少的入手。 2.题干没提到“各不相同”，便说明可以相同。 3.如果求得的未知数不是整数，反向取整，求最大→往小取，求最小→往大 取。 8 遇见不一样的自己 Be your better self
