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1.根据“ABC 三个位置必须安装一个摄像头”可知为两端植树问
题。根据公式：
。根据“相邻两个摄像头之间
的距离要保持一致”可得，间隔距离需为AB、BC 长度的公约数。
总长一定，间隔距离越大，摄像头的个数就越少，则间隔距离最
大为AB（750 米）、BC（1350 米）的最大公约数，即150 米，
则至少需要安装
个摄像头。
故正确答案为B。
2.题干为单循环赛问题，单循环赛每两个队之间比赛一场，一共
15 场比赛，每场比赛有一方胜利，则一共有15 个胜场。
可得，
，即F 队一共胜了1 场。
同理，15 场比赛有15 个负场。
可得，
，即F 队一共负了4 场。
综上，F 队一共胜了1 场，负了4 场。
故正确答案为B。
3.问题问“最少······最多······”，判断本题是最值问题中的反向构造数
列问题，欲使总分最少的队伍得分最多，使其他队伍得分尽量少，
根据题意可得，A 队得分最少为
分，设总分最少的队伍
最多得分，则总分第三的队伍最少得
分，第二的队伍最少得
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分。四队总分之和为
，则
，
解得
，求最多向下取整，则最多得8 分。
故正确答案为B。
4.由瓷砖总数为400 块可知，该正方形边长为20 块瓷砖，最外
层一圈为20×4－4＝76 块瓷砖，根据相邻两层差8 块瓷砖可知
两层绿色瓷砖之间差16 块瓷砖，故绿色瓷砖的数量依次为：60，
44，28，12。总数为76＋60＋44＋28＋12＝44×5＝220 块。
故正确答案为D。
5.
。
总的场次：单循环阶段分两组，共有
场；单场淘
汰阶段共有8 队，需要淘汰7 队，每淘汰1 队需要进行1 场比赛，
共进行7 场比赛。两个阶段共37 场比赛。
亚军参加的场次：单循环阶段，每组6 队，亚军需要跟另外5 个
球队各比一场，共5 场；单场淘汰阶段共有8 队，需要进行3
轮（8—4—2—1），亚军每轮均要参与，共参与3 场。两次共
参与
场比赛。
则亚军参加的场次占整个赛事总场次的
，在
以
上。
故正确答案为D。
备注：本题主要是理解单循环比赛和淘汰赛的场次计算方法。
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N 支队伍进行单循环赛（任意两支队伍比赛一场）：一共比赛
场；
M 支队伍进行决出冠、亚军的淘汰赛：一共比赛
场。
6.第一轮23 支队伍需要轮空1 次；第二轮12 支队伍，不需要轮
空；第三轮6 支队伍，不需要轮空；第四轮3 支队伍，需要轮空
1 次；最后是冠军争夺，不需要轮空。
故正确答案为A。
相关知识点：
淘汰赛的思想，只有奇数个队伍的时候，才需要轮空，所以一共
两次奇数次队伍，所以为2。
7.根据空瓶换酒公式：个酒瓶可以换1 瓶酒，个空瓶最多可以
喝到
瓶酒。8 个空酒瓶换1 瓶啤酒，老李花钱买了127 瓶啤
酒，产生的127 个空瓶，最多可喝到
瓶酒，因啤酒数一
定是整数，故最多可以喝到18 瓶酒。加上花钱买到127 瓶酒，
一共可以喝到
瓶。
故正确答案为D。
8.由题干可知，在缩短间隔之前，道路安装了21 盏路灯，间隔
35 米，则道路总长
米。前后两个间隔35 米和
25 米的最小公倍数为175 米，说明无需移动的路灯除了第一座
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外，其余路灯距离起点的距离应为175 米的倍数，分别为：175、
350、525、700，再加上起点的第一座，共计5 盏。
故正确答案为D。
9.根据空瓶换酒公式：个酒瓶可以换1 瓶酒，个空瓶最多可以
喝到
瓶酒。6 个空酒瓶换1 瓶啤酒，孙先生花钱买了109 瓶
啤酒，产生的109 个空瓶，最多可喝到
瓶酒，因啤酒数
一定是整数，故最多可以喝到21 瓶酒。加上花钱买到109 瓶酒，
一共可以喝到
瓶。
故正确答案为D。
10.本题排列成纵列通过主席台，可看作是火车过桥问题，只需
用队伍总长度与主席台的长度和除以行进速度即可。首先算队伍
总长度，每个年级分成个竖列，则每列有
，则中间共
有
空，再考虑每个年级间空米，可得队伍总长度为
，则总长度为
，队伍通过
主席台所需时间为
。
故正确答案为B。
11.设公路长为，根据双边植树问题公式可得：
，解得
。
故正确答案为C。
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注：双边植树问题：
。
12.代入公式，最外圈人数和为（25+15）×2–4=76；相邻两层相
差8，所以第二层为68，则最外面两圈人数总和为76+68=144。
故正确答案为B。
13.原来一共插了400÷16＝25 面旗。题中5 面彩旗没动，一共
分隔出5 段跑道，每段400÷5＝80 米。在被分隔出的80 米内，
原来是16 米一个小段，现在被修改成另外一个长度x。两种情
况下，前后两端的彩旗都没动，中间全部被移动，那代表x 与
16 的最小公倍数为80。代入选项，C、D 两项都符合要求，但
题目求最大值，则选C 项。
故正确答案为C。
14.根据“方阵的相邻两层差8”的结论可得，每层花的数量依次为：
44、36、28、20、12、4，其中36、20、4 为黄花，共计36+20+4=60
盆。
故正确答案为B。
15.第一层有1 个；第二层比第一层多2 个，即
个；第三层
比第二层多3 个，即
个；······依此规律，第四、五、六、七
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层分别有10、15、21、28个，所以7层共有
个立方体。
故正确答案为D。
16.要使比赛的天数最少，则需要每天比赛的选手尽可能地多，
加之每名选手每天最多参加一场比赛。
第一天总共比赛48÷2＝24 场，还剩24 名；
第二天总共比赛24÷2＝12 场，还剩12 名；
第三天总共比赛12÷2＝6 场，还剩6 名；
第四天总共比赛6÷2＝3 场，还剩3 名；
第五天选2 人进行比赛，淘汰1 人；
剩下2 人，第六天决出冠军。
因此，比赛至少需要举行6 天。
故正确答案为C。
17.要使得路灯等距，则需先求1125 与855 的最大公约数，最大
公约数为45。因此安装路灯最少为
盏。
故正确答案为C。
18.根据题意可知，12 个空瓶换1 瓶酒，12 空瓶=1 空瓶+1 酒，
因此题意等价于11 空瓶=1 酒，而101÷11=9 余2，即可换9 瓶
酒。
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故正确答案为D。
相关知识点：m 为现有空瓶数，n 个空瓶子可兑换1 瓶酒（饮料），
则可喝到酒（饮料）数目为
的整数部分。
19.一环形跑道上画了100 个标记点，赋值标记点的间隔1 米，
根据环形植树公式，
。某人跑了半圈，即
跑了50 米，此时要经过的标记点最多，就从一个标记点出发，
。
故正确答案为B。
20.设原方阵每行有人，减少一行和一列，即减少了
人，为
人，解得
；则原方阵最外围的四边共有：
人（方阵外圈公式）。
故正确答案为A。
21.由单边线性植树计数模型易知，
。
故正确答案为C。
22.植树问题。根据两端植树计算公式：
，可得
，解得间隔长度
米。
故正确答案为D。
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23.8 人比赛，每2 人都要比赛一场，则共需要进行
比赛。
由比赛规则可知，每比赛一场就会产生2 分，则28 场一共产生
比分
分。要使未开赛的比赛尽可能的多，则应让未产生
的比分尽可能的多，就应让已产生的比分尽可能的少。已知经过
若干局之后，每个人的得分均不相同，要让已产生的比分最少，
可使8 个人的得分分别为0、1、2、3、4、5、6、7 分，即共产
生比分28 分，还有
分比分尚未产生。每比赛一场产生2
分，则最多还有
比赛尚未开赛。
故正确答案为D。
24.因每两个队之间比赛1 场，中国队已比赛了3 场，则中国队
与丹麦、日本、德国三队各比赛1 场；日本队仅比赛1 场，那么
便是和中国队的比赛；德国队比赛了2 场，其中一场的对手为中
国队，另一场则应为丹麦队。故丹麦队已进行了与中国队、德国
队的两场比赛，还有与日本的一场比赛未比。
故正确答案为B。
25.地铁10 号线共28 站，中间有27 个间隔，因此用时为
。
故正确答案为C。
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26.【思路一】设8 个人分别为ABCDEFGH。假定第一轮比赛的
胜者为ABCD，负者为EFGH。则后续比赛分为两组，ABCD 为
第一组，EFGH 为第二组。若第二轮比赛，ABCD 中的胜者为AC，
EFGH 中的胜者为EG。则后续比赛分为四组，AC 为第一组，BD
为第二组；EG 为第三组，FH 为第四组。要让一胜两负的人尽量
多，则第三轮比赛应使AB 胜利，EF 胜利。此时共有三人（D、F、
G）一胜两负。
具体情况如图所示：
所以选择A 答案。
但是，本题为争议题，粉笔更倾向于答案为6，但选项中没有6
这个答案。
【思路二】答案为6 的解析思路如下：设8 个人分别为
ABCDEFGH。假定第一轮比赛的胜者为ABCD，负者为EFGH。
第二轮比赛中，ABCD 中的胜者为AC，EFGH 中的胜者为EG。
此时ACEG 为第一组，BDFH 为另一组。要让一胜的人尽量多，
则第三轮比赛应尽量使ACEG 的胜场集中到同一人身上，即AC
两人全胜；同时使BDFH 的人尽可能保持一胜，即FH 两人胜利。
此时共有六人（B、D、E、F、G、H）一胜两负。
具体情况如图所示：
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所以选择答案为6。但本题选项没有6，所以本题产生了争议。
综上所述，粉笔给出本题的答案为A。
27.根据题意，从第一棵走到15 棵共用了7 分钟，即7 分钟走过
了14 个间隔，往回走到第五棵树时共用了30 分钟，则一共走过
了60 个间隔
，可用画图分析
个间隔，因此过了第五棵树后，还走了
个
间隔，故走到
棵树时开始往回走。
故正确答案为D。
28.环形植树的棵数
。题中5 只旧灯笼没有移动，即一共分
隔出5 段，每段
米。在被分隔出的80 米内，原来是16
米一个小段，现在被修改成另外一个长度，两种情况下，前后
两端的灯笼都没动，中间全部被移动，那代表与16 的最小公倍
数为80。代入选项，B、D 两项符合要求，但题目求最大值，B
项当选。
故正确答案为B。
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29.根据两端植树公式：棵数
，因道路两边都要植树，故
一共需要植树
棵。
故正确答案为C。
30.方法一：假设快递员在三个小区之间运动的时间分别为
、
、
，根据题意有
，
，
，解得
，
，
。则距离最近的两个小区是B 和C，所花
时间为7 分钟。
方法二：快递员走的三条路线最短耗时15 分钟，说明AB 与BC
的平均时间是7.5 分钟，而距离最近的两个小区之间的耗时应低
于平均时间7.5 分钟，选项中只有A 项低于7.5 分钟。
故正确答案为A。
31.“周长为40 米的圆形花坛安装护栏”，环形植树问题，根据公
式，
。将间隔改为0.8 米后，需要挖
个洞，两次
挖洞的间距1 与0.8 的最小公倍数为4，因此每隔4 米会有一个
洞重合，则共有
个洞重合。因此改为每隔0.8 米挖一个洞
后，至少需要再挖
个洞。
故正确答案为B。
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32.根据题意，每个方阵人数分别为：1、4、9、16、25、36、49、
64、81，丙单位参赛者组成
个方阵。乙单位的参赛者正
好是丙单位的2 倍，代入选项，逐一验证：
A 项，若乙单位参赛者108 人，则丙为54 人，验证可知任何两
个方阵的人数和都不是54，排除；
B 项，若乙单位136 人，则丙为68 人，
，故64 人和4
人这两个方阵属于丙，甲方阵人数为
，满足条件，当选；
C 项，若乙单位166 人，则丙为83 人，验证可知任何两个方阵
的人数和都不是83，排除；
D 项，若乙单位184 人，则丙为92 人，验证可知任何两个方阵
的人数和都不是92，排除。
故正确答案为B。
33.根据题意可知，若想最初人数最少，则剩下的人数需要最少
为1 人。反向推理：
因此，最初为64 人。
故正确答案为B。
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34.做辅助线如下图所示，连接AC，过B 点做BD 垂直于AC，垂
足为D。根据题意
，在直角三角形ABD 中，
，
则
，由勾股定理可知，
，
（
），即舞台的列宽约为17.32m。
由于演员要排成一列且间隔为
，则一列最多可站演员数
为
，人数为整数，则取整数部分，即为35 人。
故正确答案为B。
35.根据题干“甲组比乙组每天多种5 棵树”，设乙组每天种棵树，
则甲组每天种
棵树，根据两种工作方式的种树总量一样，可
列方程：
，解得
，因此种树总量为
棵。因此每侧种植
棵，那么155 棵树
对应是
段，则这条公路长度为
米。
故正确答案为B。
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